Séries numériques: résumé de cours. Exercices d`application.

Séries numériques: résumé de cours. Exercices d’application.
1. Résumé de cours : les séries à termes positifs
Les généralités sur les séries restent X
valables, en particulier :
– la définition de la convergence :
un converge ssi la suite des sommes partielles (Sn )
n
converge (avec Sn = u0 + u1 + .... + un ). X
– la condition nécessaire de convergence de
un qui est que un → 0 quand n → ∞
n
X
un une série à termes positifs, si la suite (Sn ) des sommes partielles est
X
X
majorée par un réel M alors
un converge vers un réel S ≤ M sinon
un diverge vers +∞.
Théorème 1. Soit
n
n
n
La majoration n’étant pas évidente, on peut utiliser des théorèmes de comparaison et des séries
connues (géométriques, Riemann ...) ou plus simplement des critères qui en découlent.
X
X
Théorème de comparaison 1. Soient
un et
vn deux séries à termes positifs, si pour
n
n
tout entier
Xn supérieur à un certain
X n0 , on a : un ≤ vn alors :
– si
vn converge alors
un converge.
n
n
X
X
– si
un diverge vers +∞ alors
vn diverge vers +∞.
n
n
un
=1
vn
On rappelle que un ∼ vn lorsque n → ∞ ssi lim
n→∞
Théorème de comparaison 2. Soient
X
un et
n
X
vn deux séries à termes positifs, si un ∼ vn
n
lorsque n → ∞, alors les deux séries sont de même nature.
X
X
Théorème de comparaison 3. Soient
un et
vn deux séries à termes positifs, si pour
n
n
un+1
vn+1
≤
alors :
tout entier n supérieur à un certain n0 , on a :
un
vn
X
X
– si
vn converge alors
un converge.
n
n
X
X
– si
un diverge vers +∞ alors
vn diverge vers +∞.
n
n
De ces théorèmes on déduit les critères plus commodes :
1
Critère de d’Alembert Soit une série de terme général un > 0
un+1
Si lim
=`:
n→∞ un
X
– si ` < 1 alors
un est convergente.
n
X
– si ` > 1 alors
un est divergente.
n
Critère de Cauchy Soit une série de terme général un ≥ 0
√
Si lim n un = ` :
n→∞
X
– si ` < 1 alors
un est convergente.
n
X
– si ` > 1 alors
un est divergente.
n
On a aussi un théorème de comparaison avec une intégrale :
Théorème de comparaison 4. Soit fZune fonction continue, positive, décroissante sur [0; +∞[,de
n
limite nulle +∞ soit un = f (n), In =
(x)dx alors
0
X
un converge.
– si la suite (In ) converge, la série
n
X
– si (In ) diverge vers +∞, la série
vn diverge vers +∞.
n
Ce théorème s’applique aux séries de Riemann
+∞
X
1
qui deviennent des éléments de comα
n
n=1
paraisons pour d’autres séries.
Théorème 2. Soit α ∈ R+ , la série de Riemann
+∞
X
1
converge pour α > 1
α
diverge pour α ≤ 1
n
n=1
2. Exercices sur les règles simples de convergence ou divergence
Ces règles simples sont : la condition nécessaire de convergence (un → 0), les critères de
d’Alembert et Cauchy, les deux premiers théorèmes de comparaison utilisés avec des séries
géométriques ou de Riemann
Exercice 1 Etudier la convergence des séries suivantes :
n
√
∞
∞
∞
∞
∞ ∞
X
X
X
X
X
X
n
2n
n!
n
n
3n n
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
e)
,
f)
,
2n
n!
2n
2n + 1
2n + 1
2n
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
n
∞
∞
∞
∞
∞ X
X
X
X
X
√
n!
1
1
1
− n
g)
,
h)
,
i)
,
j)
e
,
k)
n tan( )
(2n)!
Cn
(ln n)n
2n
n=1
n=1 2n
n=1
n=1
n=1
Exercice 2 Etudier la convergence des séries suivantes en utilisant le théorème sur les séries
de Riemann et éventuellement les théorèmes de comparaison 1 et 2 :
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
X
X
X
X
X
X
1
1
1
2n
1
1
√
√
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
e)
,
f)
sin
3
3+1
n
n
2n
−
1
n
n.
n
n
n=1
n=0
n=1
n=1
n=1
n=1
2
Exercice 3 Etudier la convergence des séries suivantes :
+∞
+∞
+∞ 2
+∞
X
X
X
X
1 + 2n
2n + 1
n
n
a)
,
b)
,
c)
,
d)
n
n
3
3
n!
(n
+
1)4
n=1
n=0
n=1
n=0
Exercice 4
On se propose d’étudier la convergence de
+∞
X
1
ln
n
n=2
1. Montrer à l’aide d’une étude de fonction que pour tout x > 0,
2. En déduire la nature de la série
e)
+∞
X
n=0
√
n2
+n
2n
x > ln x
+∞
X
1
ln n
n=2
Exercice 5
1. Etudier les variations puis le signe sur [0; π2 ] des fonctions f et g définies par f (x) = sin x−x
x3
et g(x) = sin x − x + .
6
2. En déduire un encadrement de sin x sur [0; π2 ] puis sur [− π2 ; 0]
3. Montrer que sin x ∼ x lorsque x → 0
4. En utilisant
nature des séries de termes généraux :
dernier résultat,
que
peut-on dire de
la
ce
1
1
1
2
,
bn = sin
,
cn = tan
,
dn = 1 − cos n1 ?
an = sin
n
n
n
Calculs de sommes de séries convergentes
+∞
X
1 + 2n
converge. Calculer sa somme.
3n
n=1
Exercice 6
On a vu au a) de l’exercice 3 que
Exercice 7
+∞
X
2n + 1
On a vu au b) de l’exercice 3 que
converge vers un réel S.
3n
n=1
1. Montrer que pour 0 ≤ x < 1, 1 + 2x + 3x2 + ... + xn + ... =
1
(1 − x)2
2. En déduire la valeur de S.
Exercice 8
Soit la série
+∞
X
2n − 1
3 − 4n
n
n=3
1. Montrer que cette série converge vers un réel S.
2x − 1
2. Décomposer la fraction rationnelle : 3
en éléments simples.
x − 4x
3. En déduire la valeur de S.
Exercice 9
Etudier la convergence de la série
+∞
X
n=2
3
ln
n2
2
n −1
et calculer sa somme.
Les autres théorèmes de comparaison
Exercice 10
+∞
X
Etudier la convergence de la série
1
à l’aide du théorème de compan(ln n)2
n=2
Etudier la convergence de la série
+∞
X
ln n
à l’aide du théorème de comparaison
n
n=2
raison 4.
Exercice 11
4.
Exercice 12
+∞
X
ln n
.
Etudier la convergence de la série
n2
n=1
4