Mars 2015

L G
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Mars 2015
A NALYSE M ATH ÉMATIQUE
É VALUATION FORMATIVE
Prof. Éric J.M.DELHEZ
Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d’Analyse
Mathématique. Il est purement facultatif. Les résultats, bons ou mauvais, ne seront en aucun cas pris en compte.
Pour que l’exercice vous soit réellement profitable, il vous est conseillé de vous placer autant que possible
dans les conditions d’une interrogation normale : répondez aux questions tout(e) seul(e), sans l’aide des notes,
sans interrompre votre travail, dans un délai maximum de deux heures.
Pour faciliter le travail des correcteurs, répondez aux trois questions sur des feuilles séparées. Rendez une
feuille blanche avec votre nom et le numéro de la question pour les questions auxquelles vous ne répondez pas.
Consultez également les conseils pour une bonne présentation des copies disponibles sur
http://www.mmm.ulg.ac.be/enseignement/MATH0013/presentation
.
Les copies seront reprises lors du cours ex-cathedra d’analyse du 10 mars.
Question I
Étudiez la convergence de la série
∞
∑ (−1)k
k=1
2 + cos k
k2
Question II
La fonction de Bessel de première espèce d’ordre 0 est définie par
∞
J0 (x) =
(−1)k x2k
k
2
k=0 4 (k!)
∑
i. Montrez que J0 (x) est indéfiniment continûment dérivable sur R.
ii. Montrez, en justifiant, que
J0′ (x) = α J1 (x)
où
J1 (x) =
1 ∞ (−1)k x2k+1
∑ 4k (k!)2 (k + 1)
2 k=0
est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre 1 et où α est une constante réelle à
déterminer.
Question III
i. Étudiez la convergence de la suite {xk } définie par
x1 = 0.2,
xk+1 =
xk
xk − 1
(k ≥ 1)
ii. Si la suite {uk } converge (où uk ∈ C), que peut-on dire de la convergence de la suite {|uk |} ?
iii. Soit la suite { fk } des fonctions réelles
x
fk (x) =
1 + k x2
(a) Montrez que la limite de la suite définit une fonction f sur R.
(b) Les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme d’une suite de fonctions sontelles vérifiées sur un intervalle du type [α, β] ⊂ R ?
(c) Peut-on écrire fk′ → f ′ sur [−1, 1] ?
S OLUTION
Question I
Le terme général de la série étant de signe variable, on étudiera la convergence absolue de la Considération de la
série. Remarquons que les hypothèses du théorème sur la convergence des séries alternées ne sont pas série des modules :
vérifiées car le terme général ne décroı̂t pas monotonement.
1 pt
Application corLe module du terme général peut être majoré selon
recte d’un critère :
3
2
+
cos
k
2 pts
≤
(−1)k
k2 k2
où 3/k2 est le terme général d’une série de Riemann convergente. En conclusion, vu le critère de
comparaison, la série étudiée est absolument convergente.
Conclusion : 2 pts
(dont 1 pt pour
De façon alternative, on peut justifier la convergence par le critère en kα en observant que
le qualificatif ‘ab
2
+
cos
k
1
k
solu’)
(−1)
=O
,
(k → ∞)
k2 k2
Total QI : 5 pts
Question II
i. Appliquons le critère du quotient à la série des modules correspondant à la série de puissances Application
cordéfinissant J0 (x) :
recte d’un critère
à la série des
|x|2k+2
4k (k!)2 |x|2
1
modules
: 2 pts
lim
=
lim
=0<1
k→∞ 4k+1 ((k + 1)!)2 |x|2k
4 k→∞ (k + 1)2
Intervalle
de
convergence : 1 pt
Nous déduisons que la série de puissances donnée converge pour tout x ∈ R. Son intervalle de
convergence est donc R.
Justification du caPuisque toute série de puissances est indéfiniment continûment dérivable sur son intervalle de ractère C∞ par apconvergence, il en résulte que J0 (x) ∈ C∞ (R).
pel aux propriétés
des séries de puissances : 2 pts
ii. Comme toute série de puissances est dérivable terme à terme sur son intervalle de convergence, Total i. : 5 pts
Valeur de la dérivée
il vient
∞
∞
k 2k x2k−1
k x2k−1
(−1)
(−1)
1
terme à terme simJ0′ (x) = ∑
= ∑ k−1
k (k!)2
2k
4
2
4
((k
−
1)!)
plifiée ou pas : 1 pt
k=1
k=1
Justification
puis, en posant k − 1 = n,
théorique : 1 pt
1 ∞ (−1)n x2n+1
1 ∞ (−1)n+1 x2n+1
′
Manipulations
de
=− ∑ n
= −J1 (x)
J0 (x) = ∑ n
2 n=0 4 (n!)2 (n + 1)
2 n=0 4 (n!)2 (n + 1)
la série : 2 pts
′
Valeur
de α : 1 pt
ce qui démontre la relation annoncée J0 (x) = αJ1 (x) avec α = −1.
Total ii. : 5 pts
Total QII : 10 pts
Question III
i. Examinons d’abord les premiers termes de la suite :
x1 = 0.2
x2 =
0.2
1
0.2
=
= − = −0.25
0.2 − 1 −0.8
4
x3 =
−0.25
0.25 1
=
= = 0.2
−0.25 − 1 1.25 5
2
Détermination des
termes de la suite
(en extension ou en
compréhension) :
2 pts
Vu que x3 = x1 , nous aurons x4 = x2 et puis
Conclusion sur la
convergence : 1 pt.
x2k+1 = x1 = 0.2 et x2k = x2 = −0.25
Pas de point pour la
précision des deux
La suite donnée est {0.2, −0.25, 0.2, −0.25, 0.2, −0.25, · · · } et ne converge pas. (Elle est sous-suites.
composée de deux sous-suites convergeant vers des limites différentes.)
Total i. : 3 pts
ii. Si la suite {uk } converge vers a ∈ C, alors
(∀ε > 0)(∃N)(∀k ≥ N) : |uk − a| ≤ ε
Or
|uk | − |a| ≤ |uk − a|
donc
(∀ε > 0)(∃N)(∀k ≥ N) : |uk | − |a| ≤ ε
et la suite {|uk |} converge vers |a|.
N.B. Nous avons donc montré que si une suite converge, la suite des modules
converge vers le module de la limite de la suite. Le sens de l’implication est
donc inversé par rapport au cas des séries. Rappelons que la convergence de
la série des modules (convergence absolue) entraı̂ne la convergence de la série
sans module.
iii.
(a) On a
∀x 6= 0,
x
=0
lim
k→∞ 1 + k x2
et
fk (0) = 0,
∀k ∈ N
Écriture
mathématique
de la convergence
vers a : 1 pt
Démonstration de
la
convergence
de la suite des
modules : 2 pts
Conclusion ou intuition correcte par
rapport à la convergence vers |a| : 1 pt
Total ii. : 4 pts
Valeur de la limite
si x 6= 0 : 1 pt
Traitement du cas
x = 0 : 1 pt
Nous déduisons donc que
lim fk (x) = 0,
k→∞
∀x ∈ R
En conclusion, la limite de la suite { fk } définit la fonction f (x) = 0 sur R.
Conclusion : 1 pt
Total (a) : 3 pts
(b) Passons en revue les hypothèses du théorème.
Hyp. de continue
dérivabilité : 1 pt
– Puisque fk (x) ∈ C∞ (R), nous avons fk (x) ∈ C1 ([α, β]) pour tout [α, β] ∈ R.
Hyp. de conver– Puisque { fk (x)} converge vers 0 pout tout x ∈ R, c’est aussi le cas en particulier pour gence en un point :
un x0 ∈ [α, β].
1 pt
– La dernière hypothèse vise la convergence uniforme de la suite des dérivées
Valeur de fk′ : 1 pt
2 − x(2kx)
2
1
+
kx
1
−
kx
fk′ (x) =
=
(1 + kx2 )2
(1 + kx2 )2
Cette suite converge (simplement) sur R vers la fonction
(
1 si x = 0
1 − kx2
′
g(x) = lim fk (x) = lim
=
k→∞ (1 + kx2 )2
k→∞
0 si x 6= 0
Convergence pas
La convergence ne peut être uniforme sur un intervalle [α, β] contenant l’origine uniforme sur [α, β]
puisque g est discontinue en x = 0. En effet, si la convergence était uniforme sur un si 0 ∈ [α, β] : 1 pt
tel intervalle, la limite de la suite des fk′ ∈ C0 ([α, β]) serait continue.
La suite des fk′ converge par contre uniformément vers 0 sur tout intervalle [α, β] tel que
0∈
/ [α, β] puisqu’on peut alors rendre la différence entre fk′ et sa limite arbitrairement
3
petite simultanément pour toutes les valeurs de x ∈ [α, β], i.e.
(∀ε > 0)(∃N)(∀x ∈ [α, β], ∀k ≥ N) :
′
1 − kx2 1 + kx2 1
fk (x) − 0 = (1 + kx2 )2 ≤ (1 + kx2 )2 = 1 + kx2 ≤ ε
en choisissant
N≥
Convergence uniforme sur [α, β] si
0 6∈ [α, β] : 2 pts
1−ε
ε max(α2 , β2 )
En conclusion, les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme d’une suite de Conclusion : 1 pt
fonctions sont vérifiées sur tout intervalle du type [α, β] ne contenant pas l’origine.
Total (b) : 7 pts
(c) Les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme d’une suite de fonctions sont des
conditions suffisantes pour pouvoir affirmer que la limite de la suite des dérivées converge
vers la dérivée de la limite de la suite de fonctions. Ces hypothèses n’étant pas vérifiées sur
[−1, 1], nous ne pouvons rien conclure a priori. Effectuons alors une vérification directe.
D’une part
Valeur de f ′ (x) :
′
f (x) = 0, ∀x
1 pt
D’autre part
g(x) = lim fk′ (x) =
k→∞
1 si x = 0
0 si x 6= 0
Valeur
de
lim fk′ (x) : 1 pt
k→∞
Conclusion : 1 pt
Nous concluons donc
fk′ 6→ f ′
sur [−1, 1]
Total (c) : 3 pts
Total iii. : 13 pts
Total QIII : 20 pts
4
E RREURS
LES PLUS FR ÉQUENTES
Question I
• Les différents critères permettant d’étudier la convergence des séries (critère du quotient, de
la racine, en kα et de comparaison) ne peuvent s’appliquer qu’à des séries à termes positifs. Il
convient donc de les appliquer à la série des modules. Quand cette série converge, la série est
dite absolument convergente.
• Les hypothèses du théorème sur la convergence des séries alternées ne sont pas vérifiées par la
série donnée car son terme général ne décroı̂t pas monotonement.
• Le critère de comparaison demande de comparer les termes généraux de deux séries à termes
positifs et pas les séries elles-mêmes (qui n’ont de sens que si elles convergent). On écrira donc
ici
(−1)k 2 + cos k ≤ 3
k2
2
k
et pas
∞
3
k 2 + cos k ∑ (−1) k2 ≤ ∑ k2
k=1
k=1
∞
pour justifier que la série converge absolument.
• L’application du critère du quotient à la série des modules demande de calculer
2 + cos(k + 1) k2
k→∞
2 + cos k (k + 1)2
lim
qui n’existe pas. Ce critère ne permet donc pas de conclure dans cet exercice.
• La présence du cosinus dont les valeurs oscillent entre −1 et 1 dans l’expression du terme
général de la série des modules fait en sorte que celui-ci n’est pas asymptotique au terme
général d’une série de Riemann. En particulier, il n’existe pas de constante C ∈ R telle que
C
2 + cos k
∼ 2,
2
k
k
(k → ∞)
puisque (∀C 6= 0)
2 + cos k
2 + cos k
k2
lim
= lim
6∃
C
k→∞
k→∞
C
k2
de sorte que la limite ne peut être égale à 1.
Question II
i. • Les différents critères permettant d’étudier la convergence simple des séries (critère du
quotient, de la racine, en kα et de comparaison) ne peuvent s’appliquer qu’à des séries à
termes positifs. Il convient donc de les appliquer à la série des modules.
• La conclusion de cette sous-question demandait de faire appel au résultat suivant relatif aux
séries de puissances : toute série de puissances est indéfiniment continûment dérivable sur
son intervalle de convergence.
ii. • La dérivation terme à terme de la série doit être justifiée en utilisant le résultat suivant
relatif aux séries de puissances : toute série de puissances est dérivable terme à terme sur
son intervalle de convergence.
• La constante réelle α à déterminer ne pouvait évidemment dépendre ni de x, ni de k.
5
Question III
Alors que les trois sous-questions concernaient la convergence de suites
(numériques ou de fonctions), un certain nombre d’étudiants font référence à des séries ou utilisent
des critères qui, comme les critères du quotient, de la racine ou en kα , s’appliquent exclusivement
aux séries. Il convient de ne pas confondre les notions de suites et de séries, que ce soit dans la
présentation de la réponse et l’utilisation des termes ”série” et ”suite” ou dans l’exploitation des
résultats applicables aux unes et aux autres.
i. Sur le fond, cette question n’appelle pas de grand commentaire. On notera cependant qu’on
ne peut justifier la divergence de la suite par le fait que celle-ci n’est pas croissante (resp.
décroissante) et bornée supérieurement (resp. inférieurement). Ces deux conditions constituent
ensemble des conditions suffisantes de convergence mais ne sont pas nécessaires à la convergence.
ii. La formulation de la question impliquait d’énoncer clairement la relation entre la convergence
des suite {|uk |} et {uk } et de démontrer rigoureusement cette relation. Pour mener cette
démonstration générale, il convenait de repartir de la définition de la convergence des suites.
iii.
(a) Une suite de fonctions fk définit une fonction pour toutes les valeurs de x pour lesquelles
lim fk (x) existe. Pour de tels x, on pose
k→∞
f (x) = lim fk (x)
k→∞
Cette expression définit la fonction f .
Avec la suite de fonctions considérée, le calcul de cette limite devait être réalisé en deux
fois. En effet,
x
fk (x) =
1 + k x2
n’est une fonction décroissante de k que si x 6= 0. Un raisonnement spécifique devait donc
être mis en œuvre pour calculer la limite dans le cas où x = 0.
(b) L’hypothèse centrale pour appliquer le théorème relatif à la dérivation terme à terme porte
sur la convergence uniforme de la suite des dérivées. Il ne suffisait pas de montrer la
convergence de la suite des dérivées ; il fallait encore montrer que cette convergence était
uniforme.
Comme en (a), l’examen de la convergence de { fk′ } demandait de considérer séparément
les cas x 6= 0 et x = 0. Cette procédure permettait de mettre en lumière la discontinuité en
x = 0 de
g(x) = lim fk′ (x)
k→∞
(♥)
Cette discontinuité a échappé à la grande majorité des étudiants qui n’ont dès lors pas
perçu non plus la nécessité de discuter les cas 0 6∈ [α, β] et 0 ∈ [α, β].
(c) Le théorème relatif à la dérivation terme à terme présenté à la page 4.39 du syllabus ne
définit que des conditions suffisantes. Il n’est donc pas correct d’affirmer que le nonrespect de ces conditions entraı̂ne le caractère illicite de la dérivation terme à terme.
Faute de considérer explicitement le cas x = 0, de nombreux étudiants écrivent erronément
lim fk′ (x) = 0
k→∞
∀x ∈ [−1, 1]
et concluent donc, à tort, à la convergence des fk′ vers f ′ sur [−1, 1].
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