CONTRˆOLE CONTINU Séries numériques. Durée : 1h30 Les

ISA BTP, 2◦ année
ANNÉE UNIVERSITAIRE 2014-2015
CONTRÔLE CONTINU
Séries numériques.
Durée : 1h30
Les calculatrices sont autorisées.
Tous les exercices sont indépendants.
Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation.
Exercice 1 Soient a et b deux réels positifs. Pour tout n ∈ N, on note
un =
2n + an
2n + bn
P
Déterminer la nature de la série
un en fonction des valeurs de a et b. On représentera les
différents résultats obtenus sous la forme d’un découpage du plan (aOb).
?????????????????
Exercice 2 L’objectif de cet exercice est d’étudier en détails le comportement de la série
Ainsi, pour tout n ∈ N∗ , on note
1
un =
n
et
Sn =
n
X
P
1
.
n
uk
k=1
1. Justifier rapidement de la divergence de la série
P
un . En déduire la limite lim Sn .
n→+∞
2. Un équivalent simple
(a) Montrer par un argument graphique ou analytique que
∀n > 2,
ln(n + 1) − ln(n) 6 un 6 ln(n) − ln(n − 1)
(b) En déduire un encadrement de la somme partielle Sn .
ln(n + 1)
(c) Montrer que
−→ 1 en +∞ et en déduire un équivalent simple de la somme
ln(n)
partielle Sn en +∞.
3. La constante d’Euler
Pour tout n > 2, on note
1
n−1
vn = + ln
,
n
n
Tn =
n
X
k=2
1
vk
et
γn = Sn − ln(n)
(a) Montrer que la série
P
vn est convergente. On rappelle pour cela que
ln(1 − u) = −u −
u2
+ o(u2 )
2
(b) Exprimer Tn en fonction de Sn et ln(n).
(c) En déduire la nature de la suite (γn ).
Note : la limite γ ≈ 0.577 de la suite (γn ) est appelée la constante d’Euler. Elle fait partie
des constantes universelles.
?????????????????
Exercice 3 Soient (an ) la suite définie par a0 = 0, a1 = 1 et
∀n > 2,
an = an−1 + 2an−2
et f la série entière définie par
f (x) =
+∞
X
an x n
n=0
1. Calculer les termes a2 , a3 et a4 .
2. Montrer par récurrence que
0 6 an 6 2n
∀n ∈ N,
P
3. En déduire que pour tout x ∈ − 12 , 12 , la série
an xn converge. Que peut-on en déduire
quant au rayon de convergence R de la série entière f ?
4. Pour tout x ∈] − R, R[, on note
g(x) = f (x)(1 − x − 2x2 )
(∗)
(a) Montrer que pour tout x ∈] − R, R[, on a g(x) = x (on pourra remplacer, dans
l’expression (∗), f (x) par la somme, développer puis tout rassembler en une seule
+∞
X
série de la forme
bn xn , les coefficients bi dépendant des coefficients ai ).
n=0
(b) En déduire f (x) sous la forme d’une fraction rationnelle.
? ?
?
2
CORRECTION
Exercice 1 :
P
La nature de la série
un dépend de la position de a et b par rapport à 2. Ainsi,
2n
• Si a < 2 et b < 2, alors un ∼ n = 1. Le terme général un ne tend donc pas vers 0 et la
2
série associée diverge grossièrement.
Note : en cas d’égalité, on a un ∼ 2 ou un ∼ 21 ou un ∼ 1. Dans tous les cas, il y a encore
divergence grossière de la série.
a n
an
=
. Le terme général un est donc équivalent au
2n
2
P
un est donc
terme général d’une série géométrique de raison q = a2 > 1. La série
divergente.
Note : le résultat est encore valable si a = 2 et b < 2 ou si a > 2 et b = 2.
n
2n
2
• Si a < 2 et b > 2, alors un ∼ n =
. Le terme général un est donc équivalent au
b
b
P
terme général d’une série géométrique de raison q = 2b < 1. La série
un est donc
convergente.
Note : si a = 2 et b > 2, le résultat est similaire. Cependant, si a < 2 et b = 2, alors
un ∼ 21 et la série associée diverge.
• Si a > 2 et b < 2, alors un ∼
an a n
• Si a > 2 et b > 2, alors un ∼ n =
. Il faut alors distinguer les cas a < b et a > b :
b
b
P
– Si a < b, la série P un converge à la vitesse d’une série géométrique convergente.
un diverge à la vitesse d’une série géométrique divergente.
– Si a > b la série
On peut résumer l’étude ci-dessus par le dessin suivant :
b
a =b
CV
DV
2
DV
a
2
3
?????????????????
Exercice 2 :
P1
1. La série
est une série de Riemann de paramètre α = 1. Il s’agit donc d’une série
n
divergente car α 6> 1. La série étant à termes positifs, la suite (Sn ) de ses sommes partielles
est croissante. Étant divergente, on a Sn → +∞.
2. (a) Soit n > 2. La fonction t 7→ 1t étant décroissante, on a
∀t ∈ [n, n + 1],
un >
1
t
Ainsi,
n+1
Z
Z
un =
n+1
1
dt = [ln t]n+1
= ln(n + 1) − ln(n)
n
t
un dt >
n
n
De même,
∀t ∈ [n − 1, n],
Ainsi,
Z
n
Z
un =
n
un dt 6
n−1
n−1
un 6
1
t
1
dt = [ln t]nn−1 = ln(n) − ln(n − 1)
t
(b) En sommant les inégalités ci dessus pour k allant de 2 à n, on a
ln(n + 1) − ln 2 =
n
X
ln(k + 1) − ln(k) 6
n
X
uk 6
On obtient alors un encadrement de Sn =
membre de cette inégalité. D’où :
Pn
k=1
ln(k) − ln(k − 1) = ln(n)
k=2
k=2
k=2
n
X
uk en ajoutant u1 = 1 à chaque
ln(n + 1) − ln 2 + 1 6 Sn 6 ln(n) + 1
(c)
ln n 1 + n1
ln 1 + n1
ln(n + 1)
=
=1+
→1
ln(n)
ln(n)
ln(n)
Ainsi, en divisant la chaı̂ne d’inégalités ci dessus, on obtient :
ln(n + 1) ln 2 − 1
Sn
1
−
6
61+
ln(n)
ln(n)
ln(n)
ln(n)
Chacune des bornes tendant vers 1 en +∞, le théorème des gendarmes assure que
Sn
le quotient ln(n)
→ 1. Autrement dit,
Sn ∼ ln(n)
3. (a) D’après le D.L. de ln(1 − u) donné, on a
1
n−1
1
1
1
ln
= ln 1 −
=− − 2 +o
n
n
n 2n
n2
D’où
1
vn = + ln
n
n−1
n
1
=− 2 +o
2n
1
n2
P
∼−
1
2n2
P
1
La série
vn est donc de même nature que laPsérie
qui est une série de Rie2n2
mann convergente (α = 2 > 1). Donc la série
vn converge.
4
(b) Pour tout n > 2, on a
Tn =
n
X
n
X
1
vk =
k=2
k=2
k
+ ln
k−1
k
=
n
X
1
k=2
k
−
n
X
ln(k) − ln(k − 1)
k=2
= Sn − 1 − ln(n)
(c) D’après le calcul précédente, on a, pour tout n > 2 :
γn = Sn − ln(n) = Tn + 1
Or la série
on a
P
vn étant convergente, la suite (Tn ) converge. En notant T sa somme,
lim γn = T + 1
n→+∞
Ainsi, la suite (γn ) converge.
?????????????????
Exercice 3 :
1.
a2 = a1 + 2a0 = 1
a3 = a2 + 2a1 = 3
a4 = a3 + 2a2 = 5
2. Soit P(n) : 0 6 an 6 2n .
• Initialisation : on a 0 6 a0 = 0 6 20 = 1 et 0 6 a1 = 1 6 21 . Donc la propriété est
vraie aux rang 0 et 1.
• Hérédité : supposons qu’il existe un rang n > 1 pour lequel P(n − 1) et P(n) soit
vrai. Puisque an+1 = an + 2an−1 , an+1 est la somme de deux termes positifs et il est
également positif. De plus, puisque an−1 6 2n−1 et an 6 2n , on a
an+1 = an + 2an−1 6 2n + 2.2n−1 = 2.2n = 2n+1 .
Donc
0 6 an+1 6 2n+1
et P(n + 1) est vraie.
• Conclusion : P(n) étant vraie aux rang n = 0 et n = 1 et étant héréditaire, elle est
vraie pour tout n ∈ N.
3. Pour tout x ∈ − 21 , 12 , on a
0 6 |an xn | 6 (2|x|)n
Or |x| < 21 assure que 2|x| < 1. Le terme général |an xn | est
P doncn majoré par le terme
général
d’une
série
géométrique
convergente.
Donc
la
série
|an x | converge et la série
P
n
an x converge également.
P
On peut donc en déduire que le rayon de convergence R de la série entière
an xn est
1
supérieur ou égal à 2 .
5
4. Pour tout x ∈] − R, R[, on a
+∞
X
g(x) = f (x)(1 − x − 2x2 ) =
!
an xn (1 − x − 2x2 )
n=0
=
=
=
=
+∞
X
n=0
+∞
X
n=0
+∞
X
n=0
+∞
X
n
an x − x
an x n −
an x n −
+∞
X
n
an x − 2x
2
+∞
X
an x n
n=0
n=0
+∞
X
+∞
X
n=0
+∞
X
n=0
+∞
X
an xn+1 −
an−1 xn −
n=1
2an xn+2
2an−2 xn
n=2
(an − an−1 − 2an−2 )xn + a0 + a1 x − a0 x
n=2
Or par définition de la suite (an ), on a
a0 = 0,
a1 = 1,
an − an−1 − 2an−2 = 0 ∀n > 2
D’où g(x) = x.
5. D’après la question précédente, on a
∀x ∈] − R, R[,
f (x) =
x
g(x)
=
2
1 − x − 2x
1 − x − 2x2
? ?
?
6