FICHE 3.2 - LES IDENTITES REMARQUABLES

Commentaires

Transcription

FICHE 3.2 - LES IDENTITES REMARQUABLES
FICHE 3.2 : LES IDENTITÉS REMARQUABLES
Mise à jour : 12/12/11
1. Le carré d’une somme
(a + b)² = a² + 2 ab + b²
L’illustration géométrique parle d’elle-même…
Il suffit de connaître la formule de
l’aire d’un rectangle et celle d’un carré !
2. Le carré d’une différence
(a – b)² = a² - 2 ab + b²
Là, il te faut sans doute quelques
explications. Tu as remarqué que (a – b)²
correspond à l’aire du carré vert. Or
celle-ci, c’est l’aire du tout grand carré
(a²) de laquelle on a soustrait l’aire du
carré jaune (b²) et celles des deux
rectangles bleus ((a-b).b).
3. La somme de deux carrés
4. La différence de deux carrés
Donc, (a – b)²
= a² - b² - 2 (a – b).b
= a² - b² - 2ab + 2b²
= a² - 2ab + b²
a² + b² n’est pas factorisable (dans IR)
a² - b² = (a – b) (a + b)
À nouveau, tu peux remarquer que l’identité
algébrique (a² - b²) correspond à l’aire de la
portion verte du carré. Or cette portion verte
peut se décomposer en deux rectangles :
un rouge et un saumon.
Donc :
a² – b² = (a – b) a + (a – b) b
Il suffit de mettre (a – b) en évidence et
tu obtiens
a² – b² = (a – b) (a + b)
Toutes ces fiches sont téléchargeables gratuitement sur notre site internet www.asblentraide.be
5. Le cube d’une somme
(a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab²+ b3
Cette image vient de : http://www.daskoo.org/258-formulaire--produits-remarquables-ou-identites-remarquables.cours
6. Le cube d’une différence
(a - b)3 = a3 - 3a²b + 3ab²- b3
7. La somme de deux cubes
a3 + b3 = (a + b) (a² - ab + b²)
8. La différence de deux cubes
a3 – b3 = (a – b) (a² + ab + b²)
Toutes ces fiches sont téléchargeables gratuitement sur notre site internet www.asblentraide.be
9. La somme de trois carrés
(a + b + c)2 = a2 + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Cette image vient de : http://jlsigrist.com/identites.html
10. Généralisation de la puissance d’une somme
Les identités 1, 2, 5 et 6 peuvent se généraliser par une formule délicate à écrire (c’est la
formule du binôme de Newton) mais très facile à appliquer.
Observe par exemple le développement de (a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3.
En fait l’écriture la plus complète est plutôt (a + b)3 = a3 b0 + 3a²b + 3ab² + a0 b3. Mais comme
tu le sais sans doute, tout nombre exposant 0 égal 1. Du coup, on a pris l’habitude de ne pas
écrire les termes exposant zéro.
Face à cette écriture plus complète, tu peux contater que la puissance des a diminue au fur et
à mesure : d’abord a3, puis a², puis a1 (On n’écrit habituellement pas a 1 puisque a 1 = a) et
enfin a0. Pour la puissance des b, c’est l’inverse : d’abord b0, puis b1, puis b² et enfin b3.
Si tu veux écrire le développement de (a + b)4, cela donne donc la structure suivante :
(a + b)4 = a4 b0 + … a3 b1 + …. a2 b² + … a1 b3 + a0 b4
Ce qu’on écrit habituellement sous la forme
(a + b)4 = a4 + … a3 b + …. a2 b² + … a b3 + b4
Toutes ces fiches sont téléchargeables gratuitement sur notre site internet www.asblentraide.be
Pour trouver les bons coefficients (remplir les pointillés), il faut se baser sur le triangle
suivant, appelé triangle de Pascal.
Mais oui, tu as compris : chaque
nombre est toujours égal à la
somme des deux nombres situés au
dessus de lui.
Par exemple 10 = 4 + 6
Cette image vient de : http://monsieuradam.free.fr/spip.php?article128
Évidemment, ce triangle ne possède pas de dernière ligne… Ainsi, la prochaine ligne commence
par 1, ensuite 15 (1 + 14), ensuite 105 (14 + 91), … Tu auras certainement remarqué que toutes
les lignes commencent et se terminent toujours par 1.
On va donc lire dans la quatrième ligne de cette pyramide les coefficients de (a + b)4.
Et donc :
(a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b² + 4 ab3 + b4
De même
(a + b)5 = a5 + 5 a4 b + 10 a3 b² + 10 a² b3 + 5 a b4 + b5
11. Généralisation de la puissance d’une différence
Et si c’est (a – b)5 ? Aucun problème : on alterne alors les signes dès le premier signe écrit
(a - b)5 = a5 - 5 a4b + 10 a3b²- 10 a²b3 + 5 ab4 - b5
Toutes ces fiches sont téléchargeables gratuitement sur notre site internet www.asblentraide.be
Bon, juste pour info, la formule générale est appelée formule du binôme de Newton et s’écrit
de la manière suivante :
avec
Tous ces symboles mathématiques ont évidemment un sens et sont très pratiques à utiliser
mais ça, ce sera l’objet d’une prochaine fiche !
Isaac Newton
4 janvier 1643 – 31 mars 1727
Tu n’as pas compris quelque chose ? Aide-nous à améliorer ces fiches !
Tu cherches des sujets que tu n’as pas trouvés ? Dis-le nous !
Découvre aussi notre forum sur lequel tu peux venir poser tes questions.
N’hésite pas à nous faire connaître : totalement gratuit.
Commentaires, souhaits, remarques…
On t’attend sur notre groupe Facebook !
« Centre de remédiation scolaire Entr’aide »
Scanne directement ce code avec ton smartphone pour nous rejoindre sur
Toutes ces fiches sont téléchargeables gratuitement sur notre site internet www.asblentraide.be