FICHE 3.2 - LES IDENTITES REMARQUABLES

FICHE 3.2 : LES IDENTITÉS REMARQUABLES
Mise à jour : 12/12/11
1. Le carré d’une somme
(a + b)² = a² + 2 ab + b²
L’illustration géométrique parle d’elle-même…
Il suffit de connaître la formule de
l’aire d’un rectangle et celle d’un carré !
2. Le carré d’une différence
(a – b)² = a² - 2 ab + b²
Là, il te faut sans doute quelques
explications. Tu as remarqué que (a – b)²
correspond à l’aire du carré vert. Or
celle-ci, c’est l’aire du tout grand carré
(a²) de laquelle on a soustrait l’aire du
carré jaune (b²) et celles des deux
rectangles bleus ((a-b).b).
3. La somme de deux carrés
4. La différence de deux carrés
Donc, (a – b)²
= a² - b² - 2 (a – b).b
= a² - b² - 2ab + 2b²
= a² - 2ab + b²
a² + b² n’est pas factorisable (dans IR)
a² - b² = (a – b) (a + b)
À nouveau, tu peux remarquer que l’identité
algébrique (a² - b²) correspond à l’aire de la
portion verte du carré. Or cette portion verte
peut se décomposer en deux rectangles :
un rouge et un saumon.
Donc :
a² – b² = (a – b) a + (a – b) b
Il suffit de mettre (a – b) en évidence et
tu obtiens
a² – b² = (a – b) (a + b)
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5. Le cube d’une somme
(a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab²+ b3
Cette image vient de : http://www.daskoo.org/258-formulaire--produits-remarquables-ou-identites-remarquables.cours
6. Le cube d’une différence
(a - b)3 = a3 - 3a²b + 3ab²- b3
7. La somme de deux cubes
a3 + b3 = (a + b) (a² - ab + b²)
8. La différence de deux cubes
a3 – b3 = (a – b) (a² + ab + b²)
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9. La somme de trois carrés
(a + b + c)2 = a2 + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Cette image vient de : http://jlsigrist.com/identites.html
10. Généralisation de la puissance d’une somme
Les identités 1, 2, 5 et 6 peuvent se généraliser par une formule délicate à écrire (c’est la
formule du binôme de Newton) mais très facile à appliquer.
Observe par exemple le développement de (a + b)3 = a3 + 3a²b + 3ab² + b3.
En fait l’écriture la plus complète est plutôt (a + b)3 = a3 b0 + 3a²b + 3ab² + a0 b3. Mais comme
tu le sais sans doute, tout nombre exposant 0 égal 1. Du coup, on a pris l’habitude de ne pas
écrire les termes exposant zéro.
Face à cette écriture plus complète, tu peux contater que la puissance des a diminue au fur et
à mesure : d’abord a3, puis a², puis a1 (On n’écrit habituellement pas a 1 puisque a 1 = a) et
enfin a0. Pour la puissance des b, c’est l’inverse : d’abord b0, puis b1, puis b² et enfin b3.
Si tu veux écrire le développement de (a + b)4, cela donne donc la structure suivante :
(a + b)4 = a4 b0 + … a3 b1 + …. a2 b² + … a1 b3 + a0 b4
Ce qu’on écrit habituellement sous la forme
(a + b)4 = a4 + … a3 b + …. a2 b² + … a b3 + b4
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Pour trouver les bons coefficients (remplir les pointillés), il faut se baser sur le triangle
suivant, appelé triangle de Pascal.
Mais oui, tu as compris : chaque
nombre est toujours égal à la
somme des deux nombres situés au
dessus de lui.
Par exemple 10 = 4 + 6
Cette image vient de : http://monsieuradam.free.fr/spip.php?article128
Évidemment, ce triangle ne possède pas de dernière ligne… Ainsi, la prochaine ligne commence
par 1, ensuite 15 (1 + 14), ensuite 105 (14 + 91), … Tu auras certainement remarqué que toutes
les lignes commencent et se terminent toujours par 1.
On va donc lire dans la quatrième ligne de cette pyramide les coefficients de (a + b)4.
Et donc :
(a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b² + 4 ab3 + b4
De même
(a + b)5 = a5 + 5 a4 b + 10 a3 b² + 10 a² b3 + 5 a b4 + b5
11. Généralisation de la puissance d’une différence
Et si c’est (a – b)5 ? Aucun problème : on alterne alors les signes dès le premier signe écrit
(a - b)5 = a5 - 5 a4b + 10 a3b²- 10 a²b3 + 5 ab4 - b5
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Bon, juste pour info, la formule générale est appelée formule du binôme de Newton et s’écrit
de la manière suivante :
avec
Tous ces symboles mathématiques ont évidemment un sens et sont très pratiques à utiliser
mais ça, ce sera l’objet d’une prochaine fiche !
Isaac Newton
4 janvier 1643 – 31 mars 1727
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