TES Devoir no3 durée 90mn-20 points Exercice 1 ( 5 points ) 1. Soit

Devoir no 3
TES
durée 90mn-20 points
( 5 points )
Exercice 1
1.
Soit la fonction f définie sur [0; +∞[ par f (x) =
x2 − 2
x+1
a) Calculer f 0 (x).
* Solution:
On pose u(x) = x2 − 2 et v(x) = x + 1
et on a u0 (x) = 2x et v 0 (x) = 1
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
f 0 (x) =
(v(x))2
2x(x + 1) − (x2 − 2) × 1
=
(x + 1)2
2x2 + 2x − x2 + 2
=
(x + 1)2
2
x + 2x + 2
=
(x + 1)2
b) En déduire le sens de variation de f
* Solution:
(x + 1)2 > 0 sur [0; +∞[ donc f 0 (x) est du signe de x2 + 2x + 2
Racines de x2 + 2x + 2
∆ = 4 − 4 × 1 × 2 = −4
Signe de f 0 (x)
Il n’y a pas de racines donc x2 + 2x + 2 est du signe de a = 1 coefficient de x2
donc f 0 (x) > 0
et donc f est croissante.
2.
On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par un =
n2 − 2
n+1
a) Calculer u0 et u1
* Solution:
02 − 2
−2
=
= −2
0+1
1
12 − 2
−1
u1 =
=
1+1
2
u0 =
b) Donner le sens de variation de la suite (un )
* Solution:
n2 − 2
= f (n)
n+1
donc f est la fonction associée à la suite (un )
et donc la suite (un ) et la fonction f on le même sens de variation
un =
donc la suite (un ) est croissante.
( 7 points )
Exercice 2
Une hauteur atteinte par une balle diminue de 19% à chaque rebond. Le temps entre chaque rebond diminue
lui de 10%.
1.
Une balle est lancée sur le sol. On appelle un la hauteur maximale en mètres de la balle après le nième
rebond et vn , le temps en secondes séparant le nième rebond du suivant.On donne u1 = 1, 25 et v1 = 1
a) Exprimer un+1 en fonction de un . Que peut-on en déduire pour la suite (un ) ? Quelle est sa limite
éventuelle ?
* Solution:
Diminuer une valeur de 19% revient à appliquer le coefficient multiplicateur 1 −
19
= 0, 81
100
donc un+1 = 0, 81un
donc (un ) est une suite géométrique de raison q = 0, 81 et de premier terme u1 = 1, 25
La raison de (un ) est q = 0, 81 et q ∈]0; 1[
donc lim un = 0
n→+∞
b) Exprimer vn+1 en fonction de vn . Que peut-on en déduire pour la suite (vn ) ? Quelle est sa limite
éventuelle ?
* Solution:
Diminuer une valeur de 10% revient à appliquer le coefficient multiplicateur 1 −
10
= 0, 9
100
donc vn+1 = 0, 9vn
donc (vn ) est une suite géométrique de raison q1 = 0, 9 et de premier terme v1 = 1
La raison de (vn ) est q1 = 0, 9 et q1 ∈]0; 1[
donc lim vn = 0
n→+∞
c) Pour n strictement positif, exprimer un en fonction de n.
* Solution:
(un ) est une suite géométrique de raison q = 0, 81 et de premier terme v1 = 1, 25
donc vn = v1 × q1n−1 = 1, 25 × 0, 81n−1
vn = 0, 9n−1
2.
Soit (wn ) la suite définie pour tout entier strictement positif par la somme des n premiers termes de la
suite (vn )
a) Pour n strictement positif, exprimer wn en fonction de n.
* Solution:
wn = v1 + v2 + ....... + vn = v1 ×
1 − q1n
1 − 0, 9n
1 − 0, 9n
=
=
= 10(1 − 0, 9n )
1−q
1 − 0, 9
0, 1
b) Etudier la limite de la suite (wn ). Comment interpréter ce résultat ?
* Solution:
lim 0, 9n = 0 car 0, 9 ∈]0; 1[
n→+∞
donc par somme lim 1 − 0, 9n = 1
n→+∞
et donc lim wn = 10
n→+∞
donc la balle va s’arrêter au bout de 10 secondes.
Exercice 3
( 8 points )
A chaque diffusion d’une série télévisée, 90% des téléspectateurs étaient présents lors de l’épisode précédent et
10000 téléspectateurs sont nouveaux.
Il y avait 200000 téléspectateurs au premier épisode de la série.
1.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on note un le nombre de téléspectateurs du nième épisode de la
série.
a) Pour tout entier n ≥ 1,montrer que un+1 = 0, 9un + 10000.
* Solution:
On note un le nombre de téléspectateurs présents au nième et donc un+1 le nombre de téléspectateurs
présents à l’épisode suivant.
Il y a 90% des téléspectateurs de l’épisode précédent présents à l’épisode suivant soit 0, 9un
et il s’ajoute à ce nombre 10000 téléspectateurs
donc un+1 = 0, 9un + 10000
b) Justifier que la suite (un ) n’est ni arithmétique, ni géométrique.
* Solution:
u1 = 200000
u2 = 0, 9 × 200000 + 10000 = 190000
u3 = 0, 9 × 190000 + 10000 = 181000
u2 − u1 = 10000 et u3 − u2 = 9000
donc (un ) n’est pas arithmétique.
u2
u3
= 0, 95 et
≈ 0, 953
u1
u2
donc (un ) n’est pas géométrique.
2.
Soit la suite (vn ) définie pour tout entier n ≥ 1 par vn = un − 100000
a) Montrer que la suite (vn ) est géométrique et préciser sa raison.
* Solution:
vn+1 = un+1 − 100000
= 0, 9un + 10000 − 100000
= 0, 9un − 90000
= 0, 9(un − 100000)
= 0, 9vn
donc (vn ) est une suite géométrique de raison q = 0, 9
u1 = 200000 est le nombre de téléspectateurs au premier épisode
donc la suite (vn ) a pour premier terme v1 = u1 − 100000 = 200000 − 100000 = 100000
b) Exprimer vn en fonction de n et en déduire un en fonction de n.
* Solution:
(vn ) est une suite géométrique de raison q = 0, 9 et de premier terme v1 = 100000
donc vn = v1 × q n−1 = 100000 × 0, 9n−1
vn = un − 100000 ⇐⇒ un = vn + 100000
un = 100000 × 0, 9n−1 + 100000
c) Déterminer à partir de quel épisode le nombre de téléspectateurs présents sera inférieur à 120000 ?
* Solution:
On veut un < 120000
un < 120000
⇐⇒ 100000 × 0, 9n−1 + 100000 < 120000
⇐⇒ 100000 × 0, 9n−1 < 20000
20000
⇐⇒ 0, 9n−1 <
100000
⇐⇒ 0, 9n−1 < 0, 2
Avec le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction Y1= 0, 9(x−1) et en paramétrant
dans SET (ou RANGE) XSTART=1, XEND=50 par exemple et PITCH=1, on obtient :
Avec la calculatrice, on a pour n = 16, 0, 916−1 ≈ 0, 206 et 0, 917−1 ≈ 0, 185
donc à partir du 17ième épisode, le nombre de téléspectateurs est inférieur à 120000.
Remarque
On peut aussi utiliser le MENU RECUR de la calculatrice et ne pas utiliser l’inégalité précédente
pour répondre, en saisissant TYPE an+1 puis an+1 = 0, 9an + 10000 et en paramétrant dans SET
START=1, END=50 et a1 = 200000
on a alors u16 ≈ 120589 et u17 = 118530
d) Déterminer le sens de variation de la suite (un ).
* Solution:
un = 100000 × 0, 9n−1 + 100000
donc un+1 = 100000 × 0, 9n+1−1 + 100000 = 100000 × 0, 9n + 100000
un+1 − un = (100000 × 0, 9n + 100000) − (100000 × 0, 9n−1 + 100000)
= 100000 × 0, 9n + 100000 − 100000 × 0, 9n−1 − 100000
= 100000 × 0, 9 × 0, 9n−1 − 100000 × 0, 9n−1
= 100000 × 0, 9n−1 (0, 9 − 1)
= 100000 × 0, 9n−1 × (−0, 1)
= −10000 × 0, 9n−1
0.9n−1 > 0 donc un+1 − un < 0
(un ) est décroissante.
e) Déterminer la limite de un et en donner une interprétation pour le problème.
* Solution:
La suite (vn ) est géométrique de raison q = 0, 9 et q ∈]0; 1[
donc lim vn = 0
n→+∞
on a un = vn + 100 000
donc par somme lim un = 100000
n→+∞
Cela signifie qu’après un très grand nombre d’épisodes, les nombre de téléspectateurs présents sera
proche de 100000.