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maths-s.fr - Fiche méthode Chapitre 5: équations de droites 1 L’essentiel 2 2 Tracer une droite définie par une équation cartésienne 2 3 Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur 3.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 4 Déterminer une équation cartésienne 4.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Exemple : droite définie par deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Exemple : droite définie un point et un vecteur directeur . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 5 Droites parallèles 5.1 rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Vérifier que deux droites sont parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Déterminer une équation d’une droite parallèle à une droite donnée . . . . . . . . . . 6 6 6 7 R F S. S- H W AT .M W W H AT .M W W R F . S S- W Chapitre 5: Géométrie plane Page 1/8 Maths première S www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite Table des matières maths-s.fr - Fiche méthode Chapitre 5: équations de droites → − − → Le plan est muni d’un repère (O; i ; j ). L’essentiel Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 (a, b et c réels avec (a; b) 6= (0; 0) ) → et le vecteur − u (−b; a) est un vecteur directeur de cette droite. Un point A(xA ; yA ) appartient à cette droite si et seulement si axA + byA + c = 0 Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (ce qui re- R F S. vient à dire que les coefficients respectifs de x et y de leurs équations cartésiennes sont proportionnels) S- H T Il y a une infinité d’équations cartésiennes pour Aune même droite. Si (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, .M en isolant y, on retrouve l’équation réduite W de la droite (AB). W Si le coefficient de x est nul, la droite est parallèle à l’axe des abscisses(équation de la forme W −c by + c = 0 ⇐⇒ y = , b 6= 0). Remarques : 1. 2. 3. 4. 2 b Si le coefficient de y est nul, la droite est parallèle à l’axe des ordonnées(équation de la forme −c , a 6= 0). ax + c = 0 ⇐⇒ x = a Tracer une droite définie par une équation cartésienne R F . r Exemple 1 :Tracer une droite S Tracer la droite ∆ dont une équation cartésienne S- est −x − 3y + 2 = 0 H âApplication ex 531 AT de deux points distincts de ∆. Méthode 1 : Déterminer les coordonnées Si ∆ n’est pas parallèle aux axes .Mdu repère(voir aide mémoire), on peut par exemple prendre W x = 0 puis calculer y W x afin de déterminer les coordonnées des points d’intersection de et ensuite y = 0 et calculer W ∆ avec les axes du repère. A A B B Méthode 2 : Déterminer les coordonnées d’un point de ∆ et d’un vecteur directeur. Si a 6= 0, on peut déterminer les coordonnées de A(xA ; 0) ∈ ∆ A(xA ; 0) ∈ ∆ ⇐⇒ axA + byA + c = 0..... Chapitre 5: Géométrie plane Page 2/8 Maths première S www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite 1 maths-s.fr - Fiche méthode Chapitre 5: équations de droites → et le vecteur − u (−b; a) est un vecteur directeur de δ * Solution: www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite • A(xA ; 0) ∈ ∆ ⇐⇒ −xA + 2 = 0 ⇐⇒ xA = 2 donc A(2; 0) ∈ ∆ • B(0; yB ) ∈ ∆ R F S. ⇐⇒ −3yB + 2 = 0 2 2 ⇐⇒ yB = donc B 0; 3 3 S- H W AT .M W W Méthode 2 : • A(xA ; 0) ∈ ∆ ⇐⇒ −xA + 2 = 0 ⇐⇒ xA = 2 donc A(2; 0) ∈ ∆ R F . S S- − • a = −1 et b = −3 donc le vecteur → u (3; −1) est un vecteur directeur de ∆ H AT .M W W W Chapitre 5: Géométrie plane Page 3/8 Maths première S www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite Méthode 1 : maths-s.fr - Fiche méthode 3 Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur 3.1 Rappel → Si la droite ∆ a pour équation cartésienne, le vecteur − u (−b; a) est un vecteur directeur de ∆. → → Remarque : Tout vecteur − v colinéaire à − u est aussi un vecteur directeur de ∆ 3.2 Exemple r Exemple 2 : vecteur directeur R F S. 5 Déterminer un vecteur directeur de la droite (d) d’équation cartésienne 2x − y + 2 = 0 2 * Solution: S- H −5 5 → − On a ici a = 2 et b = donc le vecteur u ; 2 est un vecteur directeur de (d) . 2 2 → → → Le vecteur − v = 2− u est aussi un vecteur directeur de (d) et − v (5; 4). AT .M → Remarque :On peut aussi retrouver les coordonnées de − v 5 en écrivant que 2x − y + 2 = 0 ⇐⇒ 4x − 5y + 4 = 0 2 W W W 4 Déterminer une équation cartésienne 4.1 Méthode • Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite s’il n’est pas donné. −→ Si la droite passe par les points A(xA ; yA ) et B(xb ; yB ), le vecteur AB(xB − xA ; yB − yA ) est un R F . 1. Méthode 1 : Utiliser le critère de colinéarité S → Si la droite ∆ passe par A(x ; y ) et aS pour vecteur directeur − u, H M (x; y) ∈ ∆ T A −−→ − → ⇐⇒ AM et u colinéaires .M −y x =0 ⇐⇒ x y W 2. Méthode 2 : Utiliser W les coordonnées d’un vecteur directeur → Si − u (x ; y W ) est un vecteur directeur de la droite alors on peut choisir a = y vecteur directeur de la droite (AB) • A − → −→ u − AM − → u A − → −→ u − AM − → u − → u → et b = −x− u Pour déterminer le réel c, il suffit d’utiliser les coordonnées d’un point de la droite : A(xA ; yA ) appartient à la droite si et seulement si axA + byA + c = 0 (équation d’inconnue c puisque a, b, xA et yA sont connus) Chapitre 5: Géométrie plane Page 4/8 Maths première S www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite Chapitre 5: équations de droites maths-s.fr - Fiche méthode 4.2 Chapitre 5: équations de droites Exemple : droite définie par deux points r Exemple 3 : Droite définie par deux points www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite âApplication ex 533 * Solution: ( → = xB − xA = −4 − 2 = −6 x− AB → = yB − yA = 5 − (−3) = 8 y− AB −→ donc AB(−6; 8) est un vecteur directeur de (d). 1. R F S. Méthode 1 : Utiliser le critère de colinéarité M (x; y) ∈ (AB) −→ −−→ ⇐⇒ AB et AM colinéaires H → y−−→ − y−→ x−−→ = 0 ⇐⇒ x− AB AM AB AM ⇐⇒ −6(y + 3) − 8(x − 2) = 0 ⇐⇒ −8x − 6y − 2 = 0 S- W AT .M W ⇐⇒ 4x + 3y + 1 = 0 (en divisant W par −2) 4x + 3y + 1 = 0 est une équation cartésienne de (d) 2. Méthode 2 : Utiliser les coordonnées d’un vecteur directeur −→ AB(−6; 8) est un vecteur directeur de la droite, on a alors a = 8 et −b = −6 soit b = 6 donc la droite admet une équation cartésienne de la forme 8x + 6y + c = 0. A ∈ (d) ⇐⇒ 8xA + 6yA + c = 0 ⇐⇒ 16 − 18 + c = 0 R F . S S- H 8x + 6y + 2 = 0 est une équation cartésienne AT de (d) .M Remarque : W 8x + 6y + 2 = 0 ⇐⇒ 4x + 3y + 1 = 0 W W ⇐⇒ c = 2 Chapitre 5: Géométrie plane Page 5/8 Maths première S www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par A(2; −3) et B(−4; 5) maths-s.fr - Fiche méthode 4.3 Chapitre 5: équations de droites Exemple : droite définie un point et un vecteur directeur r Exemple 4 :Droite définie par un point et un vecteur www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite âApplication ex 534 * Solution: M (x; y) ∈ (d) −−→ → ⇐⇒ − u et AM colinéaires R F S. → −→ − y− → −→ = 0 ⇐⇒ x− u y− u x− AM AM S- ⇐⇒ −4(y + 1) − 3(x − 3) = 0 H T −3x − 4y + 5 = 0 est une équation cartésienne de (d). A M Remarque(identique à celle de l’exemple .précédent) − → Wdroite, on a alors a = 3 et −b = −4 soit b = 4 donc la u (−4; 3) est un vecteur directeur de la droite admet une équation cartésienneW de la forme 3x + 4y + c = 0. W A(3; −1) ∈ (d) ⇐⇒ −3x − 4y + 5 = 0 ⇐⇒ 3xA + 4yA + c = 0 ⇐⇒ 9 − 4 + c = 0 ⇐⇒ c = −5 3x + 4y − 5 = 0 est une équation cartésienne de (d) ou bien −3x − 4y + 5 = 0. Droites parallèles 5 5.1 rappel R F . S S- H AT 5.2 Vérifier que deux droites .M sont parallèles W méthode W • Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur de chacune des droites W Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires • Déterminer si ces vecteurs directeurs sont colinéaires r Exemple 5 : Déterminer si deux droites sont parallèles Les droites (d) et (d0 ) d’équations respectives 2x − 4y + 5 = 0 et −3x + 7y + 2 = 0 sont-elles parallèles ? * Solution: Chapitre 5: Géométrie plane Page 6/8 Maths première S www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par A(3; −1) et de vecteur directeur − → u (−4; 3) maths-s.fr - Fiche méthode Chapitre 5: équations de droites − → u (4; 2) est un vecteur directeur de (d). → − v (−7; −3) est un vecteur directeur de (d0 ). → → → → x− u y− v − y− u x− v www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite = 2 6= 0 → → donc − u et − v ne sont pas colinéaires donc (d) et (d0 ) ne sont pas parallèles. Remarque : (d) et d0 ) sont parallèles si les coefficients a et b sont proportionnels aux coefficients R F S. a0 et b0 5.3 S- Déterminer une équation d’une droite parallèle à une droite donnée H T A de la droite donnée. • Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur .M3.3 : Déterminer une équation cartésienne d’une • Utiliser le critère de colinéarité(voir partie W directeur) droite définie par un point et un vecteur W r Exemple 6 : équation d’une W droite parallèle à une droite donnée méthode Déterminer une équation de (d0 ) passant par A(2; −3) et parallèle à (d) d’équation 2x − 4y + 5 = 0. âApplication ex 536 * Solution: − → u (4; 2) est un vecteur directeur de (d0 ). M (x; y) ∈ (d0 ) −−→ → ⇐⇒ − u et AM colinéaires → −→ − y− → −→ = 0 ⇐⇒ x− u y− u x− AM AM R F . S S- H AT ⇐⇒ −2x + 4y + 16 = 0 .M ⇐⇒ −x + 2y + 8 = 0 W cartésienne de (d ) −x + 2y + 8 = 0 est une équation W Autre méthode (voir aussi méthode 2 partie 4.) : W − → ⇐⇒ 4(y + 3) − 2(x − 2) = 0 0 u (4; 2) est un vecteur directeur de la droite (d0 ), on a alors a = 2 et −b = 4 soit b = −4 donc la droite (d0 ) admet une équation cartésienne de la forme 2x − 4y + c = 0. A(2; −3) ∈ (d0 ) ⇐⇒ 2xA − 4yA + c = 0 ⇐⇒ 4 + 12 + c = 0 Chapitre 5: Géométrie plane Page 7/8 Maths première S www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite = 4 × (−3) − 2 × (−7) maths-s.fr - Fiche méthode Chapitre 5: équations de droites ⇐⇒ c = −16 2x − 4y − 16 = 0 est une équation cartésienne de (d) ou bien −x + 2y + 8 = 0 (en divisant par www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite www.maths-s.fr-mathématiques en première S –chap 5 Géométrie plane : Fiche méthode équation de droite −2) R F S. S- H W AT .M W W H AT .M W W R F . S S- W Chapitre 5: Géométrie plane Page 8/8 Maths première S