cours : systèmes d`équations

C HAPITRE 12
C OURS : S YSTÈMES D ’ ÉQUATIONS
Extrait du programme de la classe de Troisième :
C ONTENU
Système de
équations à
inconnues.
deux
deux
Résolution de problèmes du premier
degré ou s’y ramenant.
C OMPÉTENCES EXIGIBLES
C OMMENTAIRES
Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier
degré à deux inconnues admettant
une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique.
Mettre en équation et résoudre un
problème conduisant à une équation, une inéquation ou un système
de deux équations du premier degré.
Pour l’interprétation graphique, on
utilisera la représentation des fonctions affines.
Les problèmes sont issus des différentes parties du programme.
comme en classe de 4e, on dégagera
à chaque fois les différentes étapes
du travail : mise en équation, résolution de l’équation et interprétation
du résultat.
1 Equation à deux inconnues, système
Définition :
Une équation linéaire à deux inconnues x et y est une équation qui peut s’écrire sous la forme
ux + v y = w, où u, v et w sont trois nombres réels.
Un couple (x0 ; y 0 ) de nombres réels sera un couple solution de cette équation si, lorsque l’on remplace x par x0 et y par y 0 , l’égalité est vérifiée.
Par exemple, on considère l’équation 2x − 4y = 4.
ä est
Ï le couple (5; 2)
✓, n’est pas un couple solution de cette équation, car 2 × 5 − 4 × 2 = 2 6= 4
❒
✓ est
❒
Ï le couple (4; 1)
un couple solution de cette équation, car 2 × 4 − 4 × 1 = 4
ä n’est pas
Interprétation graphique des couples solutions :
En fait, si les nombres u et v sont non nuls, une telle équation admet une infinité de couples solutions, qui sont les coordonnées des points de la droite (d ) d’équation y = ax + b, où a = − uv et b = wv .
y
Dans notre exemple,
l’ensemble des couples solutions de l’équation 2x −4y = 4
est donc constitué des coordonnées des points de la
droite (d ) d’équation y = 0, 5x − 1.
Nous pouvons lire quelques couples solutions de l’équation 2x −4y = 4, comme (4; 1) et (−2; −2), ou encore (0; −1)
(voir ci-contre), mais on conçoit qu’il existe une infinité
de tels couples (un pour chaque point de la droite (d )).
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1
O
(4; 1)
x
1
(0; −1)
(d)
(−2; −2)
Cours systèmes
Définition :
Un système de½ deux équations linéaires à deux inconnues x et y est un système qui peut s’écrire
ux + v y = w
sous la forme
où u, v , w, u ′ , v ′ et w ′ sont des nombres réels.
u′x + v ′ y = w ′
Résoudre un tel système consiste à déterminer, s’il y en a, tous les couples qui sont solutions des
deux équations à la fois.
½
2x − 4y = 4
Par exemple,
est un système a deux équations à deux inconnues.
x − 3y = 6
½
ä, est
2×4 − 4×1 = 4
un couple solution de ce système, car
Ï le couple (4; 1)
✓ n’est pas
❒
4 − 3 × 1 = 1 6= 6
½
✓, est
❒
2 × (−6) − 4 × (−4) = 4
un couple solution de ce système, car
Ï le couple (−6; −4)
ä n’est pas
−6 − 3 × (−4) = 6
2 Méthodes de résolution d’un système
Nous allons résoudre par le calcul le système suivant, et ceci de deux manières différentes :
½
2x − 4y = 4
x − 3y = 6
Première méthode : substitution
Etape 1 : On exprime, grâce à l’une des deux équations, une inconnue en
fonction de l’autre. Ici il est facile d’exprimer x en fonction de y grâce à la
seconde équation :
½
2x − 4y = 4
x = 3y + 6
Etape 2 : On substitue x par 3y + 6 dans la première équation :
½
2(3y + 6) − 4y = 4
x = 3y + 6
Etape 3 : On développe, on réduit et on résout l’équation d’inconnue y
ainsi obtenue :
½
6y + 12 − 4y = 4
x = 3y + 6
½
2y + 12 = 4
x = 3y + 6
Etape 4 : On remplace y par sa valeur dans la seconde équation pour trouver x
Etape 5 : On vérifie que les valeurs trouvées pour x et y conviennent :
½
2y = −8
x = 3y + 6
½
y = −4
x = 3y + 6
½
y = −4
x = 3(−4) + 6
½
y = −4
x = −6
½
2 × (−6) − 4 × (−4) = 4
(−6) − 3 × (−4) = 6
Etape 6 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6; −4).
3ème
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Cours systèmes
Deuxième méthode : élimination par combinaison
Etape 1 : On multiplie une des équations (ou les deux) par
un (des) nombre(s) bien choisi(s), de façon que les coefficients
d’une même inconnue soient opposés. Ici on multiplie la seconde équation par −2 :
½
2x − 4y = 4
−2x + 6y = −12
Etape 2 : On additionne les deux équations membre à membre
pour éliminer l’une des inconnues, et on remplace l’une des
équations (par exemple, ici, la seconde) par l’équation ainsi obtenue :
½
2x − 4y = 4
(2x − 4y) + (−2x + 6y) = 4 + (−12)
½
2y − 4y = 4
2y = −8
Etape 3 : On résout l’équation d’inconnue y ainsi obtenue :
½
2x − 4y = 4
y = −4
Etape 4 : On remplace y par sa valeur dans la première équation pour trouver x
½
2x − 4 × (−4) = 4
y = −4
Etape 5 : On résout l’équation d’inconnue x ainsi obtenue :
½
2x = 4 − 16
y = −4
½
2x = −12
y = −4
½
x = −6
y = −4
Etape 6 : On vérifie que les valeurs trouvées pour x et y
conviennent :
½
2 × (−6) − 4 × (−4) = 4
(−6) − 3 × (−4) = 6
Etape 7 : On conclut : le système admet un unique couple solution, qui est (−6; −4).
Interprétation graphique
y
Ï On commence par transformer les deux équations du système, de façon à les mettre sous la
forme d’une équation de droite du type (y = ax +b).
½
½
½
y = 0, 5x − 1
2x − 4y = 4
−4y = −2x + 4
x − 3y = 6
−3y = −x + 6
y = 13 x − 2
1
x = −6
O
1
x
Ï Dans un repère, on trace les deux droites correspondant à ces deux équations.
Soit (d ) la droite d’équation y = 0, 5x − 1,
et (d ′ ) la droite d’équation y = 13 x − 2
les couples solutions de ce système sont les coordonnées des points communs aux deux droites,
s’il y en a.
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(d′ )
y = −4
(d)
Cours systèmes