Chapitre 5 : « Puissances entières d`un nombre »

4ème
2010-2011
Chapitre 5 : « Puissances entières d'un nombre »
I Rappels
1/ Multiplication de relatifs
Exemples
• – 3×– 10 ×1,5=3×15=45
• – 1×6×– 2× – 7=– 84
• – 5×1 ×– 7=35
Règles de signe
• – par – donne 
• – par  donne –
• etc.
Lorsqu'il y a plus de deux facteurs
On compte les facteurs négatifs, s'il y en a un nombre :
• pair, le résultat est positif,
• impair, le résultat est négatif.
2/ Vocabulaire
Un produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les
facteurs.
II Puissances d'un nombre relatif
1/ Activité
Je transmets un mail à deux personnes, ces deux autres personnes transmettent ce même mail
à deux personnes etc.
• 1ère étape : 2
• 2ème étape : 2×2=4
• 3ème étape : 2×2×2=8
• etc.
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Prendre la puissance d'un nombre, c'est le multiplier par lui-même un certain nombre de fois :
• « trois puissance deux » : 3×3=9
• « – 5 puissance deux » : – 5×– 5=25
• « – 2 puissance trois » : – 2× – 2×– 2=– 8
Pour noter « 3 puissance 2 », on écrit 32 : « on multiplie deux fois le nombre trois par luimême » :
• – 42=– 4×– 4 =16
• – 43 =– 4×– 4× – 4= – 64
• 0,12 =0,1×0,1=0,01
2/ À retenir
Définition
a représente un nombre relatif et n un nombre entier.
« a puissance n » s'écrit a n et signifie que l'on va multiplier le nombre a , n fois par luimême.
a n=a×a
××a

n fois le facteur a
Savoir s'exprimer
a n se dit « a puissance n » ou « a exposant n ».
3
a 2 se dit « a au carré » et a se dit « a au cube ».
Exemples
– 53 =– 5×– 5× – 5= – 125
34 =3×3×3×3=3×3×3×3=9×9=81
Remarques
– 24 est positif car on peut regrouper par deux les facteurs :
–
2× – 2×–
2× – 2 =16


=4
=4
116
Donc – 1 =1
Lorsque la puissance est impaire, par exemple dans – 25 , si on regroupe par 2 il reste tou­
jours un facteur négatif qui est seul :
– 25=–
2× – 2×–
2× – 2× – 2=4×4×– 2=– 32


=4
=4
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Propriété
a est un nombre positif et n représente un nombre entier.
n
• Si n est pair alors – a  est positif.
• Si n est impair alors – an est négatif.
Exemples
– 1,0517 est négatif car la puissance 17 est impaire/
4,57 est positif car 4,5 est positif (aucun lien avec la puissance 7 )
– 118 =1
Attention à …
– 4 2= –4×4=– 16 (Attention, la puissance 2 ne concerne que le 4 !)
2
Par contre – 4  =– 4×– 4=16
2×4 ³=2×4×4×4=128
3
2×4 ³=8 =8×8×8=64×8=512
2 ³×4=2×2×2×4=32
Point de calcul mental
A connaître par cœur :
8=23
32=25
125=53
3
2
64=4 =8
2
121=11
0,01=0,1×0,1=0,12 (un dixième fois un dixième donne un centième)
3
– 27= – 3
– 125= – 53
2
– 9= pas possible car – 3 =9 .
Rappel sur les nombres décimaux
Dans 125,9876542 :
• 125 est la partie entière,
• 9 876 542 est la partie décimale,
• 9 est le chiffre des dixièmes, 8 celui des centièmes, 7 celui des millièmes...
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À connaître par cœur :
• 0,1= 1 est un dixième,
10
1
• 0,01=
est un centième,
100
• 0,001= 1 est un millième
1000
• ...
Dans cette idée, il faut savoir que :
• un centième d'euro, c'est un centime,
• un millième de mètre, c'est un millimètre
• ...
III Règles de calcul
1/ Multiplication
Activité
2 3×2 4 correspond à un produit où l'on multiplie le facteur 2 trois fois par lui-même, puis
quatre fois par lui-même. En tout, on le multiplie sept fois par lui-même, donc :
2 3×2 4=27 .
Calcule de même :
• – 36×– 35=– 311
• 513×525=538
• 2,517 ×2,518=2,535
• 34 ×4 7 ne donne rien !
Propriété
a , n et p sont trois nombres. n et p sont deux nombres entiers positifs
a n×a p=a n p
Exemples
• – 57 ×– 45 ×– 511 = – 518× – 45
• 8×216 =23×2 16=219
• 25×– 512 =– 52 ×– 512 =– 514
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Point méthode
Il faut parfois faire une transformation avant d'utiliser cette règle de calcul.
A= – 215×512 ×– 8×125×5
A= – 215×512 ×– 23×53×51 (On a mis les nombres sous la forme d'une puissance)
A=512×53×51 ×– 215× – 23 (On regroupe)
A=516× – 2 18 (On applique la règle de calcul)
Notation
1
5=51 ; – 7=– 7
Attention à …
18
2
21
B=2 ×2 ×2=2 !!!
Encore des exemples (au retour des vacances)
3
4
2
5 =5×5=25 ; – 2 = – 2×– 2× – 2= – 8 ; – 10 =10 000=10 000
2
3
2
2 2 2×2 4 ;
2
2×2×2
8
3
;
=
×
=
=
0,1 =0,001
–
=–
=–
3
3 3 3×3 9
5
5×5×5
125
3
5
8
3
8
11 ;
– 3 ×– 3 =– 3
5 ×5 =5

 
2/ Diviser
Activité
54 5×5×5×5 2 – 36 – 3×– 3×– 3×– 3×– 3×– 3
2
=
=5 ;
=– 3
2
4=
5×5
– 3×– 3×– 3×– 3
5
 – 3
Propriété
a représente un nombre relatif non nul. n et p représente deux nombres entiers tels que
n p .
an
=a n – p
p
a
Exemples
6
8
57 3 6 =65 4 = 41=4 34 34 3
;
;
;
=5
= =3
45
3 31
63
54
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3/ Point méthode : des calculs à savoir refaire
12
8
Comment simplifier l'expression A= 3 ×3 ?
27×34
320
A=
27×3 4
3 20
A= 3 4
3 ×3
320
A= 7
3
13
A=3
4/ Avec des mêmes puissances...
Activité
Peut-on simplifier l'expression 53×73 ? Pourquoi ?
53×73 =5×5×5×7×7×7=5×7×5×7×5×7=5×73=353
On généralise...
Propriété
a et b représentent deux nombres relatifs. n représente un nombre entier positif.
a n×bn =abn
Exemples
– 27 ×157 =– 307 ; – 75×– 85 =565 ; 1,59×69 =9 9
5/ Autre point méthode
A savoir refaire...
7
12
A=5 ×2 ×5
A=512×212
12
A=10
5
B=32×78 ×23
5
8
3
B=2 ×7 ×2
8
8
B=2 ×7
B=148
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2010-2011
Rappels
A connaître presque par cœur :
64=82 ; 64=43 ; 64=26
27=3 3 ; 81=34 ; 81=92
125=53 ; 10 000=104 ; 10 000=1002
0,01=0,12 …
121=112 ; 144=122
IV Avec un exposant négatif
1/ Activité
55 5×5×5×5×5 3
=
=5
5×5
52
54 5×5×5×5 4 – 2 2
=
=5 =5
5×5
52
53 5×5×5 3– 2 1
=
=5 =5
5×5
52
52 5×5 2 – 2 0
=
=5 =5 =1 !
52 5×5
51
5
1
=
=51 – 2=5– 1 =
2
5
5 5×5
0
5
1
1
=
=50 – 2=5 – 2=
2
5×5
5 5×5
–3
De même 5 =
1
...
5×5×5
2/ Définition/Notation
a représente un nombre relatif non nul. n représente un nombre entier positif.
1
a – n = n « – n est l'inverse de n »
a
a
a
Exemples
1
1
10 – 2= 2 =
=0,01 ; 2 – 2 = 1 = 1 =0,25
10 10×10
2×2 4
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3/ Règles de calcul dans le cas général
Activité
2 4 ×2 – 7 =2×2×2×2×
1
2×2×2×2×2×2×2
1
=2 – 3
2×2×2
Puisque 4 – 7= – 3 ou tout simplement 4 – 7= – 3 , il semble qu'on peut généraliser les
règles de calcul lorsqu'il y a des puissances négatives...
On va l'admettre !
2 4 ×2 – 7 =
Des règles de calcul
a représente un nombre relatif non nul. n et p sont des nombres entiers.
a n×a – p =a n – p ; a – n ×a – p=a – n – p ; a – n ×a p =a – n p
Exemples
75 ×7 – 8=75 – 8=7– 3
5 –5 ×5 – 11=5– 16
– 37×– 3– 2 =– 35
82 ×8 – 7×8 4×8– 12 =86 ×8 – 19=8 – 13
Encore des exemples
–6
5
35 −1 ; 3 =3– 6 – 8 =3 – 14 ; 3 =35 – – 2=3 52=37
=3
38
3– 2
36
Point méthode : attention !
7 – 5 « Il faut soustraire les puissances :
– 5–  – 3= – 53= – 2 »
7– 3
–5
Donc 7 – 3 =7 – 2 .
7
V Conduire un calcul
Exemples
• 423 =48=12 ; 5−32 =5−9=−4 ; 3×2 4=3∗16=48
• 32×5 2=3102 =13 2=169
• 2−85−64 =2−8−12 =2 – 8×1=2 – 8= – 6
4ème
2010-2011
Ordre de priorité dans les opérations
• Les parenthèses,
• les puissances,
• les multiplications et divisions,
• les additions et soustractions.
Exemples
A=2 652
A=2 112
A=2×121
A=242
B=19 – 3 2 ×4,2
B=19 – 9×4,2
B=10×4,2
B= 42
VI Remplacer dans une expression littérale
Exemple 1
2
On considère A= – 2× x 2× x – 7 . Calcule A pour x=5
A= – 2×522×5 – 7
A= – 2×2510 – 7
A= – 5010 – 7
A= – 40 – 7
A= – 47
Exemple 2
B= x 4 – 3 x 3 pour x=– 2
B= – 24 – 3× – 23
B=16 – 3×– 8
B=1624
B= 40
Pour mardi 11 janvier
• Contrôle sans calculatrice
• Faire signer les carnets de correspondance
C=2 2 24×22
C=2 2 282
C=2 2×102
C=20 2
C=400