INTÉRÊTS SIMPLES, INTÉRÊTS COMPOSÉS I

INTÉRÊTS SIMPLES, INTÉRÊTS COMPOSÉS
I.
Résoudre un exercice d’intérêts simples :
• Exemple : on place un capital de 8 000 pendant 72 jours au taux annuel de 6,5 %.
Calculer l’intérêt et la valeur acquise à l’issue du placement.
• Méthode : on utilise la formule I = C t n avec :
I : intérêt
C : capital placé
t : taux périodique
n : nombre de périodes
taux annuel
taux annuel
Remarque : n en jours ⇒ t =
n en mois ⇒ t =
360
12
Enfin :
Valeur acquise = Capital + Intérêts
0,065
× 72 = 104 360
Valeur acquise : 8 000 + 104 = 8 104 • Solution :
I = 8 000 ×
II. Comparer deux placements à intérêts simples :
V.A. en Euros
• Exemple : on possède un capital de 1 800 . Deux options de placement sont proposées :
- pas de frais, taux annuel de 5 %
- 40 de frais fixe pris sur le capital, taux annuel de 9 %
Exprimer les valeurs acquises f (x) et g (x) pour chaque option après x jours de placement,
pour x ∈ [ 0 ; 300 ] . Représenter graphiquement. Comparer les placements.
• Solution :
premier placement :
1950
0,05
f (x ) = 1800 + 1800 ×
x
360
1900
f (x ) = 0, 25 x + 1800
1850
deuxième placement :
0,09
1800
g (x ) = 1760 + 1760 ×
x
f(x)
360
1750
g(x)
g (x ) = 0,44 x + 1760
1700
L’abscisse x de l’intersection est donnée par
211
l’équation f ( x ) = g( x ) , c’est-à-dire :
1650
0
50
100 150 200 250 300 350
0,25 x + 1800 = 0,44 x + 1760
Durée en jours
0,44 x − 0,25 x = 1800 − 1760
40
= 210,52 ⇒ x ≈ 211
0,19 x = 40 ⇒ x =
0,19
Conclusion : à partir du 211e jour, le deuxième placement g ( x ) est plus intéressant.
III. Calculer la valeur acquise à intérêts composés
• Exemple : Calculer la valeur acquise d’un capital de 8 000 placé pendant 5 ans au taux
annuel de 6,5 %. En déduire le montant des intérêts. (capitalisation annuelle)
n
• Méthode : on utilise la formule Cn = C0 (1 + i ) avec :
Cn : valeur acquise
C0 : capital placé
i : taux périodique
n : nombre de périodes
5
• Solution :
C5 = 8 000 (1 + 0,065)
C5 = 8 000 × 1,0655 ≈ 10 960,69 •
I = 10 960,69 − 8 000 = 2 960,69 •
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IV. Calculer un taux à intérêts composés :
• Exemple : Un capital de 12 000 est placé pendant 4 ans ; la capitalisation des intérêts est
mensuelle. A l’issue du placement, la valeur acquise se monte à 15 245,87 Calculer le taux mensuel im de l’intérêt.
1
 C n
n
n
C
• Méthode : Cn = C0 (1 + im ) ⇔ n = (1 + im ) ⇔ 1 + im =  n 
C0
 C0 
• Solution : n étant le nombre de mois on a ici n = 4 × 12 = 48.
48
On a l’équation
15 245,87 = 12 000(1+ im )
1
D' où
Ce qui donne
V.
 15 245,87  48
(1 + im ) = 1512245,87
⇒ 1+ im = 

000
 12 000 
1+ im = 1,005 et donc im = 0,005 = 0,5% par mois.
48
Calculer un taux équivalent à intérêts composés :
• Exemple : Un capital C 0 est placé pendant n années, au taux annuel de 4 %.
Calculer le taux équivalent trimestriel it .
n
• Solution : on utilise la formule Cn = C0 (1 + i ) .
Le nombre de trimestres de placement étant égal à 4 × n, on a l’équation :
4n
n
Cn = C0 (1 + i ) = C0 (1 + it )
Soit ici :
D’où :
Cn = C0 (1,04 ) = C0 (1 + it )
n
(1 + i )
t
4n
4n
= (1,04 ) ⇔ (1 + it ) = 1,04
n
4
1
1 + it = (1,04) 4 ≈ 1,00985
it ≈ 0,00985 = 0,985% par trimestre.
4%
Ne pas confondre avec le taux proportionnel qui vaut ici
= 1% par trimestre.
4
Et :
On en déduit
VI. Calculer la durée d’un placement à intérêts composés :
• Exemple : Un capital de 7 000 est placé à un taux annuel de 6 %. La capitalisation des
intérêts est mensuelle. La valeur acquise se monte à 10 642,59 Calculer en mois puis en années, la durée du placement (utiliser les taux proportionnels).
• Méthode : on part de la formule des intérêts composés
C
ln n
C
C
C
C0
n
n
n
Cn = C0 (1 + i ) ⇔ (1 + i ) = n ⇔ ln(1 + i ) = ln n ⇔ n ln(1 + i ) = ln n ⇔ n =
ln(1 + i )
C0
C0
C0
6 % 0,06
• Solution : le taux mensuel proportionnel vaut
=
= 0,005
12
12
n
Ici on a l’équation :
10 642,59 = 7 000(1+ 0,005)
10 642,59
(1+ 0,005) n =
D’où :
7 000
10 642,59
10 642,59
n
On passe en logarithmes :
ln(1+ 0,005) = ln
⇒ n ln(1,005) = ln
7 000
7 000
10 642,59
ln
ln(10642,59 ) − ln( 7000)
7 000
D' où
n=
=
⇒ n = 84 mois, soit 7 années.
ln(1,005)
ln(1,005)
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