Calculs financiers

Calculs financiers
Auteur : Philippe GILLET
Le taux d’intérêt
• Pour l’emprunteur qui ne dispose pas des fonds
nécessaires, il représente le prix à payer pour une
consommation immédiate.
• Pour le prêteur, il représente le prix encaissé pour
l’acceptation d’un report de consommation.
• Il varie avec :
– La durée de l’emprunt
• Plus la durée est longue, plus le taux est élevé.
– Le risque de non remboursement
• Plus le prêt est risqué, plus le taux est elevé
– Accessoirement, d’autres facteurs :
• La liquidité sur les marchés
• La
personnalité
du
préteur
et
de
l’emprunteur
(particulier/entreprise, prêt immobilier/prêt à la consommation,
escompte/prêt à long terme, prêt bancaire/appel au marchés
etc…)
Le niveau des taux d’intérêt
• Les taux à court terme sont fixés sur le marché
monétaire.
– Influencé par les banques centrales (BCE pour la zone euro), qui
fixe une fourchette entre lesquels les taux à court terme vont
varier : les taux directeurs
• Le taux de dépôt
• Le taux de l’opération principale de refinancement
• Le taux de facilité de prêt marginal
– Selon la loi de l’offre et de la demande, sur le marché
interbancaire, entre les banques de second rang.
• Les taux à long terme sont fixés sur les marchés
obligataires
– Par la loi de l’offre et de la demande de liquidités
– Sans intervention directe de la Banque centrale
– Il existe évidemment une relation indirecte entre taux à court
terme et taux à long terme.
Les composants du taux d’intérêt
Deux composantes du taux d’intérêt
La rémunération du
temps
¾ Renonciation à la
consommation
¾ Varie avec la durée de
la renonciation
Taux sans risque
La rémunération du
risque
Le risque de non
remboursement dépend :
¾ De la qualité de la signature ;
cf. la notation
¾ De l’échéance du
remboursement ; cf. la
courbe des taux
Prime de risque
La courbe de la structure par termes des taux d’intérêt
7
6
Taux
5
4
3
2
1
0
Maturité
Les taux d’intérêt au 17/03/2000
Taux 3 mois
Taux 10 ans
Taux 30 ans
3,47%
5,35%
5,67%
Intérêts simples et intérêts
composés
• Un placement est dit à intérêts SIMPLES
lorsque les flux provenant du placement ne sont
pas replacés et ne portent pas eux-mêmes
intérêt. Les intérêts simples sont calculés sur le
capital initial et versés périodiquement.
• Un placement est dit à intérêts COMPOSES
lorsque les flux provenant du placement sont
eux-mêmes replacés et portent intérêts. Les
intérêts composés sont ajoutés au capital initial
et portent intérêts à partir de leur capitalisation.
ST = S0 (1
+ i)(1+
K4
(1 4
+3
i) = S0 (1 + i )T
14
442i)4
T fois
capitalisation
• La capitalisation est l’opération qui
consiste à calculer la valeur future d’une
somme C0 placée un taux d’intérêt i durant
n périodes.
t0
t1
Capitalisation à intérêts simples et
composés
• Intérêts simples
Périod
e
1
2
n
Début
de
périod
e
Intérêt
C0
C0.i
C0
C0
C0.i
C0.i
Fin de
période
Intérêt
versé
C0 +
C0.i
C0i
C0 +
C0.i
C0i
C0 +
C0i
Soit, au bout de n périodesC:0.i
Cn = C0 + n.C0i = C0.(1 +n.i)
• Intérêts
de Intérêt
Pér Début
composés
Fin de
période
Intérêt
versé
iod
e
période
1
C0
C0.i
C0 + C0.i
= C0 (1+i)
0
2
C0 (1+i)
[C0 (1+i)].i
C0 (1+i)2
0
C0 (1+i)n-
[C0 (1+i)n-
C0 ((1+i)n
0
n
1
1]i
Soit, au bout de n périodes :
Cn = C0.[(1 + i).(1 + i)… (1 + i)]=C0.(1 +i)n
n fois
L’actualisation
• L’actualisation est l’opération qui consiste
à calculer la valeur actuelle C0 d’une
somme Cn susceptible d’être placée un
taux d’intérêt i durant n périodes.
t0
t1
t2
Actualisation à intérêts simples et à
intérêts composés
• Intérêts simples
• Intérêts
composés
Cn
Cn
−n
−1 C =
=
C
.(
1
+
i
)
C0 =
= C n .(1 + n.i )
n
0
n
(1 + i )
(1 + n.i )
Taux proportionnel et taux équivalent
• taux d’intérêt proportionnel : le taux proportionnel
correspond au prorata temporis du taux de la période de
référence.
Si i est le taux pour la période de référence (annuel) et ip le
taux proportionnel pour une période p fois plus petite, ip =
i.1/p
• Taux d’intérêt équivalent :Le taux équivalent est le taux
qui, pour une période de placement différente de la période
de référence, va permettre de retrouver le même montant
d'intérêt au terme de cette période de référence à intérêts
composés.
1 / kune
k
k équivalent pour
le
taux
Soit
i ile
taux
de
référence
et
i
k
1
+
i
=
(
1
+
i
)
C
(
1
+
)
=
C
(
1
+
i
)
(1 +: i ) = (1 + ik )
k
k petite
0
0 plus
période
k fois
ik = (1 + i )1/ k − 1
Quelques évidences…
• Pour des périodes infra-annuelles, (périodes de calculs
inférieures à la période de référence, le taux proportionnel est
systématiquement inférieur au taux équivalent correspondant.
• Pour des temps de placement composés de plusieurs
périodes, un placement à intérêts simples procurera un gain
inférieur à un placement à intérêts composés.
• Le taux proportionnel correspond à l’intérêt simple, le taux
équivalent correspond à l’intérêt composé.
• Les intérêts simples vont être utilisés dans deux cas :
– Un placement à versement périodique d’intérêt
• SICAV de répartition
– Dans le cas ou on place une certaine somme sur une période
inférieure à sa période de référence
• On place pour six mois une somme dans un produit financier dont l’intérêt
est versé annuellement (obligation par exemple)
• Les intérêts composés vont être utilisés dans tous les autres
cas
– Dans le cas d’opérations de prêt/emprunt sur plusieurs périodes.
• Emprunt bancaire obligataire
Les nombres de jours entre chaque
date, usages bancaires
• On calcule généralement les taux proportionnels en
jours, sur une base de 360 jours (année commerciale).
• La base de 360 jours va être utilisée dans le monde
bancaire, et sur le marché monétaire.
• Sur le marché obligataire et le marché à long terme en
général, on utilise des années de 365, voire 366 jours en
cas d’année bissextile.
• Les taux sont généralement exprimés en terme annuel.
Néanmoins, dans certains cas, la période de référence
n’est pas l’année.
– Ex : Livret de caisse d’épargne : 15 jours
• Pour trouver le nombre de jours entre 2 dates, il suffit de
soustraire la date de début de la date de fin. Attention
aux erreurs si vous démarrez votre calcul à partir de la
période 1.
(
)(
)
K 1− i pré n 360 1+ i post n 360 = K
Intérêts précomptés et intérêts
postcomptés
• Les taux d’intérêts sont dits précomptés lorsque l’intérêt est
versé en début de période.
– Escompte
– Aux Etats-Unis, c’est le cas général
– Monde obligataire : c’est la « méthode hongroise »
• Les taux d’intérêts sont dits postcomptés lorsque l’intérêt
est versé en fin de période
– En Europe, pour les principaux crédits bancaires
– Cas général dans le monde obligataire.
• Le coût des intérêts précomptés est supérieur au coût des
intérêts postcomptés.
Pour passer de l’un à l’autre, on fait :
C 0 (1 − i pré ).( 1 + i post ) = C 0 d' où i post =
i pré
(1 − i pré )
i post =
„Pour des périodes infra-annuelles :
i pré
(1 − i pré .
n
)
360
Monnaie
Fonction capitalisation
Temps
•
•
•
Il s’agit d’une fonction convexe
En réalité, il s’agit d’un ensemble de segments de droites, reliés à la
courbe seulement lors des versements de dividendes et approximés
par une droite.
Pour que la fonction soit une courbe, il faudrait accepter le principe
d’une capitalisation en continu : Cn = C0 . ein
in ⎞
⎛
ST + n = S .(1 + i )T ⎜1 +
⎟
⎝ 360 ⎠
Cas particulier des périodes non
entières
• Que se passe-t-il si
l’on
place
une
certaine somme sur
un nombre non entier
de périodes ? ex : 3
ans et 4 mois ?
– On utilise les intérêts
composés pour le
nombre entier de
périodes
et
les
intérêts simples pour
la partie non entière :
Cn+ f
n⎛
i. f ⎞
= C0 .(1 + i ) ⎜1 +
⎟
⎝ 360 ⎠
Valeur acquise
Intérêts
composés
unan
temps
Les suites d’annuités
• Une suite d'annuités est une suite de
sommes, identiques, placées (ou reçues)
à intervalles réguliers en début d'une
période , pour une durée définie à l’avance
et pour un taux constant.
a
a
i
a
i
a
i
a
i
a
i
a
i
a
i
a
i
a
i
a
i
a (?)
i
?
Les suites d’annuités
périod Début de période
e
1
a
Fin de période
2
a(1+i)2+a(1+i)
a(1+i)+a
a(1+i)
a(1+i)2+a(1+i)
a(1+i)3+a(1+i)2+a(1+i)
a(1+i)na(1+i)n+…a(1+i)2+a(1+i)
1+…a(1+i)2+a(1+i)+a
a(1+i)n+…a(1+i)2+a(1+i) = a[(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…(1+i)n]
3
n
Suite géométrique de n termes et de raison (1+i)
⎡ (1 + i ) n − 1 ⎤
⎡1 − (1 + i ) n ⎤
⎡1 − (1 + i ) n ⎤
1− qn
S n = a.
= a.⎢
⎥
⎥ = a.⎢
⎥ = a.⎢
1− q
i
⎥⎦
⎢⎣
⎢⎣ 1 − 1 − i ⎥⎦
⎢⎣ 1 − (1 + i ) ⎥⎦
Les suites d’annuités
• Valeur acquise
d’une suite
d’annuité :
⎡ (1 + i ) n − 1 ⎤
S n = a.⎢
⎥
i
⎢⎣
⎥⎦
• Valeur actuelle
d’une suite
d’annuité :
⎡1 − (1 + i ) − n ⎤
S n = a.⎢
⎥
i
⎢⎣
⎥⎦
„Les annuités sont égales durant toute la période
„Le taux d’intérêt i est constant sur toute la période.