Cours CH VII Les intérêts simples NII

CH VII Les intérêts simples
I)
Capital, intérêts, valeur acquise :
Un capital est une somme d’argent qui rapporte un loyer que l’on appelle intérêts. Un
capital peut être placé ou emprunté. L’intérêt est proportionnel au capital, il dépend du
taux d’intérêts et de la durée de placement. L’intérêt est simple s’il est calculé sur le
capital pendant toute la durée du prêt ou du placement. La valeur acquise par un capital
est la somme du capital et des intérêts.
Exemple : Un capital de 8 000,00 € est placé sur un compte épargne. Au bout de 6 mois
l’intérêt versé est de 120,00 €. Calculer le taux d’intérêt annuel de ce placement.
En un an le capital aurait ramené 120 x 2 = 240,00 €
240
Soit un taux de placement =
x 100 = 3 soit 3 %
8000
II)
Intérêts simples :
1) Calcul de l’intérêt simple :
L’intérêt simple I est proportionnel :
- au capital placé C.
- au taux d’intérêt périodique t.
- à la durée de placement (nombre de périodes) n.
I = C.t.n
2) Le taux périodique :
Le taux périodique peut être défini sur une période comptabilisée en années, en
semestres, en trimestres, en mois, en quinzaines et en jours.
tannuel = intérêt rapporté par 1 € placé pendant 1 an.
t
t
t
t
t
tsem = annuel ; ttrim = annuel ; tmens = annuel ; tquinz = annuel ; tjour = annuel
2
4
12
24
360
Remarque : une année commerciale comporte 360 jours, un mois commercial comporte 30
jours.
Exercice corrigé :
Calculer l’intérêt produit pendant 9 mois pour un capital de 2 000,00 € placé à 6 % l’an.
On utilise la relation I = Ctn
C = 2 000,00 €
t est ici le taux mensuel, il faudra donc diviser le taux annuel par 12
et par 100 puisqu’il est donné en pourcentage n = 9
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6
x 9 = 90,00 €
1 200
Exercice : Un capital de 5 600,00 € est placé pendant 33 quinzaines à un taux annuel de
4,75 %. Calculer le montant des intérêts produits.
I = 2 000 x
Exercice : Calculer l’intérêt produit par un capital de 4 500,00 € placé pendant 20 mois
au taux annuel de 4,5 %
3) Calcul du nombre de jours de placement :
Lorsqu'un placement s'effectue pour une période exprimée en jours, les intérêts ne
commencent à courir que le lendemain.
Exemple : Calculons le nombre de jours de placement pour une période allant du 12 mars
au 17 juillet
Mars 31 – 12 =
19 j ( en effet le placement ne commence que le 13)
Avril
30 j
Mai
31 j
Juin
30 j
Juillet
17 j
___________
Total
127 j
Exercice : Calculer la valeur acquise par un capital de 750,00 € placé du 7 mars au 18
août au taux annuel de 4%.
III)
Transformation de la formule I = Ctn :
1) Calcul de la durée de placement :
Exemple : Calculer le nombre de jours de placement d’un capital de 6 500,00 € qui a
rapporté 130,00 € au taux annuel de 4,8 %.
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I = Ctn
n=
130 = 6 500 x
4,8
xn
36 000
130 x 36 000
= 150 j.
6 500 x 4,8
Exercice : Un capital de 6 000,00 € placé à 5 % l’an rapporte 100,00 € d’intérêts.
Calculer le nombre de mois de placement.
2) Calcul du capital placé :
Exemple : Une somme prêtée pendant 3 mois au taux de 6 % l’an rapporte 150,00 €
d’intérêts. Calculer le capital prêté.
6x3
I = Ctn
150 = C x
1 200
150 x 1 200
C=
= 10 000,00 €
6x 3
Exercice : Le montant des intérêts produits par un capital placé au taux annuel de 4 %
pendant 16 quinzaines est 178,00 €. Calculer le montant du capital placé.
3) Calcul du taux d’intérêts :
Exemple : Un capital de 5 000,00 € placé pendant 4 mois rapporte 60,00 € d’intérêts.
Calculer le taux annuel de placement.
4
I = Ctn
60 = 5 000 x t x
1 200
60 x 1 200
t=
= 3,6 soit un taux annuel de 3,6 %.
5 000 x 4
Exercice : Un capital de 7 280,00 € placé durant 5 mois produit 1 45,60 € d’intérêts.
Calculer le taux annuel de placement.
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IV)
Représentation graphique :
Intérêts (€)
Valeur acquise (€)
0
0
0
0
Durée de placement
Durée de placement
L’intérêt simple est une fonction linéaire de
la durée de placement. Elle est représentée
par une droite passant par l’origine du
repère.
La valeur acquise est une fonction affine de
la durée de placement. Elle est représentée
par une droite ne passant pas par l’origine
du repère.
Exercice : Un capital de 20 000,00 € est placé au taux mensuel de 0,8 %.
a) Trouver la relation qui donne l’intérêt en fonction de la durée de placement exprimée
en mois.
b) Tracer la représentation graphique de la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 12] par :
n à 160n
Abscisse : 1 cm pour 2 mois.
Ordonnée : 1 cm pour 400,00 €.
Intérêts (€)
2400
2000
1600
1200
800
400
0
0
V)
2
4
6
8
10
12
14
Nombre de mois
Taux moyen de placement :
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Le taux moyen de plusieurs placements est le taux unique auquel il aurait fallu placer les
capitaux pendant les mêmes durées, pour obtenir le même intérêt total.
Exemple : Soient les 2 placements suivants :
• 4 000,00 € pendant 3 mois à 6 % l’an.
• 1 000,00 € pendant 6 mois à 3 % l’an.
Calculer l’intérêt produit par les 2 placements.
4 000 x 6 x 3 1 000 x 3 x 6
I = C1t1n1 + C2t2n2 =
+
= 60 + 15 = 75,00 €
1 200
1 200
Ensemble les 2 capitaux 4 000 + 1 000 = 5 000,00 € ont rapporté 75,00 €.
Calculer le taux moyen de placement annuel.
3
6
I = C1tn1 + C2tn2
75 = 4 000 x t x
+ 1 000 x t x
1 200
1 200
75 = 10t + 5t = 15t
75
t=
= 5 soit un taux moyen de placement de 5 % l’an.
15
Exercice : Déterminer le taux moyen des placements suivants (arrondir au centième) :
• 3 600,00 € à 4,5 % l’an pendant 6 mois.
•
4 800,00 € à 3 % l’an pendant 5 mois.
•
5 200,00 € à 6 % l’an pendant 3 mois.
Exercice : Soient 2 capitaux A et B dont les montants respectifs sont 4 000,00 € et
5 000,00 €. Le capital A est placé à un taux de 4,5 % l’an du 9 octobre au 12 février.
Le taux annuel du capital B est 6 %. La somme des intérêts produits par les 2 capitaux,
au terme de leur placement, est 135,50 €.
Calculer :
- le montant des intérêts produits par chacun des 2 capitaux.
- la durée de placement du capital B.
Déterminer la date de placement du capital B si son retrait s’est effectué le 18 janvier.
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