Intérêts composés

Intérêts composés - Amortissements
Objectif : - Etudier et calculer les éléments d’un placement à intérêts composés.
- Effectuer un tableau d’amortissement.
I - Approche :
Examinons la publicité suivante :
A la fin de chaque année, l’intérêt de l’année est incorporé au capital pour le calcul de l’intérêt de
l’année suivante.
Capital au début de
l’année
1ère année
Intérêt annuel
Valeur acquise, à la
fin de l’année
10 000
2ème année
3ème année
On dit que l’on capitalise les intérêts, c’est à dire que l’on ajoute l’intérêt au capital à la fin de
chaque année.
Autre exemple :
Une voiture perd chaque année une partie de sa valeur ; il en est de même pour certains
biens immobilisés dans les entreprises ( machines, équipement de bureau, .... ). L’amortissement par
dépréciation est la constatation de la diminution de la valeur de ces biens.
Les calculs sur les intérêts composés et les amortissements reposent sur le même outil
mathématique : les suites.
II - Valeur acquise par un capital placé à intérêts composés :
Le graphique ci-dessous représente l’évolution dans le temps des valeurs acquises d’un capital de
1 000 F, placé à 13% l’an à intérêts simples et à intérêts composés.
A - En utilisant la technique de l’approche,
calculer à intérêts composés les valeurs
acquises à la fin de chacune des 4 premières
années. Vérifier sur le graphique les résultats
obtenus .
Années
1
2
3
4
Capital
(F)
Intérêt
(F)
Valeur
acquise
(F)
b - Calculer la valeur acquise à intérêts
simples après 4 ans de placement.
c - Quelle est la différence avec la valeur acquise trouvée à intérêts composés pour la même période ?
d - Déduire du graphique le nombre d’années de placement nécessaire pour que la valeur acquise soit le
double du capital :
n à intérêts simples :
n à intérêts composés :
Remarque : Chaque année, la valeur acquise en fin d’année est obtenue en augmentant le capital de
13%, c’est à dire en le multipliant par :
D’une manière générale : Soit :
C : Capital en F ; n : durée du placement ; t : taux d’intérêt
A : Valeur acquise obtenue à la fin du placement
Périodes
Capital au
début de la
période . C
Intérêt à la fin
de la période
Valeur acquise à la fin de la période
A
1
2
3
4
......
Nous constatons que les valeurs acquise constituent une suite géométrique :
- de premier terme :
- de raison :
RETENONS : * La valeur acquise à la fin de la n
ième
période d’un capital placé au taux t est :
A = C(1+t)n
* Pour obtenir l’intérêt, il suffit de retrancher le capital de la valeur acquise :
I = A - C
Ce calcul s’effectue à la calculatrice :
C
×
1+t
yx
n
=
A
III - Exercices :
1° - a - Calculer la valeur acquise d’un capital de 25 000 F placé pendant 7 ans à un taux égal à 4,5% .
b - En déduire l’intérêt acquis pendant cette période.
2° - a - Calculer la valeur acquise par un capital de 14 000 F, placé à 8% par an pendant 6 ans à intérêts
composés.
b - En déduire l’intérêt acquis pendant cette période .
IV –Taux proportionnel – Taux équivalents :
1° - Approche :
Les taux d’intérêts sont presque toujours donnés pour une période annuelle, même si la période de
capitalisation est différente.
Ex : Une banque propose à ses clients un placement au taux annuel de 8% avec une capitalisation
mensuelle des intérêts. On place 25 000 F pendant 2 ans. Pour un taux annuel de 8% :
- le taux semestriel est : 8 = 4 donc i’= 0,04
2
- le taux trimestriel est : 8 = 2 donc i’= 0,02
4
- le taux mensuel est : 8 = 0,667 donc i’= 0,0067
12
2° - Taux proportionnel :
ik =
i
k
i : taux annuel
k : nbre de période dans l’année
3° - Applications :
a – Calculer la valeur acquise par un capital de 25 000 F placés à intérêts composés pendant 2 ans au taux
annuel de 8%.
b –Calculer la valeur acquise par un capital de 25 000 F placés à intérêts composés pendant 2 ans au taux
trimestriel de 2%.
c – Que constate-t-on ?
d– Quel taux trimestriel faut- il employer pour que les valeurs acquises soient égales ?
3° - Taux équivalents :
a – Définition :
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
k
b – Calcul du taux équivalent ik : ( 1 + ik ) = 1 + i
ou
ik
= k 1+ i - 1
c – Exemple : Considérons le taux annuel de 9% :
-
le taux mensuel proportionnel est : ……………………………………………………...
-
le taux équivalent est : …………………………………………………………………...
4° - Taux effectif global ( T.E.G. ) :
Pour les prêts, le taux effectif global ( T.E.G. ) tient compte des frais ( dossiers, assurances, …. ) c’est le
taux proportionnel.
Exemple : Si le taux mensuel est de 1,5%, le TEG est de : ……………………………. soit ……...………
Si le taux trimestriel est de 3,5%, le TEG est de : ………………………….. soit ………………
IV - Recherche du capital initial :
1° - Calcul du capital :
n
A = C ( 1+t ) ð
ð
RETENONS : Calcul initial placé :
C = A(1+t)
-n
A la calculatrice :
A
×
1+t
yx
n
+/-
=
C
V - Exercices :
1 - Quelle somme faut- il placer à intérêts composés au taux annuel de 7,5% pour obtenir dans 3 ans, un
capital de 50 000 F ( Capital initial et intérêts réunis ).
2 - Calculer le capital, qui placé à intérêts composés à 6% par an pendant 5 ans, donne une valeur acquise
de 3 345,57 F.
3 - Calculer le capital, qui, placé à intérêts composés à :
n 6% pendant 4 ans donne une valeur acquise de 3 787,43 F.
n 10% pendant 5 ans donne une valeur acquise de 56 367,85 F.
4 – Votre banque prélève un intérêt sur votre découvert bancaire au TEG de 18%. Pendant 1 mois il vous
a manqué 3 000 F ; calculez le montant des intérêts prélevés sur votre compte.
5 – Un capital de 55 000 F est placé pendant 5 ans. La capitalisation des intérêts est trimestrielle, le total
des intérêts perçus est 35 123,90F.
a – Calculez le taux trimestriel d’intérêt.
b – Calculez le TEG.
c – Calculez le taux annuel équivalent.
V - Amortissement :
( constant ou linéaire )
1° - Généralités :
Dans un amortissement linéaire, les annuités d’amortissement sont égales.
La valeur comptable nette est la différence entre la valeur d’origine hors taxe du bien, et le total des
amortissements déjà pratiqués.
2° - Activité :
Un ordinateur acheté 80 000 F H.T. en Janvier 1991, est amortissable sur 5 ans ( t=....... de la
valeur d’origine ) . Compléter le tableau d’amortissement.
Années
Base de calcul ( F )
Annuité
d’amortissement ( F )
Valeur nette comptable
(F)
1991
1992
1993
1994
1995
80 000
.............
.............
.............
.............
16 000
.............
..............
.............
.............
...............
...............
...............
...............
................
Remarque : Les valeurs comptables nettes successives forment uns suite arithmétique décroissante
( r = ..................... ) .
3° - Exercices :
a - Un matériel est amortissable sur 4 ans par amortissement linéaire. Sachant que l’annuité
d’amortissement s’élève à 12 800 F :
n Calculer la valeur d’acquisition du matériel.
n Dresser le tableau d’amortissement.
n Déterminer le taux d’amortissement linéaire .
b - Pour 4 amortissements linéaires, compléter les renseignements manquants.
valeur d’acquisition
Nbre d’années
Annuités ( F )
taux
1
40 000
8
............
.......
2
60 000
........
15 000
........
3
70 000
.........
..........
10%
4
.........
..........
3 000
20%