Fractions

4
Fractions
Dans ce chapitre, on apprendra à :
• Repérer des fractions sur une demi-droite graduée.
• Identifier une fraction comme le quotient de deux nombres entiers.
• Reconnaître que deux fractions peuvent désigner un même nombre.
• Calculer une fraction donnée d’une quantité.
Pour s’y remettre
Pour chaque question, trouve la (ou les) bonne(s) réponse(s) et explique ton choix.
Cadran solaire.
C
Réponse B
Réponse C
1 Lorsqu’on partage l’unité en
deux parties égales, les parties
obtenues s’appellent…
des demis
des tiers
des quarts
2 Pour obtenir des quarts,
on partage équitablement
l’unité en…
3 parties
4 parties
5 parties
3 Par rapport
à la surface totale,
la surface colorée
représente…
1
3
1
2
1
4
4 Par rapport
à la surface
totale,
la surface
colorée
représente…
7
8
1
1
8
Cronos, Bob Lescaux (1928).
n du c
o
i
s
s
e
L’expr
’est une préoccupation très ancienne des hommes que de se repérer
dans le temps et de le fractionner. Il y a plus de 4 000 ans que les Égyptiens
ont partagé la journée en douze périodes.
Le premier instrument de mesure du temps fut le cadran solaire. Il partageait
la journée (c’est-à-dire le temps pendant lequel il faisait jour) en douze parts.
La durée de ces parties changeait avec les saisons : l’été, les journées plus longues
étaient divisées en douze parts d’une durée supérieure aux douze parts d’une journée
d’hiver. Ce n’est que plus tard que les heures, toutes de même durée, ont servi
à « fractionner » les journées en douze parts de même durée tout au long de l’année.
66
Réponse A
5 La fraction
11
est…
3
comprise
entre 0 et 1
6 La fraction
17
est…
5
comprise entre
3 et 4
hapitre
« Une fraction
de seconde. »
3
4
1
2
comprise
entre 3 et 4
égale à 3 3
4
comprise
entre 11 et 12
2
5
égale à
9
5
8
5
7 Si la longueur d’un
7
de
4
la longueur d’un segment [AB],
alors le segment [CD] est…
segment [CD] vaut
plus court que
le segment [AB]
plus long que
le segment [AB]
de la même
longueur que le
segment [AB]
5• Division 67
Activités
Activités
10 cm
1 cm
Pour les activités 1 et 2, reproduis 6 bandes
de papier identiques correspondant
au modèle ci-contre et découpe-les.
1 Des nombres pour mesurer et pour construire
4 Quel est le résultat exact de la division 7 ÷ 3 ?
1. Que penses-tu des résultats proposés par Marie et par Khalil pour la division 7 3 ?
Te semblent-ils corrects ?
Réponse de Marie
C
Cette
bande de papier va nous permettre de construire des segments. Elle sera notre unité
de longueur ; on l’appellera bande-unité. À l’aide de cette bande, par pliage, construis :
a. un segment [AB] qui mesure la moitié de l’unité ;
b. un segment [CD] de longueur 3 d’unité, puis un segment [EF] de longueur 11 d’unité.
4
8
7
1 0
1 0
1
3
2 , 33
2 Des partages élaborés
2
JJulien souhaite construire un segment de longueur d’unité.
7
1. En combien de parts égales doit-il partager sa bande-unité ? Peut-on le faire par pliage ?
Julien n’arrive pas à le faire par pliage ; alors il utilise l’outil suivant.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2, 3 3
3
6, 9 9
Il faut continuer la division.
Réponse de Khalil
Petite astuce :
utilise la pointe de
ton compas pour fixer
le coin de la bande
sur la ligne 0 !
J’ai pris ma calculatrice
J’ai vérifié
2, 3 3 3 3 3 3 3 3
3
6, 9 9 9 9 9 9 9 9
C’est presque 7.
2. Khalil dit qu’il a réussi à partager équitablement 7 bandes-unité entre 3 personnes.
2. Décris l’outil de Julien. Comment a-t-il placé sa bande-unité pour la partager en 7 parts
identiques ? (Il construit ainsi une bande des septièmes.)
3. Fabrique toi aussi une bande des septièmes, puis une des tiers et une des cinquièmes.
3 Différentes écritures d’un même nombre
1. Quels nombres sont alignés verticalement sur les 3 règles graduées ci-dessous ?
Pourquoi sont-ils alignés ainsi ?
0
1–
2
2–
4
1
1
2
1
5–
4
6–
4
2
15
——
10
…
2. Recopie et complète ces égalités : a. 1 2 10
5
——
10
3–
4
3–
2
2
0 ——
1
10
1–
4
Fais un croquis sur ton cahier pour représenter son partage.
Que reçoit chacune des trois personnes ?
7
3. Le résultat exact de la division 7 3 est une fraction qui s’écrit .
3
Recopie et complète :
7
7 7 7 …
7
a. … …
b. 2 …
3
3 3 3 …
3
5 Prendre une fraction d’une quantité
1. Reproduis le rectangle ci-contre, puis colorie
7–
4
0
68
Vérification :
b.
5–
2
9–
4
3
10
——
4
11
——
4
3
25
——
10
3
2
…
4
c.
3
5
2
10
…
3
de sa surface.
4
2. Les 2 d’un groupe de 35 personnes jouent fréquemment au Loto.
7
a. Fais un schéma pour représenter cette situation.
b. Trouve deux méthodes pour calculer le nombre de personnes qui jouent souvent au Loto
dans ce groupe.
3. Recopie et complète la méthode ci-dessous.
4
de 75 €, on peut ……… 75 par 5 ; puis on ……… le résultat par 4.
Pour calculer les
5
les
4• Fractions 69
Savoir
Savoir faire
Identifier une fraction à partir d’un partage
1 Différents partages de l’unité
Les nombres entiers ne suffisent pas toujours pour mesurer.
Il est parfois nécessaire de partager équitablement l’unité.
Énoncé : Chloé a tracé un segment [AB] sur
Vocabulaire
Une fraction permet de décrire le partage équitable d’une ou de plusieurs unités.
Exemples :
1
se lit « un demi » : c’est l’unité partagée en deux parties égales
2
et on prend une de ces parties.
Se repérer sur une demi-droite graduée
Énoncé :
O
Remarque : Une unité, c’est donc deux demis, mais aussi quatre quarts ou six sixièmes.
5 contient 4 quarts
La fraction —
4
(ou 1 unité) et encore 1 quart
Bande-unité partagée en 4 quarts
2 Demi-droite graduée
unité
unité
À MON TOUR !
unité
1–
1
A
2
3
3
L’unité est la longueur du segment reliant les points d’abscisse 0 et d’abscisse 1.
Ici, on a partagé l’unité en trois parties égales : chaque graduation représente un tiers
d’unité.
5
2
Le point A a pour abscisse , c’est-à-dire aussi 1 .
3
3
3
6
Sur cette « demi-droite graduée des tiers », le nombre 1 apparaît égal à , le nombre 2 à
3
3
et ainsi de suite pour tous les nombres entiers.
1
0
70
1
2
2. Préciser l’abscisse du point C.
l’origine O et le point I d’abscisse 1.
L’unité est partagée en 8 parts égales : chaque graduation représente donc 1 de l’unité.
8
Du point O au point A, on compte 3 graduations : l’abscisse du point A est donc 3 .
8
2. L’unité est la longueur du segment compris entre les points d’abscisse 1 et d’abscisse 2.
L’unité est partagée en 4 parts égales : chaque graduation représente donc 1 de l’unité.
4
3
Du point d’abscisse 1 au point C, on compte 3 graduations, soit d’unité.
4
7
3
4
De 0 à 1, il y a 1 unité ou . Au total, l’abscisse du point C est 1 ou .
4
4
4
Remarque : Une fraction peut être supérieure à l’unité.
Bande-unité partagée en 4 quarts
2
1. On commence par repérer l’unité : il s’agit de la longueur du segment compris entre
5 est le numérateur
5
8 est le dénominateur (le dénominateur n’est jamais 0)
8
Lorsque le dénominateur est 10 ou 100 ou 1000, on dit que c’est une fraction décimale.
1
—
4
C
1
1. Préciser l’abscisse du point A.
Pour la fraction
4
—
4
I
A
0
Vocabulaire
●
B
On constate que le segment [AB] est partagé en 6 parts identiques :
1
chaque part représente un sixième d’unité, noté .
6
On compte ensuite le nombre de parts rouges : il y en a 5.
5
1
Donc la partie rouge représente 5 , c’est-à-dire du segment [AB].
6
6
Si on partage
l’unité en 6 parties
égales, les parties
obtenues s’appellent
des sixièmes !
3
se lit « trois quarts » : c’est l’unité partagée en quatre parties égales
4
et on prend trois de ces parties.
●
A
son cahier. Quelle fraction du segment [AB]
a-t-elle colorée en rouge ?
A
3
B
M
N
Lire les abscisses des points G et H.
G
H
1
Quelle fraction de la distance AB la distance
MN représente-t-elle ?
2
O
0
Lire les abscisses des points A, B et C.
A
I
1
B
C
2
4
2
3
1. Reproduire la demi-droite graduée.
0
1
2. Placer les points E et F d’abscisses
7
1
respectives et .
5
5
2
4• Fractions 71
Savoir
Savoir faire
3 Plusieurs écritures possibles pour une fraction
Reconnaître deux fractions égales
Énoncé 1 : Jérôme a écrit sur son cahier 2
A
0
7
1
5
2
1
.
2
2
Le même point A, avec les graduations vertes, en quarts, a pour abscisse .
4
1
1 2
2
L’abscisse du point A peut donc s’écrire ou ; on a :
.
2
2 4
4
Énoncé 2 : Alex a écrit sur son cahier 4
3
Deux fractions sont égales si on passe de l’une à l’autre en multipliant (ou en divisant)
le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
Exemple :
25
1
25
4
100
4
20
et
3
18
6
Énoncé : Compléter à l’aide d’une fraction :
b. …ⴛ 7 ⴝ 13
10
5 10.
5
b. On cherche le nombre qui multiplié par 7 donne 13. C’est le quotient de 13 par 7
13
13
c’est-à-dire . Ainsi :
7 13.
7
7
de 10 par 5. Ainsi :
Définition
Le quotient d’un nombre entier a par un nombre entier b (différent de 0) est le nombre
qui multiplié par b donne a.
a
a
● L’écriture fractionnaire du quotient de a par b est
. Ainsi on a :
ⴛ b ⴝ a.
b
b
●
5
Exemple : est l’écriture fractionnaire du quotient de 5 par 2.
2
5
5 5 10
C’est le nombre qui multiplié par 2 donne 5 :
2
2
2 2
2
À MON TOUR !
5
5.
Propriété
Recopier et compléter ces égalités.
5 15
11 …
2 …
a. b. c.
…
27
9
3 30
4
6
a
Un quotient ne change pas si on multiplie (ou divise) son numérateur et son
b
dénominateur par un même nombre non nul.
1
2
4
Vrai ou faux ?
7
3 15
a. b.
4 20
6
7
4
4 8 0,5. On a bien
a. …ⴛ 5 ⴝ 10
a. On cherche le nombre qui multiplié par 5 donne 10. C’est 2, qui est donc le quotient
Les fractions traduisent un partage équitable.
72
20
. Est-ce vrai ou faux ?
18
Savoir qu’une fraction représente un quotient
4 Fraction quotient – Quotients égaux
4
1
1 2 0,5 et
2
8
La valeur du quotient n’a pas changé.
ⴝ
Pour passer de 4 à 20, on multiplie par 5, alors qu’on multiplie par 6
pour passer de 3 à 18.
20
en multipliant par un même nombre
On ne peut pas obtenir
18
4
le numérateur et le dénominateur de .
3
4 ≠ 20
.
Les deux fractions ne sont pas égales :
3 18
5
25 se lit ving-cinq centièmes
100
et est égal à 0,25. Puisque 1 = 25 ,
4 100
une écriture décimale de 1 est 0,25.
4
25
Exemple :
10
, on multiplie le numérateur et le dénominateur
35
2
de la fraction par le même nombre 5.
7
10
2
est vraie.
Les deux fractions sont donc égales : l’égalité 7
35
5
Propriété
10
. Est-ce vrai ou faux ?
35
Pour obtenir
2
10
et
7
35
En utilisant les graduations rouges, en demis, le point A a pour abscisse
ⴝ
4
.
8
≠
42
36
c.
9
11
54
33
Proposer trois écritures différentes
sous forme de fraction dans chaque cas.
9
5
1
a.
b. 5
c.
d.
3
4
10
8
Recopier et compléter ces égalités.
…
…
4
a. 7 5 b. … … c. 25 3 …
…
9
17
8
15
d. 8 … e. … 11 f. … 8 …
7
11
9
Recopier et compléter ces égalités.
5
1
3
a. … 1 b. … 5 c.
73
…
3
4
…
9
d.
5 9 e.
56
f. … 6 5
…
…
4• Fractions 73
Savoir
Savoir faire
5 Une valeur exacte, plusieurs valeurs approchées
Cherchons le quotient de 7 par 3.
7
1 0
1 0
1 0
1
3
2, 3 3 3
La division décimale de 7 par 3 ne s’arrête pas.
Le quotient de 7 par 3 n’est pas un nombre décimal.
7
7
est la valeur exacte du quotient de 7 par 3. C’est le seul nombre qui vérifie 3 7.
3
3
● Lorsqu’on poursuit le calcul de la division de 7 par 3, on s’approche de plus en plus
du quotient de 7 par 3 (sans jamais l’atteindre).
Les nombres ainsi obtenus sont des valeurs approchées du quotient.
●
Exemple :
de chaque personne ?
1. Le résultat du partage équitable de 170 par 6 est la valeur exacte du quotient :
3
2, 3 3 3
2,33 est une valeur approchée au centième près du quotient
de 7 par 3.
6 Prendre une fraction d’une quantité
2
de 18, on divise 18 par 3 pour calculer un tiers de 18, puis on multiplie
3
2
le résultat par 2 pour prendre deux tiers. Au final, on a multiplié 18 par .
3
Pour calculer les
6
2 8, 3 3 3
Les centimes
d’euro existent,
pas les
« millimes » !
Puisqu’on partage des euros, on doit s’arrêter au centime d’euro.
On donne donc une valeur approchée par défaut du quotient au centième près.
Chaque personne aura 28,33 € ; et il restera 2 centimes non partagés.
Prendre une fraction d’une quantité, c’est multiplier
cette quantité par la fraction.
Énoncé : Éric a mangé les 3 des 20 « carrés » d’une tablette
5
de chocolat. Combien de « carrés » a-t-il mangés ?
3
3
Pour calculer les de 20 « carrés » d’une tablette de chocolat, on multiplie 20 par .
5
5
Les 20 « carrés » sont partagés en 5 parts égales :
20 5 4 ; donc 1 part est formée de 4 « carrés ».
1 de la tablette
—
5
On prend 3 parts pour avoir 3 de la tablette :
5
3 de la tablette
4 3 12 ; donc 12 « carrés » de chocolat forment
—
5
3
3
les des 20 « carrés ». On a : 20 12.
5
5
À MON TOUR !
10
Propriété
Comment calcules-tu
rapidement la moitié,
le tiers et le quart
d’une quantité ?
Exemple :
2
de 35 kg, il y a deux procédures de calcul possibles.
7
2
En commençant par la division :
35 (35 7) 2 5 2 10.
7
2
En commençant par la multiplication : 35 (35 2) 7 70 7 10.
7
Pour calculer
fractionnable, donc on effectue
la division décimale de 170 par 6.
La division de 170 par 6 ne s’arrête pas.
Le quotient de 170 par 6 n’est pas
un nombre décimal.
1 7 0
5 0
2 0
2 0
2 0
2
170
.
6
Calculer une fraction d’une quantité
2,3 est une valeur approchée au dixième près du quotient
de 7 par 3.
Remarque : Suivant les problèmes, on donnera la solution sous forme exacte ou par une
de ses valeurs approchées.
74
Énoncé : 1. Quel est le résultat du partage équitable de 170 par 6 ?
2. On veut partager 170 € entre 6 personnes. Dans la pratique, quelle sera la part
2. On partage équitablement un bien
Vocabulaire
7
1 0
1 0
1 0
1
Une valeur approchée ou la valeur exacte ?
1. Quelle est la valeur exacte du
quotient de 30 par 7 ?
2. Donner une valeur approchée au dixième
p du quotient de 25 par 6.
près
11
Jordan veut partager une corde de
102 cm en 11 parts égales.
1. Quelle est la longueur exacte de chaque
morceau ?
2. Donner une valeur approchée de cette
longueur au millimètre près.
12
Calculer.
1
de 16.
4
3
d. de 24.
2
a.
5
de 12.
6
2
e. de 27.
3
b.
9
de 44.
11
11
f.
de 63.
7
c.
5
d’un sachet
Théo a mangé les
12
de 36 bonbons.
1. Combien de bonbons a-t-il mangés ?
2. Combien de bonbons reste-t-il ?
13
4• Fractions 75
Bilan
Socle commun
Vocabulaire et maîtrise de la langue
Il y a toujours une ou plusieurs bonnes réponses. Trouve-les toutes !
Je sais…
Réponse A
Réponse B
Réponse C
5
3
5
8
5
7
de AB
3
4
de AB
3
2 fois AB
1
plus de AB
3
Recopier et compléter les phrases des exercices 25 et 26 à l’aide des mots suivants
(en accordant au pluriel s’il le faut) : fraction ; tiers ; demi ; quart ; numérateur.
Me servir des fractions à partir d’un partage
14
Q
Quelle
fraction de la bande est
coloriée en bleu ?
15
A
B
CD représente…
C
D
25
Me repérer sur une demi-droite graduée
26
B
16
0
1
2
1
3
12
5
1
3
2
4
3
1
3
L’abscisse du point B est…
C
17
2
L’abscisse du point C est…
9
18 L
Le point B a pour abscisse .
8
O
Où est-il bien placé ?
2,2
B
0123456789
3
O
B
0
1
O
3
5
Les compétences du socle commun
B
0
1
27
Identifier deux fractions égales
19 Q
Quelles égalités sont vraies ?
La fraction
20 L
5 20
6 24
11 44
12 36
12
10
18
12
3
est égale à…
2
13 52
7
28
1
1
2
Distinguer un quotient exact et des valeurs approchées
28
29
30
Dans l’égalité … 4 20,
21 D
lle nombre manquant est…
20
4
4
20
5
Dans l’égalité … 3 11,
22 D
lle nombre manquant est…
4
11
3
3,666
31
32
Prendre une fraction d’une quantité
3
de 120,
4
o
on peut effectuer les opérations…
23 P
Pour prendre les
24 Dans
D
une classe de 24 élèves,
3
des élèves sont des filles.
8
Dans la classe, il y a…
(120 3) 4
12 filles
120 3
4
21 filles
Pour chaque
Pour chaque énoncé, répondre par vrai ou faux.
réponse, prépare
2
une justification
Pour la fraction
, le nombre 13 est le dénominateur.
13
orale !
8
Pour le quotient , 5 est le numérateur car c’est le plus petit nombre.
5
M
1
L’abscisse du point M est :
2
0
1
2
L’abscisse du point N est
9 filles
3
:
4
Vrai
Faux
N
0
1
1
est bien placé :
5
0
1
Le point R d’abscisse
est bien placé :
10
R
Le point P d’abscisse
0
(120 4) 3
Réponses en fin de manuel, page 246
76
Des mots mathématiques…
1. Pour la …… 5 , le nombre 5 est le …… et le nombre 7 est le dénominateur.
7
2. Lorsqu’on partage l’unité en deux parties égales, les parties obtenues s’appellent
des …… .
3. Le nombre 9 est le …… du nombre 36.
4. La …… 8 se lit huit …… . C’est le quotient de 8 par 3.
3
…et des mots de tous les jours
1. Au rugby, Frédéric Michalak joue souvent au poste de …… de mêlée.
2. Pendant une …… de seconde, nous avons cru que l’arbitre avait accordé le but.
3. La population française était divisée, sous l’Ancien Régime, en trois ordres : le clergé,
la noblesse et le …… état.
4. À Roland-Garros, 8 joueurs participent aux …… de finale du tournoi.
33
La moitié de 70 est 35 et le quart de 100 est 50.
34
Pour calculer
35
Les
P
1
2
1
1
de 55, je divise 55 par 5 et je trouve 11.
5
2
de 28 valent 8.
7
4• Fractions 77
Exercices
CALCUL MENTAL
36
Compléter ces égalités.
5 …
5
11 …
a. b.
c. 25
7 14
9 27
8 …
… 2
6
13 26
d. e. 48 f.
… 7
…
7
21 3
…
…
7 …
31
1
g. h.
i. 2 10
2 1 000
25 100
37
Compléter ces égalités.
a. … 5 15
b. … 17 34
c. … 2 1
d. … 3 2
e. … 8 4
f. … 7 8
g. … 100 25
h. … 45 52
38
Calculer.
a. La moitié de 18.
b. Le tiers de 36.
c. Un cinquième de 35. d. Le quart de 32.
e. Trois quarts de 16.
f. Cinq tiers de 15.
Pour s’entraîner
39
Calculer.
1
1
a. de 6.
b. de 27.
2
3
7
11
d. de 4.
e.
de 36.
2
9
1
c. de 24.
8
7
f. de 25.
5
40
Calculer.
1
1
a.
de 2.
b.
de 13.
10
10
3
13
d.
de 20. e.
de 60.
10
10
1
c.
de 7.
100
27
f.
de 200.
100
Vocabulaire et partage
Demi-droite graduée
42 Écrire les nombres suivants sous forme de
47 Peut-on donner la mesure des deux segments
fractions.
a. Sept dixièmes.
c. Quatorze millièmes.
e. Un tiers.
g. Cinq huitièmes.
suivants à l’aide des « règles » positionnées comme
indiqué ?
43 Écrire en toutes lettres les fractions suivantes.
1
2
5
e.
100
a.
41
Convertir ces durées en minutes.
a. Trois demi-heures.
b. Cinq quarts d’heure.
c. Quatre tiers d’heure.
d. Sept sixièmes d’heure.
e. Un tiers de deux heures.
b. Trente-cinq centièmes.
d. Neuf demis.
f. Vingt-sept dix-septièmes.
h. Six quarts.
3
4
5
g.
2
2
3
22
f.
7
b.
3
10
7
h.
1 000
c.
A
0
1
Histoire des mathématiques
La représentation d’une fraction à l’aide d’une barre horizontale nous vient des
Arabes. D’ailleurs, le mot fraction vient du latin fractiones, traduction du mot arabe
kasr qui signifie rompu (au Moyen Âge, en Europe, les fractions sont appelées
nombres rompus !).
Au XVIe siècle, le mathématicien français Nicole Oresme (1325 - 1382)
reprendra cette notation dans son ouvrage « Algorismus proportionum ».
Il définira aussi dans cet ouvrage pour la première fois les termes
« numérateur » et « dénominateur ».
M
Alors que les Français utilisent volontiers les nombres décimaux pour les mesures, les Anglo-Saxons
préfèrent souvent exprimer les parties décimales par des fractions. Par exemple, ils écrivent qu’une
1
personne mesure 5 pieds et non pas 5,5 pieds (1 pied vaut environ 30 cm).
2
78
1
N
0
44 L’unité est cette bande :
Dans chaque cas, écrire la fraction correspondant
à la partie colorée.
H
S
1
49 Sur la demi-droite graduée suivante, lire
l’abscisse de chacun des points A, B, C, D et E.
A
B
C
D
4
2.
3.
E
5
50 Reproduire la demi-droite graduée et placer
7
3
, le point B d’abscisse 2 4
4
3
et le point C d’abscisse 1 .
8
le point A d’abscisse
4.
45 Pour chaque figure, indiquer la fraction de la
surface totale qui est colorée.
0
1
51 Reproduire la demi-droite « à graduer » et
placer les nombres 1 ;
3
3
1
; 1 et .
4
4
2
1–
4
0
Fractions égyptiennes
Les mesures anglo-saxonnes
2
l’abscisse de chacun des points M, N, H et S.
d.
Nicole Oresme, surnommé l’« Einstein du XIVe siècle » !
Les Égyptiens utilisaient le hiéroglyphe
pour représenter le numérateur 1.
1
Par exemple, pour écrire la fraction , ils plaçaient ce hiéroglyphe au-dessus de 4 bâtons
4
1
.
qui représentaient le dénominateur 4. Ainsi était écrit :
4
F
48 Sur la demi-droite graduée suivante, lire
1.
Le rendez-vous des curieux
E
B
46 L’unité est le segment [AB].
A
B
52 On considère la demi-droite graduée suivante.
1. Quelles fractions du segment [AB] les segments [MN] et [CD] représentent-ils ?
M
N
C
D
1
2. Tracer un segment mesurant
du segment
3
[AB].
A
0
E
F
1
1. Lire l’abscisse de chacun des points A, E et F.
2. Reproduire cette demi-droite graduée, puis placer
14
1
le point B d’abscisse et le point D d’abscisse
.
3
18
4• Fractions 79
Exercices
Exercices
Pour les exercices 53 à 59, on pourra se servir
des demi-droites graduées ci-dessous.
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
53 Pour chaque demi-droite graduée :
1. Quelle fraction peut-on écrire à la place de 1 ?
2. Quelle fraction peut-on écrire à la place de 2 ?
3. Quelle fraction peut-on écrire à la place de 5 ?
54 Écrire sept fractions égales à 3 unités.
Identifier des fractions
égales
Écritures fractionnaires
de quotients
Valeur exacte
et valeurs approchées
60 Recopier et compléter en plaçant le signe
66 Recopier et compléter ces égalités.
73 1. Quelle est la valeur exacte du quotient de
ou le signe ≠.
3
1
a. …
4
8
32
8
d. …
3
12
10
2
g. …
3
6
5
9
11
b. … 17 c. … 9 …
17
15
…
10
5
d. … … e.
… … f. 7 18 …
7
3
11
h. 7 2 …
i. … … 0,6
g. … … 6
37 par 13 ?
2. Effectuer la division de 37 par 13.
3. Donner une valeur approchée du quotient au
centième près.
5
;
15
1. Quelles sont celles qui sont plus petites que 1 ?
2. Lesquelles sont égales à des nombres entiers ?
56 Compléter à l’aide d’un nombre entier.
…
…
b. 1 2 c. 8 9
2
3
…
…
e. 4 5 f. 3 4
4
10
57 Compléter à l’aide de deux nombres entiers
10
…
4
17
d. … …
5
b. … 1 …
5
5
b. 1 3 …
4 …
c. 2 1 …
2 …
59 Compléter afin d’obtenir la somme d’un
entier et d’une fraction plus petite que 1.
…
…
8
11
a. … b.
…
5
4
4
5
…
…
7
19
c. … …
d.
…
…
8
2
80
75
;
100
16
;
20
3
;
4
10
;
4
1
;
2
5
;
2
5
;
10
4
;
5
1
;
3
15
;
6
14
.
10
6
;
2
18
.
6
63 Trouver une fraction décimale égale à chacune des fractions suivantes.
3
1
a.
b.
c.
2
4
7
95
e.
f.
g.
4
2
2
5
85
25
11
8
23
h.
50
2 …
6
3
30
3
d.
… 80
… 12
g.
2
24
a.
…
5
7
35
17 51
f.
…
7
… 4
i.
9
3
15
5
… 21
22 110
e.
…
7
3
9
h.
39 …
b.
c.
…
.
8
4
14 …
2. Recopier et compléter :
.
8
16
3. Reproduire la demi-droite graduée suivante.
0
1
11
8
3
5. Placer le point B d’abscisse .
4
14
6. Placer le point C d’abscisse
.
16
4. Placer le point A d’abscisse
1
…1
3
9
d. 5 9
…
a.
5
…5
4
…
e.
56
…
b.
c.
3
73
…
f. … 6 5
68 Recopier et compléter ces égalités.
a. 4 … 1
c. 20 … 2
d. 100 … 25
7
7
3
d. 1 700 … 17
f. … 7 4
b. … d.
64 Recopier et compléter ces égalités.
65 1. Recopier et compléter : 3
58 Trouver les résultats de ces opérations.
a. 1 7
;
5
62 Trouver les fractions égales.
5 12 12 16 4 2 7 24 3 15
.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
8
4
8
4
8
2 5 2
5
5
consécutifs.
3
a. … …
2
7
c. … …
8
67 Recopier et compléter ces égalités.
61 Trouver les fractions égales.
55 Voici une liste de fractions.
…
a. 0 1
8
…
d. 2 3
5
a. 9 … 7
4
c. …
7
4
9
3
f.
…
4
12
5
2
i.
…
2
6
10
5
b. …
3
6
20
12
e.
…
3
5
1
2
h.
…
10
5
Pour les exercices 69 à 72, retrouver la réponse
de chaque problème parmi les nombres
suivants :
8
10
5
;
; 0, 9
;
9
8
5
69 Jean coupe une pizza
en 8 morceaux identiques.
Il en mange 5 ; quelle
portion de la pizza a-t-il
mangée ?
70 Avec 9 euros, j’ai acheté 10 m de ruban.
Quel est le prix d’un mètre ?
71 Huit boîtes de thon en conserve pèsent 5 kg.
Combien pèse une boîte ?
72 Avec 27 bouteilles de 1 L d’eau, j’ai rempli
30 carafes identiques.
Quelle est la contenance d’une carafe ?
74 1. a. Effectuer la division de 1 285 par 7.
b. Donner une valeur approchée du quotient au
dixième près, puis au millième près.
2. Quelle est la valeur exacte du quotient ?
75 Voici une liste de divisions.
35 6 ; 65 13 ; 28 5 ;
358 25 ; 15 7 ; 144 12.
1. Quelles sont celles dont le quotient est un nombre entier ?
2. Quelles sont celles dont le quotient est un nombre décimal ?
3. Quelles sont celles dont le quotient n’est pas un
nombre décimal ?
4. Donner la valeur exacte de ces quotients.
76 Alex veut scier en 9 morceaux identiques
une planche de bois de 11 m de longueur.
1. a. Quelle devrait être la longueur exacte de
chaque morceau ?
b. Cette valeur est-elle pratique dans la vie
courante ?
2. Donner une valeur approchée de la longueur
d’un morceau au centimètre près.
77 Avec un tonneau
de soixante-cinq litres,
on peut remplir cent
bouteilles identiques.
Quelle est la contenance
d’une bouteille ?
78 Une tablette de chocolat de 100 g est constituée de 12 carrés.
1. Quelle est la masse d’un carré ?
2. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée du résultat au décigramme près.
4• Fractions 81
Exercices
Exercices
Pour approfondir
Fraction d’une quantité
Pêle-mêle
79 Calculer les expressions suivantes.
86 Quelle fraction du jour représente :
3
de 28.
b. Un cinquième de 15.
14
3
11
c. Les de 16.
d. Les
de 33.
8
3
e. Trois quarts de 100.
a. 1 h ?
80 À quelle somme correspond :
88 European exercise
a. Les
4
a. de 10 € ?
5
5
b. de 10 € ?
4
Elle prend un paquet de farine de 550 g,
une plaquette de beurre de 250 g et une
tablette de chocolat de 200 g.
2
Son père lui dit : « Tu dois prendre du
5
1
de la plaquette de
paquet de farine,
10
4
beurre et de la tablette de chocolat. »
5
Trouver la masse de chaque ingrédient.
82 Nicolas avait 210 billes. Il en a perdu les 3 .
7
d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à
l’unité.
d. 12 h ?
87 Quelle fraction de l’année représente :
a. 1 mois ?
b. 1 trimestre ?
2. Colorier les
89 Un professeur d’EPS organise une course de
vitesse pendant 1 minute en ligne droite.
Chaque couloir est gradué avec la même unité.
9
Gaëlle est arrivée au point d’abscisse .
5
12
Sofia est arrivée au point d’abscisse .
8
3
Hassan est arrivé au point d’abscisse .
2
Hassan
5
3
du carré et les
du rectangle.
8
12
83 Mehdi a 12 balles de ping-pong colorées.
Sofia
1
2
Les de ses balles sont vertes, est orange et les
3
6
autres sont jaunes.
1. Combien Mehdi a-t-il de balles vertes ?
2. Combien Mehdi a-t-il de balles orange ?
3. Combien Mehdi a-t-il de balles jaunes ?
84 Tracer un rectangle de longueur 9 cm dont la
1
de la longueur.
3
85 Un site de vidéos à la demande propose
13 250 vidéos.
12
2
sont des fi lms policiers,
sont des séries, le
25
5
reste des vidéos sont des dessins animés.
Combien y a-t-il de dessins animés sur ce site ?
92 Compléter les égalités suivantes.
…
3
1
…
42
2
2 … 40
c. 5 25 …
14 … …
e.
12 6
4
1
2
0
1
2
B
Gaëlle
0
36
42
. Pourquoi a-t-il raison ?
63
94 Combien de valeurs différentes sont dési-
D’après IREM de Lyon.
90 1. À l’aide de la calculatrice, calculer une
59
;
25
24
;
31
17
85
.
;
7
18
98 En 3eA, il y a 32 élèves. La moitié des élèves
sont des fi lles. Un huitième des élèves portent des
lunettes. Un quart des élèves viennent au collège à
vélo. Trois huitièmes des élèves jouent au basket.
1. Combien y a-t-il de fi lles dans la classe ?
2. Combien d’élèves portent des lunettes ?
3. Combien d’élèves viennent à vélo ?
4. Combien d’élèves jouent au basket ?
5. Faire le total des 4 réponses précédentes et expliquer ce résultat.
99 Reproduire et terminer les quatre lettres
majuscules. La fraction indique la fraction déjà
dessinée de la lettre à terminer.
gnées par ces fractions ?
20
5
40
30
;
;
;
;
72
72
36 12
70
5
85
35
;
;
;
.
9
204
63 100
5
–
8
95 1. Sur la demi-droite graduée ci-dessous,
quelles sont les abscisses des points R et P ?
1. Reproduire les demi-droites graduées.
2. Marquer l’arrivée de chaque élève.
3. Établir le classement.
4. Hassan a fait une chute au point A.
Quelle est l’abscisse de ce point ?
5. Gaëlle a perdu son dossard au point B.
Quelle est l’abscisse de ce point ?
valeur approchée au millionième près de :
103 993
333
22
a.
b.
c.
7
33 102
106
2. Quel est le nombre ainsi approché ?
b.
93 Jean a écrit 24
2
1
11 … 44
64 …
8
…
5
10
d.
…
6
4
28 … …
f.
48 12
8
a.
A
0
275
64
50
;
;
;
9
10
17
35
;
8
c. 1 semestre ?
14
, which figure is the
17
numerator and which one is the denominator ? ».
14
, was ist der Zähler und
Lars : « In der Funktion
17
was ist der Nenner ? ».
1. Combien a-t-il perdu de billes ?
2. Combien lui en reste-t-il ?
82
c. 7 h ?
97 Décomposer ces fractions en une somme
Dave : « In this fraction
81 Blandine fait la cuisine avec son père.
largeur mesure
b. 4 h ?
91 1. Reproduire ce carré et ce rectangle.
R
3
–
7
5
–
9
100 Reproduire chaque figure.
Le côté du grand carré mesure 12 cm.
P
35
6
–
10
36
37
2. Trouver les nombres égaux dans la liste suivante.
(On pourra se servir de la demi-droite graduée.)
8
6
2
1
37 ; 36 ; 35 ; 37 ;
5
5
5
5
7
3
3
35 ; 36 ; 37 .
5
5
5
96 Donner chaque résultat sous la forme d’une
seule fraction.
25
a. 1 27
7
d. 2 8
35
36
5
e. 5 3
b. 1 7
3
3
f. 4 5
c. 2 Dans chaque cas, quelle fraction du carré représente la partie coloriée ? Le découpage est permis.
4• Fractions 83
Exercices
101 Lors de la rencontre Strasbourg - PSG, les
footballeurs de Strasbourg ont occupé le camp
adverse pendant les deux tiers de la partie.
Pendant combien de minutes les Strasbourgeois
étaient-ils dans le camp parisien ?
Remarque : le match a duré 1 h 30 min.
102 Louis mesure les 2 de Jolan qui mesure
3
1,47 m. Quelle est la taille de Louis ?
le quart. Le prix est proportionnel à la taille de la
part : combien coûte le gâteau en entier ?
104 Trouver le nombre manquant.
1
de 45 vaut … .
5
…
c.
de 42 valent 18.
21
1
de 20 vaut 5.
…
2
d. de … valent 6.
3
b.
105 Une balle rebondit au 3 de la hauteur de
5
laquelle elle est tombée. On la lâche à 2 m du sol.
À quelle hauteur sera-t-elle au 3e rebond ?
106
Il manque 11 litres
2
1. a. Quelle fraction du récipient 1 est occupée
par le liquide ?
b. Quelle est la contenance de ce récipient ?
2. a. Quelle fraction du récipient 2 est occupée
par le liquide ?
b. Quelle est la contenance de ce récipient ?
107 Maths et histoire
Jusqu’en 1893, l’unité de mesure des longueurs
était le « pied du roi » (32,484 cm).
Un pied mesurait 12 pouces, un pouce mesurait
12 lignes et 1 ligne mesurait 12 points.
1. Quelle fraction du pied représentait un pouce ?
une ligne ? un point ?
2. Combien mesurait (en cm) : un pouce ? une ligne ?
un point ? (Il faudra arrondir !)
84
3
de chocolat ci-contre pour faire un
gâteau. Pour le goûter, il a mangé
1
de ce qu’il lui restait.
4
Combien de carrés de chocolat lui
restera-t-il pour demain ?
Un œuf de poule pèse en moyenne 64 g et la masse
de la coquille est égale au huitième de la masse de
l’œuf.
Pour faire une omelette, on utilise 5 œufs et 10 g
de beurre. Les blancs et les jaunes battus perdent
1
de leur masse à la cuisson.
10
Calculer la masse de l’omelette terminée.
113 Anne fait une enquête auprès de 24 person-
115 Une chape de béton est un pavé droit qui
nes pour savoir si elles préfèrent des bougies de
couleur verte ou de couleur rouge pour Noël.
5
des personnes interrogées sont des femmes.
6
4
de ces femmes préfèrent la couleur rouge.
5
3
des hommes préfèrent le rouge.
4
Combien de personnes préfèrent les bougies de
couleur verte ?
sert de plancher.
114 1. Reproduire cette demi-droite graduée.
0
1
5 2 3 1 4
2. Placer les nombres
; ; ; ; .
12 3 4 2 3
0,20 m
4m
5m
Le béton utilisé est composé de
2
de ciment,
10
3
4
1
de sable,
de graviers et
d’eau.
10
10
10
Calculer les quantités de chaque matériau
nécessaires à la réalisation de cette chape.
Besoin d’aide ?
Voir page 250 pour un petit coup de pouce.
110 Quelle est la longueur d’un quart de cercle de
rayon 12 cm ? (Arrondir au millimètre.)
Jeux mathématiques
111 La longueur d’un rectangle mesure 121 m.
Jeu n° 1
Jeu n° 2 Puzzle de Sarrelouis
7
de la longueur.
La largeur mesure
11
Calculer le périmètre et l’aire de ce rectangle.
Chaque forme a une valeur (un nombre entier
ou une fraction). Tous les lots ont la valeur indiquée, sauf un seul. Déterminer sa valeur.
Le Puzzle de Sarrelouis
(représenté ci-contre)
est un puzzle de
5 pièces de la famille
du Tangram, célèbre
casse-tête chinois.
112 Exercice de synthèse
16 litres
1
À chacun son rythme
108 Ce matin, Lorick a utilisé les 2 de la tablette
109 Comme en 1963
103 La moitié d’un gâteau coûte 3 € de plus que
a.
Exercices
Dans les formats de papier, le
A4
chiffre à côté du A indique le
A2
nombre de fois que la feuille
A3
a été pliée à partir de sa plus
grande dimension.
1. a. Quelle fraction de la
A1
feuille A0 représente une
feuille de format : A1 ? A2 ?
A3 ? A4 ? A5 ?
b. Placer ces fractions sur la demi-droite graduée
suivante (après l’avoir reproduite).
Valeur du lot n°1 :
1
–
3 +3
Valeur du lot n°2 :
–
2 +2
3
Valeur du lot n°3 :
1
–
2 +3
Valeur du lot n°4 :
3
Valeur du lot n°5 :
2
–
2 +3
Valeur du lot n°6 :
????
A0
0
1
2. Une feuille A0 mesure 840 mm par 1 190 mm.
a. Quelles sont les dimensions d’une feuille A1 ?
b. Quelles sont les dimensions d’une feuille A3 ?
3. Calculer, en cm2, l’aire d’une feuille de papier
de format A4.
D’après Logic’Flip (éditions Pole).
1
4
5
3
2
1. Reproduire le puzzle de Sarrelouis.
2. Quelle fraction du carré chacune des pièces
représente-t-elle ?
3. Avec quelles pièces peut-on recouvrir la
pièce 3 ?
4. Quelle fraction de la pièce 3 représente la
pièce 1 ?
5. Avec quelles pièces peut-on recouvrir la
pièce 5 ?
6. Quelle fraction de la pièce 5 représente la
pièce 2 ?
7. Quelle fraction de la pièce 5 représente la
pièce 4 ?
D’après les Revues pédagogiques de la Mission laïque française.
4• Fractions 85