CORRECTION DEVOIR MAISON N° 6 EXERCICE 1 : a) L`aire
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CORRECTION DEVOIR MAISON N° 6 EXERCICE 1 : a) L`aire
CORRECTION DEVOIR MAISON N° 6 EXERCICE 1 : a) L'aire grisée est égale à l'aire du grand disque de diamètre 10 moins l'aire des deux petits disques 2 10 x 2 x ayant pour diamètre x et 10 – x. Ainsi l’aire grisée A(x) = ×5² – ( + ) = 2 2 x2 100 20 x x 2 x2 x2 x2 25 – ( + ) = 25 – – (25 – 5x + ) = (5x – ). 4 4 4 4 2 b) L'ensemble de définition de la fonction A est l'intervalle [0; 10] puisque x est le diamètre d'un des petits disques. x2 c) En développant [25 – (x – 5)²], on obtient [25 – x² + 10x – 25] = [– x² + 10x] = (5x – ) = A(x). 2 2 2 2 d) Le maximum de la fonction A est 25 puis 25 – (x – 5)² 2 car le maximum de 25 – (x – 5)² est 25 ( car (x – 5)² 0 et – (x – 5)² 0 25) et ce maximum est atteint pour x = 5. EXERCICE 2: d) 1) a) On a AB² = 9, BC² = 16 et AC² = 25 ; d’où AB² + BC² = AC², et par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B ; donc la base ABC du tétraèdre SABC est un triangle rectangle. b) La droite (SA) est orthogonale au plan (ABC), donc à toutes les droites de ce plan, donc (SA) est orthogonale à (AB) ; ainsi le triangle SAB est rectangle en A. 2) a) b) Le plan P est orthogonal à (AB), donc (IM) et (KM) sont orthogonales à (AB). Dans le plan (SAB), (IM) (AB) et (SA) (AB) ; or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles ; donc (IM) et (SA) sont parallèles. Les plans P et (SAC) contiennent deux droites parallèles, ils se coupent donc suivant la droite (JK) parallèle aux deux autres ; donc (JK) // (IM). c) On a vu que (KM) et (AB) sont orthogonales ; et comme (AB) et (BC) sont orthogonales, dans le plan (ABC), on a (KM) // (BC). Les plans P et (SBC) contiennent deux droites parallèles, ils se coupent donc suivant la droite (IJ) parallèle aux deux autres ; donc (IJ) // (KM). e) Le quadrilatère IMKJ est un parallélogramme, puisque (JK) // (IM) et (IJ) // (KM). De plus, (SA) et (IM) étant parallèles et (SA) orthogonale au plan (ABC), alors (IM) est aussi orthogonale au plan (ABC), donc à toutes les droites de ce plan ; donc (IM) et (KM) sont orthogonales et donc IMKJ est un rectangle. BM IM 4 3) b) Dans le triangle SAB, (IM) // (SA) ; on applique le théorème de Thalès ; d’où = d’où IM = x. BA SA 3 Dans le triangle ABC, (KM) // (BC) ; on applique le théorème de Thalès ; AM KM 4 d’où = d’où MK = (3 – x). AB BC 3 c) M est sur [AB] donc x = BM [ 0 ; 3]. 4 4 16 L’aire du rectangle IMKJ = IM × MK = x (3 – x) = (3x – x² ). 3 3 9 Le maximum de f est 4 atteint pour x = 1,5. Le minimum est 0 atteint pour x = 0 et x = 3. 4 4 d) IMKJ est un carré si IM = MK soit x = (3 – x) , soit 3 3 x = 3 – x , soit 2x = 3, soit x = 1,5 et dans ce cas, aire(IMKJ) = 4. Donc, le maximum de l'aire est atteint lorsque IMKJ est un carré.