Réponse harmonique d`un système linéaire

PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
1
CHAPITRE E1
Réponse harmonique d’un système linéaire
1.
SYSTEMES LINEAIRES PERMANENTS
1.1.
Définitions
La notion de système linéaire est très générale et on en trouve de multiples exemples en physique.
Nous considérons ici un système physique comprenant une grandeur physique d’entrée e(t) et une
grandeur de sortie s(t).
En électrocinétique, e(t) et s(t) seront par exemple des tensions et l’opérateur, un circuit électrique.
Définition d’un système linéaire : soit S un système donné. Soient e1(t) et e2(t) deux signaux d’entrée
quelconques et s1(t) et s2(t) les signaux de sortie correspondants. Si la réponse de S à l’excitation e(t) =
λ1e1(t) + λ2e2(t) est s(t) = λ1s1(t) + λ2s2(t) (quelques soient λ1 et λ2 constants), alors le système est dit
linéaire.
Ce n’est rien d’autre que le principe de superposition.
Les systèmes tels que l’équation différentielle liant leurs grandeurs d’entrée et de sortie est linéaire,
constituent des exemples de systèmes linéaires.
On rappelle qu’une équation différentielle linéaire est de la forme :
b 0s(t) + b1
ds
dns
de
dme
+ ...+ b n n = a 0e(t) + a1 + ...+ a n m
dt
dt
dt
dt
(1)
Remarque : ce ne sont pas les seuls systèmes linéaires. Un système permettant d’effectuer l’opération
« retard pur » est un système linéaire. On a alors : s(t) = e(t-τ) (où τ est une constante).
!
Représenter s(t) =e(t-τ) dans le cas ci-dessous :
Exemple de système électronique réalisant une fonction retard ?
PSI Brizeux
2
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
Définition d’un système stationnaire : un système est dit stationnaire ou permanent si ses
caractéristiques ne varient pas au cours du temps. Il vérifie alors le principe de permanence, à savoir
qu’une translation dans le temps (retard ou avance) sur la grandeur d’entrée se traduit par une translation
temporelle identique sur la grandeur de sortie.
e(t)
s(t)
t0
t
e(t)
t0
t
s(t)
t0+!
t
t0+!
t
Cette stationnarité traduit un régime de fonctionnement reproductible du système. Une excitation
donnée au système engendrera toujours la même réponse, quelque soit l’instant auquel on la déclenche.
On peur noter par exemple qu’une stabilisation en température est souvent nécessaire pour que de
nombreux composants atteignent une caractéristique stable.
Les systèmes régis par une équation différentielle linéaire dont les cœfficients ai et bi sont constants
sont des exemples (importants !) de systèmes linéaires permanents.
1.2.
Domaine de linéarité
Un système physique n’est jamais rigoureusement linéaire, mais il est possible de le considérer
comme tel si l’amplitude et la fréquence des signaux d’entrée sont comprises dans certaines limites
définissant le « domaine de linéarité » du système.
Exemple :
1.3.
Exemples de systèmes linéaires permanents
1.3.1. Système mécanique
L’exemple choisi est celui d’un oscillateur mécanique amorti pouvant modéliser l’ensemble
{suspension + amortisseur} d’une voiture.
Un système matériel de masse M posé sur
un ressort de raideur k et de longueur à vide l0
v
et un amortisseur de cœfficient de frottement
M
fluide λ). La roue suit, sans décoller, la route
de profil x qui est prise comme grandeur
k
!
d’entrée du système. On a x = 0 pour la route
L
z(t)
plate.
La grandeur de sortie considérée est y(t),
L
x
position du barycentre G du système matériel
par rapport à la position d’équilibre.
On pose z(t) l’altitude de G.
Soit RT le référentiel terrestre (ici supposé galiléen), et RR le référentiel lié au centre de la roue.
La RFD appliquée à G dans RT donne en projection sur l’axe z :
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
3
d2 z
M dt2 = -Mg - k(l-l0) - λv(G/RR), ce qui donne avec les compositions des vitesses :
d2 z
dz dx
M dt2 = -Mg - k(z-x-L-l0) - λ( dt - dt ).
En utilisant l’équation d’équilibre du système et en posant y = z-zéq on obtient :
d2 y
dy
dx
M dt2 + λ( dt +ky = λ dt ) + kx : équation différentielle linéaire à cœfficients constants.
Quelles sont les limites de linéarité d’un tel système ?
1.3.2. Système électrique
On trouve de multiples exemples dans le programme de 1ère année avec les circuits comportant les
dipôles linéaires R, L, C en régime variable : les équations différentielles (en courant, charge ou tension)
régissant de tels systèmes sont linéaires à cœfficients constants.
On rappelle l’analogie électromécanique (deux systèmes de nature physique différente sont
analogues lorsqu’ils sont régis par des équations ou systèmes d’équations de la même forme) :
R
!
k
L
e(t)
m
f(t)
C
On pose x, abscisse
par rapport à la position
d'équilibre
d2 x
dx
m dt2 + λ dt + kx = f(t)
d2 q
dq q
L dt2 + R dt + C = e(t)
L’analogie est la suivante :
force
position
vitesse
masse
cœff. frott.
raideur
tension
charge
intensité
inductance
résistance
inverse capacité
force
position
vitesse
masse
cœff. frott.
raideur
ou
courant
tension
capacité
conductance
inverse inductance
Remarque : on appelle circuits duaux, des circuits de topologies différentes, régis par des systèmes
d’équations du même type comme par exemple les circuits R, L, C série et parallèle.
R
e(t)
L
C
!(t)
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
4
du u 1 ⌠t
C dt + R + L ⌡ u(t)dt = η(t)
d2 q
dq q
L dt2 + R dt + C = e(t)
0
1.3.3. Système thermique
Les lois de conduction de la chaleur sont analogues à celles de la conduction électrique.
On s’intéresse à la température θ d’un local, chauffé par un radiateur délivrant la puissance thermique
P. Les parois du local ne sont pas adiabatiques et on introduit la notion de conductance thermique Gth
telle que la puissance calorifique perdue par la pièce soit : P’ = Gth(θ - θext), θext étant la température
extérieure.
Le premier principe de la thermodynamique appliqué au local de capacité thermique (air + parois) Cth
dθ
donne : Cth dt = -Gth(θ - θext) + P , relation que l’on peut réécrire sous la forme :
d(θ−θext)
Cth
+ Gth(θ - θext) = P , relation linéaire entre la grandeur d’entrée P et la grandeur de sortie θ
dt
- θe.
Ce système est analogue au système électrique constitué d’une source de courant alimentant un
condensateur et une résistance en parallèle :
dU
On a η = C dt + G U
!(t)
G = 1/R
d’où l’analogie :
source de chaleur
Cth
Gth
différence de température
1.4.
source de courant
C
G
différence de potentiel
Condition de stabilité d’un système linéaire
Un système est dit stable si à toute entrée bornée correspond une sortie bornée.
On suppose un système régi par une équation différentielle linéaire à cœfficients constants :
b 0s(t) + b1
ds
dns
de
dme
+ ...+ b n n = a 0e(t) + a1 + ...+ a n m (1)
dt
dt
dt
dt
Pour qu’un tel système soit stable il faut que :
- les racines!de l’équation caractéristique b0 + b1r+...+ bnrn = 0 soient à partie réelle négative.
En effet, si tel n’était pas le cas, les solutions correspondantes divergeraient lorsque t tend vers
l’infini. C’est la condition qui permet l’évanescence du régime transitoire.
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
5
Pour des systèmes tels que n = 2, ceci n’est réalisé que si tous les cœfficients de l’équation
caractéristique sont du même signe (règle de Descartes).
- n ≥ m (ordre de dérivation de la sortie supérieur à celui de l’entrée).
On comprend mieux cette condition en se plaçant en régime sinusoïdal forcé.
Dans ce cas, (1) est équivalent à :
[b0 + (jω)b1+...+ (jω)nbn] S = [a0 + (jω)a1+...+ (jω)µam ] E
Si m > n, la réponse est indéfiniment croissante avec la fréquence.
L’ordre du système linéaire est donc forcément n (c’est-à-dire l’ordre de dérivation du signal de
sortie).
1.5.
Régimes de fonctionnement d’un système stable
On peut imaginer des grandeurs d’entrée de caractéristiques quelconques. On s’intéresse à la grandeur
de sortie du système linéaire que l’on supposera régi par une équation différentielle du type (1).
1.5.1. Régime transitoire :
Le régime transitoire (ou régime libre) correspond à la solution générale de l’équation sans second
membre. Le système n’est soumis à aucune grandeur d’entrée. Sa durée est limitée sauf pour les systèmes
instables. Sa forme ne dépend que du système et non de la source.
1.5.2. Régime permanent :
Le régime permanent (ou forcé) dépend de la source et correspond à une solution particulière de
l’équation avec second membre. En toute rigueur, le régime permanent n’est atteint que si le signal
d’entrée du système a débuté pour t " #$ , ce qui n’est évidemment pas réalisable. On considèrera donc
que le régime permanent est établi lorsque la réponse du transitoire a une amplitude faible par rapport au
régime forcé.
!
Parmi les différents régimes forcés possibles, nous nous intéresserons surtout à trois d’entre eux :
- Régime continu indépendant du temps :
Les signaux de commande (d’entrée) ont des caractéristiques constantes. Il en est donc de même du
signal forcé permanent.
- Réponse indicielle:
Les sources ont soit des caractéristiques constantes et sont connectées au système par l’intermédiaire
d’interrupteurs qu'on ouvre ou ferme à partir d'une date t = 0, soit, ce qui revient au même, des
caractéristiques présentant un échelon (voir le chapitre suivant). On s'intéresse alors à l'évolution, vers un
régime continu permanent, des grandeurs de sortie. La connaissance des conditions initiales est
évidemment indispensable à une complète résolution de ce problème.
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
6
- Régime sinusoïdal permanent (ou réponse fréquentielle) :
L’entrée est ici un signal sinusoïdal. On utilise la notation complexe et la notion d'impédance et on
s'intéresse à la dépendance vis à vis de la fréquence des grandeurs de sortie du système.
Rappel sur la notation complexe : à toute grandeur sinusoïdale réelle x(t) = Xmcos(ωt + ϕ) on associe
un nombre complexe x(t) = X m e j("t +# ) tel que x(t) = Re(x(t)).
On appelle amplitude complexe X = X m e j" . L’amplitude et la phase de x(t) sont respectivement le
module et l’argument de X.
!
!
X = X m et arg(X) = "
L'emploi de la notation complexe n'est valide que pour des dépendances linéaires.
!
Ainsi, pour calculer une puissance instantanée p(t) = u(t).i(t), on doit revenir à la
notation réelle pour les expressions de u(t) et i(t).
Pour déterminer la puissance active (puissance moyenne) on peut utiliser
1 *
l'expression particulière de la puissance complexe : p = u.i dont la partie réelle
2
donne P = UeffIeffcosϕ avec ϕ = déphasage entre u(t) et i(t)).
!
On rappelle la définition de la valeur efficace d’une grandeur
périodique : U 2eff =
U eff
1
T
T
2
" u (t)dt . On a
0
U
= m uniquement pour les grandeurs périodiques sinusoïdales.
2
!
! 2.
REPONSE HARMONIQUE D’UN SYSTEME LINEAIRE
2.1.
Fonction de transfert d’un système linéaire
2.1.1. Régime sinusoïdal permanent
On suppose un système linéaire permanent et stable. Si e(t) = E cos(ωt + ϕe), on aura donc après
extinction (évanescence) du régime transitoire, établissement en sortie du régime forcé sinusoïdal de
même pulsation ω que le signal d’entrée. Ce dernier point est d’ailleurs un critère de linéarité pour un
système, la non-linéarité provoquant l’apparition de composantes harmoniques de pulsation 2ω,
3ω etc...
La solution s(t) = S cos(ωt + ϕs) est en fait une solution particulière de l’équation différentielle
régissant le système.
Cette propriété peut s’énoncer sous la forme : « les signaux sinusoïdaux sont des fonctions
isomorphes des systèmes linéaires ».
L’étude de s(t) (via l’étude de S et ϕs) en fonction de la pulsation ω donnée à e(t), est appelée étude
harmonique du système.
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
7
2.1.2. Fonction de transfert
Si le système linéaire est décrit par une équation différentielle à cœfficients constants de la forme :
b 0s(t) + b1
ds
dns
de
dme
+ ...+ b n n = a 0e(t) + a1 + ...+ a n m (1)
dt
dt
dt
dt
alors la fonction de transfert (on l’appelle aussi transmittance isochrone du système) est :
!
m
S s
H= = =
E e
"a
i
(j!)i
i=0
n
" b (j!)
k
k
k =0
expression dans laquelle S et E sont les amplitudes complexes des grandeurs de sortie et d’entrée.
arg(H) est égale à l’avance (algébrique) de phase de la sortie par rapport à l’entrée ;
|Η| = rapport de leurs amplitudes.
La fonction de transfert se note également (notation opérationnelle ou de Laplace) :
m
S(p)
H=
=
E(p)
!a
i
pi
i =0
n
qui est appelée fonction de transfert opérationnelle.
!b p
k
k
k= 0
L’intérêt de cette notation est que p y est considéré comme un opérateur : s’il s’agit de l’opérateur
« multiplication par la constante jω », elle permet de retrouver la fonction de transfert complexe. S’il
dk
k
s’agit de l’opérateur « dérivée temporelle » (tel que p = dtk ), on retrouve l’équation différentielle (1).
2.1.3. Remarque : systèmes linéaires en cascade.
♦ La fonction de transfert d’un système dépend des conditions de son utilisation et notamment de sa
charge (définie comme le système dont s(t) est la grandeur d’entrée).
Z1
Par exemple en électricité :
S
Z
on a dans ce cas H = E = Z1 + Z
E
Z2
avec Z = Z2//Zu
système linéaire
S
Zu
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
8
♦ Si on dispose des systèmes linéaires en cascade (c’est-à-dire que la sortie de l’un est l’entrée du
suivant) la fonction de transfert de l’ensemble est le produit des fonctions de transfert de chaque système.
Dans l’exemple ci-contre :
S
S U
H = E = U . E = H1 . H2
d’où G = G1 + G2 et ϕ = ϕ1 + ϕ2.
E
S1
U
S2
S
Mais d’après la remarque précédente, il faudra calculer H1 pour le système global considéré, ici en
charge sur S2. Pour étudier de tels systèmes, on commence donc toujours par le dernier sous-système.
Pour simplifier l’étude, on caractérise généralement chaque sous-système en modélisant son entrée,
vue de l’extérieur. En électricité par exemple, on déterminera l’impédance d’entrée permettant ainsi de
calculer la fonction de transfert du sous-système branché en amont.
2.2.
Représentation de la fonction de transfert : diagramme de Bode
Dans la représentation de Bode des fonctions de transfert, il s’agit de représenter
GdB = 20 log |H(jω)| et ϕ = arg(H(jω)) en fonction de la fréquence ou de la pulsation du signal
d’entrée, en échelle logarithmique.
Pourquoi une échelle logarithmique ?
On rappelle les principaux résultats permettant d’obtenir rapidement les asymptotes (diagramme
asymptotique) :
♦ Si H(jω) a un facteur 1 + jωτ au dénominateur (resp. numérateur), celui-ci introduit :
dans GdB une contribution à la pente de -20dB/déc (resp. +20dB/déc) à partir de ω = 1/τ ;
une contribution à ϕ est de -π/2 (resp. + π/2) à partir de 1/τ.
H0
exemple : diagramme de Bode de H = 1+jωτ .
GdB
"
log!
log!
♦ Si H(jω) = H1(jω). H2(jω) alors la représentation de Bode de H(jω) se présente comme
l’addition (selon l’axe des coordonnées) des représentations de Bode de H2(jω) et H1(jω).
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
9
jωτ 1
exemple : diagramme de Bode de H = H0 1+jωτ 2 avec τ2 < τ1.
GdB
"
log!
log!
On verra en exercice les différentes fonctions de transfert des systèmes d’ordre 2.
2.3.
Système non linéaire soumis à une excitation sinusoïdale : distorsion
harmonique.
La réponse d’un système linéaire à un signal sinusoïdal de période T est également sinusoïdale, de
même période (« les systèmes linéaires sont des systèmes isomorphes des signaux sinusoïdaux»).
Si le système n’est pas linéaire, alors la sortie est toujours périodique de même période T mais n’est
plus sinusoïdale : son analyse spectrale (décomposition en série de Fourrier) fait apparaître des
harmoniques d’ordre supérieur : son spectre de fréquence s’est enrichi.
$
On a alors s(t) = s0 + % sk cos(k"t + # k ) , les termes d’ordre ≥ 2 constituent le distorsion harmonique.
k=1
!
"s
On chiffre cette distorsion harmonique par le taux de distorsion harmonique : Dh =
!
élevé, plus le caractère non linéaire du système est accentué.
k =2
s1
2
k
. Plus Dk est
Que devient Dk pour un système linéaire ?
Exemple : on suppose l’opérateur non linéaire s(t) = s0 + ae(t) + be2(t), avec s0 = 0,1 V ; a = 5 ;
b = 0,1 V-1. Déterminer le taux de distorsion harmonique de l’opérateur lorsque e(t) = Ecosωt avec
E = 1V et f0 = 1kHz.
s(t) = s0 + aEcosωt + bE2cos2ωt. On linéarise cos2ωt = 0.5(1 + cos2ωt) d’où s(t) = (s0 + bE2/2) + aE
cosωt + bE2/2 cos2ωt.
On constate que <s(t)> = (s0 + bE2/2) ≠ 0 : effet de redressement. Le dernier terme traduit un
enrichissement du spectre du signal de sortie.
bE2/2
On a ici Dh = aE = 1%.
L’analyse temporelle peut ne pas faire apparaître cette distorsion. Par contre, l’analyse fréquentielle la
détecte facilement.
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
10
20logsk /s1
On représente le spectre du signal de
sortie : c’est-à-dire que pour chaque
composante de fréquence kf0, on représente
une raie de hauteur 20 log(sk/s1), où sk est
l’amplitude du terme harmonique de rang k
(l’échelle logarithmique permet de mettre en
évidence des termes de rang faible).
0
-20
-40
-60
0
f0
2f0
f
Remarque : cette non-linéarité n’est pas forcément un défaut : certains dispositifs ne valent que par
leur non-linéarité : diodes, AO en comparateur, certains composants d’optique (doubleur ou tripleur de
fréquence...).
3.
SYSTEMES ELECTRONIQUES LINEAIRES
Ils sont constitués de dipôles linéaires.
3.1.
Sources de courant et de tension
3.1.1. Représentations de Thévenin et de Norton
Un dipôle actif linéaire a, en convention générateur, une caractéristique de la forme :
i0 = - u/R + i
u = - Ri + u 0
i
pente -1/R
R
i0
modèle de Norton
R
u
i
u0 =Ri0
modèle de Thévenin
On peut interpréter cette caractéristique comme l'association d'une source idéale de courant i0, en
parallèle avec une résistance R, ou comme l'association d'une source idéale de tension u0 , en série
avec la même résistance R. On voit donc qu'il y a équivalence entre une source réelle de courant
(encore appelée générateur de Norton ), et une source réelle de tension (encore appelée générateur de
Thévenin ).
Il importe de distinguer des sources autonomes, dont le courant ou la tension caractéristiques sont des
constantes données, et des sources non autonomes, dont ces grandeurs dépendent en fait d'autres courants
ou tensions dans le réseau.
3.1.2. Association de dipôles linéaires
Afin de simplifier la représentation de montages comprenant des dipôles linéaires, on associera :
- deux dipôles mis en série en choisissant leurs représentations de Thévenin et
- deux dipôles mis en parallèle en choisissant leurs représentations de Norton.
Exemple :
PSI Brizeux
3.2.
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
11
Dipôles passifs classiques
Nous rappelons dans ce paragraphe les caractéristiques ou lois courant - tension pour 4 dipôles passifs
classiques :
- Résistance
i
Lorsqu'elle est linéaire, elle obéit à la loi d'Ohm :
R
u =Ri
u
- Inductance
En régime quelconque, la tension aux bornes et le courant traversant une inductance pure sont liées
di
par la relation : u = L dt .
Cette relation implique notamment qu'en régime continu (indépendant du temps), une inductance
pure se comporte comme un court-circuit (interrupteur fermé).
L'inductance devient un dipôle linéaire en régime sinusoïdal et en notation complexe :
u=L
di
dt
u = jLωi
€
1
€
Remarque1 L'étude énergétique d'une inductance
pure conduit à lui attribuer une énergie E B = Li2 .
2
Cette expression montre que, l'énergie étant continue, le courant traversant une inductance est luimême toujours continu. Ainsi, à la fermeture d'un interrupteur dans une branche comportant une
inductance, le courant juste après la fermeture est encore nul : l'inductance "s'oppose " au passage du
!
courant.
Remarque2 Une bobine réelle est modélisée par une
inductance pure L, en série avec une résistance r.
- Condensateur
En régime quelconque, la tension aux bornes et le courant traversant un condensateur idéal de
du
dq
capacité C sont liés par la relation : q = Cu ou i = C dt avec i = dt (bien noter les conventions relatives
entre i, q et u).
Cette relation implique notamment qu'en régime continu (indépendant du temps), un
condensateur idéal se comporte comme un coupe-circuit (interrupteur ouvert).
Le condensateur devient un dipôle linéaire en régime sinusoïdal et en notation complexe :
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
u=
q
C
u=
1
i
jCω
avec i =
12
dq
du
=C
dt
dt
1
Remarque1 L'étude énergétique d'un condensateur conduit à lui associer une énergie UE = 2 Cu2. Par
€
suite de la continuité de l'énergie, la tension aux bornes d'un condensateur est elle-même continue.
Ainsi, un condensateur primitivement déchargé avant fermeture d'un interrupteur garde-t-il une tension
nulle juste après la fermeture de celui-ci.
Remarque2 Un condensateur réel est modélisé par un
condensateur idéal de capacité C, en parallèle avec une résistance r.
3.3.
L’A.O. en régime linéaire
3.3.1. Modèle de l’A.O. idéal
+V cc
L’amplificateur opérationnel (A.O.) idéal
est un amplificateur différentiel possèdant 5
bornes :
- 2 bornes d’alimentation (+ Vcc et -Vcc avec
Vcc = 15V),
- deux bornes d’entrée (entrées dites
inverseuses et non inverseuses V+ et V- ),
- et une borne de sortie.
+
_
V+
Vs
V-Vcc
♦ L’A.O. est dit idéal au sens de la résistance d’entrée si celle-ci est infinie.
Ce modèle implique donc que les courants entrant aux bornes + et - de l'A.O. idéal sont
identiquement nuls.
Insistons en outre sur deux points fondamentaux :
♦ L'A.O. est un système actif : il possède également deux bornes d'alimentation (qu'on ne représente
jamais sur les schémas) par lesquelles il reçoit de la puissance.
♦ La valeur du gain µ est très élevée (de l'ordre de 105 pour un A.O. classique ) ce qui a pratiquement
deux conséquences essentielles :
- On adopte souvent le modèle de l'A.O. idéal de gain infini, dont la caractéristique est la forme
limite représentée ci-après :
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
A.O. de gain fini
13
A.O. de gain infini
Vs
Vs
+Vsat
+V sat
!
!
-Vsat
-Vsat
- Les valeurs de ε pour lesquelles l'A.O. fonctionne de manière linéaire sont très faibles : la moindre
perturbation peut faire alors passer du domaine linéaire au domaine de saturation. C'est pourquoi on
n'utilise jamais, pour amplifier des signaux, un A.O. "tel quel" (c’est à dire en boucle ouverte). Si on
désire le stabiliser pour qu'il reste dans le domaine linéaire, on doit prévoir un retour de la sortie vers
l'entrée : on parle de bouclage de l'A.O.
La nécessité du bouclage sera décrite dans l'étude théorique de la rétroaction menée dans un prochain
chapitre.
En ce qui concerne l'A.O., on doit déjà connaître, sans pour l'instant en comprendre les fondements
théoriques, le résultat suivant très important:
Un A.O. bouclé de la sortie vers l'entrée inverseuse (on dit couramment "sur la patte moins de
l'A.O") fonctionnera en général dans son domaine linéaire, alors qu'un retour vers l'entrée non
inverseuse entraîne une saturation de l'A.O. Enfin seule une étude plus poussée de stabilité permet
de conclure quand on a un retour vers les deux entrées à la fois.
Un A.O. non bouclé fonctionne forcément en régime saturé.
Pour résoudre en pratique un problème où figurent des A.O., on doit avant tout se demander dans quel
domaine ils fonctionnent :
- si on suppose un A.O. de gain infini dans son domaine linéaire, on doit alors résoudre le problème
en écrivant à priori ε = 0, la valeur de Vs étant déterminée par le reste du circuit ( il faudra par la suite
pouvoir vérifier que Vs reste en valeur absolue inférieure à Vsat ).
-
si au contraire on le suppose fonctionner en saturation, on écrira à priori Vs = Vsat ou -Vsat ( avec
la condition nécéssaire ε > ou < 0 respectivement).
3.3.2. Montages classiques à A.O.
Rappeler les montages suivants, utilisant des A.O. : Suiveur, Amplificateur inverseur, Convertisseur courant-tension,
Amplificateur non inverseur, Comparateur à hystérésis, Dérivateur, Intégrateur, Sommateur, Soustracteur.
3.3.3. Modèle linéaire en terme d’impédances d'entrée,
d’impédance de sortie et de dérives.
- L'A.O. réel diffère également du modèle idéal par l'existence d'une impédance d'entrée non infinie et
d'une impédance de sortie non nulle :
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
14
- L'impédance d'entrée peut être modélisée à basse fréquence par une simple résistance , appelée
5
résistance d'entrée différentielle Rd, pouvant varier de 10 à 1010 Ω. A plus haute fréquence, on peut
affiner le modèle en adjoignant à Rd un condensateur de capacité Cd branché en parallèle.
- L'impédance de sortie est généralement représentée par une résistance ρ, dont la valeur varie entre
10 et 100 Ω.
De plus, l'A.O. réel est caractérisé par des dérives, qu'on choisit de modéliser par des
générateurs de tension et de courant, placés en entrée et à l'extérieur de l'A.O.
Ainsi une tension de décalage Vd (de l'ordre du mV) observable en sortie est modélisée par un
générateur de tension idéal Vd placé avant l'entrée non inverseuse de l'A.O (ce choix, ainsi que le sens de
représentation du générateur est arbitraire, seule la valeur réelle mesurée de Vd permet de conclure quant
à son signe ).
Enfin, il existe des courants aux entrées + et - de l'A.O., de faible valeur ( typiquement 10 nA ), en
général différents, et qu'on modélise par deux sources de courant idéales ib+ et ib- aux entrées
correpondantes de l'A.O. Une fois encore le sens de ces générateurs est conventionnel et le modèle
utilisé peut parfaitement amener à des courants négatifs...
On peut donc représenter l'A.O. réel par le schéma :
ib+
V+
+
Vd
!
Rd
"
S
VS
µ!
V-
ib-
3.3.4. Modèle du gain différentiel
Enfin, l'un des défauts les plus importants de l'A.O., car il va permettre d'aborder le problème de la
stabilité, est la dépendance du gain µ vis à vis de la fréquence. En diagramme de Bode, on a l'allure
suivante :
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
15
(20 logµ)dB
(20 logµ 0)=100
50
1
f0
3
2
4
5
logf
6
fc
L'A.O. apparaît donc comme un filtre passe-bas du premier ordre et on peut adopter le modèle
mathématique :
µ(ω) =
µ0 parfois noté Ad est l’amplification différentielle
statique, et G0 = 20 logµ0 est le gain statique ou gain
en boucle ouverte
µ0
ω
1 + jω 0
Remarque. Contrairement aux filtres passe-bas classiques, on a l'habitude de définir la fréquence de
coupure fc d'un A.O. pour une valeur de µ dB = 0 ( µ = 1 ). Pour les A.O. usuels, fc est de l'ordre de 1
MHz. Il ne faut pas confondre fc, fréquence de coupure à gain nul, et f0, fréquence de coupure à - 3 dB,
qui est, elle, de l'ordre de 10 Hz
Il est très important de comprendre qu' à ce modèle fréquentiel correspond un modèle "système du 1er
ordre" en régime quelconque, où Vs est solution de l'équation différentielle :
dVs
τ dt + Vs = µ 0ε
Vs = µ(ω) ε
<=>
1
où τ = ω0 (il suffit de faire la correspondance habituelle ). La signification physique de ce modèle
est la suivante : au contraire d'un A.O. idéal, un A.O. réel ne peut suivre instantanément, en l'amplifiant,
une tension d'entrée variable : il a un temps de réponse τ (temps de relaxation de l’A.O.).
3.3.5. Quelques conséquences du comportement fréquentiel de l’A.O.
3.3.5.1.Gain et bande passante du montage amplificateur non inverseur.
R2
R1
Ve
Vs
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
♦ En négligeant le temps de réponse de l’A.O., on a :Vs =
16
R1 + R2
R1 V-, c’est à dire un amplificateur à
gain constant, indépendant de la fréquence du signal d’entrée.
♦ En tenant compte de la limitation de l’A.O., on a en régime sinusoïdal forcé :
µ0
µ0H0
R1
R1 + R2
Vs = µ(V+ - V-) = 1 + τp (Ve - R1 + R2 Vs) d’où Vs = µ0 + H0(1+τp) Ve , en ayant posé H0 = R1 .
µ0H0
Vs
= µ0 + H0(1+τp) : fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre de
Ve
µ0H0
µ0
gain maximum Hmax = µ0 + H0 ≈ H0 et de pulsation de coupure à -3 dB ωc ≈ H0τ (en faisant l’hypothèse
µ0>>1).
!
On a donc : H =
On constate donc que l’AO réel suit le modèle idéal jusqu’à la pulsation de coupure ωc.
µ0
De plus, Hmax . ωc ≈ τ = cte ne dépendant que des caractéristiques de l’AO, et non de H0 (càd des
résistances R1 et R2).
Ce résultat s’énonce généralement de la façon suivante :
Le produit gain - bande passante du montage non inverseur est constant.
Cela se traduit par les diagrammes de Bode suivants :
GdB
les asymptotes à hautes fréquences ayant la
même équation quelque soit H0, à savoir :
µ0
20 log τ - 20logω.
20logHmax
20logH'max
Un gain élevé sera obtenu au prix d’une
bande passante étroite.
log!c log!'c
Remarque : ce résultat n’est pas valable pour l’ampli. inverseur.
3.3.5.2. Stabilité selon la borne de bouclage
Ce modèle de l'A.O. permet déjà d'entrevoir le comportement stable ou non stable d'un montage. En
effet, le problème rencontré est celui d'une éventuelle fluctuation de la grandeur d'entrée qui pourrait
entraîner une dérive correspondante de la tension de sortie qui l'amène en saturation. Or, à partir du
modèle de l'A.O. qu'on vient de proposer, on peut arriver à une équation différentielle liant Vs et Ve.
A la solution particulière de l'équation en régime sinusoïdal, se superpose la solution de l'équation
homogène qui, elle, peut diverger, c'est-à-dire entraîner une augmentation ou diminution au cours du
temps de Vs (par l'existence d'exponentielles réelles positives le plus souvent), amenant finalement cette
tension de sortie en saturation. Dans ce cas, le montage est dit non stable, l'A.O. fonctionnant
nécéssairement en régime saturé.
PSI Brizeux
Ch. E1: Réponse harmonique d’un système linéaire
17
Pour bien comprendre cette notion essentielle, reprenons les deux montages classiques de l'ampli non
inverseur et du comparateur à hystérésis, qui ne différent que par les entrées sur l'A.O. qui sont inversées.
♦ Pour l'ampli non inverseur, l'équation différentielle obtenue est :
dVs
R1
τ dt + Vs = µ0ε = µ0( V+ - V- ) = µ0 ( Ve - R1 + R2 Vs)
soit :
dVs
R1
τ dt + [ 1 + µ0 R + R ] Vs = µ0Ve
1
2
Les deux coefficients du premier membre étant positifs, la solution de l’équation sans second
membre, caractérisant le régime transitoire, tend toujours vers 0 : le système est stable.
♦ Dans le cas du comparateur au contraire, on aboutit à :
dVs
R1
τ dt + [ 1 - µ0 R + R ] Vs = - µ0Ve
1
2
Les deux équations ont même solution particulière ( car µ0 est très élevé ) ce qui pourrait faire penser
que les deux montages correspondent à un ampli non inverseur. Cependant, la valeur très élevée de µ0
fait qu'en pratique le coefficient devant Vs est négatif : la solution homogène est exponentielle
croissante : le système est en fait instable !!
En fait cette étude de stabilité d'un montage donné s'inscrit dans un cadre plus général, celui des
sytèmes bouclés et de la rétroaction, que nous allons développer dans un chapitre ultérieur...