fuzzy logic controller

Le Contrôleur Logique Naturel : définition et stabilité
The Natural Logic Controller: definition and stability
ACEVES LOPEZ Alejandro1,3
[email protected]
AGUILAR MARTIN Joseph2,3
[email protected]
1
CONACYT, Beca No.112409, México
IIiA-UdG. Campus Montilivi, 17071 Girona
3
LAAS-CNRS 7 av. Colonel Roche 31077 Toulouse
2
Résumé
1 Introduction
Les systèmes multivariables sont difficiles à commander
par un simple Contrôleur Flou (CF) à cause du nombre
de règles à spécifier. Le Contrôleur Logique Naturel
(CLN) contourne cette difficulté en considérant la
connexion logique d'autant de variables de sortie qu’il
sera nécessaire, en utilisant les t-normes de la Logique
Floue. Cette approche propose une simplification
importante de la complexité du CF permettant ainsi une
conception facile pour des systèmes SISO, SIMO et
MIMO. Dans cet article nous présentons la définition
formelle du CLN, ainsi que ses caractéristiques
linéaires autour de l'origine. Nous montrons aussi qu'il
est possible de vérifier la stabilité et la robustesse du
CLN par l'utilisation du Critère du Cercle
Multivariable. Un exemple SISO est discuté en détail.
La démarche normale de l’automatique classique
consiste d’abord à construire un modèle mathématique
du procédé et, ensuite, à déterminer une commande
(PID, commande par retour d’état, commande optimale,
etc.) afin de respecter certains performances comme par
exemple la minimisation de l’énergie apportée. Par
contre, si l'obtention d’un modèle mathématique est
difficile, l'automaticien dispose d'autres méthodes de
commandes, comme par exemple la commande floue. Si
un modèle qualitatif (implicite ou explicite) du procédé
est disponible alors il est possible de construire une
stratégie de commande (floue) sous une forme
d'ensemble de règles qui sont issues de cette
représentation qualitative. Le succès de la commande
floue est fortement lié à ses multiples avantages, comme
par exemple, sa capacité à modéliser la connaissance
d'un opérateur expert et, sa possibilité de reproduire
n'importe quelle surface non linéaire (le CF est un
approximateur universel [15]). On peut toujours
envisager l'utilisation d'un CF quand il est possible de
décrire la connaissance d'un opérateur expert sous forme
de règles. Mais, lorsque l’on attaque des procédés
multivariables, le nombre de règles augmente
exponentiellement diminuant ainsi son intérêt. Ceci
explique pourquoi on ne développe pas souvent des
contrôleurs flous au-delà de deux entrées et une sortie.
On est donc amené à la recherche de techniques
capables de réduire sa complexité. Il y a quelques
années, la communauté scientifique s'est intéressée à
réduire sa complexité afin de le rendre envisageable
pour la commande multivariable. Par exemple: Ying et.
al. [1] considèrent la plus simple partition floue de sorte
à avoir 2m règles floues à définir, ou Vidolov-Melin [2][3] qui ont proposé, analysé et appliqué un CF ayant
deux règles.
Mots Clef
Contrôleur Logique Naturel, Opérateur mixte de la
logique floue, Stabilité et Robustesse.
Abstract
MIMO (multi inputs multi outputs) systems are difficult
to be handled by simple Fuzzy Controllers (CF),
because of number of rules to specified. The Natural
Logic Controller (CLN) overcomes this difficulty by
considering the connection of all necessary outputs as a
fuzzy-logic combination using t-norms. This approach
propose an important simplification of the CF that
allow easy-design for SISO, SIMO and MIMO control
problems. In this paper we present the formal definition
of CLN and its linear behavior around the origin. We
also show that it is also possible to test stability and
robustness using the Multivariable Circle Criterion. A
SISO example is discussed in detail.
Keywords
Natural Logic Controller, Mixed
connective, Stability and Robustness.
fuzzy-logic
LAAS-CNRS Toulouse France, Rapport N°99331.
Dans ce même but, le Contrôleur Logique Naturel a été
initialement proposé par Aguilar-Hernandez en 1995
[4]-[6] et repris par Aceves-Aguilar en 1997 [7]-[8].
Cette approche propose une réduction importante de la
complexité du CF en considérant la connexion d’autant
de variables qu’il sera nécessaire en profitant de
l'associativité des t-normes de la Logique Floue.
L'objectif de cet article est de présenter la définition du
CLN ainsi qu'une méthode pour l'analyse de sa stabilité
dans une configuration de commande en boucle fermée.
Un exemple SISO est discuté en détail.
2 Définition du Contrôleur Logique Naturel
définition des deux sous-ensembles flous {N, P}, qui
correspondent aux valeurs négatives et positives. Ses
fonctions d'appartenances µP(εi ) et µN(εi ) sont montrées
sur la Figure 2.
µ(u)
µ(εi)
N
P
1
Nous considérons le problème de contrôle en boucle
fermée illustré sur la Figure 1. Le vecteur e (composé de
m variables ε1, ε2 … εm ∈ ℜ) est construit à partir du
signal d’erreur entre la consigne et la sortie mesurable
du procédé G(s). La commande u ∈ ℜ appartient à un
univers de discours symétrique U := [−Umax , Umax] et
chaque variable εi appartient respectivement à l'univers
de discours Ei := [−Ei max Ei max]. Nous cherchons une
fonction de commande Ψ : E1×E2×…×Em → U qui
assigne pour chaque valeur du vecteur e = [ε1, ε2 … εm]T
une commande u ∈ U. Pour cela, nous allons considérer
une démarche "Commande Floue Classique".
u
G(s)
consigne
−Eimax
0
u
−Umax
Eimax
0
Umax
Figure 2.- Les dichotomies floues définies.
Le degré d’appartenance de chaque variable
εi ∈ [−Ei max Ei max] au sous-ensemble flou P exprime le
degré de vérité de la proposition <εi est P> et elle est
définie par :

0
si − Eimax > ε i
 ε + E max
(1)
max
max
i
i
µ P (εi ) = 
max
 2 Ei

1
si
si
− Ei
≤ ε i ≤ Ei
ε i > Eimax
Le degré d’appartenance de la même variable au sousensemble flou N est défini par :
(2)
µ N (ε i ) = 1 − µ P (ε i )
observateur
y
_
erreur
2.3 Base de règles
R(s)
e
Ψ(e)
P
1
εi
2.1 Problème de commande
Procédé
SISO
N
contrôleur
Figure 1.- Système de commande en boucle fermée.
2.2 Sémantique floue
Dans la démarche "classique" de la Commande Floue, il
faudra définir des ensembles flous caractérisant
"imprécisement" chaque variable du contrôleur. Il est
reconnu que, malgré cette imprécision, un CF peut
commander correctement un procédé relativement
complexe. On sait intuitivement qu'il ne faut pas trop de
précision car cela rendrait très lourd les calculs à
l'intérieur du CF, mais aussi qu’il ne faut pas trop
d'imprécision car cela pourrait être insuffisant pour
pouvoir réagir correctement. Et pourtant, cette dernière
affirmation n'est pas catégorique, car aucune
démonstration n'a jamais été apportée concernant une
limite minimale d'imprécision. Plusieurs chercheurs se
sont intéressés à explorer les capacités du CF avec des
ensembles flous très simplifiés, comme c'est le cas de
Ying [1] et Vidolov-Melin [2]-[3] qui considèrent la
plus simple partition floue pour chaque univers de
discours. Leurs travaux montrent qu'il est encore
possible de commander correctement un procédé avec
une telle partition.
Etant donné que nous cherchons à réduire au maximum
la complexité du CF, nous allons aussi considérer la
LAAS-CNRS Toulouse France, Rapport N°99331.
Grâce à ces propositions floues nous sommes désormais
capables de caractériser la situation du système. Une
situation ℑ particulière du système se traduit par une
collection de propositions du type <εi est Xi > où
Xi ∈ {N, P}. Sans perte de généralité et par une
disposition adéquate des signes des signaux délivrés par
R(s), on peut considérer une base des règles du type
MacVicar-Whelan [17]. La base "complète" est
constituée de 2m règles différentes, dont la première et
dernière règles sont :
1re. règle : Si ℑ est {< ε i est N >
i = 1K m}alors < u est N >
M
M
Dre. règle : Si ℑ est {< εi est P >
i = 1K m}alors < u est P >
Chaque règle est une relation floue du type A→B, ou A
correspond à la situation particulière du système et B
correspond à la commande, et grâce au raisonnement
approché il est possible d'interpréter cette base. C'est
ici, que nous proposons la simplification fondamentale
suivante: au lieu de spécifier les 2m règles, nous allons
retenir uniquement la première et dernière règles et nous
allons déduire l'action de commande à partir de ces deux
règles retenues. La justification d'une si brutale
simplification ne se trouve pas dans une "approche
connaissance" car plus on ignore plus on réagit
bêtement, mais dans un "approche commande". En
effet, les deux règles retenues sont proche du très ancien
régulateur tout ou rien. Cette stratégie de commande,
bien qu'elle soit très grossière et violente, sera nuancée
par l'introduction d'un opérateur d’association mixte de
la Logique Floue présenté ci-dessous.
Pour associer les propositions floues élémentaires, deux
attitudes peuvent être suivies. Soit on prend la
conjonction des ces propositions, ce qui correspond à
l'attitude la plus exigeante, c'est-à-dire qu’il faut que
toutes soient vraies pour que la situation soit vraie. Soit
on prend la disjonction des propositions floues
élémentaires, ce qui correspond à l'attitude la moins
exigeante, c'est-à-dire qu’il suffit qu'une des
propositions soit vraie pour que la situation soit vraie.
Chacune de ces deux attitudes est cohérente et trouve sa
justification selon le degré d'exigence désiré. Mais pour
avoir le contrôle de l'exigence, nous allons considérer
une interpolation convexe entre ces deux attitudes
extrêmes par un opérateur d’association mixte défini
comme fλ(y,z) = (1−λ)⋅t(y,z) + λ⋅s(y,z) et λ∈[0, 1], où la
t-norme et la s-norme sont duales par rapport à la
négation stricte n(x)=1−x. Il est démontré par PieraAguilar [9]-[11] que cette notion d'exigence est
ordonnée par rapport à λ.
Ainsi, en utilisant l'associativité des t-normes et en
utilisant l'implication de type Mamdani, nous sommes
capables d'évaluer notre base des règles :
(3)
µ uP = (1 − λ) ⋅ t µ eP + λ ⋅ s µ eP
( )
( )
µ uN = (1 − λ ) ⋅ t (µ eN ) + λ ⋅ s(µ eN )
où : µ eP = [µP(ε1), µP(ε2) … µP(εm)]
T
(4)
Le tableau suivant montre les normes triangulaires les
plus utilisées.
Auteur
Zadeh
t-norme
min(x1...xm)
Probabiliste
∏ xi
1 − ∏ (1 − xi )
m
max1 − m + ∑ xi ,0 
i =1


m
min ∑ xi ,1
 i =1 
Lukasiewicz
Si nous considérons l’application du CLN à des
systèmes physiques qui ont des limites symétriques
alors le CLN admet la transformation montrée sur la
Figure 3.
CLN normalisé
u
*
Umax
u
Ψ(⋅)
εm*
.
..
*
ε1
1/Emmax
1/E1max
εm
ε1
Figure 3.- CLN normalisé sous la condition d’univers
symétriques.
Définition 1 : Soit ε ∗i ∈ [− 1, 1] pour ∀i = 1…m,
u ∗ ∈ [− 1, 1] et λ ∈ [0, 1] alors le CLN normalisé
est une fonction de commande non linéaire Ψλ(e*)
définie par :
t (µ ) + s (µ ) − 1
(6)
u∗ =
(2λ − 1)[t (µ ) − s (µ )] + 1
où :
T
µ eN = [µN(ε1), µN(ε2) … µN(εm)] .
i =1
2.4 CLN normalisé
 ε∗ + 1
ε ∗ + 1
L m  .
µ= 1
2 
 2
et
T
m
ensemble flous dépend uniquement des contraintes du
procédé, soit imposées par des raisons physiques ou
technologiques, soit par les limites acceptables de
l'erreur.
•
Désormais, nous allons étudier le CLN "normalisé"
exprimé par l’équation (6).
s-norme
max(x1...xm)
m
2.5.- Equivalence avec la commande linéaire
i =1
Tableau 1.- Les t-normes les plus utilisées [16].
L'action finale de commande u est calculée avec une
méthode de defuzzification du type Centre-de-Gravité :
µ u ⋅ U max − µ uN ⋅ U max
(5)
u= P
1 − µ uP + 1 − µ uN
Ainsi, le CLN peut être considéré comme un CF à deux
règles, où la fonction de commande Ψ est construite à
partir des équations (1)-(5) et dépend du paramètre λ.
Notons que notre approche évite le problème de
l'explosion combinatoire du nombre de règles en
profitant de l'associativité des t-normes.
Cette approche a été nommée "logique" parce qu'on
utilise un opérateur mixte de la logique floue et elle a
été nommé "naturelle" car la définition des sous-
LAAS-CNRS Toulouse France, Rapport N°99331.
Une caractéristique très intéressante du CLN est qu’il
est équivalent, sous certaines considérations, à la
commande linéaire.
Propriété 1 : Si m = 2 et λ=½, l'action de commande
construite par le CLN normalisé est égale à
u*=½(ε1*+ε2*), pour n’importe quelle t-norme de
Frank.
•
Démonstration : Si une t-norme appartient à la famille
de t-normes de Frank [14], comme c’est le cas des tnormes de Zadeh, Probabiliste, Lukasiewicz, alors
t (µ 1 , µ 2 ) + s(µ1 , µ 2 ) ≡ µ1 + µ 2 . Dans ce cas,
l'équation (6) devient:
1
u ∗ = t (µ1 , µ 2 ) + s(µ1 , µ 2 ) − 1 = ε1∗ + ε ∗2 .
2
•
(
)
Cette propriété est vérifiée pour n’importe quelle tnorme de Frank mais uniquement pour m=2. Par contre
si m≠2, la propriété 1 n’est plus valable. Toutefois il est
possible de démontrer que la commande u* engendrée
par le CLN (probabiliste) est linéaire au voisinage de
zéro.
Propriété 2 : La commande u* construite par le CLN
normalisé (6) en utilisant les t-normes probabilistes
est
approximativement
linéaire
si
e* = [ε1*, ε2* … εm*]T est dans le voisinage du vecteur
zéro, ainsi :
m
1
u∗ ≅
ε ∗i
∑
m
(1 − λ ) 2 − 1 + λ i=1
si e ∗ → [0 0 K 0 ]T .
•
Démonstration :
Par définition des t-normes
probabilistes, l’équation (6) devient :
∏ µ i − ∏ (1 − µ i )
u∗ =
(2λ − 1)(∏ µ i + ∏ (1 − µ i ) − 1) + 1
(
)
∏ (1 + ε ) − ∏ (1 − ε )
=
(2λ − 1)(∏ (1 + ε ) + ∏ (1 − ε ) − 2 ) + 2
Sachant
que
∏ (ε + 1) ≅ 1 + ∑ ε
∗
i
∗
i
∗
i
m
i =1
∗
i
m
∗
i
i =1
m
m
∗
i
i =1
i =1
En faisant une inspection plus détaillée des surfaces de
la colonne de gauche (λ=0) de la Figure 4 on constate
que la commande construite par le CLN(Lukasiewicz)
est la plus douce de toutes. De la même façon, en
regardant les surfaces de la colonne de droite (λ=1) on
constate que la commande du CLN(Lukasiewicz) est la
plus réactive de toutes.
∗
i
Surface du CLN"Zadeh" avec λ=1
Surface du CLN"Zadeh" avec λ=0
1
u
1
u
0
0
-1
m
-1
1
et
∗
i
1
1
0
ε2
T
∗
∏ (1 − ε ) ≅ 1 − ∑ ε , puisque e → [0 0 K 0]
m
situation du système est réalisée par l'intersection
d'antécédents, c'est-à-dire, qu’il faut que toutes les
antécédentes soient vérifiées à 100% pour que la
commande soit activée à 100%. Les lignes noires des
surfaces de la colonne de droite correspondent aux deux
règles où l'interprétation est faite par l'union
d'antécédentes, c'est-à-dire qu’il suffit qu'une des
antécédentes soit totalement vraie pour que la
commande soit activée totalement.
0
-1
-1
ε1
Surface du CLN"Probabiliste" avec λ=0
alors :
u
1
u ≅
ε ∗i
(1 − λ ) 2 m − 1 + λ ∑
i =1
(
)
-1
1
1
1
0
ε2
0
-1
-1
ε1
ε2
Autrement dit, si les univers de discours sont très grands
( Ei max, Umax → ∞ ), alors la commande générée par le
CLN tend vers une commande du type linéaire. Par
ailleurs, si λ=1 alors la commande appliquée par le
CLN dans le voisinage de zéro est égale à la somme des
entrées.
0
-1
-1
-1
-1
ε1
1
1
u
1
0
Surface du CLN"Luckasiewicz" avec λ=1
Surface CLN"Luckasiewicz" avec λ=0
•
ε1
0
-1
∗
-1
1
0
m
0
-1
Surface du CLN"Probabiliste" avec λ=1
1
u
1
0
ε2
u
0
0
-1
-1
1
ε2
1
1
0
0
-1
-1
ε1
ε2
1
0
0
ε1
Commande du type Bang-Bang (Mode glissant)
Figure 4.- Les surfaces construites par le CLN.
3 Analyse de stabilité
2.6 Influence du paramètre d'association mixte
Il reste à mettre en évidence l'influence de l’opérateur
d’association mixte sur la commande. En considérant un
CLN "normalisé" à deux entrées (m=2), il est toujours
possible de représenter l’action de commande u* comme
une surface dans un espace tridimensionnel. Dans la
Figure 4 on montre les surfaces correspondant à la
commande du CLN pour le trois t-normes (Zadeh,
Probabiliste et Lukasiewicz) et pour deux valeurs
spécifiques de λ (0 et 1). Remarquons qu’en faisant
varier λ de zéro à un, nous construisons un volume dont
la surface inférieure correspond à λ=0 et la surface
supérieure correspond à λ=1. Toute autre surface se
trouve à l’intérieur de ce volume. Les deux points noirs
dans les surfaces de la colonne de gauche,
correspondent aux deux règles où l'interprétation de la
LAAS-CNRS Toulouse France, Rapport N°99331.
L’ajustement du paramètre λ est laissé au concepteur
(ou superviseur) selon le degré d'exigence désiré. Mais
quelques applications ont montré des comportements
instables pour certaines valeurs de λ. Alors, il faut
garantir au superviseur que quelle que soit son choix
(entre un λinférieur et un λsupérieur) le système bouclé reste
stable. Dans cette section nous montrons une méthode
pour cela. Puisque le CLN génère une commande non
linéaire, des méthodes adaptées doivent être appliquées.
3.1
Le Critère du cercle
Il existe plusieurs résultats concernant l'étude de
stabilité, comme par exemple le critère de Nyquist, le
critère du cercle, le critère de Popov ou le critère de
faible gain, voir [12]-[13] pour les détails. Dans cet
[Ψ (e )− K
article nous allons rappeler uniquement le critère du
cercle.
u
0
λ
∗
_
Ψ(e)
] [Ψ (e ) − K
T
λ
∗
max
]
e∗ ≤ 0
observateur
u
e
e∗
(10)
consigne
Procédé
SISO
H(s)
min
ε1
..
.
erreur
y
G(s)
R(s)
_
εm
Figure 5.- Forme canonique du Problème de Lure.
Théorème 1 : Le Critère Multivariable du Cercle. Pour
le système bouclé de la Figure 5, soit :
a) H(s) un système linéaire strictement propre,
b) Ψ(⋅) une non linéarité sans mémoire, satisfaisant la
condition du secteur:
[Ψ(e) − K min e]T [Ψ(e ) − K max e] ≤ 0 , ∀e ∈ Π ⊂ ℜ m
pour deux matrices réelles Kmin et Kmax, où Π est un
domaine compact convexe incluant l'origine,
c) et soit H T (s ) = H (s )[I + K min H (s )]−1 = C (sI − A)−1 B
où (A, B, C) est une réalisation minimale,
Alors le système bouclé est absolument stable si:
i. A est Hurwitz,
ii. il existe une matrice symétrique définie positive P
solution de l'équation de Riccati:
(7)
PX A + X TA P + PBBT P + CT KKC = 0
où X A = 2A − BKC+ εI , K=Kmax−Kmin et ε est un
scalaire positif suffisamment petit (nous
considérerons ε = −10 −3 Real (λ max ( A )) ).
•
Dans le cas où la stabilité serait garantie dans un certain
domaine (Π ⊂ ℜm), alors nous sommes intéressés à
estimer ce domaine. Cela revient à résoudre le problème
d’optimisation non-linéaire suivant :
max
µ = max x T Px sous: K min Cx = U
x
(
)
La solution de ce problème est donnée par :
T
 2P
x   0 
C T K min

   =  max 
0   φ  U 
 K min C
Umax
u*
Ψλ(⋅)
où φ est le multiplicateur de Lagrange. Ainsi, toute
condition initiale qui vérifie x(0)TPx(0) ≤ µ génère une
trajectoire stable asymptotique vers l’origine.
max
CLN normalisé
Figure 6.- Configuration de commande en utilisant le CLN.
Il nous reste à trouver Kmin et Kmax qui vérifient
l’inégalité (10). Pour l’instant nous allons restreindre
cette analyse à un CLN à deux entrées e*=[ε1*, ε2* ]T et
nous allons considérer que ces deux dernières ne se
saturent pas. Ainsi, nous énonçons la proposition
suivante.
Proposition 1 : Soit e*=[ε1*, ε2* ]T avec ε1*, ε2* ∈ [−1 1]
pour ∀t. Soit u* = Ψλ(e*) définie par (6) et soit :
1
1
(11)
[1 1]
K min = [1 1] et K max =
2
4(1 − λ )
alors la condition du secteur est satisfaite
globalement quelle que soit la valeur de λ et la tnorme choisie.
•
Démonstration.- De l’équation (6) on peut écrire :
ε1∗ + ε ∗2
Ψλ e ∗ =
2(2λ − 1){t (µ1 , µ 2 ) − s(µ1 , µ 2 )}+ 2
En utilisant cette équation et les valeurs de Kmin et
Kmax dans l’équation (10), la condition de secteur
est transformée en:
( )
(ε + ε ) (2λ −1) (s(µ ,µ ) −t(µ ,µ ))(s(µ ,µ ) −t(µ ,µ ) −1) ≤ 0 (12)
2(1−λ)
∗ 2
2
2
1
µ = x T Px
m
1/E1max
∗
1
(8)
.. 1/E
.
e*
2
1
2
1
2
1
2
Etant donné que le premier facteur de (12) est
toujours positif alors le deuxième doit être négatif.
Mais ceci est vrai car 0 ≤ s (µ1 , µ 2 ) − t (µ1 , µ 2 ) ≤ 1
quelles que soient les t-normes choisies.
•
Considérons maintenant que les deux entrées peuvent
saturer.
3.2 Application au CLN
La configuration de commande montrée dans la Figure
6 est déjà sous la forme standard de type Lure.
L'application du critère du cercle est alors directe. La
partie linéaire est :
[
(
H (s ) = diag Eimax
)] R(s )G (s )U
−1
max
et la condition du secteur est :
LAAS-CNRS Toulouse France, Rapport N°99331.
(9)
Proposition 2 : Soit e*=[ε1*, ε2* ]T avec ε1*, ε2* ∈ ℜ
pour ∀t. Soit u* = Ψλ(e*) définie par (6) et soit :
1
1
[γ1 γ2 ]; Kmax =
Kmin =
[1 1] (13)
1
4max( 2 ,1 − λ)
4 min( 12 ,1 − λ)
alors la condition du secteur est satisfaite
globalement pour tout λ ∈ [0, 1], les scalaires
0≤γ1≤1 et 0≤γ2≤1, et quelle que soit la t-norme
choisie.
•
Démonstration.- D'abord écrivons l'équation (6) en
considérant que ε1*, ε2* peuvent se saturer :
ε1∗ ⋅ g ε1∗ + ε ∗2 ⋅ g ε ∗2
(14)
Ψλ e ∗ =
2(2λ − 1){t (µ1 , µ 2 ) − s(µ1 , µ 2 )} + 2
où:
− 1 / ε ∗i si − 1 > ε ∗i

g ε ∗i =  1
si − 1 ≤ ε ∗i ≤ 1
∗
 1/ ε
si
ε ∗i > 1
i

est un gain dynamique toujours compris entre zéro et
un. Dans le cas d'un domaine fini de stabilité, la
limite minimale n'est plus zéro mais γi qui est plus
grand que zéro.
Partons de l'inégalité : 0 ≤ s (µ1 , µ 2 ) − t (µ1 , µ 2 ) ≤ 1 .
Si (1−2λ)>0 alors 0 ≤ (1− 2λ)(s(µ1 , µ2 ) − t(µ1 , µ2 )) ≤ (1− 2λ)
1
1
1
donc
≤
≤
4(1 − λ) 2(1 − 2λ)(s(µ1, µ2 ) − t(µ1, µ2 )) + 2 2
Si (1−2λ)<0 alors (1− 2λ) ≤ (1− 2λ)(s(µ1,µ2 ) − t(µ1,µ2 )) ≤ 0
1
1 .
donc 1 ≤
≤
2 2(1− 2λ)(s(µ1, µ2 ) − t(µ1, µ2 )) + 2 4(1 − λ)
Ainsi, il découle aisément que:
( )
( )
( )
( )
1
1
1 
1 
1

 ≤
≤ max ,
min ,
 2 4(1 − λ) 
 2 4(1 − λ)  2(1 − 2λ)(s(µ1, µ2 ) − t(µ1, µ2 )) + 2
1
1
1
≤
≤
4 max(12 ,1 − λ) 2(1 − 2λ)(s(µ1, µ2 ) − t (µ1, µ 2 )) + 2 4 min(12 ,1 − λ)
Donc (14) est compris entre: Kmine∗ ≤ Ψλ (e∗ ) ≤ Kmaxe∗
où Kmin et Kmax sont définies par (13).
•
Pour nous faciliter la tâche nous considérons γ1=γ2=γ.
Finalement il ne nous reste qu’appliquer le théorème 1.
Notons qu’il faut fixer la valeur de λ à priori, pour
ensuite calculer Kmin et Kmax, et ensuite évaluer la
stabilité du système. Dans le cas où l’ensemble des
valeurs de λ n’est pas vide, alors il est intéressant
d’avoir une estimation du plus grand intervalle [λinf,
λsup], telle que la stabilité du système bouclé est assurée.
Pour cela, nous proposons la méthode de recherche
itérative suivante.
Pas 6.-Le système est absolument stable pour tout
λ ∈ [λinf, λsup] et toute condition initiale telle
que : µ ≥ x(0 )T Px (0 ) .
FIN
4 Exemple illustratif
Dans cette section, nous allons présenter un exemple
d'application du CLN et son étude de stabilité et de
robustesse. Considérons le système SISO sous la
configuration de régulation de la Figure 6. Le modèle du
système et le pseudo-observateur sont :
T
~
s+2
et R (s ) = 1, 1 
G(s ) = 2

s + αs + 2
s 
avec : α = αο + ∆α, αο = −2 et ∆α ∈ [−1.1 1.1].
Alors le modèle nominal est:
s+2
G (s ) = 2
s − 2s + 2
Définissons les réalisations minimales en espace d’état
de chaque bloc linéaire comme: G (s ) ↔ [AG , BG , CG ] et
R2 (s ) ↔ [ AR , B R , C R ] (le bloc intégral) avec conditions
initiales xG(0) et xR(0) égales à zéro. La consigne est
définie par une fonction échelon unitaire d’amplitude r.
Les univers de discours des variables du CLN sont fixés
à: E1∈[−1, 1] et E2∈[−0.5, 0.5]. La première variable
correspond à l’erreur et la deuxième correspond à
l’intégrale de l’erreur. Nous considérons enfin que la
commande est saturée, U ∈ [−30, 30] et les t-normes
utilisées sont Probabilistes.
1.4
λ=0
λ=1
1.2
1
0.8
y(t)
0.6
0.4
0.2
Algorithme 1 :
Pas 1.-Obtenir une réalisation (A,B,C) minimale de (9).
Si (A−½BC) est Hurwitz alors CONTINUER,
sinon ARRETER, on ne peut assurer la stabilité
pour aucune valeur de λ.
Pas 2.-Trouver le plus petit λ=λinf ≥ 0 qui vérifie le
théorème 1 avec Kmin et Kmax définies par (11).
Pas 3.-Trouver le plus grand λ=λsup≤1 qui vérifie le
théorème 1 avec Kmin et Kmax définies par (11).
Pas 4.-Trouver le plus petit γ=γlim ≥ 0 qui vérifie le
théorème1 avec (13).
Pas 5.-Calculer µ solution de (8) avec Kmin et P obtenus
au Pas 4 et Umax = 1.
LAAS-CNRS Toulouse France, Rapport N°99331.
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
temps [seg]
1.4
1.6
1.8
2
Figure 7.- Réponse temporelle du système bouclé.
4.1 Réponse temporelle
Dans la Figure 7 nous présentons la réponse temporelle
de y(t) commandée par le CLN précédemment spécifié.
L'amplitude de la consigne a été fixée à r = 1. Notons
que la réponse temporelle avec λ=1 est plus rapide que
celle avec λ=0. Notons aussi que le dépassement et le
temps de stabilisation sont plus importantes avec λ=0
qu'avec λ=1. Ces résultats montrent comment les
performances sont organisées par rapport à λ pour ce
cas particulier.
12
Consigne=5.3229
Consigne=5.56
10
4.2 Analyse de stabilité du système nominal
8
Nous allons étudier la stabilité du système bouclé par
l’analyse de l'état stationnaire xH(∞) = [xG(∞), xR(∞)]T.
Comme xH(∞) ≠ 0, il faut, avant tout, définir le
changement de variable x(t ) = x H (t ) − x H (∞ ) , afin que
la nouvelle variable d’état ait un point d’équilibre à
l’origine
Si,
par
définition,
x(∞ ) = 0 .
alors
:
erreur (∞ ) = r − y (∞ ) = 0
 xG (∞ )  AG
 u (∞ )  = C
  G

4
2
0
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Figure 8.- Réponses temporelles du système nominal avec un
CLN (probabiliste) et λ = 0.
 erreur(∞ ) x R (∞ ) 
u(∞ ) = U max Ψ λProb 
, max 
max
E2 
 E1
max
U
= x R (∞ )
(3 − 2λ )⋅ E2max
4.3 Analyse de la robustesse
Considérons maintenant le modèle incertain tel que:
~
G (s )
et ∆ g = ∆α s
G (s ) =
s+2
1 + ∆ g G (s )
La configuration de commande avec modèle incertain
peut être transformée en celle montrée dans la Figure 9.
La représentation en espace d’état de H(s) est :
2 − 2 0
30


x& (t ) = 1 0 0 x (t ) +  0 u ∗
1 2 0
 0 
consigne=0
 ε1∗  1 2 0 
 ∗=
 x (t )
ε 2  0 0 2
Go(s)
y
_
_
R(s)
ε1*
ε1
ε2
H(s)
_
⇒
∆g
_
~
u
avec sa valeur initiale :
 0 
− x G (∞ ) 

x (0 ) = 
 = − 0.5 r
∞
x
(
)
 R
  3−2 λ 
 60 
En appliquant l’algorithme 1, on trouve que le CLN est
absolument stable pour :
r ≤ 3.6153 avec :
163.6989 
686.4631
780.7627
r ≤ 5.3229
0.0080
0.0481
0.0459
avec :
Par simulation temporelle on a pu constater l'apparition
d’un cycle limite avec le CLN (λ = 0) lorsque la
consigne est égale à 5.56.
LAAS-CNRS Toulouse France, Rapport N°99331.
Umax
Ψλ(⋅)
u*
1/E1max
CLN normalisé
ε2*
y~
∆α
1/E2max
a) ∀λ ∈ [0, 0.9999], γ ≥ 0.4,
 83.187 164.6188
P = 164.6188 681.2184
163.6989 686.4631
5
temps[seg]
−1
BG   0 
0   y(∞ )
b) ∀λ ∈ [0, 0.5], γ ≥ 0.26,
0.0112 0.0130
P = 0.0130 0.0642
0.0080 0.0481
6
y(t)
Ψλ(⋅)
Figure 9.- Schéma équivalent.
La représentation en espace d’état
matrice de transfert H(s) est :
 2 − 2 0
30
x& (t ) = 1 0 0 x(t ) +  0
1 2 0
 0
de la nouvelle
1 ∗
u 
0  ~ 
u
0  
 ε1∗  1 2 0
 ∗ 

ε 2  = 0 0 2 x(t )
 ~y  1 0 0
 
avec :
 0 
x (0) =  − 0.5 r
λ 
 3−2
60 
et les matrices Kmin et Kmax sont égales :
γ

1
K min =  4 max ( 2 ,1−λ )
 0
 11
K max =  4 min (2 ,1−λ )
 0
0 
;
− ∆α
1
0 
4 min ( 12 ,1− λ )

0
∆α 
γ
4 max 12 ,1− λ
(
0
)
En appliquant l’algorithme 1 on arrive à garantir la
stabilité robuste du système pour tout λ ∈ [0, 0.999],
γ ≥ 0.55, tout ∆α ∈ [−1.1, 1.1] et :
 8.2390 15.9649 15.7115 
P = 15.9649 65.5450 63.2520
15.7115 63.2520 70.2353
L'amplitude maximale de la consigne est égale à
r ≤ 2.6615. Par simulation temporelle on a constaté
l'apparition d’un cycle limite avec le CLN (λ =0 et
∆α = −1.1) lorsque la consigne est égale à 3.341.
7
6
5
4
3
y(t)
2
1
0
Consigne=2.6615
Consigne=3.341
-1
-2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
temps[seg]
Figure 10.- Réponse temporale avec CLN et modèle incertain.
Conclusions
Le CLN propose une simplification importante de la
complexité du CF permettant une conception facile pour
des systèmes uni et multidimensionnels. Dans cet article
seul le cas SISO est détaillé. Comme travail futur nous
proposons son application à un système MIMO.
Avec le critère du cercle nous sommes capables de
garantir la stabilité et la robustesse d'un système linéaire
commandé par un CLN pour un intervalle [λinf λsup].
L'exemple montre que ce test n'est pas excessivement
conservatif.
Nous considérons que l'intérêt du CLN réside dans trois
aspects:
i. Quand une commande linéaire peut être appliquée
dans le voisinage du point d'équilibre, alors notre
approche peut donner des résultats intéressants.
ii. Si la stabilité est garantie dans une intervalle de λ,
alors l'opérateur (ou superviseur) peut choisir
librement un λ spécifique selon les performances
désirées.
iii. Puisque le CLN n’utilise que quelques
paramètres, son autoréglage peut être développé.
LAAS-CNRS Toulouse France, Rapport N°99331.
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un tipo de control no lineal: el controlador logico
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Mixtes : de nouveaux operateurs d’association des
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constructed by means of triangular norms", Journal of
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[15] L. X. Wang, "Fuzzy systems are universal
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[16] B. Bouchon Meunier, "La Logique Floue", Serie Que
sais-je, 2702, Presse Universitaires de France, 2ème Ed.
1994.
[17] P. J. Mac Vicar Whelan, "Fuzzy sets for man machine
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