Démonstration 11 - XMaths

Démonstration 11
→
u
→
• Soit t une translation de vecteur u .
Soit M un point du cercle de centre O et de rayon R.
On a OM = R .
Si on note O' et M' les images de O et M par la translation t,
on sait que O'M' = OM
Donc O'M' = R
Donc M' est un point du cercle de centre O' et de rayon R .
NB : On a ainsi démontré que l'image du cercle de centre O
et de rayon R est contenue dans le cercle de centre O' et de
rayon R.
R
R
Inversement soit N un point du cercle de centre O' et de rayon R.
On a O'N = R
Considérons le point M image de N par la translation t' réciproque de t.
On a alors M = t'(N) donc N = t(M).
Comme on sait que O' = t(O) on en déduit que O'N = OM donc OM = R
c'est-à-dire que M appartient au cercle de centre O et de rayon R.
Donc tout point N du cercle de centre O' et de rayon R est l'image d'un point M du cercle de centre O et
de rayon R.
On en conclut que :
L'image par t du cercle de centre O et de rayon R est le cercle de centre O' = t(O) et de rayon R.
Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le milieu I de [AB] et pour rayon AB .
2
Une translation conserve le milieu (conservation du barycentre) et conserve les distances.
L'image du cercle de diamètre [AB] est donc le cercle de centre I', milieu de [A'B'], et de rayon
AB = A'B' c'est-à-dire le cercle de diamètre [A'B'].
2
2
On en conclut que :
L'image du cercle de diamètre [AB] est le cercle de diamètre [A'B'] avec A' = t(A) et B' = t(B).
Le cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O et de rayon OA.
Une translation conserve les distances, donc l'image du cercle de centre O et de rayon OA est le cercle
de centre O' et de rayon O'A' = OA, c'est-à-dire le cercle de centre O passant par A'.
On en conclut que :
L'image du cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O' passant par A'.
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1èreS − Translations − Homothéties − Démonstrations
• Soit h une homothétie de centre Ω et de rapport k.
Soit M un point du cercle de centre O et de rayon R.
On a OM = R .
Si on note O' et M' les images de O et M par l'homothétie h,
on sait que O'M' = |k| OM .
Donc O'M' = |k| R .
Donc M' est un point du cercle de centre O' et de rayon |k| R .
|k|R
NB : On a ainsi démontré que l'image du cercle de centre O
et de rayon R est contenue dans le cercle de centre O' et de
rayon |k| R.
Inversement soit N un point du cercle de centre O' et de rayon |k| R.
R
On a O'N = |k| R .
Considérons le point M image de N par l'homothétie h'
réciproque de h .
On a alors M = h'(N) donc N = h(M).
Comme on sait que O' = h(O) on en déduit que
O'N = |k| OM donc OM = 1 O'N = 1 |k| R = R
Ω
|k|
|k|
c'est-à-dire que M appartient au cercle de centre O et de rayon R.
Donc tout point N du cercle de centre O' et de rayon R est l'image d'un point M du cercle de centre O et
de rayon R.
On en conclut que :
L'image par h du cercle de centre O et de rayon R est le cercle de centre O' = h(O) et de rayon |k| R.
Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le milieu I de [AB] et pour rayon AB .
2
Une homothétie conserve le milieu et multiplie les distances par |k|.
L'image du cercle de diamètre [AB] est donc le cercle de centre I', milieu de [A'B'], et de rayon
|k| AB = A'B' c'est-à-dire le cercle de diamètre [A'B'].
2
2
On en conclut que :
L'image du cercle de diamètre [AB] est le cercle de diamètre [A'B'] avec A' = h(A) et B' = h(B).
Le cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O et de rayon OA.
Une homothétie multiplie les distances par |k|, donc l'image du cercle de centre O et de rayon OA est le
cercle de centre O' et de rayon |k| OA = O'A', c'est-à-dire le cercle de centre O passant par A'.
On en conclut que :
L'image du cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O' passant par A'.
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1èreS − Translations − Homothéties − Démonstrations
• Soit r une rotation d'angle α.
Soit M un point du cercle de centre O et de rayon R.
On a OM = R .
Si on note O' et M' les images de O et M par la rotation R,
on sait que O'M' = OM
Donc O'M' = R
Donc M' est un point du cercle de centre O' et de rayon R .
NB : On a ainsi démontré que l'image du cercle de centre O
et de rayon R est contenue dans le cercle de centre O' et de
rayon R.
Inversement soit N un point du cercle de centre O' et de rayon R.
On a O'N = R
Considérons le point M image de N par la rotation r' réciproque de r.
On a alors M = r'(N) donc N = r(M).
Comme on sait que O' = r(O) on en déduit que O'N = OM donc OM = R
c'est-à-dire que M appartient au cercle de centre O et de rayon R.
Donc tout point N du cercle de centre O' et de rayon R est l'image d'un point M du cercle de centre O et
de rayon R.
On en conclut que :
L'image par r du cercle de centre O et de rayon R est le cercle de centre O' = r(O) et de rayon R.
Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le milieu I de [AB] et pour rayon AB .
2
Une rotation conserve le milieu (conservation du barycentre) et conserve les distances.
L'image du cercle de diamètre [AB] est donc le cercle de centre I', milieu de [A'B'], et de rayon
AB = A'B' c'est-à-dire le cercle de diamètre [A'B'].
2
2
On en conclut que :
L'image du cercle de diamètre [AB] est le cercle de diamètre [A'B'] avec A' = r(A) et B' = r(B).
Le cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O et de rayon OA.
Une rotation conserve les distances, donc l'image du cercle de centre O et de rayon OA est le cercle de
centre O' et de rayon O'A' = OA, c'est-à-dire le cercle de centre O passant par A'.
On en conclut que :
L'image du cercle de centre O passant par A est le cercle de centre O' passant par A'.
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1èreS − Translations − Homothéties − Démonstrations