Polyèdres réguliers

 Section de
Mathématiques
le trétraèdre
l’icosaèdre
l’octaèdre
le cube
Les solides de Platon
Etudiés par Théétète d’ Athènes, puis ensuite par Platon et Euclide, les solides de Platon
sont les cinq polyèdres réguliers convexes. Ils sont caractérisés par le fait que toutes leurs
faces, leurs arêtes et les angles entre leurs faces sont identiques. On les classe suivant la
forme de leurs faces
Le Tétraèdre (ou pyramide):
L ’Octaèdre :
L’ Icosaèdre :
4 faces triangulaires, 4 sommets et 6 arêtes.
8 faces triangulaires, 6 sommets et 12 arêtes
20 faces triangulaires, 12 sommets et 30 arêtes
Le Cube (ou Hexaèdre) :
6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes
Le Dodécaèdre :
12 faces pentagonales, 20 sommets, 30 arêtes
le dodécaèdre
L’aviez vous remarqué ?
La formule d’Euler : si F désigne le nombre de faces, S le nombre de sommets et A le
nombre d’arêtes, on a la formule
S-A+F=2
timbre de l’ancienne RDA commémorant
la formule d’Euler
Cette formule, due à Léonard Euler est en fait valable pour tout polyèdre convexe.
Dualité : Le nombre de faces (resp. de sommets) de l’Octaèdre, 8 (resp. 6) est égal au
nombre de sommets (resp. de faces) du Cube.
Le nombre de faces (resp. de sommets) de l’Icosaèdre, 20 (resp. 12) est égal au nombre
de sommets (resp. de faces) du Dodécaèdre.
Le tétraèdre est son propre dual
l’Octaèdre et le Cube, et que l’Icosaèdre et le Dodécaèdre sont en Dualité.
Le Tétraèdre est en dualité avec lui-même !
Pourquoi seulement cinq polyèdres réguliers ?
La réponse était déjà connue des grecs :
1. La somme des angles des faces en un sommet donné doit toujours être
strictement inférieure à 360°.
L’octaèdre est le dual du cube
L’icosaèdre est le dual du dodécaèdre
2. Il y a au moins 3 faces qui touchent un sommet.
3. Les faces sont des polygones réguliers; si ce sont des
a. Triangles : l’angle est de 60° et le nombre de faces possible est
3 (tétraèdre), 4 (octaèdre) ou 5 (Icosaèdre) car 60°×5=300° et 60°×6=360°.
b. Carrés : l’angle est de 90° et le nombre de faces possible est
3 (cube) car 90°×3=270° et 90°×4=360°.
c. Pentagones : l’angle est de 108° et le nombre de faces possibles est
3 (dodécaèdre) car 108°×3=324° et 108°×4>360°.
d. Hexagones, Heptagones, Octogones… : l’angle est au moins 120° et
120°×3=360° : il n’est pas possible d’obtenir un polyèdre de ce type.