Les polyèdres réguliers convexes et non convexes par pliage

Les polyèdres réguliers
convexes et non
convexes par pliage
(Origami).
[Les polyèdres par Origami.]
Marcel Morales et Alice Morales
2009
EDITION MORALES
Table des polyèdres réguliers convexes ................................................................................................. 3
Table des polyèdres réguliers non convexes .......................................................................................... 5
Quelques polyèdres pas loin d’être réguliers ......................................................................................... 6
Un peu de géométrie des polygones. .................................................................................................... 7
Les polygones réguliers convexes ............................................................................................................10
Les polygones réguliers étoilés .................................................................................................................10
Fabrication de polygones réguliers par pliage .............................................................................. 11
Le carré : ......................................................................................................................................................11
Le triangle équilatéral : .............................................................................................................................12
Le pentagone régulier : ..............................................................................................................................15
Un peu de géométrie des polyèdres. ................................................................................................... 17
Fabrication de polyèdres réguliers par pliage. ................................................. Erreur ! Signet non défini.
Fabrication de la face carrée de base .............................................................................................................19
Montage du cube : .............................................................................................................................. 24
Montage des polyèdres réguliers à face des triangles : ....................................................................... 26
Fabrication de la Feuille de base triangle : .....................................................................................................26
Fabrication de la Feuille de base triangle symétrique : ............................................... Erreur ! Signet non défini.
Montage du Tétraèdre : ...................................................................................................................... 30
Montage de l’Octaèdre : ..................................................................................................................... 32
Montage de l’Icosaèdre : ................................................................................. Erreur ! Signet non défini.
Montage du Dodécaèdre : .................................................................................................................. 34
Montage du petit dodécaèdre étoilé: ................................................................................................. 34
Montage du grand dodécaèdre étoilé (régulier): ................................................................................ 35
Montage du grand icosaèdre (régulier): ............................................................................................. 36
Montage du grand dodécaèdre (régulier): .......................................................................................... 37
Montage du grand dodécaèdre étoilé inversé ou troisième stellation de l’icosaèdre : ........................ 38
Fabrication de polyèdres avec des faces des triangles isocèles rectangles : ......................................... 39
Fabrication de la pièce carrée spéciale : ..................................................................... Erreur ! Signet non défini.
Montage du petit dodécaèdre étoilé rectangle. ............................................... Erreur ! Signet non défini.
Montage du grand dodécaèdre rectangle: .......................................................................................... 40
Montage du grand icosaèdre rectangle: .......................................................... Erreur ! Signet non défini.
Grand polyèdre ......................................................................................................... Erreur ! Signet non défini.
Stellation finale de l’Icosaèdre ................................................................................... Erreur ! Signet non défini.
Le ballon de Epcot. ........................................................................................................................................41
2
Table des polyèdres réguliers convexes
Tétraèdre
2 pièces triangle symétriques
(A+B)
4 faces, 6 arêtes, 4 sommets
Cube
6 pièces carrées identiques, 6
faces, 12 arêtes, 8 sommets
Octaèdre
4 pièces triangle identiques
8 faces, 12 arêtes, 6 sommets
Dodécaèdre
12 pentagones
12 faces, 30 arêtes, 20 sommets
Icosaèdre
10 pièces triangle (5A+5B)
20 faces, 30 arêtes, 12
sommets
3
Table des polyèdres qui réguliers non convexes,
Polyèdres de Kepler Poinsot.
Le grand dodécaèdre étoilé.
30 pièces identiques
12 pentagones étoilés
12 faces, 30 arêtes, 20
sommets
Le petit dodécaèdre étoilé
30 pièces identiques
12 pentagones étoilés
12 faces, 30 arêtes, 20 sommets
Le grand icosaèdre. 120
pièces identiques
180 faces, 270 arêtes, 92
sommets
Le grand dodécaèdre
30 pièces identiques
12 pentagones
12 faces, 30 arêtes, 20 sommets
4
Table des polyèdres qui méritent d’être nommés
réguliers non convexes
Le petit dodécaèdre étoilé
30 pièces identiques
60 faces, 90 arêtes, 32 sommets
Le grand dodécaèdre étoilé.
30 pièces identiques
60 faces, 90 arêtes, 32 sommets
Le grand dodécaèdre
30 pièces identiques
60 faces, 90 arêtes, 32 sommets
Le grand icosaèdre.
120 pièces identiques
180 faces, 270 arêtes, 92 sommets
Table des polyèdres réguliers non convexes
5
Quelques polyèdres pas loin d’être réguliers
Le grand dodécaèdre
étoile inversée ou
troisième stellation de
l’icosaèdre
30 pièces identiques,
60 faces, 90 arêtes, 32
sommets
Le petit dodécaèdre
étoilé rectangle
30 pièces carrées
identiques
60 faces, 90 arêtes,
32 sommets
Le grand icosaèdre
rectangle
120 pièces carrées
identiques
180 faces, 270 arêtes, 92
sommets
Stellation finale de l’ Le ballon d’Epcot
icosaèdre
270 pièces carrées
90 pièces carrées
identiques.
identiques.
6
Le grand dodécaèdre
rectangle
30 pièces carrées
identiques
60 faces, 90 arêtes, 32
sommets
Un peu de géométrie des polygones.
Un polygone est une figure plane délimitée par des
segments de droite, qu’on appelle les côtés, un point se
situant à l’extrémité de deux arêtes est un sommet. Voici
quelques exemples :
Nous observons des différences entre ces polygones,
d’abord le nombre des sommets, ensuite le nombre de
côtés, puis dans la forme. Soyons plus précis.
Le nombre de côtés est très important, ainsi nous
parlerons de :
 Polygone à trois cotés ou triangle,
 Polygone à quatre côtés ou quadrilatère,
7
 Polygone à cinq côtés ou pentagone,
 Polygone à six côtés ou hexagone,
 Polygone à sept côtés ou heptagone,
 Polygone à huit côtés ou octogone,
 Polygone à neuf côtés ou ennéagone,
 Polygone à dix côtés ou décagone,
 Polygone à onze côtés ou hendécagone,
 Polygone à douze côtés ou dodécagone,
 Polygone à vingt côtés ou icosagone.
Pour la forme de la figure nous devons distinguer :
 Les polygones croisés dans lesquels deux côtés se
rencontrent en un autre point que une extrémité.
 Les polygones convexes : Chaque côté du polygone
se prolonge en une droite, cette droite partage le plan
en deux régions, si le polygone n’est pas partagé en
deux régions alors on dit que le polygone est
convexe sinon on dit que le polygone est étoilé.
8
Le polygone de gauche est convexe et celui de droite
est étoilé.
 Les polygones réguliers. Dans le langage courant
un polygone régulier est un polygone convexe dont
tous les angles ont la même mesure et tous les côtés
la même longueur, mais nous pouvons parler aussi
de polygones réguliers étoilés.
9
Les polygones réguliers convexes
Les polygones réguliers étoilés
10
Fabrication de polygones réguliers par pliage
Le carré :
Prendre une feuille rectangulaire ABCD et ramener le
côté AB sur le coté AD, plier la feuille et déterminer
les point M et N, plier suivant le segment (MN). La
figure ABMN est un carré.
11
Le triangle équilatéral :
Prendre une feuille rectangulaire, la plier en deux sur la
largeur puis plier en ramenant le sommet B sur la
droite de pli, on obtient ainsi le point B’ Marquer ce
point. Accentuer le pli avec l’ongle.
12
Par deux plis successifs on obtient le triangle
équilatérale ABB’. Mais pour réaliser des polyèdres
réguliers par pliage nous aurons besoin de feuilles
rectangulaires de dimensions bien précises (largeur : l
et longueur l √3) qu’on appelle rectangles de bronze.
Les rectangles AEB’F et EBGB’ sont des rectangles de
bronze.
Exemple : avec une feuille A4 : 210x297 mm.
Nous pouvons obtenir 3 rectangles de bronze, ce sont
les rectangles AEB’F, EBGB’ et FMNO.
Nous donnons les longueurs pour faciliter la découpe
de la feuille A4 :
AE=105mm, AF=182mm, FO=105mm, OD=10mm,
FM=182mm, MG=22mm.
13
Etant donné une feuille rectangulaire nous pouvons
aussi obtenir le plus grand rectangle de bronze à
partir de cette feuille de la façon suivante :
Plier la feuille suivant la droite (AB’) et déterminer le
point I puis le point J. Déplier la feuille puis la plier la
suivant la droite (JI) et couper la feuille suivant la
droite (JI). Le rectangle AJID est un rectangle de
bronze et le rectangle JBCI est un ruban qui nous
servira à fabriquer un pentagone régulier.
14
Le pentagone régulier :
Choisir un ruban de papier ABCD, attention la
longueur AB doit être au moins 8 fois la largeur BC.
Faire un nœud avec le ruban puis tirer délicatement sur
les deux extrémités jusqu’à la position limite.
Accentuer les plis avec les ongles. De cette façon on
obtient un pentagone régulier avec deux languettes, que
si l’on désire on peut plier.
15
Pour comprendre comment on a obtenu un pentagone
régulier faisons la démarche inverse :
Prenons un pentagone régulier EFGHI et construisons
le rectangle ABCD, la droite (AB) passant par E et G.
La droite (CD) passant par H et I. Faire un pli le long
de la droite (GH) signifie faire une symétrie
(orthogonale) d’axe la droite (GH). Le quadrilatère
BCHG se transforme par la symétrie d’axe la droite
(GH) en le quadrilatère C’B’GH (en mauve). De même
Le quadrilatère AEID se transforme par la symétrie
d’axe la droite (EI) en le quadrilatère D’A’IE (en vert).
Nous retrouvons notre nœud en transformant le
quadrilatère C’B’FE par la symétrie d’axe la droite
(EF) en le quadrilatère EFB’’C’’.
16
Voici notre nœud après effacement des traits
auxiliaires :
Un peu de géométrie des polyèdres.
Un polyèdre est un volume dans l’espace délimité par
des polygones (faces du polyèdre) qui se trouvent dans
des plans différents. Les faces se rencontrent sur des
segments de droite (arêtes du polyèdre), un point se
situant à l’extrémité de plusieurs arêtes est un sommet.
17
Prenons une face du polyèdre, cette face est contenue
dans un plan, ce plan divise l’espace en deux régions.
Un polyèdre est convexe si pour chacune de des faces
le polyèdre se trouve entièrement dans l’une de ces
régions. Voici des polyèdres convexes et non
convexes :
18
Fabrication du cube par pliage :
Nous avons besoin de 6 feuilles carrés de mêmes
dimensions. Nous prendrons 2 bleus, 2 rouges et deux
vertes. Voici comment plier chacune des feuilles :
Fabrication de la face carrée de base
Prendre une feuille carrée.
Plier la feuille en deux
parties égales.
Plier chacune des deux
parties en deux parties
égales. Voici la première
19
Voici la deuxième.
Plier la partie supérieure et
la partie inférieure du carré
Amener le côté vertical
droit [AB] sur le côté
horizontal bas [CA].
Puis le coté vertical gauche
[CD] sur le côté horizontal
haut [DE].
20
Ouvrir la feuille pliée. On
voit deux petits triangles
A’AC et B’D’D.
Plier les deux petits
triangles A’AC et B’D’D
vers l’intérieur.
Plier le grand triangle de
droite. On trouve ainsi un
triangle BAE.
Plier le grand triangle de
gauche. On trouve ainsi un
triangle BED.
21
Ouvrir la feuille pliée.
Introduire
le
triangle
supérieur à droite dans la
fente du milieu.
Voici le résultat.
Introduire
le
triangle
inférieur à gauche dans la
fente du milieu, (il faut
forcer un peu).
Voici le résultat. On
aperçoit les deux fentes qui
se croisent en angle droit
22
Retourner la feuille (on ne
voit plus les fentes).
Ramener le point A vers le
point B en formant un angle
droit.
Ramener le point D vers le
point E en formant un angle
droit.
Ouvrir, retourner la feuille
voici le résultat. On aperçoit
une fente sur le carré du
milieu. Nous appellerons
languettes
les
deux
triangles.
23
Nous
pouvons
aussi
produire une feuille carrée
symétrique.
Seule
la
troisième étape change :
Plier en angle droit le coin
en haut à droite.
Plier en angle droit le coin
en bas à gauche.
Le reste est similaire: Voici
la
feuille
carrée
symétrique.
Montage du cube :
Répéter les étapes ci-dessus avec chacune des 5 autres
feuilles carrées. Les superposer pour vérifier que les
6 feuilles pliées sont identiques. Attention si vous
avez un mélange de feuilles carrées et de feuilles
symétriques vous ne pourrez pas fabriquer le cube.
24
Insérer les languettes des
pièces carrées orange dans
les fentes des pièces carrées
jaune.
25
Montage des polyèdres réguliers à face des triangles :
Nous avons besoin des feuilles rectangulaires de
bronze.
D’abord nous allons plier cette feuille pour obtenir la
Feuille de base triangle et ensuite la Feuille de base
triangle symétrique.
Fabrication de la Feuille de base triangle :
26
Prendre
une
feuille
rectangulaire de bronze.
Amener le sommet inférieur
droit de la feuille sur le
sommet supérieur gauche,
plier et accentuer le pli.
Déplier la feuille, nous
voyons apparaître la droite
de pli (EF).
Déplier la feuille et amener
le sommet inférieur gauche
A vers le point E, en
utilisant le pli (EF) comme
guide.
27
De même amener le
sommet supérieur droit C
sur point F, en utilisant le
pli (EF) comme guide.
Plier les deux petits
triangles D’DF et A’BE.
Mettre à l’intérieur les deux
petits triangles.
On
obtient
parallélogramme.
un
28
Retourner la feuille, (on ne
voit plus la fente). Amener
le segment [D’F] sur le
segment [A’F].
Nous
venons de former un
triangle équilatère.
Amener le segment [EA’]
sur le côté vertical gauche.
Nous venons de former un
triangle équilatère, et aussi
un losange.
Retourner la feuille.
Plier le losange suivant le
segment [A’D’].
29
Ouvrir la feuille. On a
divisé le parallélogramme
en 4 triangles équilatères.
Feuille de base triangle
Montage du Tétraèdre :
Il nous faut 2 feuilles rectangulaires de bronze.
Pour produire le tétraèdre il
nous faut une pièce triangle
(rouge) et une pièce
triangle
symétrique
(verte).
Voici la façon d’assembler
une pièce triangle et une
pièce triangle symétrique.
Poser les deux pièces (faces
avec fente vers vous), faire
glisser le triangle de la pièce
verte (languette) dans une
fente de la pièce rouge.
30
Faire glisser la languette de
la pièce verte dans la fente
de la pièce rouge.
Remarquez que nous avons
3 faces du tétraèdre.
Plier la languette de la pièce
orange pour former la
quatrième face du tétraèdre.
Voici le tétraèdre. Ses quatre faces sont identiques et
on ne peut les distinguer les unes des autres. Si l’on
fait une rotation du tétraèdre on ne voit pas de
différence.
31
Montage de l’Octaèdre :
C’est un polyèdre régulier convexe avec 8 faces,
chaque face est un triangle équilatère. Nous avons
besoin de 4 feuilles de bronze pliés de la même façon.
32
L’Icosaèdre.
33
Montage du Dodécaèdre :
Le Dodécaèdre est un polyèdre régulier à 12 faces,
chaque face est un pentagone régulier. Nous avons déjà
vu comment plier un ruban pour obtenir un pentagone
régulier. Nous aurons besoin de douze pentagones
réguliers avec leurs languettes. Afin de renforcer le
Dodécaèdre nous allons prendre 48 rubans et les grouper
par quatre. Puis nous allons faire un nœud avec chaque
ruban quadruplé.
Montage du petit dodécaèdre étoilé:
Nous avons besoin de 30 pièces triangle identiques.
34
Voici le petit dodécaèdre étoilé sous d’autres vues :
.
Montage du grand dodécaèdre étoilé (régulier):
35
Montage du grand icosaèdre (régulier):
Nous aurons besoin de 120 feuilles triangles pliées de la
même façon. Nous allons les diviser en douze groupes de
36
Montage du grand dodécaèdre (régulier):
Nous aurons besoin de 31 feuilles triangles pliées de la
même façon.
Nous allons procéder exactement de la même façon que
pour monter le grand dodécaèdre rectangle, qui est
donné en grand détail plus loin.
Ici nous donnons les premières étapes à titre d’exemple
et avec des images tirées d’autres montages, les
couleurs ne sont pas respectés.
Pour continuer se référer au montage du grand
dodécaèdre rectangle.
37
Voici le grand dodécaèdre (régulier):
Et à titre d’exemple voici un grand dodécaèdre
rectangle. Voyez-vous la différence ?
Montage du grand dodécaèdre étoilé inversé ou
troisième stellation de l’icosaèdre :
Nous aurons besoin de 30 pièces triangle identiques.
38
Fabrication de polyèdres avec des faces des triangles
jaunes et 5 bleus.
39
Montage du grand dodécaèdre rectangle:
40
Le ballon de Epcot.
Il s’obtient à partir d’un polyèdre ballon de foot (ou
l’Icosaèdre tronqué). Un ballon de foot est composé de
20 hexagones et 12 pentagones. Autour de chaque
pentagone il y a six hexagones et autour de chaque
hexagone il y a 3 pentagones et 3 hexagones. Le ballon
d’Epcot s’obtient à partir du ballon de foot en divisant
chaque hexagone du polyèdre ballon de foot en six
triangles et sur chaque triangle on construit une
pyramide. De même chaque pentagone du polyèdre
ballon de foot est divisé en cinq triangles, puis on
construit cinq pyramides. Dans le dessin on montre une
pyramide dans un hexagone et une dans un pentagone.
41
Sur le ballon d’Epcot nous avons mis en évidence deux
hexagones et deux pentagones. Pour fabriquer par pliage
le ballon d’Epcot, il nous faut 270 pièces carrées
spéciales. On commence par assembler 5 pyramides
comme expliqué dans le montage du petit dodécaèdre
étoilé rectangle. Après il faut compléter pyramide par
pyramide en tenant compte de la géométrie du ballon de
foot expliqué ci-dessus.
42
Un peu de géométrie de la sphère que nous allons
supposer de rayon un. Il faut distinguer la sphère de la
boule, la sphère est uniquement la surface sur la boule.
Nous allons expliquer en nous basant sur le dessin :
Le centre de la sphère est le point O. Tout plan qui passe
par O coupe la sphère en un « grand cercle » et divise la
sphère en deux « hémisphères ». Dans la figure cidessous on a prix deux points, par exemple B et C, le
plan qui contient les points O, B, C coupe la sphère en un
grand cercle, dont nous avons dessiné la moitié. Nous
avons de même tracé des portions du grand cercle passant
par A, B et aussi par A, C. Nous obtenons ainsi sur la
sphère un « triangle sphérique » ABC, de sommets A, B,
C. Comme dans un triangle dans un plan nous pouvons
parler d’angles, l’angle ACB est l’angle  du morceau
de lune. Ce triangle a 3 côtés AB, BC et AC.
43
Nous avons des propriétés importantes :
1. L’aire de la sphère (de rayon un) est 4
2. L’aire d’un triangle sphérique ayant des angles
est 
Une triangulation de la sphère est une division de la
sphère en triangles qui ne se chevauchent pas.
44
Voici pour donner une idée, un exemple de triangulation
du disque avec des triangles de plus en plus petits.
Formule d’Euler :
Pour une triangulation de la sphère soit F le nombre de
triangles, E le nombre des côtés des triangles et V le
nombre des sommets alors :
F-E+V=2.
En particulier pour tout polyèdre ayant F faces, E arêtes
et V sommets, qui donne une triangulation de la sphère
nous avons
F-E+V=2.
45