Formules de Frenet et application

Formules de Frenet
Monier, Géométrie Tome 7, pages 254-259 et 469
Théorème :
 −
→

dT




ds





 −
→
dN

 ds





−
→



 dB
ds
−
→
N
R
=
= −
=
−
→ −
→
T
B
+
R
T
−
→
−
N
T
Rappelons les dénitions. Soit Γ une courbe, paramétrée par l'abscisse curviligne s, s parcourant un
intervalle I .
−−→
−
→
−
→ dM
On note T le vecteur tangent unitaire en M (s) à la courbe Γ, déni par : T =
ds
° →
−°
°
°
1
°dT °
On appelle rayon de courbure de Γ en M (s) le réel R déni par :
=°
°
R ° ds °
−
→
→
−
dT
On appelle vecteur normal principal à Γ en M (s) le vecteur déni par : N = R
ds
→
−
→
− −
→
On appelle vecteur binormal à Γ en M (s) le vecteur déni par : B = T ∧ N
−
→
−
→ dN
1
On appelle rayon de torsion de Γ en M (s) le réel T déni par :
=B·
T
ds
−
→
Puisque Γ est paramétré par l'abscisse curviligne, on a ∀s ∈ I, k T k2 = 1. On obtient donc en dérivant :
−
→
−
→ dT
∀s ∈ I, T ·
= 0,
ds
autrement dit,
−
→ −
→
T ·N =0
En dérivant cette nouvelle expression, on obtient :
−
→
−
→
→ −
→ dN
dT −
·N + T ·
=0
ds
ds
−
→
−
→
dT
N
=
, on en déduit que
ds
R
→
−
−
→ dN
1
T ·
=−
ds
R
−
→
−
→
→
− dN
D'autre part, k N k2 = 1, on a donc également N ·
= 0.
ds
−
→ −
→ →
−
Puisque ( T , N , B ) est une base orthonormée, on a alors :
Ã
Ã
−
→!
−
→!
−
→!
−
→ Ã
−
→ dN −
→
−
→ dN −
→
−
→ dN −
→
−
→
1−
dN
1→
= T ·
T + N·
N+ B·
B = − T + B
ds
ds
ds
ds
R
T
Comme on a par dénition
Enn, par dérivation du produit vectoriel, on obtient :
→
−
−
→
−
→
−
→ −
→ dN
− −
→
→
dT
1→
dB
1−
=
∧N + T ∧
=
T ∧B = − N
ds
ds
ds
T
T
Application :
Soit Γ un arc paramétré de classe C ∞ , s l'abscisse curviligne, R le rayon de courbure et
T le rayon de torsion.
Alors :
R
d2 R dR dT
+
+
=0
1. Γ est tracé sur une sphère si et seulement si : T
2
ds
ds ds
T
2. De plus si a ∈ R+∗ et si Γ est tracé sur une sphère de rayon a, alors :
µ
R2 + T 2
dR
ds
¶2
= a2
On paramètre Γ par l'abscisse curviligne s, s parcourant un intervalle I .
1. Pour qu'il existe une sphère sur laquelle Γ soit tracée, il faut et il sut qu'il existe Ω ∈ R3 tel que
−−→
−−→
dM
∀s ∈ I, ΩM (s) ·
=0
ds
Ceci revient à l'existence de deux applications u, v : I → R de classe C ∞ telles que :
∃Ω ∈ R3 , ∀s ∈ I,
−−→
→
−
−
→
ΩM = u(s) N (s) + v(s) B (s)
ou encore, en dérivant :
à −
à −
→!
−!
→ →
→
→
−
→
N
B
T
0−
0−
+v B +v −
T =u N +u − +
R
T
T
−
→ −
→ →
−
En identiant les coecients dans la base orthonormée ( T , N , B ), on a alors :
1=−
u
,
R
u0 −
v
= 0,
T
u
+ v0 = 0
T
En éliminant u et v , on obtient la relation demandée, et de plus :
u = −R
et
dR
ds
v=T
2. Avec les notations précédentes, on a trouvé que
−−→
−
→
→
dR −
OM = −R N + T
B
ds
D'où :
−−→
kak = kΩM k2 = R2 + T 2
2
µ
dR
ds
¶2