Chapitre 7 Primitives et Int´egrales
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Chapitre 7 Primitives et Int´egrales
Chapitre 7 Primitives et Intégrales 7.1 Primitive d’une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle K de R. On appelle primitive de f , une fonction F dont la dérivée est f : F 0 (x) = f (x). On note F (x) = Z f (x) dx. On dit que F est une primitive ou une intégrale de f et que l’on a intégré f . • On admettra que toute fonction continue sur K admet des primitives sur K. L’expression dF = f (x) dx est l’élément différentiel de l’intégrale. 7.2 Propriétés des primitives. 1o Si sont F + (Constante). Z F est une primitive de f ,Zles autres primitives Z 2o λ f (x) + µ g(x) dx = λ f (x) dx + µ g(x) dx ∀ λ, µ ∈ R. 7.3 Intégrale définie (ou Intégrale de Riemannn) Soit x 7−→ f (x) une fonction bornée sur un intervalle borné (a, b). On cherche à évaluer, dans un repère orthonormé, l’aire algébrique A de la surface délimitée par le graphe de f , l’axe Ox et les droites x = a et x = b. Pour ce faire, on considére les points x0 , x1 , . . . , xn ∈ (a, b) tels que a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b. On a ainsi divisé (a, b) en n intervalles partiels. Soit ζi ∈ [xi−1 , xi ] et considérons la somme, que l’on appelle somme de Riemann : Sn = (x1 − a)f (ζ1 ) + (x2 − x1 )f (ζ2) + . . . + (b − xn−1 )f (ζn ) 54 y y=f(x) f(ζ i) … O a=x0 x 1 x 2 x 3 … xi−1 xi xn−1 xn=b x ζi Sn mesure donc l’aire algébrique totale des rectangles hachurés. Cette somme dépend de nombreux paramètres, comme les valeurs des xi , ou la position des ζi . Si, quand n → ∞ de sorte que les longueurs de tous les intervalles partiels tendent simultanénent vers zéro, toutes les sommes de Riemann Sn ont une limite commune égale à A, indépendante du partage de (a, b), on dit que f est intégrable sur (a, b) ; cette limite s’appelle : Z b Intégrale définie de f sur (a, b) et se note I = f (x) dx. a Le nombre I ainsi défini résulte d’opérations compliquées et l’on pourrait douter de son existence. Le théoréme suivant nous rassure : Théorème. Toute fonction bornée ayant un nombre fini de points de discontinuité sur un intervalle borné (a, b) est intégrable (au sens de Riemann) sur (a, b). 7.3.1 Discontinuité de f Si la fonction f est discontinue au point x0 ∈ (a, b) et si elle a une limite finie à gauche et une limite finie à droite de x0 , on posera par définition : Z b Z x0 Z b f (x)dx + f (x)dx. f (x)dx = a a x0 7.3.2 Propriétés de l’intégrale définie Z a o 1 f (x)dx = 0 ∀a ∈ R. Za b Z c Z c o f (x)dx + 2 f (x)dx = f (x)dx ∀a, b, c ∈ R. a b a 55 3 o 4o Z Z b kf (x)dx = k a Z b Z f (x)dx = − a a f (x)dx k ∈ R. f (x)dx ∀a, b ∈ R. Z b Si a < b et f (x) ≥ 0 alors f (x)dx ≥ 0. a 5o b b a 7.3.3 Formule de la Moyenne. On appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a, b] l’expression : Z b 1 f (x)dx b−a a Théorème. Soit f définie et continue sur [a, b]. Alors il existe c ∈]a, b[ tel que 1 f (c) = b−a Z y y = f(x) f(c) b f (x) dx x a O a c b Ce résultat se déduit du théorème des accroissements finis appliqué à la fonction Z x x 7−→ f (t) dt sur l’intervalle [a, b]. a 7.3.4 Relation entre intégrale définie et primitive Si f est une fonction continue sur l’intervalle I de R et a, b, c, x ∈ I, on démontre que la fonction F définie par Z x x 7−→ F (x) = f (t) dt c admet une dérivée F ; de plus F = f . Une primitive de f est donc F et puisque Z b Z b Z a f (x)dx = f (x)dx − f (x)dx (relation de Chasles) : 0 a 0 c c Z a b h ib f (x)dx = F (b) − F (a) = F (x) a 7.4 Tableau de primitives usuelles Lu ”à l’envers”, un tableau de dérivées est un tableau de primitives. Le calcul d’une primitive consiste, souvent après quelques transformations que nous allons étudier au paragraphe suivant, à ”reconnaı̂tre” une des fonctions du tableau (qu’il est donc conseillé de savoir par coeur) : 56 TAB . 7.1: Tableau de primitives usuelles Fonction f Définie sur xα R∗ ou R∗+ R ou R+ R \ {−1, +1} (α > 0) 1 1 + x2 1 1 − x2 R\ ax +C ln a R ex R sin(ωx + α) ω 6= 0 R cos(ωx + α) nπ 2 + kπ o R \ {kπ} R\ ln |x| + C ax (a > 0) R nπ 2 + kπ ] − 1, +1[ o ex + C ω 6= 0 1 = 1 + tan2 x cos2 x 1 = 1 + cotan2 x sin2 x tan x √ 1 1 − x2 f (x) dx Arc tan x + C 1 1 + x +C ln 2 1 − x 1 x R∗− ∪ R∗+ R xα+1 +C α+1 xα+1 +C α+1 (α < 0 α 6= −1) xα R F (x) = 1 cos(ωx + α) + C ω 1 sin(ωx + α) + C ω − tan x + C − 1 +C tan x − ln | cos x| + C Arcsinx + C 57 7.5 Méthodes de calcul des primitives et des intégrales 7.5.1 Changement de variable naturel Si f (x) peut se mettre sous la forme f (x) = ϕ[u(x)]u0(x) où ϕ est une fonction continue dont Φ est une primitive et si u est à dérivée continue, alors : f (x)dx = ϕ(u)u0(x)dx = ϕ(u) du et Z f (x)dx = Z ϕ(u) du = Φ(u(x)) + C Pour les intégrales définies, la formule devient : Z b Z u(b) f (x)dx = ϕ(u) du = Φ u(b) − Φ u(a) . a Z u(a) Z sin x dx. cos x Solution On pose u(x) = cos x dont la différentielle est du = − sin x dx. Z du = − ln |u(x)| + C = − ln | cos x| + C. Alors I = − u Z 1/2 x dx o √ 2 Calculer J = 1 − x2 0 Solution. On pose u(x) = 1−x2 donc u(0) = 1, u(1/2) = 3/4 et du = −2x dx. On obtient alors √ Z 3/4 h √ i3/4 3 du √ = − u =1− J =− . 1 2 u 2 1 Exemples. 1 o Calculer I = tan x dx = 7.5.2 Changement de variable forcé Pour obtenir une expression plus simple de l’élément différentiel, il peut être utile de poser x = ϕ(t) dont la différentielle est dx = ϕ0 (t) dt ; dans ces conditions : Z Z Z 0 f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ (t) dt = g(t) dt = G(t) + C = G ϕ−1 (x) + C. où G est une primitive de g. Notons que la fonction ϕ doit être inversible et à dérivée continue. Pour les intégrales définies, toujours avec x = ϕ(t) : Z b Z β f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ0(t) dt = G(β) − G(α). a α où α = ϕ−1 (a) β = ϕ−1 (b) ϕ étant inversible sur [α, β] et à dérivée continue sur ]α, β[. 58 Z 1/2 dx 1 − x2 0 Solution. On pose x = sin t avec t ∈ ] − π2 , π2 [ qui s’inverse en t = Arc sin x ; π les bornes deviennent Arc sin 0 = 0 , Arc sin 12 = , la différentielle s’écrit 6 √ 1 − x2 = | cos t| = cos t. Il s’en suit : dx = cos t dt et Z π/6 Z 1/2 π dx √ = dt = 2 6 1−x 0 0 Exemple. Calculer √ R EMARQUE : Le tableau de primitives donne (Arc sin x)0 = √ 1 1 − x2 et l’on retrouve : Z 1/2 h i1/2 π dx √ = Arc sin x = 6 0 1 − x2 0 7.5.3 Méthode d’intégration par parties De la formule de dérivation du produit des fonctions 0 u v = u0 v + u v 0 u, v : C 1 On déduit Z 0 u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − que l’on écrit avec les différentielles : Z u dv = uv − Z Z v(x)u0 (x) dx v du et si les intégrales sont définies, u et v ayant leurs dérivées continues sur (a, b) : Z Exemples. 1 o Calculer I = b udv = a Z [uv]ba − Z b vdu a ln x dx. Solution. On pose u = ln x donc du = dx et dv = dx donc v = x et l’on intègre x par parties, ce qui donne : I = x ln x − R dx = x ln x − x + C. 59 2 o Calculer J = Z 1 xex dx. 0 Solution. On pose u = x d’où du = dx et dv = ex dx qui donne v = ex . Alors : h i1 h i1 Z 1 ex dx = ex (x − 1) + C = 1. J = xex − 0 0 0 7.6 Intégration des fractions rationnelles Une fraction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes P (x) et Q(x) P (x) donc de la forme f (x) = . Q(x) P 0(x) on décompose P (x) d’abord f (x) en éléments simples, puis on calcule les primitives de chacun des éléments simples. Exceptés certains cas évidents comme celui où f (x) = En SV105 de l’I.B.F.A., on se limitera aux éléments simples de 1ère espèce à l’ordre 2 et de 2nde espèce à l’ordre 1 ; et l’on pourra se contenter d’examiner seulement les exemples traités dans les paragraphes suivants : 7.6.1 Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples dans R On suppose la fraction réduite, c’est à dire P et Q sans facteurs communs. On effectue alors la décomposition du dénominateur Q(x) en produit de polynômes irréductibles sur R donc du 1er ou du 2nd degré : Q(x) = (x − a1 )α1 . . . (x − al )αl (x2 + p1 x + q1 )β1 . . . (x2 + pk x + qk )βk où p2i − 4qi < 0 et αi , βi ∈ N∗ . Les racines a1 , . . . , al , de Q, s’appellent les pôles de la fraction et l’on démontre que f (x) s’écrit de façon unique sous la forme suivante : Aα1 −1 A1 Aα1 f (x) = E(x) + + + ··· + (x − a1 )α1 (x − a1 )α1 −1 x − a1 X Bβ1 x + Cβ1 Bβ1 −1 x + Cβ1 −1 B1 x + C 1 + + 2 + ··· + 2 (x2 + p1 x + q1 )β1 (x + p1 x + q1 )β1 −1 x + p1 x + q 1 X Les coefficients A1 , . . . , Aα1 ; B1 , . . . , Bβ1 ; C1 , . . . , Cβ1 sont des nombres réels à déterminer. La fonction polynôme E(x) généralement obtenue par division euclidienne de P par Q est appelée partie entière de f ; remarquons que si do P < do Q alors E(x) = 0 . 60 Exemple. x8 + 2x5 + 8x4 − 3x + 1 (x2 + x + 1)(x − 1)3 (x + 1) A2 A1 A01 Bx + C A3 + + + + = E(x) + (x − 1)3 (x − 1)2 x − 1 x + 1 x2 + x + 1 Exemple. −7x − 1 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6 = 2x2 − 5x + 7 + 2 . 2 x +x+1 x +x+1 A1 A2 Aα1 + + · · · + est la partie polaire relative au pôle a1 et (x − a1 )α1 (x − a1 )α1 −1 x − a1 les différents termes s’appellent éléments de première espèce. Bβ x + Cβ1 B1 x + C1 est la partie relative au facteur irréductible +···+ 2 1 β 1 + p1 x + q1 ) x + p1 x + q1 (x2 + p1 x + q1 ) et les différents termes s’appellent éléments de seconde espèce. (x2 Pour calculer les coefficients, il existe différents procédés, dont l’identification ; on peut aussi s’aider des remarques suivantes : Cas d’un pôle simple. f (x) = P (x) (x − a)R(x) R(a) 6= 0. a est un pôle simple, sa partie polaire ne comporte donc qu’un seul terme f (x) = A + g(x) où g(x) n’admet pas 0 comme pôle ; x−a (x − a)P (x) = x→a Q(x) A = lim (x − a)f (x) = lim x→a = P (a) . Q0 (a) A x−a P (a) Q(x) − Q(a) lim x→a x−a Exemple. f (x) = A B C x2 = + + (x − 1)(x + 2)(x + 3) x−1 x+2 x+3 1 x2 = ; x→1 x→1 (x + 2)(x + 3) 12 4 9 x2 x2 =− C = lim = . B = lim x→−3 (x − 1)(x + 2) x→−2 (x − 1)(x + 3) 3 4 Solution. A = lim (x − 1)f (x) = lim 61 Cas d’un pôle multiple d’ordre α1 ≥ 2. Le calcul du coefficient Aα1 de l’élément simple Aα1 donne : (x − a)α1 Aα1 = lim (x − a)α1 f (x). x→a Cas d’une fraction paire ou impaire. Si f est paire (resp. impaire) la décomposition est elle aussi paire (resp. impaire) ; cette remarque permet de diminuer le nombre des coefficients à calculer. x4 + 4 A3 A2 A1 Bx + C Exemple. f (x) = 3 2 = 3 + 2 + + 2 . x (x + 1) x x x x +1 Solution. f est impaire donc f (x) = −f (−x) qui conduit à A3 A2 A1 −Bx + C A3 A2 A1 Bx + C + 2 + + 2 = 3 − 2 + − 3 x x x x +1 x x x x2 + 1 et l’identification donne A2 = C = 0. Puis on calcule : i4 + 4 = 5. x→0 x→i i3 Pour déterminer A1 remarquons lim xf (x) = A1 + B = 1, d’où A3 = lim x3 f (x) = 4 et B = lim (x2 + 1)f (x) = x→+∞ A1 = 4 et finalement, 4 5x 4 − + 2 . 3 x x x +1 Conclusion : pour intégrer une fraction rationnelle, on est donc ramené dans le cas général à intégrer trois types de fonctions : une fonction polynôme qui s’intégre immédiatement et des éléments simples de première ou seconde espèce. f (x) = 7.6.2 Intégration des éléments simples de première espèce Z dx 1 = + Cte p (x − a) (1 − p)(x − a)p−1 Z dx = ln |x − a| + Cte p = 1. (x − a) p ≥ 2, 7.6.3 Intégration des éléments simples de seconde espèce à l’ordre 1 Z Ax + B dx avec p2 − 4q < 0. Ce sont les intégrales I(x) = 2 x + px + q La technique consiste à faire apparaı̂tre au numérateur la dérivée 2x + p du polynome x2 + px + q : 62 Z Z 2x + p dx Ap A dx + B − I(x) = 2 2 2 x + px + q 2 x + px + q A Ap = J(x) + B − K 2 2 On calcule J(x) par changement de variable naturel en posant u(x) = x2 + px + q ce qui donne J(x) = Z Z du = ln |x2 + px + q| + Cte. u dx par deux changements de variable consécutifs + px + q après avoir mis le polynome irréductible sous forme canonique. On trouve finalement : 1 x + p/2 K(x) = Arc tan + Cte ω ω et x A p 1 p 2 + Cte. I(x) = ln(x + px + q) + B − A Arc tan + 2 2 ω ω 2ω On calcule K(x) = x2 7.6.4 Exemples d’intégrales se ramenant à l’intégration d’une fraction rationnelle Z dx o Exemples. 1 Soit à calculer I = . sin x 2t 1 x et dt = (1+t2 )dx Finalement, Solution. On pose t = tan . Alors sin x = 2 2 1+t 2 Z dt x I= = ln |t| + C = ln tan + C. t 2 Z x e +1 o 2 Soit à calculer I = dx. ex − 1 Solution. On pose t = ex d’où dt = tdx et l’on est ramené au calcul de l’intégrale d’une fraction rationnelle en t, à savoir : Z t + 1 dt I= t−1 t R EMARQUE . On dispose maintenant de calculatrices graphiques qui possèdent une fonction permettant le calcul, au moins numérique, d’intégrales définies ; elles se trouvent : R pour les Casio dans option, calc, (f ct, a, b) pour les Ti dans Math, f nint(f ct, var, a, b) R pour les Ti89-92 F3 (f ct, var, a, b) sans , a, b pour les calculs de primitives. 63 7.6.5 Intégrales généralisées On étend la notion d’intégrale à des fonctions non bornées sur (a, b) ou à des intervalles [a, ∞[ ou ]∞, a] à l’aide des définitions suivantes : 1o Soit f continue sur [a, b − ε] non bornée en b. La notation Z b f (x)dx a représente, si elle existe la limite : Z b−ε f (x)dx. lim+ ε→0 a On dit que l’intégrale est convergente et : Z b−ε Z b f (x)dx f (x)dx = lim+ ε→0 a 2 o a Soit f continue sur l’intervalle [a, X]. La notation Z +∞ f (x)dx a représente, si elle existe la limite : Z X lim f (x)dx X→+∞ a On dit que l’intégrale est convergente et : Z Z +∞ f (x)dx = lim a X→+∞ X f (x)dx a Exemples : Z +∞ dx o 1 = lim Arc tan X = π/2 1 + x2 X→+∞ 0 Z 2 2 2o L’intégrale e−x /2 dx est convergente ; en effet puisque lim x2 e−x /2 = 0 x→+∞ 1 2 2 il existe x0 tel que ∀x > x0 x2 e−x /2 < 1 ou encore 0 < e−x /2 < 2 d’où : x Z X Z X dx 1 2 e−x /2 dx < =1− 2 x X 1 1 et en passant à la limite : Z X Z +∞ 2 −x2 /2 e−x /2 dx < 1 e dx = lim 1 64 X→+∞ 1 Exercices 7.1. A l’aide d’un changement de variable approprié, calculer les intégrales suivantes : Z dx √ a) 2 2 Z 2 a −x ln x dx d) 1 x Z g) cos2 x dx Z x dx √ j) −x4 + 2 b) e) h) Z Z Z Z 2x + 1 dx 2 +x+1 x Z π 2 cos x f) dx 4 0 (1 + sin x) Z x dx i) 2 (x + 1)3 dx 2 a + x2 c) 2 xex dx sin3 x dx √ (Poser x2 = t) (On suppose a ∈ R∗+ .) 7.2. Calculer, par parties, les intégrales suivantes : a) d) Z Z ln x dx x dx cos2 x Z x Arc sin x √ dx b) 1 − x2 Z e) eax cos(bx) dx c) f) Z Z x Arc tan x dx eax sin(bx) dx 7.3. Calculer les primitives des fractions rationnelles suivantes : Z Z x3 dx 1−x Z 25x5 + 7x3 + 2x − 7 d) dx x−1 dx a) x(x2 + 1) Z 3 3 x + 2x2 + 3x − 1 c) dx (x − 1)2 2 b) 7.4.Z Primitives et intégrales extraites de sujets d’examens du SV105 : Z 2 2 a) ecos x (cos x sin x) dx et xe1−x dx r Arc sin x est-elle définie et b) Pour quelles valeurs de x la fonction f : x 7→ 1 − x2 continue ? Pour ces valeurs, calculer les primitives de f en effectuant un changement de variable naturel. Z e Après avoir vérifié que cela est possible, calculer J = par parties. c) Calculer les intégrales F (x) = Z π 2 J= cos3 x sin x dx. sin(ln x) dx par intégration 1 Z (2x2 − 1) cos x dx et 0 65 a bt + c 1 = + 2 d) Calculer a, b et c ∈ R tels que 2 (1 + t )(t − 1) t−1 t +1 Z 3 dt puis l’intégrale K = (1 + t2 )(t − 1) Z 2Z Z 2 2 −x3 −x e) Calculer les intégrales x e dx et x e dx puis u e−u du. Z f) Calculer à l’aide d’une intégration par parties : ueu du ; en déduire à l’aide Z 2 2 d’un changement de variable convenable I = 2t(1 + t2 )e1+t dt. 1 x3 a b g) Déterminer a et b réels tels que 2 =x+ + x − x+3 x−3 Z 91 x3 dx En déduire le calcul de l’intégrale I = 2 −9 x 0 Z 1 dx Soit l’intégrale J = 2 2 0 (x + 1) On effectue le changement de variable x = tan θ. Donner un intervalle pour θ tel que 0 ≤ x ≤ 1. Z π 4 Montrer que J = cos2 θ dθ puis terminer le calcul de J. Z 20 h) Calculer K = x ln x dx en intégrant par parties. 1 Z π/2 i) Extrait T1-2008 a. Calculer x sin(2x) dx (Intégration par parties.) Z 0 5 b. Calculer les primitives x4 ex /5 dx (Changement de variable.) j) a. Utiliser un changement de variable approprié pour calculer l’intégrale : Z 1 √ I= x 1 + x2 dx 0 b. Utiliser Z e une intégration par parties pour calculer l’intégrale : J= x2 ln x dx 1 7.5. Soit f : R → R définie par x 7−→ ex sin x 3π Déterminer la valeur moyenne de f sur l’intervalle I = 0, 4 A PPLICATIONS DU CALCUL INT ÉGRAL 7.6. La quantité de chaleur dégagée dans une résistance électrique R est proportionnelle au carré de l’intensité du courant qui la traverse à un instant donné. Calculer l’énergie dégagée pendant une période T par un courant alternatif sinusoidal. ◦ • ◦ • ◦ • ◦ 66