Statistische Versuchsplanung

Transcription

Kapitel 1.1
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Theorie und Praxis mit Tabellenkalkulation
V1.2
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Kapitel 1.1
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Vorwort
Dieser Lehrgang vermittelt solides Hintergrundwissen zu statistischer Versuchsplanung, und richtet
sich besonders an den Praktiker.
Alles theoretisch Abgehandelte, sowie alle 10 Versuchsplanungsbeispiele, werden Schritt für
Schritt mit konkreten Zahlenwerten durchgerechnet.
Methodik und Rechengang orientieren sich an den Möglichkeiten von TabellenkalkulationsProgrammen wie z.B. MS Excel, die heute jedermann zur Verfügung stehen.
Alle in diesem Lehrgang dargestellten Berechnungen stehen in einer separaten Exceldatei zur
Verfügung. Alle Versuchsplanungsbeispiele können somit als Vorlage für eigene Studien und
Versuche verwendet werden.
Die konsequente Anlehnung an die Gegebenheiten von Tabellenkalkulationsprogrammen soll dem
Anwender das „Spielen mit Zahlen“ ermöglichen. Dadurch bekommt er ein praktisches Gefühl für
das bei vorgegebenen Rahmenbedingungen Machbare.
Dieser Lehrgang verheimlicht nicht die realen Gegebenheiten in der statistischen Versuchspraxis.
Genauso wie Prozesse selten fähig, und Weibullplots fast nie signifikant sind, gibt es in der
Statistischen Versuchsplanung nur selten Situationen, wo man Wechselwirkungen (siehe Kapitel
4) tatsächlich vernachlässigen könnte.
Gerade deshalb sind die Beispiele so aufgebaut, dass „schöne“ Ergebnisse kaum vorkommen.
Zusammen mit noch weiteren eingebauten Tücken bilden sie daher die praktisch vorzufindende
Realität gut ab, die freilich auch gescheiterte Versuche beinhaltet.
Das bedeutet allerdings nicht, dass Statistische Versuchsplanung an sich oft scheitert, sondern
vielmehr, dass die betreffenden Anwender mangels methodischer Kenntnisse die Situation falsch
einschätzen. Meistens sind es unerkannte Wechselwirkungen, die aus nichtlinearen
Zusammenhängen zwischen Variablen resultieren.
Dieser Lehrgang vermittelt alle notwendigen Kenntnisse, damit der angehende Versuchsplaner vor
derartigen Enttäuschungen bewahrt wird. Alle Berechnungen sind sehr ausführlich dargestellt. Es
kommen keine nur in bestimmten Fällen funktionierenden Tricks vor.
Insbesondere die Taguchi Methodik (Kapitel 17) kann durch Verzicht auf statistisches Fundament
wohl ziemlich schnell beigebracht werden, doch gerade wegen der fast immer gegenwärtigen
Wechselwirkungen erfordert ausgerechnet sie besondere Erfahrung in Statistischer
Versuchsplanung.
Ohne ausreichende Kenntnisse in der „klassischen“ Versuchsplanung, und dazu gehört unbedingt
ein solides Fundament in allgemeiner Statistik, ist die Anwendung der Taguchi Methodik in der
Regel zum Scheitern verurteilt. Daher ist Anfängern grundsätzlich zu empfehlen, mit „klassischer“
Versuchsplanung zu beginnen.
Abgesehen davon, dass sich keine klare Grenze zwischen „klassischer“ Versuchsplanung und
Taguchi Methodik ziehen lässt, sollte letztere als ein Spezialwerkzeug verstanden werden, das nur
für ganz bestimmte Zwecke einsetzbar ist.
Warum?
Die Natur kümmert sich nicht darum, ob man Wechselwirkungen berücksichtigen will; es kommt
allein darauf an, ob sie objektiv vorhanden sind, und ausschliesslich danach hat sich valide
Versuchsplanung zu richten.
Die Taguchi Versuchspläne, wenn man sie vollständig verwendet, setzen die Nichtexistenz von
Wechselwirkungen, also lineares und additives Verhalten der Faktoren voraus.
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Doch gerade dann braucht man überhaupt keine Statistische Versuchsplanung, weil man nämlich
mit der einfachen Methode „immer nur einen Faktor ändern“ genauso schnell zum Ziel kommt.
Umgekehrt ist die Taguchi Methodik immer dann ungeeignet, wenn mit vielen Wechselwirkungen
zu rechnen ist, oder wenn man die Wechselwirkungen schlecht einschätzen kann; beides ist der
praktische Regelfall.
Was für die Taguchi Methodik bleibt, ist eine Nische, in der tatsächlich nur wenige ausgewählte
Wechselwirkungen vorkommen, die obendrein noch gut einschätzbar sein müssen.
Damit ist die Anwendung der Taguchi Methodik faktisch beschränkt auf Six Sigma Projekte, also
auf die weitere Verbesserung bereits gut funktionierender Prozesse.
Änderungsliste
Datum, Version
06.01.2016, V1.0
30.05.2016, V1.1
06.12.2016, V1.2
Änderungsgrund
Erstausgabe
Vollständige Überarbeitung. Kapitel 23, Computergestützte Verfahren,
hinzu.
Vollständige Überarbeitung.
Kapitel 22.9, Alpha-Anpassung nach Bonferroni hinzu.
Stichwortverzeichnis hinzu.
Viele Textpassagen ausführlicher formuliert, dadurch insgesamt ca. 25
Seiten mehr.
Diverse formale Korrekturen, insbesondere in Ausdrücken der Art „t14;0,95“
Korrektur diverser in Tabellen falsch abgebildeter oder gerundeter
Zahlenwerte.
Anmerkung:
Der Verfasser verwendet kein ß.
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Kurzbeschreibung der Rechenbeispiele
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Beispiel_2
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Beispiel_3
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23 vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt.
Bestimmung der Anzahl notwendiger Messungen, um einen vermuteten
Effekt mit definierter Sicherheit nachzuweisen.
Im Zentralpunkt wird 4x, und an den Eckpunkten jeweils 2x gemessen.
Die Effekte werden zunächst visualisiert, dann mit der Methode der linearen
Kontraste dargestellt.
Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten evtl.
innewohnende Nichtlinearität, werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft.
Effekte und Wechselwirkungen werden zusätzlich mittels ANOVA-Tabelle
und F-Test auf Signifikanz geprüft.
Schliesslich wird aus den gewonnenen Daten ein Vorhersagemodell
aufgestellt, das jedoch nicht weiter getestet wird.
25-1 teilfaktorieller Versuchsplan.
Zunächst wird ein 25 vollfaktorieller Plan auf 25-1 reduziert und die
Konsequenzen aufgrund der dadurch entstehenden Vermengungen
aufgezeigt.
An 4 Stellen wird 2x gemessen, an allen anderen Stellen nur 1x.
Alle Effekte und Wechselwirkungen werden mit dem t-Test auf Signifikanz
geprüft.
32 teilfaktorieller Versuchsplan.
An allen Stellen wird nur 1x gemessen.
Einführung in die Kleinste Quadrate Methode, und in die dafür nötige
Matrizenrechnung.
Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sog. Response
Surface.
Quantitative Überprüfung des Modells.
33 teilfaktorieller Versuchsplan.
An allen Stellen wird nur 1x gemessen.
Zunächst Ausprobieren eines nicht funktionierenden Versuchsplanes.
Die inverse Matrix als Indikator für a) funktionierende, und b) gute
Versuchspläne.
Entwicklung eines funktionierenden, aber schlechten Versuchsplanes
anhand der inversen Matrix.
Surface mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung).
33 Box-Behnken Versuchsplan.
Im Zentralpunkt wird 4x, und an allen anderen Stellen jeweils 1x gemessen.
Surface mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung)..
33 Sternpunkt Versuchsplan.
Im Zentralpunkt und an allen anderen Stellen wird jeweils 2x gemessen.
Surface, mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung).
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Beispiel_7
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Zusammenhängende Strategie aus 2 Versuchsplänen.
Bestimmung der Anzahl notwendiger Messungen, um einen vermuteten
Effekt mit definierter Sicherheit nachzuweisen.
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Erster Versuchsplan: 22 vollfaktoriell mit Zentralpunkt.
Im Zentralpunkt wird 6x, und an den Eckpunkten jeweils 2x gemessen.
Die Effekte werden mit der Methode der linearen Kontraste dargestellt.
innewohnende Nichtlinearität werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft.
Aufstellen eines linearen Vorhersagemodells. Dieses Modell dient als
Grundlage zur Entwicklung des zweiten Versuchsplans.
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Beispiel_8b
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Beispiel_8c
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Beispiel_9
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Beispiel_8a
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Zweiter Versuchsplan: 32 teilfaktoriell mit Zentralpunkt.
Im Zentralpunkt wird 2x, und an allen anderen Stellen jeweils 1x gemessen.
Zur Erhöhung der Varianzinformation überschneiden sich die beiden
Versuchspläne in einem Messpunkt.
Surface, mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung).
Quantitative Überprüfung und Visualisierung des quadratischen Modells.
Ausführliche Beschreibung des Zusammenhangs zwischen gepoolter
Varianz, Varianz-Kovarianz Matrix und Modellkoeffizienten
Die Koeffizienten des quadratischen Modells werden mit dem t-Test auf
Signifikanz geprüft.
Am Schluss wird das lineare Modell des ersten Versuchsplanes (anstelle mit
der Methode der linearen Kontraste) mit der Kleinsten Quadrate Methode
aufgestellt, und die Modellparameter auf Signifikanz geprüft.
Randomisierter Blockversuch.
Aufstellung eines speziellen Modells, das von vorne herein nur bestimmte
Effekte berücksichtigt.
Das Prinzip der Zerlegung in innere und äussere Quadratesummen, sowie
der Umgang mit Freiheitsgraden, werden ausführlich unter verschiedenen
Blickwinkeln dargestellt.
Auswertung verschiedener Effekte mit dem F-Test.
Auswertung verschiedener Effekte mit dem t-Test.
Lateinisches Quadrat
Split Plot Versuchsplan.
Auswertung verschiedener Effekte mit ANOVA Tabellen (F-Tests).
Taguchi Versuch
23 Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix.
Festlegung einer Verlustfunktion.
Im Zentralpunkt und an allen anderen Stellen wird jeweils 4x gemessen.
Die Lageeffekte werden zunächst mit der Methode der linearen Kontraste
dargestellt, und dann visualisiert.
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Beispiel_10
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Die Dispersionseffekte werden mit der Methode der linearen Kontraste
dargestellt.
Anwendung des Welch-Satterthwaite Verfahrens bei inhomogenen
Varianzen.
innewohnende Nichtlinearität, werden auf Signifikanz geprüft.
Taguchi Versuch mit Dummyfaktorstufen
Taguchi L16 Designmatrix + Taguchi L16 Rauschmatrix.
Graphische Darstellung der Lage- und Dispersionseffekte
Auswertung verschiedener Lage- und Dispersionseffekte mit ANOVA
Tabellen und F-Tests in einer allgemeineren Weise, die auch für mehr als 2stufige Faktoren anwendbar ist.
Nach enttäuschender Versuchsbilanz neue Auswertung von nur einem Teil
der Daten.
Graphische Darstellung der Lage- und Dispersionseffekte
Auswertung verschiedener Lage- und Dispersionseffekte mit ANOVA
Tabellen und F-Tests in einer allgemeineren Weise, die auch für mehr als 2stufige Faktoren anwendbar ist.
Überprüfung der neuen Auswertung auf Signifikanz mit dem t-Test.
Inhaltsverzeichnis, nur Grosskapitel
1 Einleitung............................................................................................................................... 17
2 Allgemeine Grundlagen ......................................................................................................... 23
3 Varianzanalyse, ANOVA Grundprinzip................................................................................... 74
4 Visualisierung von Haupteffekten und Wechselwirkungen ..................................................... 83
5 23 Vollfaktorieller Plan mit Zentralpunkt, Beispiel_1 ............................................................... 96
6 2k Teilfaktorielle Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 112
7 25-1 Teilfaktorieller Plan, Beispiel_2 ...................................................................................... 125
8 3k Teilfaktorielle Versuchspläne, Response Surface, Theorie .............................................. 133
9 32 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Regressionsmodell und Kleinste Quadrate
Methode, Theorie und Beispiel_3................................................................................................ 137
10
33 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Beispiel_4 ..................................................... 148
11
Box-Behnken Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 157
12
33 Box-Behnken Versuchsplan, Beispiel_5....................................................................... 165
13
Sternpunkt Versuchspläne, Theorie.................................................................................. 181
14
33 Sternpunkt Versuchsplan, Beispiel_6 ........................................................................... 185
15
Zweistufige Versuchsplanungs-Strategie, Beispiel_7 ....................................................... 200
16
Blockbildung, Übungen mit Freiheitsgraden, Beispiele 8a, 8b, 8c..................................... 223
17
Statistische Versuchsplanung nach Taguchi .................................................................... 249
18
Taguchi: Beispiel_9 .......................................................................................................... 259
19
Taguchi: Beispiel_10, Dummyvariablen............................................................................ 270
20
Signal-Rauschverhältnisse ............................................................................................... 286
21
Orthogonale Felder .......................................................................................................... 290
22
Verschiedenes ................................................................................................................. 308
23
Computergestützte Verfahren........................................................................................... 327
24
Zusammenfassung........................................................................................................... 335
25
Stichwortverzeichnis......................................................................................................... 340
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Kapitel 1.1
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Inhaltsverzeichnis, alle Unterkapitel
1
Einleitung............................................................................................................................... 17
1.1
Grundkonzepte ............................................................................................................... 17
1.2
Statistische Methoden..................................................................................................... 17
1.3
Verteilungsfunktionen ..................................................................................................... 18
1.4
Varianz ........................................................................................................................... 19
1.5
Orthogonale Felder, Versuchspläne................................................................................ 20
1.6
Freiheitsgrade................................................................................................................. 20
1.7
Signifikanz versus Relevanz ........................................................................................... 21
1.8
Matrizenrechnung ........................................................................................................... 22
2 Allgemeine Grundlagen ......................................................................................................... 23
2.1
Varianz, Standardabweichung und Freiheitsgrade.......................................................... 23
2.1.1 Freiheitsgrade............................................................................................................ 24
2.1.1.1
Beispiel: Mittelwert ............................................................................................. 24
2.1.1.2
Beispiel: Varianz ................................................................................................ 24
2.1.2 Mittelung von Varianzen, Pooling............................................................................... 27
2.1.3 Veranschaulichung der Varianz, Normalverteilung..................................................... 27
2.2
Kovarianz........................................................................................................................ 30
2.3
Zentraler Grenzwertsatz, Normalverteilung..................................................................... 32
2.3.1 Veranschaulichung .................................................................................................... 32
2.4
t-Verteilung ..................................................................................................................... 35
2.4.1 Vertrauensintervall von Mittelwerten, Signifikanz ....................................................... 38
2.4.1.1
Abgrenzung Zufallsstreubereich - Vertrauensintervall ....................................... 38
2.4.1.2
Alpharisiko und Signifikanz ................................................................................ 40
2.4.2 t-Test für 1 Stichprobe, Signifikanz & Rechenbeispiele .............................................. 42
2.4.2.1
Szenario 1.......................................................................................................... 42
2.4.2.2
Szenario 2.......................................................................................................... 44
2.4.2.3
Szenario 3.......................................................................................................... 45
2.4.2.4
Szenario 4.......................................................................................................... 46
2.4.2.5
Szenario 5.......................................................................................................... 47
2.5
t-Test für 2 Stichproben, Signifikanz & Rechenbeispiele ................................................. 49
2.5.1 Gleiche Varianzen ..................................................................................................... 49
2.5.1.1
Szenario 1.......................................................................................................... 51
2.5.1.2
Szenario 2.......................................................................................................... 52
2.5.1.3
Szenario 3.......................................................................................................... 54
2.5.2 Ungleiche Varianzen.................................................................................................. 55
2.5.2.1
Szenario 1.......................................................................................................... 56
2.5.2.2
Szenario 2.......................................................................................................... 58
2.5.2.3
Szenario 3.......................................................................................................... 59
2.6
F-Test auf Varianzunterschiede, Signifikanz & Rechenbeispiele..................................... 61
2.6.1.1
Szenario 1.......................................................................................................... 62
2.6.1.2
Szenario 2.......................................................................................................... 63
2.7
Fallzahlplanung............................................................................................................... 65
2.7.1 Betarisiko................................................................................................................... 65
2.7.2 Herleitung .................................................................................................................. 68
2.7.3 Beispiel...................................................................................................................... 71
2.7.3.1
Bestimmung des optimalen Stichprobenumfangs............................................... 71
2.7.3.2
Abschätzung Betarisiko aus dem bisher verwendeten Beispiel .......................... 72
3 Varianzanalyse, ANOVA Grundprinzip................................................................................... 74
3.1
Abgrenzung ANOVA mit F-Test versus t-Test. Diverse theoretische und praktische
Aspekte ..................................................................................................................................... 74
3.2
1 Faktor auf 2 Stufen: 21 Versuchsplan........................................................................... 75
3.3
2 Faktoren auf je 2 Stufen: 22 Versuchsplan ................................................................... 78
4 Visualisierung von Haupteffekten und Wechselwirkungen ..................................................... 83
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3 Faktoren auf je 2 Stufen: 23 Versuchsplan ................................................................... 83
4.1
4.2
A-Haupteffekt.................................................................................................................. 84
4.3
B- und C-Haupteffekt ...................................................................................................... 86
4.4
AB Wechselwirkung ........................................................................................................ 87
4.5
AC und BC Wechselwirkung ........................................................................................... 88
4.6
A Haupteffekt + BC Wechselwirkung .............................................................................. 90
4.7
Haupteffekt A + AB Wechselwirkung............................................................................... 91
4.8
ABC Wechselwirkung ..................................................................................................... 92
4.9
Alle Effekte ..................................................................................................................... 93
4.10
A Haupteffekt A + AB Wechselwirkung, keine Messwiederholung ............................. 94
3
5 2 Vollfaktorieller Plan mit Zentralpunkt, Beispiel_1 ............................................................... 96
5.1
Fallzahlbestimmung ........................................................................................................ 97
5.2
Visualisierung der Messwerte ......................................................................................... 99
5.3
Lineare Kontraste Methode........................................................................................... 100
5.4
Signifikanzbetrachtungen.............................................................................................. 102
5.4.1 Gepoolte Varianz..................................................................................................... 102
5.4.2 Varianz des Gesamtmittelwertes ............................................................................. 103
5.4.3 Varianz eines Effektes ............................................................................................. 103
5.4.4 Varianz einer Wechselwirkung................................................................................. 103
5.4.5 Nichtlinearität........................................................................................................... 104
5.4.5.1
Varianz des Mittelwertunterschieds.................................................................. 104
5.4.6 t-Test ....................................................................................................................... 105
5.4.6.1
Effekte und Wechselwirkungen ........................................................................ 105
5.4.6.2
Nichtlinearität, Krümmung................................................................................ 107
5.4.7 ANOVA Tabelle, F-Test ........................................................................................... 108
5.5
Vorhersagemodell......................................................................................................... 110
5.6
Zusammenfassung von Beispiel_1 ............................................................................... 111
6 2k Teilfaktorielle Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 112
6.1
Motivation ..................................................................................................................... 112
6.2
23-1 Versuchsplan und Taguchi L4 ................................................................................ 112
6.3
24-1 Versuchsplan, sinnvoll reduziert ............................................................................. 116
6.4
24-1 Versuchsplan, nicht sinnvoll reduziert ..................................................................... 117
6.5
27-4 Versuchsplan / Taguchi L8 ...................................................................................... 118
6.5.1 Vermengung ............................................................................................................ 119
6.6
Plackett- Burman Versuchspläne .................................................................................. 122
6.7
Screening ..................................................................................................................... 123
7 25-1 Teilfaktorieller Plan, Beispiel_2 ...................................................................................... 125
7.1
Vermengung ................................................................................................................. 126
7.2
Zahlenbeispiel............................................................................................................... 128
7.3
Signifikanz der Effekte und Wechselwirkungen............................................................. 129
7.3.1 Gepoolte Varianz..................................................................................................... 129
7.3.2 Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung.................................................. 129
7.3.3 t-Test ....................................................................................................................... 130
7.3.3.1
Effekte und Wechselwirkungen: Lineare Kontraste .......................................... 130
7.4
Zusammenfassung von Beispiel_2 ............................................................................... 132
8 3k Teilfaktorielle Versuchspläne, Response Surface, Theorie .............................................. 133
8.1
Abgrenzung zu 2k Versuchsplänen, Motivation ............................................................. 133
8.2
3k Versuchspläne.......................................................................................................... 133
2
9 3 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Regressionsmodell und Kleinste Quadrate
Methode, Theorie und Beispiel_3................................................................................................ 137
9.1
Kleinste Quadrate Methode: Einleitung......................................................................... 138
9.2
Kleinste Quadrate Methode: Matrixrechnung Theorie ................................................... 141
9.2.1 Auflösen nach e....................................................................................................... 141
9.2.2 Ableiten nach c ........................................................................................................ 142
9.2.3 Auflösen nach c ....................................................................................................... 143
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Kleinste Quadrate Methode: Matrixrechnung Zahlenbeispiel ........................................ 143
9.3
9.3.1 XTX .......................................................................................................................... 143
9.3.2 (XTX)-1 ...................................................................................................................... 144
9.3.3 XTY .......................................................................................................................... 145
9.3.4 (XTX)-1 XTY ............................................................................................................... 146
9.3.5 Modellgleichung....................................................................................................... 146
9.3.6 Visualisierung des Modells ...................................................................................... 147
10
33 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Beispiel_4 ..................................................... 148
10.1
Ungeeigneter Versuchsplan..................................................................................... 148
10.1.1
XTX ...................................................................................................................... 149
10.1.2
(XTX)-1 .................................................................................................................. 150
10.2
Mittelmässig geeigneter Versuchsplan..................................................................... 152
10.2.1
XTX ...................................................................................................................... 152
10.2.2
(XTX)-1 .................................................................................................................. 153
10.2.3
XTY ...................................................................................................................... 154
10.2.4
(XTX)-1 XTY ........................................................................................................... 154
10.2.5
Modellgleichung................................................................................................... 155
10.3
Zusammenfassung von Beispiel_4 .......................................................................... 156
11
Box-Behnken Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 157
11.1
33 Box Behnken Versuchsplan................................................................................. 157
11.2
43 Box-Behnken Versuchsplan ................................................................................ 159
11.3
Räumliche Vorstellungshilfe..................................................................................... 159
11.4
Tesserakt (Hyperwürfel)........................................................................................... 159
11.5
53 Box-Behnken Versuchsplan ................................................................................ 163
11.6
Höherdimensionale Box Behnken Versuchspläne ................................................... 164
12
33 Box-Behnken Versuchsplan, Beispiel_5....................................................................... 165
12.1
Allgemeine Berechnung........................................................................................... 165
12.1.1
XTX ...................................................................................................................... 166
12.1.2
(XTX)-1 .................................................................................................................. 167
12.1.3
XTY ...................................................................................................................... 168
12.1.4
(XTX)-1 XTY........................................................................................................... 169
3
12.2
3 BB Versuchsplan mit 4 Zentralpunkt Runs, Zahlenbeispiel.................................. 171
12.2.1
XTX ...................................................................................................................... 171
12.2.2
(XTX)-1 ................................................................................................................. 172
12.2.3
XTY ...................................................................................................................... 172
12.2.4
(XTX)-1 XTY ........................................................................................................... 173
12.2.5
Modell .................................................................................................................. 173
12.2.6
Signifikanzbetrachtungen..................................................................................... 174
12.2.6.1
Gepoolte Varianz ......................................................................................... 174
12.2.6.2
Varianz des Gesamtmittelwertes.................................................................. 174
12.2.6.3
Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung ...................................... 174
12.2.6.4
Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität....................................... 175
12.2.7
t-Test ................................................................................................................... 176
12.2.7.1
Effekte und Wechselwirkungen .................................................................... 177
12.2.7.2
Nichtlinearität ............................................................................................... 179
12.3
13
Sternpunkt Versuchspläne, Theorie.................................................................................. 181
13.1
33 Sternpunkt Versuchsplan..................................................................................... 181
13.2
34 Sternpunkt Versuchsplan..................................................................................... 182
13.3
35 und höherdimensionale Sternpunkt Versuchspläne ............................................. 184
3
14
3 Sternpunkt Versuchsplan, Beispiel_6 ........................................................................... 185
14.1
Allgemeine Berechnung........................................................................................... 185
14.1.1
XTX ...................................................................................................................... 186
14.1.2
(XTX)-1 .................................................................................................................. 187
14.1.3
XTY ...................................................................................................................... 188
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(XTX)-1 XTY........................................................................................................... 189
14.1.4
3
14.2
3 Sternpunkt Versuchsplan mit Zentralpunkt, Zahlenbeispiel................................. 190
14.2.1
XTX ...................................................................................................................... 191
14.2.2
(XTX)-1 .................................................................................................................. 191
14.2.3
XTY ...................................................................................................................... 192
14.2.4
(XTX)-1 XTY ........................................................................................................... 192
14.2.5
Modell .................................................................................................................. 193
14.2.6
14.2.6.1
14.2.6.2
14.2.6.3
Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung ...................................... 194
14.2.6.4
Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität....................................... 195
14.2.7
t-Test ................................................................................................................... 196
14.2.7.1
Effekte und Wechselwirkungen .................................................................... 197
14.2.7.2
Nichtlinearität, Krümmung ............................................................................ 198
14.3
15
Zweistufige Versuchsplanungs-Strategie, Beispiel_7 ....................................................... 200
15.1
Fallzahlplanung ....................................................................................................... 200
15.2
22 vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt ...................................................... 201
15.2.1
Berechnung einiger Varianzen............................................................................. 201
15.2.1.1
15.2.1.2
Varianz eines Haupteffektes und einer Wechselwirkung .............................. 202
15.2.1.3
Varianz der Nichtlinearität ............................................................................ 202
15.2.2
t-Test für Effekte, Wechselwirkung und Krümmung.............................................. 203
15.2.3
15.3
32 Teilfaktoriell mit Zentralpunkt: „Hineinzoomen“ .................................................... 206
15.3.1
XTX ...................................................................................................................... 207
15.3.2
(XTX)-1 .................................................................................................................. 208
15.3.3
XTY ...................................................................................................................... 209
15.3.4
(XTX)-1 XTY........................................................................................................... 209
15.3.5
15.3.6
Signifikanz der Modellparameter: Varianz-Kovarianz Matrix ................................ 210
15.3.6.1
15.3.6.2
Varianz-Kovarianz Matrix ............................................................................. 211
15.3.6.3
Signifikanz der Kovarianzen ......................................................................... 214
15.3.6.4
Wie kann man sich die Entstehung der Kovarianzen vorstellen?.................. 215
15.3.6.5
Vertrauensintervalle von Parametern bei Vorhandensein von Kovarianzen.. 215
15.3.7
Signifikanz der Modellparameter.......................................................................... 216
15.3.8
Test des Modells.................................................................................................. 218
15.3.9
Visualisierung des Modells................................................................................... 218
15.3.10 Nochmal Lineares Modell, nun mit Matrixrechnung.............................................. 219
15.3.10.1
XTX............................................................................................................... 219
15.3.10.2
(XTX)-1 .......................................................................................................... 220
15.3.10.3
XTY............................................................................................................... 220
15.3.10.4
(XTX)-1 XTY ................................................................................................... 220
15.3.10.5
Varianz-Kovarianz Matrix ............................................................................. 221
15.3.10.6
Signifikanz der Modellparameter .................................................................. 221
15.4
Zusammenfassung Beispiel 7 .................................................................................. 222
16
Blockbildung, Übungen mit Freiheitsgraden, Beispiele 8a, 8b, 8c..................................... 223
16.1
Abgrenzung zu Randomisierung.............................................................................. 223
16.2
Blockbildung ............................................................................................................ 224
16.3
1 Blockfaktor, Randomisiertes Blockmodell, Beispiel_8a ......................................... 225
16.3.1
Beispiel ................................................................................................................ 225
16.3.1.1
Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade........................................... 227
16.3.2
Seite 10 von 344
Kapitel 1.1
Seite 11 von 344
a) Unterscheiden sich die Dünger signifikant?........................................... 228
16.3.2.1
16.3.2.2
b1) Unterscheiden sich Dünger 1 und Dünger 2 signifikant? F-Test ......... 230
16.3.2.3
b2) Unterscheiden sich Dünger 1 und Dünger 2 signifikant? t-Test .......... 230
16.4
2 und mehr Blockfaktoren: Lateinische Quadrate, Beispiel_8b ................................ 232
16.4.1
Beispiel ................................................................................................................ 232
16.4.1.1
Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade........................................... 234
16.4.1.2
Signifikanz.................................................................................................... 235
16.5
Split Plot Versuchsplan, Beispiel_8c ........................................................................ 236
16.5.1
Beispiel ................................................................................................................ 236
16.5.2
Übung: Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade...................................... 239
16.5.3
Auswertung.......................................................................................................... 244
16.5.3.1
ANOVA Tabelle............................................................................................ 245
16.5.3.2
Einzeltests, Paarvergleiche .......................................................................... 245
17
Statistische Versuchsplanung nach Taguchi .................................................................... 249
17.1
Grundsätzliche Kritik zur Taguchi Methodik ............................................................. 249
17.2
Taguchis Qualitätsphilosophie ................................................................................. 250
17.2.1
Andere qualitätstechnische Ansätze .................................................................... 250
17.2.1.1
Alt und bewährt ............................................................................................ 250
17.2.1.2
Statistische Prozessregelung (SPC):............................................................ 250
17.2.2
Taguchis Verlustfunktion...................................................................................... 251
17.2.2.1
Beispiel für ein Optimierungsproblem Lieferant – Abnehmer ........................ 252
17.2.3
Bezug zur Versuchsplanung ................................................................................ 253
17.2.4
Taguchis Robust Design und Parameter-Design Methode................................... 254
17.2.5
Zusammenfassung .............................................................................................. 257
18
Taguchi: Beispiel_9 .......................................................................................................... 259
18.1
Lageeffekte, lineare Kontraste ................................................................................. 261
18.2
Dispersionseffekte, lineare Kontraste....................................................................... 262
18.3
Signifikanzbetrachtungen......................................................................................... 263
18.3.1
Varianzhomogenität ............................................................................................. 263
18.3.2
Gepoolte Varianz ................................................................................................. 264
18.3.3
Varianz des Gesamtmittelwertes.......................................................................... 264
18.3.4
Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung.............................................. 264
18.3.5
Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität .............................................. 265
18.4
t-Test ....................................................................................................................... 265
18.4.1
Effekte und Wechselwirkungen............................................................................ 266
18.4.2
Nichtlinearität, Krümmung.................................................................................... 268
18.5
19
Taguchi: Beispiel_10, Dummyvariablen............................................................................ 270
19.1
Beschreibung des Experiments ............................................................................... 270
19.1.1
Designfaktoren..................................................................................................... 270
19.1.2
Rauschfaktoren.................................................................................................... 271
19.2
Stufenbelegungen.................................................................................................... 272
19.2.1
Graphische Darstellung der Effekte ..................................................................... 275
19.2.2
Signifikanz der Lageeffekte.................................................................................. 276
19.2.3
Signifikanz der Dispersionseffekte ....................................................................... 277
19.2.4
Zwischenbilanz .................................................................................................... 278
19.3
Neue Auswertung .................................................................................................... 278
19.3.1
Graphische Darstellung der Effekte ..................................................................... 280
19.3.2
Signifikanz der Lageeffekte.................................................................................. 281
19.3.3
Signifikanz der Dispersionseffekte ....................................................................... 282
19.3.4
Signifikanz der neuen Auswertung....................................................................... 283
19.4
Zusammenfassung von Beispiel_10 ........................................................................ 285
20
Signal-Rauschverhältnisse ............................................................................................... 286
20.1
Taguchis Verlustfunktion.......................................................................................... 286
20.1.1
Je näher am Zielmass, desto besser ................................................................... 287
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Kapitel 1.1
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Je mehr desto besser .......................................................................................... 287
20.1.2
20.1.3
Je weniger desto besser ...................................................................................... 288
20.1.4
Andere Schreibweisen ......................................................................................... 288
20.1.4.1
Je weniger, desto besser ............................................................................. 288
20.1.4.2
Je mehr, desto besser.................................................................................. 289
21
Orthogonale Felder .......................................................................................................... 290
21.1
Taguchi Versuchspläne ........................................................................................... 290
21.2
Plackett – Burman Versuchspläne ........................................................................... 291
21.3
Umgang mit orthogonalen Feldern........................................................................... 291
21.3.1
Auswahl geeigneter orthogonaler Felder.............................................................. 292
21.3.1.1
Beispiel 1a: 23 vollfaktoriell mit Messwiederholung und Zentralpunkt (ZP) . 293
21.3.1.2
Beispiel 1b: 23 Taguchi L4 teilfaktoriell mit Messwiederholung und ZP ....... 293
21.3.1.3
Beispiel 1c: 23 Taguchi L4 teilfaktoriell mit Messwiederholung .................... 293
21.3.1.4
Beispiel 1d: 23 Taguchi L4 teilfaktoriell ohne Messwiederholung................. 293
21.3.1.5
Beispiel 2a: 24 Taguchi L8 teilfaktoriell, 1 Wechselwirkung ......................... 294
21.3.1.6
Beispiel 2b: 24 Taguchi L8 teilfaktoriell, 3 Wechselwirkungen ..................... 294
21.3.1.7
Beispiel 2c: 28 Taguchi L16 teilfaktoriell, 5 Wechselwirkungen .................... 295
21.3.1.8
Beispiel 3a: 22x41 Taguchi L8 teilfaktoriell, keine Wechselwirkungen .......... 298
21.3.1.9
Beispiel 3b: 22x41 Taguchi L8 teilfaktoriell, eine Wechselwirkung................ 299
21.3.1.10
Beispiel 3c: 45 Taguchi L16 teilfaktoriell mit Dummyfaktorstufen.................. 300
21.3.2
Vermengung, teilweise oder ganz ........................................................................ 304
21.3.2.1
Vollständige Vermengung: Taguchi L8.......................................................... 304
21.3.2.2
Teilweise Vermengung: Taguchi L9 .............................................................. 306
21.3.2.3
Teilweise Vermengung: Taguchi L25 ............................................................. 306
22
Verschiedenes ................................................................................................................. 308
22.1
Was sind Wechselwirkungen ................................................................................... 308
22.2
Kategoriale Prozessergebnisse ............................................................................... 310
22.3
Dummyfaktorstufen.................................................................................................. 311
22.4
Vertrauensintervalle................................................................................................. 312
22.4.1
Gepoolte Varianz eines 2k vollfaktoriellen Versuchsplans .................................... 314
22.4.2
Varianz des Mittelwerts eines 2k vollfaktoriellen Versuchsplans ........................... 314
22.4.3
Varianz eines Haupteffektes oder einer Wechselwirkung eines 2k vollfaktoriellen
Versuchsplans ..................................................................................................................... 315
22.4.4
Varianz der Krümmung eines 2k vollfaktoriellen Versuchsplans ........................... 315
22.5
Varianzhomogenität................................................................................................. 316
22.5.1
Welch–Satterthwaite Formel ................................................................................ 316
22.5.2
Beispiele .............................................................................................................. 317
22.6
Vertrauensintervalle für Varianzen........................................................................... 319
22.7
Schätzmethoden...................................................................................................... 322
22.7.1
Kleinste Quadrate Methode, OLS ........................................................................ 322
22.7.2
Maximum Likelihood Estimation, MLE ................................................................. 323
22.8
Korrelation ............................................................................................................... 323
22.8.1
Korrelation zwischen x und y ............................................................................... 324
22.8.2
Korrelation der x untereinander............................................................................ 324
22.8.2.1
Bedingt durch den Versuchsplan.................................................................. 324
22.8.2.2
Technisch bedingt ........................................................................................ 324
22.8.3
Korrelation der y untereinander............................................................................ 325
22.9
Alpharisiko Anpassung nach Bonferroni .................................................................. 325
23
Computergestützte Verfahren........................................................................................... 327
23.1
„ ... -optimale“ Versuchspläne: Motivation ................................................................ 327
23.1.1
Zu 1. Orthogonalität ............................................................................................. 328
23.1.2
Zu 2. Viele Versuchsläufe .................................................................................... 328
23.1.3
Zu 3. Budgetvorgaben ......................................................................................... 329
23.1.4
Beispiel ................................................................................................................ 329
23.2
„ ... -optimale“ Versuchspläne: Theorie .................................................................... 330
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Kapitel 1.1
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Klassisch ............................................................................................................. 330
23.2.1
23.2.2
Computerbasiert .................................................................................................. 330
23.2.2.1
T-optimal...................................................................................................... 331
23.2.2.2
A-optimal...................................................................................................... 332
23.2.2.3
G-optimal ..................................................................................................... 332
23.2.2.4
I-optimal ....................................................................................................... 333
23.2.2.5
V-optimal...................................................................................................... 333
23.2.2.6
D-optimal...................................................................................................... 333
24
Zusammenfassung........................................................................................................... 335
24.1
Kernaussagen ......................................................................................................... 335
24.1.1
Versuchsplanung vs. klassisch ............................................................................ 335
24.1.2
Der Grad des (Nicht-) Wissens & Budget............................................................. 336
24.1.3
„Taguchi“ ............................................................................................................. 337
24.1.4
Fallzahlbestimmung ............................................................................................. 337
24.1.5
Orthogonale Felder .............................................................................................. 338
24.1.6
"Block what you can, randomize what you can not" ............................................. 338
24.1.7
Felddaten versus Experiment .............................................................................. 338
24.2
Links und weiterführende Dokumente...................................................................... 339
25
Stichwortverzeichnis......................................................................................................... 340
Abbildungsverzeichnis
Hinweis:
Manche Elemente können sowohl als Tabelle, als auch als Bild aufgefasst werden.
Im Zweifelsfall wurde als Tabelle eingeordnet.
Bild 1: Dichtefunktion der Normalverteilung................................................................................... 28
Bild 2: Verteilungsfunktion der Normalverteilung ........................................................................... 28
Bild 3: Detail von Bild 2 ................................................................................................................. 29
Bild 4: Binomialverteilung für verschiedene Anzahlen Münzwürfe................................................. 33
Bild 5: Zufallszahlen mit Gewichtungsprofil ................................................................................... 34
Bild 6: Zentraler Grenzwertsatz, Veranschaulichung..................................................................... 34
Bild 7: t-Verteilung mit 1 Freiheitsgrad .......................................................................................... 36
Bild 8: t-Verteilung mit 5 Freiheitsgraden ...................................................................................... 37
Bild 9: t-Verteilung mit 10 Freiheitsgraden..................................................................................... 37
Bild 10: t-Verteilung mit 25 Freiheitsgraden................................................................................... 38
Bild 11: Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse allgemein.......................................................... 41
Bild 12: t-Verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant ................... 43
Bild 13: t-Verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant .......... 45
Bild 14: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...................... 46
Bild 15: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant............. 48
Bild 22: F-Verteilung, Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant ......................... 63
Bild 23: F-Verteilung, Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant .................................. 64
Bild 24: Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H1........................................... 66
Bild 25:Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H1............................................ 67
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Kapitel 1.1
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Bild 28: ANOVA einfaktoriell, Veranschaulichung.......................................................................... 76
Bild 29: ANOVA-Tabelle einfaktoriell............................................................................................. 77
Bild 30: ANOVA zweifaktoriell, Veranschaulichung ....................................................................... 79
Bild 31: ANOVA zweifaktoriell, Gesamte Streuung........................................................................ 79
Bild 32: ANOVA zweifaktoriell, Innere Streuung............................................................................ 79
Bild 33: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen den Stufen von Faktor 1................................. 80
Bild 34: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen den Stufen von Faktor 2................................. 80
Bild 35: ANOVA zweifaktoriell, Streuung der Wechselwirkung ...................................................... 81
Bild 36: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen allen 4 Stufen beider Faktoren ....................... 82
Bild 37: Dreifaktoriell, Räumliche Veranschaulichung ................................................................... 83
Bild 38: ANOVA, Haupteffekt A ..................................................................................................... 84
Bild 39: ANOVA, Haupteffekt B ..................................................................................................... 86
Bild 40: ANOVA, Haupteffekt C..................................................................................................... 86
Bild 41: ANOVA, Wechselwirkung A-B.......................................................................................... 87
Bild 42: ANOVA, Wechselwirkung A-C.......................................................................................... 89
Bild 43: ANOVA, Wechselwirkung B-C.......................................................................................... 89
Bild 44: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung B-C ................................................................ 90
Bild 45: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B ................................................................ 91
Bild 46: ANOVA, Wechselwirkung A-B-C ...................................................................................... 92
Bild 47: ANOVA, alle Effekte und Wechselwirkungen ................................................................... 93
Bild 48: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B, ohne Messwiederholung ........................ 94
Bild 49: Dreifaktoriell mit Zentralpunkt, Räumliche Veranschaulichung ......................................... 96
Bild 50: ANOVA, dreifaktoriell mit Zentralpunkt ............................................................................. 99
Bild 51: Fläche Y = 1 + X1 + X2 + X1*X2 ....................................................................................... 134
Bild 52: 1 + X + Y + X*Y + X2 + Y2 Fläche .................................................................................. 134
Bild 53: Ausgeschriebene Matrixgleichung.................................................................................. 140
Bild 54: Quadratische Kurve im Raum ........................................................................................ 147
Bild 56: 33 Box Behnken Veranschaulichung .............................................................................. 157
Bild 57: Tesserakt (4D-Würfel) .................................................................................................... 160
Bild 58: Tesserakt, Verbindungsflächen zw. Innerem und äusserem Würfel ............................... 162
Bild 59: 33 Box Behnken Veranschaulichung .............................................................................. 175
Bild 60: 33 Sternpunkt Plan, Veranschaulichung ......................................................................... 181
Bild 61: Tesserakt ....................................................................................................................... 183
Bild 62: 33 Sternpunkt Plan, Veranschaulichung ......................................................................... 195
Bild 63: Lineares Modell, Flächendarstellung im Raum ............................................................... 205
Bild 64: Zweistufiger Versuchsplan, Visualisierung ..................................................................... 206
Bild 65: Gepoolte Varianz bei überlappenden Versuchsplänen ................................................... 210
Bild 67: 23 Designmatrix mit Taguchi L4 Rauschmatrix, Veranschaulichung ................................ 255
Bild 68: Taguchi, Minimierung der Streuung, Veranschaulichung................................................ 256
Bild 69: 23 Designmatrix mit Taguchi L4 Rauschmatrix, Veranschaulichung ................................ 259
Bild 70: 23 vollfaktoriell mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix: Lageeffekte,
Lineare Kontraste, Ergebnisdarstellung ............................................................................... 261
Bild 71: Taguchi, visuelle Darstellung von Effekten ..................................................................... 262
Bild 72: 23 Plan mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix: Dispersionseffekte,
Lineare Kontraste, Ergebnisdarstellung ............................................................................... 262
Bild 73: 23 Plan mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix: Lageeffekte,
Signifikanz ........................................................................................................................... 267
Bild 74: Graphische Ergebnisdarstellung "vorher" Beispiel_10.................................................... 275
Bild 75: Graphische Ergebnisdarstellung "nachher" Beispiel_10 ................................................. 280
Bild 76: Graphische Ergebnisdarstellung vorher + nachher Beispiel_10...................................... 284
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Kapitel 1.1
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Tabellenverzeichnis
Hinweis:
Es sind insgesamt weit über 200 Tabellen. In dieses Verzeichnis wurden nur diejenigen Tabellen
aufgenommen, die grundlegende Zusammenhänge darstellen. Tabellen, die lediglich
Rechenschritte oder einfache Ergebnisse darstellen (dies sind die meisten), wurden nicht in das
Tabellenverzeichnis aufgenommen.
Tabelle 1: Kovarianz Veranschaulichung ...................................................................................... 31
Tabelle 2: ANOVA Tabelle, zweifaktoriell, alle Effekte und WW aufgelöst..................................... 81
Tabelle 3: ANOVA Tabelle, zweifaktoriell, Effekte und WW nicht aufgelöst................................... 82
Tabelle 4: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A signifikant.................................................................... 85
Tabelle 5: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt B signifikant.................................................................... 86
Tabelle 6: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt C signifikant.................................................................... 86
Tabelle 7: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-B signifikant......................................................... 88
Tabelle 8: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-C signifikant ........................................................ 89
Tabelle 9: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung B-C signifikant ........................................................ 89
Tabelle 10: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A + Wechselwirkung B-C signifikant ............................. 90
Tabelle 11: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B signifikant .......................................... 91
Tabelle 12: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-B-C signifikant ................................................... 92
Tabelle 13: ANOVA-Tabelle, alle Effekte und Wechselwirkungen signifikant ................................ 93
Tabelle 14: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B signifikant, ohne
Messwiederholung ................................................................................................................. 94
Tabelle 15: 23 Plan mit Zentralpunkt, Methode der linearen Kontraste ........................................ 101
Tabelle 16: 23 Plan mit Zentralpunkt, Methode der linearen Kontraste, Signifikanz ..................... 106
Tabelle 17: ANOVA-Tabelle, Haupteffekte A und B + Wechselwirkung A-C................................ 109
Tabelle 18: Vergleich der mit t-Tests und ANOVA berechneten Signifikanzniveaus.................... 109
Tabelle 19: 23 Versuchsplan: Effekte und daraus berechnete Modellkoeffizienten ...................... 110
Tabelle 20: 24-1 Plan, Haupteffekte und Wechselwirkungen ........................................................ 116
Tabelle 21: Taguchi L8 ................................................................................................................ 118
Tabelle 22: Taguchi L8 und L8W .................................................................................................. 119
Tabelle 23: Plackett-Burman Feld PB12 ....................................................................................... 122
Tabelle 24: Plackett Burman Feld PB12 Vermengung, Beispiel.................................................... 123
Tabelle 25: 25 Vollfaktorieller Plan............................................................................................... 125
Tabelle 26: 25-1 Teilfaktorieller Plan ............................................................................................. 126
Tabelle 27: 25-1 teilfaktorieller Plan, Zahlenbeispiel ..................................................................... 128
Tabelle 28: 25-1 Plan Auswertung, Lineare Kontraste, Signifikanz ............................................... 131
Tabelle 29: Anzahl Faktorstufenkombinationen und Anzahl Modellkoeffizienten......................... 135
Tabelle 30: 32 teilfaktorieller Plan ................................................................................................ 137
Tabelle 31: 22 vollfaktorieller Plan mit Modell 2. Ordnung: Modell vs. Messergebnisse .............. 147
Tabelle 32: 33 teilfaktorieller Plan, nicht funktionierend ............................................................... 148
Tabelle 33: 33 teilfaktorieller Plan, mässig geeignet .................................................................... 152
Tabelle 34: Vollfaktorieller 23 Plan mit Modell 2. Ordnung: Modell vs. Messergebnisse.............. 155
Tabelle 35: 33 Box Behnken Plan................................................................................................ 158
Tabelle 36: 43 Box Behnken Plan, inoffiziell ................................................................................ 160
Tabelle 37: 43 Box Behnken Plan, offiziell ................................................................................... 162
Tabelle 38: 53 Box Behnken Plan, offiziell ................................................................................... 163
Tabelle 39: Anzahl Faktorstufenkombinationen bei Box Behnken Plänen ................................... 164
Tabelle 40: 33 Box Behnken Plan, Beispiel mit 3 Zentralpunkt Versuchsläufen ........................... 165
Tabelle 41: 33 Box Behnken Plan mit 4 Zentralpunkt Versuchsläufen ......................................... 171
Tabelle 42: BB 33 Versuch mit Modell 2. Ordnung: Modellergebnisse vs. Messergebnisse......... 174
Tabelle 43: 33 Box Behnken Plan Auswertung, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz ............ 177
Tabelle 44: BB 33 Versuchsplan: Vergleich der Modellkoeffizienten mit den Effekten ................. 178
Tabelle 45: 33 Sternpunkt Plan mit Zentralpunkt ......................................................................... 182
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Kapitel 1.1
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Tabelle 46: 34 Sternpunkt Plan mit Zentralpunkt ......................................................................... 184
Tabelle 47: Anzahl Faktorstufenkombinationen bei Sternpunkt-Plänen....................................... 184
Tabelle 48: 33 Sternpunkt Plan, Beispiel mit einem Zentralpunkt Versuchslauf ........................... 185
Tabelle 49: 33 Sternpunkt Versuchsplan, Zahlenbeispiel............................................................. 190
Tabelle 50: 33 Sternpunkt Plan Auswertung, Lineare Kontraste, Signifikanz ............................... 197
Tabelle 51: Sternpunkt 33 Versuchsplan: Vergleich der Modellkoeffizienten mit den Effekten .... 198
Tabelle 52: 22 vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt, codierte Werten, tatsächlichen
Einstellwerten und Messwerten............................................................................................ 201
Tabelle 53: 22 Plan Auswertung, Lineare Kontraste, Signifikanz ................................................. 203
Tabelle 54: 32 vollfaktorieller Versuchsplan mit Messergebnissen............................................... 207
Tabelle 55: Varianz-Kovarianzmatrix........................................................................................... 213
Tabelle 56: Quadratisches Modell, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz ............................... 217
Tabelle 57: Lineares Modell, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz ........................................ 221
Tabelle 58: Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen ......................................................... 228
Tabelle 59: Lateinische Quadrate ............................................................................................... 232
Tabelle 60: Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen ......................................................... 235
Tabelle 61: Split Plot Beispiel, Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen ............................ 242
Tabelle 62: Split Plot Beispiel, Erklärung unterschiedlicher Quadratesummen-Zerlegungen....... 243
Tabelle 63: Split Plot Beispiel, zweckmässige, jedoch nicht orthogonale QuadratesummenZerlegung ............................................................................................................................ 244
Tabelle 64: Split Plot Beispiel, ANOVA Tabelle........................................................................... 245
Tabelle 65: 23 Plan Designmatrix mit Taguchi L4 Rauschmatrix: Versuchsplan ........................... 256
Tabelle 66: 23 Versuchsplan ....................................................................................................... 255
Tabelle 68: 23 Plan...................................................................................................................... 259
Tabelle 69: Taguchi L4 ............................................................................................................... 259
Tabelle 71: Taguchi L16(e)........................................................................................................... 272
Tabelle 72: Taguchi L16 Designmatrix mit Taguchi mit L16 Rauschmatrix. Beispiel 10 „vorher“ .... 274
Tabelle 73: Taguchi L16 Designmatrix mit Taguchi mit L16 Rauschmatrix. Beispiel 10 „nachher“ . 279
Tabelle 74: Taguchi L4 mit Wechselwirkungstabelle.................................................................... 293
Tabelle 75: Taguchi L8 mit Wechselwirkungstabelle.................................................................... 294
Tabelle 76: Taguchi L16 mit Wechselwirkungstabelle .................................................................. 296
Tabelle 78: Taguchi L8 modifiziert mit Wechselwirkungstabelle, 1 Faktor mit 4 Stufen ................ 299
Tabelle 79: Taguchi L8 modifiziert mit Wechselwirkungstabelle, 1 Faktor mit 4 Stufen ................ 299
Tabelle 82: Taguchi L16 modifiziert, 3 Faktoren zu je 4 Stufen (schlecht) .................................... 302
Tabelle 83: Wechselwirkungstabelle zu Taguchi L16 modifiziert (schlecht) .................................. 302
Tabelle 84: Taguchi L16 modifiziert, 3 Faktoren zu je 4 Stufen (besser)....................................... 303
Tabelle 85: Wechselwirkungstabelle zu Taguchi L16 modifiziert (besser) .................................... 303
Tabelle 86: Taguchi L8, Vermengungen ...................................................................................... 305
Tabelle 87:Taguchi L9, Vermengungen ....................................................................................... 306
Tabelle 88: Taguchi L25, Vermengungen..................................................................................... 307
Tabelle 89: Welch Satterthwaite Formel bei Varianzinhomogenität, Zahlenbeispiele .................. 318
Tabelle 90: Varianz der Varianz, Zahlenbeispiele ....................................................................... 320
Tabelle 91: Vertrauensintervall der Varianz, Zahlenbeispiele ...................................................... 321
Tabelle 92: Alpharisiko Anpassung nach Bonferroni ................................................................... 326
Tabelle 93: Determinanten, Beispiele.......................................................................................... 334
Tabelle 94: Versuchsplanung versus Ausgangslage ................................................................... 336
Tabelle 95: Links und weiterführende Informationen ................................................................... 339
Tabelle 96: Stichwortverzeichnis................................................................................................. 344
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Kapitel 1.1
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1 Einleitung
In diesem Kapitel wird grob umrissen, was den Leser erwartet.
Es werden die grundsätzlichen Methoden angesprochen, ohne in die Tiefe zu gehen.
Die statistischen Grundlagen werden ab Kapitel 2 behandelt.
Bis zum Ende des Kapitels 2 werden alle notwendigen Grundlagen vermittelt, um den Einstieg in
Statistische Versuchsplanung zu ermöglichen. In späteren Kapiteln, insbesondere in jedem der 10
Beispiele, kommen weitere Grundlagen hinzu.
Beispielsweise wird die Varianz-Kovarianzmatrix erst in Beispiel_7 vorgestellt, obwohl damit auch
vorhergehende Beispiele (tiefergehend) behandelt werden könnten, und Dummyfaktorstufen
kommen sogar erst im Beispiel_10 vor.
In diesem Lehrgang sind viele Elemente farblich markiert. Gleiche Farben sollen auf inhaltlich
Zusammenhängendes oder Gleiches hinweisen und das Verständnis erleichtern; dies kann sich in
Einzelfällen auch über mehrere Seiten hinweg erstrecken.
1.1 Grundkonzepte
Alle Rechenbeispiele, sowie alles, was in diesem Lehrgang in Form einer Berechnung vorgeführt
wird, liegt in einer separaten Exceldatei vor.
Alle Rechenbeispiele sind so aufgebaut, dass sie als Vorlagen für eigene Experimente verwendet
werden können.
Die Exceldatei richtet sich an diejenigen, die statistische Versuchsplanung operativ anwenden
möchten, und ist für diesen Lehrgang nicht zwingend notwendig.
Die Detailtiefe der Rechenschritte orientiert sich daran, was angesichts der Verwendung von
Tabellenkalkulationsprogrammen naheliegend erscheint.
Konsequenterweise wurde daher auf besondere Rechentricks, die in Zeiten ohne Software hilfreich
gewesen sein mögen, verzichtet.
Die Komplexität der Beispiele ist so bemessen, dass sie ohne spezielle Software, dafür mit
Tabellenkalkulationsprogrammen, noch gut handhabbar ist. Gleichzeitig vermitteln die Beispiele
ein Gefühl dafür, ab wann es angeraten ist, auf geeignete Statistiksoftware zurückzugreifen.
Die Hyperlinks in diesem Lehrgang dienen der Vertiefung, und stellen die jeweiligen Sachverhalte
meistens in einem allgemeineren Kontext dar. Für diesen Lehrgang sind sie nicht zwingend
notwendig.
1.2 Statistische Methoden
Design of Experiments bzw. Statistische Versuchsplanung bedient sich zweier grundlegender
mathematischer Methoden:
1. Varianzanalyse
2. Regression
http://www.reiter1.com/Glossar/ANOVA_Einstieg.html
http://www.reiter1.com/Glossar/Regressionsanalyse.html
Beide erfüllen völlig unterschiedliche Zwecke, und daher ist auch die Motivation, die eine oder die
andere im Rahmen von Statistischer Versuchsplanung zu verwenden, verschieden.
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Kapitel 1.3
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Meistens kommt nur eine der beiden Methoden, und zwar die Varianzanalyse (Analysis of
Variance, ANOVA) zum Einsatz.
Das Grundprinzip der Varianzanalyse ist der Vergleich von Varianzen.
Aus dem Verhältnis von Varianzen kann man nämlich beurteilen, ob gemessene Unterschiede
signifikant sind oder nicht.
Varianzanalyse dient daher zum Auffinden von signifikanten Zusammenhängen, ist also für
Situationen geeignet, wo man wesentliche Eigenschaften des zu untersuchenden Prozesses noch
nicht kennt.
Die Bedeutung von Signifikanz, sowie der Unterschied zu praktischer Relevanz, wird in einem
späteren Kapitel erklärt.
Regressionsanalyse dagegen bedeutet die Entwicklung eines mathematischen Modells, mit dem
Messergebnisse - abhängig von Einstellparametern - vorhergesagt werden können.
Regressionsanalyse dient daher primär der näheren Beschreibung von Zusammenhängen.
In den folgenden Kapiteln werden für beide Methoden sowohl einfachere als auch komplexere
Beispiele behandelt.
Dadurch bekommt man ein Gefühl dafür,
- ab welchem Komplexitätsgrad der Gebrauch spezieller Statistiksoftware angeraten ist,
- wie umfangreich Experimente bei gegebener Komplexität sein müssen, um nützliche Ergebnisse
zu erzielen.
Der notwendige experimentelle Umfang ist oft geringer als man naiverweise vermuten würde, und
gerade darin liegt die Rechtfertigung für statistische Versuchsplanung. Die Hürde der dafür
notwendigen Einarbeitung wird sich in der Versuchspraxis schnell als lohnend erwiesen haben.
1.3 Verteilungsfunktionen
http://www.reiter1.com/Glossar/Verteilungsfunktion.html
Folgende Verteilungsfunktionen sind in diesem Lehrgang besonders wichtig:
1. Normalverteilung
2. t-Verteilung
3. F-Verteilung
http://www.reiter1.com/Glossar/Normalverteilung.html
http://www.reiter1.com/Glossar/t_Verteilung.html
http://www.reiter1.com/Glossar/F_Verteilung.html
Zweck und Bedeutung der Normalverteilung werden im Kapitel 2.3 veranschaulicht.
Ihre besonders grosse Bedeutung in der allgemeinen Statistik (also nicht nur in diesem Lehrgang)
gründet auf 2 Eigenschaften:
1. Sie ist eine "natürliche" Verteilungsfunktion, das bedeutet, sie beschreibt in der Natur
tatsächlich stattfindende Vorgänge.
2. Der zentrale Grenzwertsatz. In einfachen Worten besagt er, dass Mittelwerte von
hinreichend grossen Stichproben IMMER normalverteilt sind, ganz unabhängig von der
Verteilungsform der zugrundeliegenden Ausgangsdaten. Das ist äusserst praktisch.
Unter „hinreichend gross“ kann man kontextabhängig bereits Stichproben ab Umfang 5,
spätestens jedoch ab 15 bezeichnen.
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Kapitel 1.4
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Da in der Praxis der Umfang sehr vieler Stichproben deutlich kleiner als 15 ist, kommt die tVerteilung ins Spiel.
Diese ist eine "praktische Erfindung", die, salopp gesagt, den zentralen Grenzwertsatz auf kleine
Stichproben erweitert. Die Mittelwerte kleiner Stichproben sind damit per Definition t-verteilt.
Die t-Verteilung beinhaltet als Parameter jedoch eine so genannte Anzahl Freiheitsgrade, denn die
Verteilung des Mittelwertes kleiner Stichproben hängt von der Stichprobengrösse ab.
Die F-Verteilung ist ebenfalls eine "praktische Erfindung", die dazu dient, 2 Varianzen auf
Unterschied zu testen.
Weil mit 2 Varianzen in der Regel 2 unterschiedlich grosse Stichproben einher gehen, besitzt die
F-Verteilung sogar 2 Anzahlen Freiheitsgrade, das bedeutet, die F-Verteilung hängt von den
Grössen beider Stichproben ab.
Die Varianzverhältnisse zweier Stichproben sind damit per Definition F-verteilt.
1.4 Varianz
http://www.reiter1.com/Glossar/Varianz.html
Vorweg: Varianz ist das Quadrat der so genannten Standardabweichung. Der Begriff
Standardabweichung ist historisch gewachsen, allerdings sehr ungünstig gewählt; es müsste
eigentlich "Standardfehler der Ausgangsdaten" o.Ä. heissen, denn der Standardfehler an sich ist
etwas Allgemeineres, das auch für andere Grössen existiert.
Um mit der allgemeinen Übereinkunft konform zu bleiben, wird in diesem Lehrgang der
Standardfehler der Ausgangsdaten „Standardabweichung“ genannt. Konsequenterweise werden
dann die Standardfehler anderer Grössen entsprechend „Standardfehler der betreffenden Grösse“
genannt.
Die Standardabweichung ist zwar populärerer als die Varianz, wahrscheinlich wegen ihrer
Anschaulichkeit, allerdings ist sie schwer interpretierbar und mathematisch weniger bedeutend.
Die Varianz dagegen ist mathematisch sehr bedeutsam und sehr gut interpretierbar, denn:
Varianz ist Information
In der Statistik unterscheidet man zwischen aufgeklärter Varianz und unaufgeklärter Varianz,
entsprechend verwerteter Information und unverwerteter Information. Letztere wird meistens als
Streuung, Rauschen, etc. bezeichnet. Im Grunde handelt es sich bei der Streuung um im
Rahmen eines Modells nicht habhaft gewordener Information.
Ziel einer jeden statistischen Methodik sollte sein, diese unaufgeklärte Information möglichst klein
zu halten, allerdings ohne allzu viel Zusatzannahmen zu treffen. (Siehe z.B. die "Kleinste Quadrate
Methode", welche direkt auf die Minimierung der unaufgeklärten Varianz abzielt).
Im Englischen gibt es einige "… least squares …" genannte Methoden und Begrifflichkeiten (z.B.
OLS, PLS)
Beispielsweise ist das Quadrat des Korrelationskoeffizienten, (auch Bestimmtheitsmass oder
Reliabilität genannt), schlicht und einfach das Verhältnis von aufgeklärter Varianz zur gesamten
Varianz, also von verwerteter Information zur gesamten, dem Datenmaterial innewohnender
Information.
http://www.reiter1.com/Glossar/Bestimmtheitsmass.htm
Von der Varianz grundsätzlich zu unterscheiden ist die mittlere Quadratesumme.
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Kapitel 1.5
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Zwar ist auch sie - wie die Varianz- eine Summe aus quadrierten Abweichungen dividiert durch
eine Anzahl Freiheitsgrade (siehe Kapitel 1.6), doch ist die Anzahl Freiheitsgrade sehr
kontextabhängig.
Varianzanalytische Methoden haben - entgegen ihres Namens - viel mehr mit (mittleren)
Quadratesummen als mit Varianzen zu tun, denn die varianzanalytischer Methoden arbeiten mehr
mit Quadratesummen als mit Varianzen.
1.5 Orthogonale Felder, Versuchspläne
http://www.reiter1.com/Glossar/Orthogonale_Felder.html
In der Welt der statistischen Versuchsplanung hat sich eine recht überschaubare Anzahl an
Versuchsplänen etabliert. Die Anzahl derjenigen Versuchspläne, die über eigene Namen oder
Bezeichner verfügen, dürfte im Bereich von 30 liegen.
Die weitaus meisten davon sind orthogonal, und werden daher "orthogonale Felder" genannt.
Die Bedeutung von Orthogonalität in der Statistischen Versuchsplanung ist nicht ganz naheliegend
und geht über die aus der Schulmathematik bekannte Definition von Orthogonalität hinaus. Dies
wird in Kapitel 21 näher erklärt.
Die Tatsache, dass es "nur“ relativ wenige Versuchspläne mit eigenen Namen gibt, hat den Grund,
dass diese sowohl bezüglich ihrer mathematischen Eigenschaften, als auch bezüglich ihrer
praktischen Eigenschaften "günstig" sind.
Diese bieten nämlich für spezielle Problemstellungen meistens den geringsten Aufwand bei
maximal erreichbarem Informationsgehalt.
Da die Motivation für diese Versuchspläne sehr unterschiedlich ist, sehen diese Pläne auch sehr
unterschiedlich aus.
Zwar spricht mathematisch nichts dagegen, eigene Versuchspläne zu entwickeln, doch meistens
ist es günstiger, einen bestehenden Plan zu wählen, und diesen nur teilweise zu verwenden, oder
ggfs. umzugestalten (Siehe Kapitel 21).
Nicht-orthogonale Felder kommen praktisch nur bei relativ grossen Versuchsplänen vor, und bei
solchen Versuchsplänen, die ein nicht-lineares (in der Regel quadratisches) Regressionsmodell
zum Ziel haben. Nicht-orthogonale Felder kommen in mehreren Beispielen, z.B. ab Beispiel_4
(Kapitel 10) vor.
1.6 Freiheitsgrade
http://www.reiter1.com/Glossar/Freiheitsgrad.html
In statistischen Auswertungen taucht häufig der Begriff Freiheitsgrad auf. Irgend etwas habe sound-so viele Freiheitsgrade.
Dieser in seiner allgemeinen Form schwer zu verstehende Sachverhalt hat eine grosse Tragweite,
das heisst, mit einer fehlerhaft bestimmten Anzahl an Freiheitsgraden ist schnell die gesamte
Auswertung ruiniert und es werden falsche Schlüsse gezogen.
Die Bestimmung der Anzahl Freiheitsgrade gestaltet sich für den Anfänger meist schwierig.
In diesem Lehrgang gibt es allerdings viele Beispiele, anhand derer der richtige Umgang mit
Freiheitsgraden erlernt werden kann. Insbesondere die Beispiele 8a, b und c gehen in besonders
vertiefter Weise mit Freiheitsgraden um.
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Kapitel 1.7
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1.7 Signifikanz versus Relevanz
http://www.reiter1.com/Glossar/Signifikanz.html
http://www.reiter1.com/Glossar/Relevanz.html
Man hat eine Vermutung bezüglich eines unbekannten Sachverhaltes.
Ein signifikantes Ergebnis bedeutet, dass das Ergebnis statistisch gesehen ein Mindestmass an
„Unwahrscheinlichkeit“ aufweist, etwas falsches zu suggerieren.
Am Beispiel der allseits bekannten Glockenkurve ist ein Ergebnis genau dann signifikant, wenn es
weit weg vom Mittelwert (im Bereich einer der Schwänze) zu liegen kommt, und zwar jenseits einer
vorher festgelegte Grenze.
Die quantitative Aussagekraft statistischer Hypothesentests hat viel Erklärungsbedarf, daher wird
auf folgende Vertiefung verwiesen:
http://www.reiter1.com/Glossar/Hypothese_Hypothesentest_Risikoarten.htm
Die Quintessenz statistischer Hypothesentests kann man jedoch wie folgt beschreiben:
Fall 1:
Nullhypothese wird explizit formuliert; Alternativhypothese ist lediglich die Negation der
Nullhypothese.
--> Der Testausgang („signifikant“ oder nicht) lässt keinen quantitativen Schluss auf unbekannte
Sachverhalte zu. Insbesondere ist das Betarisiko unbestimmt, bzw. nicht bestimmbar.
Dieser Fall ist nicht zu empfehlen; der folgende Fall ist weitaus professioneller.
Fall 2:
Sowohl Nullhypothese, als auch Alternativhypothese werden explizit formuliert, und beide sind
durch eine sog. Effektgrösse getrennt. Sowohl Alpharisiko als auch Betarisiko werden explizit
festgelegt.
--> Der Testausgang kann direkt als Wahrscheinlichkeitsaussage für unbekannte Sachverhalte
verwendet werden. Hat man z.B. Alpha- und Betarisiko jeweils zu 10% festgelegt, dann zeigt der
Testausgang mit genau 90% Wahrscheinlichkeit die wahren Verhältnisse an; man täuscht sich
also in genau 10% aller Fälle, wenn man den Testausgang immer als „wahr“ betrachtet.
Bei unsymmetrischem Alpha bzw. Betarisiko ist es einfach die Mitte: Wurden die Risiken z.B. zu
95% und 99 % festgelegt, dann täuscht man sich in genau 3% aller Fälle (3% = Mitte aus 5% und
1%).
Dieser Sachverhalt gilt ganz unabhängig davon, ob der Hypothesenformulierer Experte oder
Anfänger in seinem Fachgebiet ist.
Unabhängig von zuvor Gesagtem ist es dem Experimentator grundsätzlich gestattet, nicht
signifikante Effekte dennoch als technisch relevant, bzw. signifikante Effekte für technisch wenig
bedeutsam einzustufen. Ersteres betrifft insbesondere kleine Stichproben, letzteres insbesondere
kleine Effekte.
Die statistischen Methoden sind (nur) ein Hilfsmittel, den Einfluss des Zufalls von systematischen
Einflüssen zu unterscheiden.
Abschliessende Entscheidungen über Bedeutsamkeit sollten immer bevorzugt aus technischer
Sicht erfolgen. Statistische Hypothesentest sollten als eine Entscheidungshilfe verstanden werden.
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Kapitel 1.8
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Das lässt sich verallgemeinern:
Unplausible Ergebnisse sind ein starkes Indiz dafür, dass mit der Anwendung statistischer
Methoden etwas nicht stimmt. Umgekehrt sind plausible Ergebnisse *tendenziell* ein Indiz dafür,
dass keine grösseren methodischen Fehler gemacht wurden.
1.8 Matrizenrechnung
Matrizen sind spezielle Gebilde aus der höheren Mathematik.
Mit den Regeln der Matrizenrechnung kann man komplexe Gleichungssysteme darstellen und
umformen, ohne dabei den Überblick zu verlieren.
Da diese Regeln, wie Matrizenrechnung an sich, im Kontext der statistischen Versuchsplanung
reine Rechenhilfen darstellen und keine wesentlichen Erkenntnisse bringen, wird ihr kein
separates theoretisches Kapitel gewidmet, sondern es werden anhand von Beispielen die
wesentlichen Schritte gezeigt (ab Kapitel 9.1).
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Statistische Versuchsplanung

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