LS 06 Zeitreihen mit stochastischer Volatilitaet

MSc Banking & Finance
Kurs 9.3: Forschungsmethoden II
Zeitreihenanalyse
Lernsequenz 06: Zeitreihen mit stochastischer Volatilität
November 2014
Prof. Dr. Jürg Schwarz
Folie 2
Inhalt
Ziele ___________________________________________________________________________________________________ 5
Einführung ______________________________________________________________________________________________ 7
Schätzung von ARCH(p)-Modellen _________________________________________________________________________ 23
GARCH(p,q)-Modell _____________________________________________________________________________________ 32
Folie 3
Inhaltsverzeichnis
Ziele ___________________________________________________________________________________________________ 5
Ziele der Lernsequenz 06 ............................................................................................................................................................................................................ 5
Einführung ______________________________________________________________________________________________ 7
Einfaches Modell für Aktienrenditen .......................................................................................................................................................................7
Rendite einer Aktie ...................................................................................................................................................................................................................... 7
Stetige versus diskrete Renditen ................................................................................................................................................................................................. 8
Stochastisches Modell für die stetige Rendite............................................................................................................................................................................. 9
Stylized Facts von Finanzzeitreihen .....................................................................................................................................................................10
Stylized Facts von Finanzzeitreihen – Drei wichtige Vertreter .................................................................................................................................................. 11
Konsequenzen auf die Modellwahl ............................................................................................................................................................................................ 14
Bedingte und unbedingte Varianz .........................................................................................................................................................................15
Beispiel bedingte und unbedingte Varianz ................................................................................................................................................................................ 16
Modellierung nichtkonstanter Varianz ...................................................................................................................................................................17
Zusammenfassung .................................................................................................................................................................................................................... 21
Eigenschaften von ARCH(p)-Modellen .................................................................................................................................................................22
Mean-Reverting-Verhalten ........................................................................................................................................................................................................ 22
Folie 4
Schätzung von ARCH(p)-Modellen _________________________________________________________________________ 23
Allgemeines Vorgehen .............................................................................................................................................................................................................. 23
Beispiel mit simulierten Daten ................................................................................................................................................................................................... 24
GARCH(p,q)-Modell _____________________________________________________________________________________ 32
Eigenschaften von GARCH(p,q)-Modellen ...........................................................................................................................................................33
Beispiel für ein GARCH(1,1)-Modell .....................................................................................................................................................................34
Daten und Summary Statistics .................................................................................................................................................................................................. 35
Residuenanalyse des Modells ................................................................................................................................................................................................... 36
Schätzungen und Tests ............................................................................................................................................................................................................. 37
Notizen:...................................................................................................................................................................................................................................... 38
Folie 5
Ziele
Ziele der Lernsequenz 06
Zeitreihen mit stochastischer Volatilität (4 Lektionen mit EViews-Anwendung)
◦ Sie kennen Eigenschaften der diskreten und stetigen Rendite.
◦ Sie kennen drei Beispiel von Stylized Facts.
◦ Sie kennen die Grundlagen für das ARCH(p)-Modell.
◦ Sie können ein ARCH(p)-Modell mit EViews schätzen.
◦ Sie kennen die Erweiterung zum GARCH(p,q)-Modell
Folie 6
Es fällt ein Kurs nach nirgendwo (NZZ, 22. 11. 2008)
Die Dynamik des Abschwungs der Leitindizes erinnert an die grosse Depression
Inzwischen hat sich der Dow Jones Industrial so weit von seinem gleitenden
Ein-Jahres-Durchschnitt entfernt, wie es
seit der Lancierung des Indexes anno
1896 nur in den Jahren 1931 und 1932
vorgekommen ist. Damit hat die Dynamik des Abschwungs aus markttechnischer Sicht das Niveau der grossen
Depression erreicht. Auch andere Zahlen geben Anlass für pures Grauen.
Als Great Depression ("Grosse Depression") wird die schwere Wirtschaftskrise in den USA
bezeichnet, die am 29. Oktober 1929 mit dem "Schwarzen Donnerstag" begann (wegen der
Zeitverschiebung in Europa am "Schwarzen Freitag") und die 1930er Jahre dominierte.
Die Grosse Depression war Teil bzw. Ursprung der Weltwirtschaftskrise, im Englischen wird der
Begriff auch synonym dafür gebraucht. (Adaptiert nach de.wikipedia.org, November 2014)
Folie 7
Einführung
Einfaches Modell für Aktienrenditen
Rendite einer Aktie
Diskrete Rendite einer Aktie ("Return")
rt =
S t − S t −1
S
= t −1
S t −1
S t −1
St Aktueller Aktienkurs
◦ Für die statistische Analyse wird vorausgesetzt rt ~ N(µ,σ). Das führt zu zwei Problemen:
1. Eine normalverteilte Zufallsvariable nimmt Werte zwischen -∞ und +∞ an,
rt ist aber nach unten limitiert: -1 ≤ rt < +∞ (untere Grenze -1 falls St = 0 und St-1 ≠ 0).
2. Mehrperioden-Renditen sind nicht normalverteilt, auch wenn Einperioden-Renditen
normalverteilt sind (folgt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung).
◦ Die Probleme können annähernd gelöst werden, wenn stetige Renditen betrachtet werden.
Stetige Renditen können eher als normalverteilt angesehen werden.
Folie 8
Stetige versus diskrete Renditen
Stetige Rendite einer Aktie ("Log return")
rt = ln
St
St
= lnSt − lnS t −1
S t −1
Aktueller Aktienkurs
y-Achse: diskret
diskret
Für kleine Kursänderungen sind die Unterschiede zwischen diskreter und stetiger
Rendite klein.
x-Achse: diskret
stetig
Quelle: Dorfleitner (2001, 2003)
Liegt die diskrete Rendite im Intervall
[−0.10;+0.10] führt das zu einer relativen
Abweichung zwischen stetiger und diskreter
Rendite von maximal ca. ± 5%.
Folie 9
Stochastisches Modell für die stetige Rendite
Voraussetzung (Effizienzmarkthypothese, Nobelpreis 2013 für Eugene Fama)
Aktienkurs folgt einem Random Walk oder einem Random Walk mit Drift
Folgen für die Modellierung der stetigen Rendite
=> Stetige Renditen sind eine Konstante µ mit Fehlerterm
=> Fehlerterm ist weisses Rauschen
Modell für stetige Rendite einer Aktie
=
=µ+ε
.2
−

µ=

ε
Weisses Rauschen
.3
.1
.0
-.1
(
ε =
!"#$% &'
-.2
)
ε = σε
*!+
-.3
14. März 2003 bis 9. Oktober 2006
Folie 10
Stylized Facts von Finanzzeitreihen
Stetige Rendite der UBS-Aktie zu verschiedenen Zeitintervallen
.3
.3
.2
.2
.1
.1
.0
.0
-.1
-.1
-.2
-.2
-.3
-.3
14. März 2003 bis 9. Oktober 2006
14. März 2003 bis 25. Oktober 2010
Die Volatilität (= Varianz) ist nicht konstant.
Die Rendite kann nicht mit weissem Rauschen beschrieben werden.
Renditen können nicht als statistisch unabhängig betrachtet werden (höchstens als unkorreliert).
Welcher Modelltyp eignet sich?
Folie 11
Stylized Facts von Finanzzeitreihen – Drei wichtige Vertreter
1. Volatilitäts-Cluster (Volatilität = Varianz)
Volatilität ist Schwankungen unterworfen.
Es gibt zeitliche Häufungen von starken Kursausschlägen.
UBS-Aktie
.3
.2
.1
.0
-.1
-.2
-.3
14. März 2003 bis 25. Oktober 2010
Folie 12
2. Leverage-Effekt
Negativer Zusammenhang zwischen Rendite und Veränderung der Volatilität (Black 1976).
Begründung: Fallende Aktienkurse führen zu einem höheren Verschuldungsgrad bei Firmen
(AE: Leverage), was zu erhöhter Unsicherheit führt und damit zu höherer Volatilität.
Reale Zeitreihen zeigen asymmetrische Reaktion
=> Negative Nachrichten beeinflussen die Volatilität stärker als positive.
Folie 13
3. Leptokurtosis – Schmale Wölbung und breite Flanken ("Fat Tails")
Kleine und grosse Renditen sind überrepräsentiert.
-2
0
2
4
Häufigkeit
Weisses Rauschen (14.3.2003 - 25.10.2010)
-4
-2
0
2
4
Kurtosis -0.033, Min -3.3, Max 3.4
-4
Kurtosis 23.7, Min -10.7, Max10.1
Häufigkeit
UBS-Aktie (14.3.2003 - 25.10.2010)
UBS: Häufung von kleinen Renditen um Null (Kurtosis 23.7 vs. –0.033 bei Rauschen)
UBS: Mehr extreme Ausschläge (Min -10.7, Max10.1 vs. –3.3, 3.4 bei Rauschen)
Folie 14
Konsequenzen auf die Modellwahl
Modell muss stochastische Volatilität (= Varianz) abbilden können.
=> Modell mit separatem stochastischem Prozess für die Varianz
ARCH-Modell (Engle 1982) für zeitdiskrete Zeitreihen (Preisgekrönt 2003*)
(ARCH = Autoregressive Conditional Heteroscedasticity)
In der Zwischenzeit wurden viele Erweiterungen entwickelt
GARCH: Generalized ARCH (Bollerslev 1986): Erweiterung auf ARCH(∞)-Prozess
EGARCH: Exponential GARCH (Nelson 1991) für Leverage Effekt
TGARCH: Threshold GARCH (Glosten et al. 1993 / Zakoian 1994): Asymmetrischer Effekt
usw. ("Buchstabensuppe")
*Preis für Wirtschaftswissenschaften der schwedischen Reichsbank in Gedenken an Alfred Nobel
Folie 15
Bedingte und unbedingte Varianz
ARCH-Modelle unterscheiden explizit bedingte und unbedingte Varianz.
Beispiel AR(1)-Prozess
Yt = α + ϕYt −1 + ε t
ε t i.i.d. mit E ε t = 0 und Var ε t = σ2ε
Unbedingte Varianz
Bedingte Varianz
Varianz des Prozesses "auf lange Sicht"
Enthält die gesamte Information
Varianz bei dem zum Zeitpunkt t gegebenem
Informationsstand, wenn Yt,Yt-1 ...Y1 realisiert.
σ ε2
Var Yt =
1 − ϕ2
Var Yt
pt = Var ε t = σ2εt
pt = Gemeinsame Verteilung der Yt, Yt-1 ...Y1
Beim AR(1)-Prozess ist die bedingte Varianz
von der Störung εt zum Zeitpunkt t abhängig.
Allgemein ist die bedingte Varianz eine Zufallsgrösse.
Bei ARCH-Modellen wird die bedingte Varianz in Abhängigkeit der Zeit modelliert
Folie 16
Beispiel bedingte und unbedingte Varianz
Simulierter AR(1)-Prozess Yt = 0.3 + 0.6Yt-1 + εt
Fehlerterm weisses Rauschen (Excel)
1
ε t i.i.d. mit E ε t = 0 und Var ε t = σ 2ε = = 0.33
3
Unbedingter Erwartungswert
α
0 .3
Eu Yt =
=
= 0.75
1 − ϕ 1 − 0 .6
2.0
1.5
Unbedingte Varianz
1.0
Varu
Yt
σ 2ε
0.33
Varu Yt =
=
= 0.52
2
1− ϕ
1 − 0 .6 2
Var18-20
Var15-17
0.5
Zwei Beispiele bedingter Varianz
Var15-17 Yt = 0.17
Var18-20 Yt = 0.25
0.0
0
-0.5
5
10
15
20
25
Zeit t
AR(1)-Prozess ohne weisses Rauschen
30
Folie 17
Modellierung nichtkonstanter Varianz
Bisherige Modelle
In den bisherigen Modellen wurden die Fehlerterme εt als unveränderlich angenommen.
AR(p)-Prozess
Yt = α + ϕ1Yt −1 + ϕ2 Yt −2 + ... + ϕp Yt −p + ε t
MA(q)-Prozess
Yt = α + ε t + θ1ε t −1 + θ2ε t −2 + ... + θqε t −q
Die Fehlerterme sind weisses Rauschen
ε t i.i.d. mit E ε t = 0 und Var ε t = σ2ε
Folie 18
Modelle für variable Fehlerterme
Neu werden die Fehlerterme modelliert.
Nullter Schritt: Einfaches Modell für stetige Rendite
ln
St
= rt = µ + ε t
S t −1
εt weisses Rauschen εt ~ N(0,σε2) mit
E εt = 0
Var ε t = σ 2ε
Erster Schritt: Einführen von σε in die Gleichung – nur Umformung
ε t = σε ⋅ ut
mit ut ~ N(0,1)
E ε t = E σ ε ⋅ ut = σ ε ⋅ E u t = σ ε ⋅ 0 = 0
Var ε t = Var σ ε ⋅ ut = σ 2ε ⋅ Var ut = σ 2ε ⋅ 1= σ 2ε
Folie 19
Zweiter Schritt: Modellierung von σε in Abhängigkeit der Zeit
p
σ = α 0 + ∑ α i ⋅ ε 2t −i
2
ε,t
mit α i > 0 für alle i
i =1
Die Varianz ist eine Funktion der zeitverzögerten, quadrierten Fehlerterme.
Quadratur <=> σε immer positiv: Mathematische Begründung <=> keine negative Varianz
Feststellungen
Die Varianz ist eine bedingte Varianz
<=> sie ist bedingt durch die Informationsmenge zum Zeitpunkt t
Die Varianz ist eine Funktion der zeitverzögerten, quadrierten Fehlerterme
<=> OK gemäss Stylized Facts: Varianz ist abhängig von der Vergangenheit der Fehlerterme
=> Clusterbildung möglich
=> Leverage-Effekt möglich
Folie 20
Dritter Schritt
Die Gleichung für den Fehlerterm scheint ein MA(q)-Prozess zu sein.
p
σ = α 0 + ∑ α i ⋅ ε 2t −i
2
ε,t
mit α i > 0 für alle i
i =1
Warum heisst das Modell von Engle ARCH = Autoregressive Conditional Heteroscedasticity?
Engle (2004) dachte an MACH (Moving Average Conditional Heteroscedasticity).
Begründung: Die bedingte Varianz σ2ε ist nicht beobachtbar => Umformen nach εt
Dazu Definition von vt als allgemeiner Fehlerterm und Umformung
= ε − σ
=
−
= ≠ = p
ε 2t = α 0 + ∑ α i ⋅ ε 2t −i + v t
i =1
Autoregressiver Prozess der zeitverzögerten, quadrierten Fehlerterme = ARCH
Für die Bestimmung der Eigenschaften dient das Instrumentarium für AR(p)-Prozesse
Autokorrelation und partielle Autokorrelation (Korrelogramm) => Bestimmung von p
Maximum-likelihood-Schätzung der Parameter
Folie 21
Zusammenfassung
Einfaches, stochastisches Modell für die stetige Rendite
ln
St
= rt = µ + ε t
S t −1
mit ε t i.i.d. mit E ε t = 0 und Var ε t = σ2ε
Beobachtung ("Stylized Facts")
1. Volatilitäts-Cluster
2. Leverage-Effekt
3. Leptokurtosis – Schmale Wölbung und breite Flanken ("Fat Tails")
Erweiterung des einfachen Modells
ln
St
= rt = µ + ε t
S t −1
mit ARCH(p)-Prozess für den Fehlerterm
p
ε 2t = α 0 + ∑ α i ⋅ ε 2t −i + v t
i =1
Folie 22
Eigenschaften von ARCH(p)-Modellen
Stationarität: Ein ARCH(p)-Prozess ist genau dann stationär, wenn gilt
p
∑α
i
<1
i =1
Dann existiert die stationäre (unbedingte) Varianz
σ2 =
α0
p
1 − ∑ αi
Stichwort: Mean-Reverting-Verhalten
i=1
Mean-Reverting-Verhalten
Beispiel ARCH(1)-Modell
σ2t = α0 + α1 ⋅ ε2t −1
⋮
(
σ2t = σ2 + α1 ε2t −1 − σ2
)
Die bedingte Varianz schwankt um die unbedingte
Varianz in Abhängigkeit davon, ob die gewichtete
Differenz positiv oder negativ ist.
Werte der Zeitreihe werden nach Ausschlägen zum
Mittelwert zurückgezogen.
Die bedingte Varianz σ2t ist die unbedingte Varianz σ2 plus die mit α1 gewichteten Differenz
zwischen quadriertem Fehlerterm und unbedingter Varianz.
Nach einer kleinen (grossen) Kursänderung wird eine kleine (hohe) Volatilität erwartet.
Es entsteht damit eine "Klumpung" der Volatilität (Volatility Clustering).
Folie 23
Schätzung von ARCH(p)-Modellen
Allgemeines Vorgehen
A. Schätzen eines (ARMA-)Modells (hier: für die stetige Rendite nur einfaches Modell)
Definition und Schätzung gemäss Box-Jenkins in LS 04
B. Quadrierte Residuen des Modells werden bezüglich ARCH-Effekte untersucht.
Das ARCH-Modell basiert auf den quadrierten Residuen.
C. Spezifikation der ARCH-Ordnung und Schätzung des ARCH-Modells.
1. Spezifikation mit Korrelogramm und Ljung-Box Q-Statistik ("Q-Stat" und "Prob")
2. Schätzung mit EViews: ARCH Lagrange Multiplikator Test (Engle 1982)
D. Überprüfung des ARCH-Modells und eventuell Anpassungen.
Residuenanalyse
1. Test der Residuen εt des geschätzten (ARMA-)Modells (hier: für die stetige Rendite)
2. Test der quadrierten Residuen vt des des geschätzten ARCH-Modells
Folie 24
Beispiel mit simulierten Daten
Daten: Stetige Rendite ("Log return") der Aktie "MSc" von 14.09.09 bis 19.02.10
2
1
0
-1
-2
Sep
Oct
Nov
Sei einfaches Modell für stetige Rendite gültig:
ln
St
= rt = µ + ε t
S t −1
Dec
Jan
Feb
Folie 25
A. Schätzen des einfachen Modells für die stetige Rendite
Menu Quick
Estimate Equation`
Achtung: Die Schätzung ist verzerrt, weil die Residuen heteroskedastisch sind.
Die Schätzung dient dazu, um das Korrelogramm auf die Residuen anzuwenden.
Folie 26
B. Korrelogramm der quadrierten Residuen
An Hand des Korrelogramms der quadrierten Residuen werden AR(p)-Eigenschaften getestet:
Bestimmung von p
Durchführung mit EViews nach der Berechnung eines einfachen Modells für die stetige Rendite
Folie 27
Variante C1 – Korrelogramm der quadrierten Residuen
ACF: Abklingende, sinusodiale Verteilung der Koeffizienten => AR(p)-Prozess
PACF: Nach Lag k = 1 keine signifikanten Koeffizienten => AR(p)-Prozess mit p = 1
Die autokorrelierten Residuen folgen mit grosser Wahrscheinlichkeit einem ARCH(1)-Prozess.
Folie 28
Variante C2 – ARCH LM Test ARCH Lagrange Multiplikator Test (Engle 1982)
Hilfsregression der autokorrelierten, quadrierten Fehlerterme
εˆ 2t = α 0 + α1εˆ 2t −1 + ... + αp εˆ 2t −p
Nullhypothese H0: α1 = ... = αq = 0
Durchführung mit EViews
Menu Quick
Estimate Equation`
Folie 29
Variante C2 – Schätzung des ARCH(p)-Modells
ARCH Lagrange Multiplikator Test
Das EViews-Modell schätzt den Prozess
ln
St
= rt = 0 (da Prob. = 0.1466 > 0.050)
S t −1
Simulation der Daten in msc.wf1 mit
ln
St
= rt = 0
S t −1
mit ARCH(1)-Prozess für den Fehlerterm
mit ARCH(1)-Prozess für den Fehlerterm
ε 2t = 0.080861 + 0.633970ε 2t −1
ε 2t = 0.100000 + 0.500000ε 2t −1
Folie 30
D. Überprüfung des Modells: Korrelogramme der Residuen
1. Test der Residuen εt des geschätzten (ARMA-)Modells (hier: für die stetige Rendite)
ln
St
= rt = µ + ε t
St −1
mit ε t Weisses Rauschen
Frage: Folgt rt einem einfachen Modell rt = µ + εt oder einem ARMA(p,q)-Modell?
Wenn ein ARMA(p,q)-Modell vorliegt, folgen die εt nicht Weissem Rauschen.
Korrelogramm von εt entspricht Weissem Rauschen: Stetige Rendite rt hat Modell rt = µ + εt
Folie 31
2. Test der quadrierten Residuen vt des geschätzten ARCH-Modells
p
ε = α 0 + ∑ α i ⋅ ε 2t −i + v t
2
t
i=1
Frage: Folgt ε2t einem einfachen Modell εt2 = α0 + α1ε2t-1 + vt oder einem AR(p)-Modell mit p > 1?
Wenn ein AR(p)-Modell mit p > 1 vorliegt, folgen die vt nicht Weissem Rauschen.
Korrelogramm von vt entspricht Weissem Rauschen:
Fehlerterm εt2 folgt dem Modell εt2 = α0 + α1ε2t-1 + vt
Folie 32
GARCH(p,q)-Modell
Ein GARCH-Prozess ist ein ARCH(p)-Prozess mit einem zusätzlichen MA(q)-Term
Gegeben Fehlerterm
ε t = σε ⋅ ut
mit ut ~ N(0,1)
Modellierung von σε2 in Abhängigkeit der Zeit
ARCH(p) (Siehe "Zweiter Schritt" auf Folie 19)
p
σ = α0 + ∑ αi ⋅ ε
2
ε,t
i=1
2
t −i
GARCH(p,q)
σ
p
2
ε,t
= α 0 + ∑ αi ⋅ ε
i=1
q
2
t −i
+ ∑ β j ⋅ σ 2ε,t − j
j=1
αi misst den Einfluss vergangener, "neuer" Schocks auf die Volatilität
βj misst die langfristige Wirkung vergangener bedingter Varianzen auf die Volatilität
GARCH ist eine Verallgemeinerung des ARCH-Prozesses ("G" steht für Generalized).
Folie 33
Eigenschaften von GARCH(p,q)-Modellen
Minigeschichte
◦ Für Finanzdaten mit ARCH(p)-Modellen ist p allgemein sehr gross.
Das führt zu Problemen bei der Schätzung: Hohe Komplexität, Verletzung von Restriktionen
◦ Engle (1982) schlägt ARCH-Modell mit abnehmenden Gewichten vor.
◦ Bollerslev (1986) schlägt Verallgemeinerung vor:
◦ GARCH(p,q), mit Eigenschaften analog zu den ARMA-Modellen:
- Sparsame Parametrisierung
- Flexible Lag-Struktur
Ordnung p und q
◦ Untersuchungen zeigen, dass die Beschränkung auf p = 1 und q = 1 oft ausreichend ist.
GARCH-Modelle mit p > 1 oder q > 1 sind selten. Quelle Schröder (2002)
Folie 34
Beispiel für ein GARCH(1,1)-Modell
Originalpaper von Tim Bollerslev (1987)
A CONDITIONALLY HETEROSKEDASTIC TIME SERIES MODEL FOR SPECULATIVE
PRICES AND RATES OF RETURN
The Review of Economics and Statistics, Vol. 69, No. 3 (Aug., 1987), pp. 542-547
Kapitel "IV. Empirical Example and Concluding Remarks" auf Seite 544
Zusammenfassung
◦ Daten: Aktuelle Preise (Spot prices) des New York foreign exchange market
◦ Zeitreihe: Spot prices werden in Log returns transformiert: yt = loge(St/St-1)
◦ Einfaches Modelle für die Log returns: yt = µ + εt
◦ Summary Statistics: Tests auf serielle Korrelation, Wert der Kurtosis
◦ Modell für die stochastischer Volatilität: GARCH(p,q)-Modell
◦ Schätzung: Maximum-likelihood-Schätzung der Parameter
Folie 35
Daten und Summary Statistics
Wechselkurse von U.S.-Dollar zu
◦ Britischem Pfund
◦ Deutschmark
Zeitreihe
◦ 1. März 1980 bis 28. Januar 1985
◦ 1245 observations excluding
weekends and holidays
Gemäss theoretischen Annahmen, sollten
die Residuen des Modells
yt = µ + εt seriell unkorreliert sein.
Ljung-Box-Test bis zur Ordnung 10 für
◦ Residuen: Q(10)
=> keine signifikante Autokorrelation
<=> Werte der Teststatistik sind tief
◦ Quadrierte Residuen: Q2(10)
=> signifikante Autokorrelation
<=> Werte der Teststatistik sind hoch
Die Verteilungen sind leptokurtotisch
<=> Kurtosis κ ist grösser als 3
Folie 36
Residuenanalyse des Modells
GARCH(1,1)-Modell
htt-1 entspricht σε2 im Skript
Die Ordnungen p und q werden mit BoxJenkins-Methode für ARMA(p,q)-Modelle
geschätzt (EViews gibt es erst seit 1994!)
Residuenanalyse des Modells
Ljung-Box-Test bis zur Ordnung 10 für
◦ Residuen: Q(10)
=> keine signifikante Autokorrelation
<=> Werte der Teststatistik sind tief
◦ Quadrierte Residuen: Q2(10)
=> keine signifikante Autokorrelation
<=> Werte der Teststatistik sind tief
Die Verteilungen sind leptokurtotisch
<=> Kurtosis κ ist grösser als 3
=> Das GARCH(1,1)-Modell ist ok
Folie 37
Schätzungen und Tests
Schätzungen des GARCH(1,1)-Modells für die Log returns der Wechselkurse
Werte der Parameter µ, ω, α, und β (in Klammern: Standardfehler)
Wert der Freiheitsgrade ν (dargestellt als Kehrwert 1/ν) (in Klammern: Standardfehler)
Likelihood-Ratio-Teststatitik für
Kurtosis (Nullhypothese H0: 1/ν = 0 (Freiheitsgrade ν –> ∞ entspricht Normalverteilung):
LR1/v=0 = 41.26 und LR1/v=0 = 13.92
Modelle des Wechselkurses hat signifikant leptokurtotische Verteilungen (Grenze bei 2.7)
GARCH(1,1)-Modell als Ganzes (Nullhypothese H0: α = β = 0):
LR α=β=0 = 65.21 und LRα=β=0 = 101.77
GARCH(1,1)-Modell als Ganzes signifikant
"which is highly significant at any level in the corresponding asymptotic χ22 distribution"
Folie 38
Notizen: