11.13

Ähnlichkeitstheorie
• Vergleich von experimentellen Ergebnissen mit realen Konfigurationen
• Verringerung der Anzahl der physikalischen Größen (→ Anzahl
der Experimente)
• Experimentelle Ergebnisse sind unabhängig vom Maßstab (Kennzahlen sind dimensionslos)
1
Ähnlichkeitstheorie
Ähnlichkeitsgesetze:
• geometrische Ähnlichkeit
Beispiel: Strömumg in einem 1
Spalt
0
0
1
h
0000000000000000
1111111111111111
0
1
0000000000000000
1111111111111111
0
1
1111
0000
0000000000000000
1111111111111111
0
1
u
11111
00000
0000000000000000
1111111111111111
1111
0000
1
0
0
1
0
1
0000000000000000
1111111111111111
0
1
0
1
0
1
0000000000000000
1111111111111111
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
L
111
000
111
000
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
∧
h =
Kennzahl
L
• dynamische Ähnlichkeit
Strömungen sind nicht notwendig ähnlich,
wenn man nur die Strömungsgrößen skaliert.
2
Beispiel
Ähnlichkeit bezüglich des Druckes
Druckkraft ∆p
Eu =
= 2
Trägheit
ρu
Ähnlichkeit bezüglich der Reibungsspannungen
Re
Trägheit
ρul
=
=
=
Reibungskräfte
η
ρu2l
uη
!
∧
Re, Eu = dimensionslose Kennzahlen
2 Strömungen sind ähnlich, wenn sie geometrisch und dynamisch
ähnlich sind!
3
Beispiel
2 Methoden zur Bestimmung der Kennnzahlen
• Methode der Dimensionsanalyse
( Buckingham‘s Π-Theorem )
• Methode der Differentialgleichungen
Π-Theorem bestimmt die maximale Anzahl der Parameter, die berücksichtigt werden müssen.
• Anzahl der physikalischen Einflußgrößen: k
• Anzahl der Grunddimensionen: r
[m], [s], [kg], [K]
→ Anzahl der Kennzahlen
m=k−r
4
Vorgehensweise
1. Ermitteln der Anzahl der physikalischen Einflußgrößen(k)
G1 = G1(G2, G3, . . . , Gk )
2. Ermitteln der Dimensionen und Bestimmung der Grunddimensionen r
3. Berechnung von m
4. Wahl der wiederkehrenden Variablen
(a) alle Grunddimensionen sind enthalten
(b) linear unabhängig
(c) nicht die ’herausragenden’ Variablen wählen, die sich ändern
α
α
r
5. Berechnung der Kennzahlen Πi = N G1 1 · M G2 2 · . . . · Gα
r
6. Überprüfen der Dimensionen
7. Darstellung Π1 = Π1(Π2, Π3, . . . , Πm)
5
wichtige Kennzahlen
ρul ∧ Trägheitskräfte
Reynoldszahl Re =
=
η
Reibungskräfte
• Re → 0: schleichende Strömung
≪
• Re ·h2/l2 = 1: Spaltströmung
• Re → ∞: reibungsfrei
∆p ∧ Druckkraft
Eulerzahl Eu = 2 =
Trägheit
ρu∞
6
1 1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
000
111
0
1
0
1
000000000
111111111
000
111
000000000
111111111
000000000
111111111
wichtige Kennzahlen
u ∧ Strömungsgeschwindigkeit
Machzahl Ma = =
c
Schallgeschwindigkeit
Ma < 0.3
∼ inkompressibel

Ma < 1. Unterschall 
kompressible Strömung
Ma > 1. Überschall

Ma ≫ 1. Hyperschall
u ∧ Trägheit
Froudezahl Fr = √ =
gh Gravitation
l ∧
= Verhältnis von 2 charakteristischen Zeiten
Strouhalzahl Sr =
ut
cp µ ∧ kinematische Zähigkeit
Prandtlzahl Pr = η = =
λ
a Temperaturleitfähigkeit
7
11.1
Die Nachlaufströmung eines langen Zylinders mit Durchmesser D
wird im Windkanal untersucht. Unter bestimmten Bedingungen entsteht eine periodische Wirbelanordnung, die Kármánsche Wirbelstraße genannt wird. Es sollen die dimensionslosen Kennzahlen des
Problems bestimmt werden. Wieviele Parametervariationen sind bei
dieser Untersuchung zur Bestimmung der Frequenz der Wirbelstraße notwendig?
8
11.1
111111
000000
000000
10
11111010111111
0000
000000
111111
10
000000
111111
1010111111
1010
000000
000000
111111
1010
1010
ρ,ν
1111111
0000000
10
10
u
f=?
D
physikalische Einflußgrößen
• Anströmgeschwindigkeit: u∞ [m/s] ←
h
i
• kinematische Viskosität ν m2/s
kg
• Dichte ρ
←
3
m
• Zylinderdurchmesser D [m] ←
1
• Frequenz f
s
9
11.1
f = F (u∞, ν, ρ, D) ⇐⇒ G(f, u∞, ν, ρ, D) = 0
Theorem: k = 5 (Anzahl der Einflußgrößen)
r = 3 (Anzahl der Grunddimensionen(m, s, kg))
→m=k−r =5−3=2
Bezugsgrößen: u∞, ρ, D (wiederkehrende Variablen)
• Alle Dimensionen sind erfasst
• linear unabhängig
10
11.1
1. Kennzahl
Π1 =
α
1 ρβ1 D γ1
f
u
|{z}
| ∞ {z }
nicht wiederk. wiederk.
Dimensionsanalyse
1
m α1 kg β1
[−] = [ ] [ ] [ 3 ] [m]γ1
s
s
m
Vergleich der Exponenten:
[kg] : 0 = β1
[s] : 0 = −1−α1
→ α1 = −1
[m] : 0 = α1 − 3β1 + γ1 → γ1 = 1
fD
= Sr: Strouhalzahl
→ Π1 =
u∞
11
11.1
Π2 =
α
2 β2 γ2
u
ν
∞
|{z}
| ρ{z D }
nicht wiederk. wiederk.
m2
m α2 kg β2
[−] = [ ] [ ] [ 3 ] [m]γ2
s
s
m
[kg] : 0 = β2
[s] : 0 = −1 −α2
→ α2 = −1
[m] : 0 = 2 +α2 − 3β2 + γ2 → γ2 = −1
ν
1
→ Π2 =
=
u∞ D Re
→ Sr = Φ(Re) → Variation von 1 Parameter im Experiment
12
Methode der Differentialgleichungen
Ausgangspunkt: Differentialgleichung zur Beschreibung eines physikalischen Problems
∂p
∂ 2u
=η 2
∂x
∂y
Beispiel:
Bestimmung der Kennzahlen
1.) Einführen dimensionsloser Größen durch Beziehen auf Referenzgrößen:
uref, pref, ηref, Lref, href, . . .
u∞, ∆p
ηref, L,
13
h,
...
Methode der Differentialgleichungen
1.)
u
η
x
y
p
→ ū =
, η̄ =
, x̄ = , ȳ = , . . .
, p̄ =
u∞
∆p
ηref
L
h
∆p ∂ p̄ ηrefu∞ ∂ 2ū
=
→
η̄ 2
2
L ∂ x̄
h
∂ ȳ
2.) Division der gesamten Gleichung durch den Koeffizienten eines
Terms
→ dimensionlose Kennzahlen
∂ p̄
L ηrefu∞ ∂ 2ū
η̄ 2
=
2
∂ x̄ |∆p {zh } ∂ ȳ
Π
2 Terme → 1 Kennzahl
14
Zusammenfassende Bemerkungen
• Das Buckingham’sche Theorem bestimmt die maximale Anzahl
der Kennzahlen für eine gegebene Anzahl von Einflußgrößen.
• Differentialgleichungen enthalten zusätzliche Informationen über
die Verhältnisse zwischen den Variablen. → Anzahl der Kennzahlen aus dem Π-Theorem kann größer sein als die Zahl der
Kennzahlen aus der Methode der Differentialgleichungen.
• Üblicherweise können die Kennzahlen, die mit einer der Methoden bestimmt werden, als Funktion von bekannten Kennzahlen
dargestellt werden.
ηref ρu2∞
L ηrefu∞
L
=
2
∆p h
h
∞h} |∆p
|{z}
{z }
|ρu{z
1
1 Geometrie
Re Eu
15
11.12
Die hydrodynamischen Eigenschaften eines Motorschiffes sollen durch
Schleppversuche an einem Modell untersucht werden.
a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der Differentialgleichungen
aus der Impulsgleichung für die z-Richtung, die für die Wellenbewegung ausschlaggebend ist,
dw
∂p
ρ
= − − ρg + η∇2w
dt
∂z
die Kennzahlen des Problems. Verwenden Sie als Bezugsgrößen
nur gegebene Größen.
Gegeben: l, u∞, η, ρ, g
b) Bestimmen Sie die Schleppgeschwindigkeit u′∞ und die kinematische Viskosität ν ′ des Fluides im Modellversuch so, dass die Ähnlichkeit der Strömungen gewährleistet ist.
Gegeben: u∞, ν, l/l′ = 10
16
11.12
c) Bestimmen Sie die Leistung des Motorschiffes bei der Geschwindigkeit u∞.
Gegeben:
l/l′ = H/H ′ = 10, u∞, u′∞, ρ, ρ′, Schleppkraft im Modellversuch F′
17
11.12
a) Impulsgleichung in z-Richtung zur Beschreibung der Wellenbewegung
dw
∂p
ρ
= − − ρg + η∇2w
dt
∂z
Gegeben: l, u∞, η, ρ, g
allgemein: dimensionlose Terme für Ableitungen
l du
dū
=
1. Abl.:
dx̄ u∞ dx
18
11.12
d2ū
d dū
2. Abl.:
=
2
dx̄ dx̄
dx̄
∇2 =
l2 d2u
=
u∞ dx2
∂2
∂2
∂2
+ 2+ 2
2
∂x
∂y
∂z
!
1
Dimension 2
l
¯ 2 = l2∇2
∇
ρ, η, g sind gegeben und konstant
→ ρ = ρref ; η = ηref ; g = gref
Wenn sie nicht gegeben sind, müssen sie ausgewählt werden.
19
11.12
w
w̄ =
u∞
p
Druck
p̄ = 2 =
ρu∞ kinematischer Druck
Man kann ∆p als Referenzdruck definieren
→ verschiedene Kennzahlen
Normalerweise: ∆p in einer Rohrströmung
ρu2∞ in freien Aussenströmungen, kompressibel
z
∂
∂
z̄ =
=l
l
∂ z̄
∂z
¯ 2 = l2∇2
∇
20
11.12
t
t̄ =
l/u
| {z∞}
Zeit, die ein Partikel
benötigt, um ein Schiff
der Länge l, das sich mit
u∞ bewegt, zu passieren
u∞
ρu2∞ ∂ p̄
u∞ ¯ 2
dw̄
→ρ
u∞
=−
− ρg + η 2 ∇ w̄
l
dt̄
l ∂ z̄
l
!
ρu2∞
:
l
dw̄
∂ p̄
l
u∞l ¯ 2
→
= − − 2 ρg + η 2 2 ∇ w̄
dt̄
∂ z̄ ρu∞
l u∞ρ
21
11.12
η ¯2
∂ p̄
gl
dw̄
∇ w̄
=− − 2 +
→
dt̄
∂ z̄ u∞ ρu∞l
dw̄
∂ p̄
1
1 ¯2
∇ w̄
=− −
+
2
dt̄
∂ z̄ F r
Re
b)
F r = F r‘ →
u2∞
gl
=
u‘2
∞
gl‘
→ u‘∞ = u∞
r
u∞
l‘
=√
l
10
ρu∞l u∞l u‘∞l‘
=
=
Re = Re‘ →
η
ν
ν‘
ν
u‘∞ l‘
= √
ν‘ = ν
u∞ l
10 10
22
11.12
c)
F/A ∧ Reibungskräfte
=
cw =
2
ρ/2u∞ dynamischer Druck
(A = lH)
F‘
F
=
cw = c‘w →
2
ρ/2u∞A ρ‘/2u‘2∞A‘
ρ u2∞
ρ u2∞ A
= 100F ‘
→ F = F‘
2
ρ‘ u‘∞ A‘
ρ‘ u‘2∞
ρ u3∞
P = F · u∞ = 100F ‘
ρ‘ u‘2∞
23
11.10
In einer Gasströmung ist der Wärmetransport durch Reibungswärme
und Wärmeleitung
bestimmt.
Die Einflussgrößen sind
die Wärmekgm
kg
und Refeleitfähigkeit λ 3
, die dynamische Zähigkeit η
ms
s K
renzwerte für die Temperatur, die Geschwindigkeit und die Länge.
Der physikalische Zusammenhang wird durch die Energiegleichung
2
2
∂u
∂ T
λ 2 +η
=0
∂y
∂y
beschrieben.
24
11.10
Leiten Sie
a) mit der Methode der Differentialgleichungen und
b) mit dem Π-Theorem die Kennzahl des Problems ab.
c) Erweitern Sie die gefundene Kennzahl mit der spez. Wärme cp
und stellen Sie die Kennzahl als Produkt von drei Kennzahlen dar.
Hinweis: Die Stoffgrößen sind als konstant anzusetzen. Die vierte
Grunddimension ist die Temperatur.
25
11.10
2
2
2
uR ∂ ū
λ TR ∂ T̄
= 0
+ η 2
2
2
∂ ȳ
l
∂ ȳ
l
a)
2
η
u
R
K∗ =
λ TR
b)
γ
K ∗ = λα η β TR uδR lε
wähle β = 1
kg
m
s
K
:
:
:
:
0=α+1
0=α−1+δ+ε
0 = −3α − 1 − δ
0 = −α + γ
26
: λ TR
l2
11.10
α = γ = −1
δ = 2
ε= 0
2
η
u
R
K∗ =
λp T R
c)
2
2
u
u
η
c
η
c
p
p
R =
R (γ − 1)
K∗ =
λ cp T R
λ γ R TR
γR
cp =
γ − 1
K ∗ = P r · M a2(γ − 1))
27
11.13
Die Energiegleichung für stationäre, kompressible Grenzschichtströmungen mit konstanten Stoffwerten lautet
!
!
2
2
2
2
∂
∂ 2T
u
∂
u
∂ u
∂u
ρu
+λ 2
cp T +
+ ρv
cp T +
= uη 2 + η
∂x
2
∂y
2
∂y
∂y
∂y
Bestimmen Sie mit der Methode der Differentialgleichung
a) die dimensionslose Form der Differentialgleichung,
b) die Kennzahlen des Problems.
c) Bestimmen Sie den Wert des Isentropenexponenten γ , für den
u∞
die Gleichung unabhängig von der Machzahl M∞ =
wird.
c∞
√
γR
cp =
Hinweis: c = γRT
γ−1
28
11.13
a)

u2
u2

∂
∂ 

∂T
∂T
2 + ρv 2
+
ρ
u
+ ρv
cp ρ u

∂x
∂y
∂x
∂y 
2
2
∂2 T
∂u
∂ u
+ λ
+ η
= ηu
2
∂y
∂y
∂ y2
Bezugsgrößen: ρ∞, u∞, T∞, L, η∞, cp ∞, λ∞
u
v
T
ρ
x
=⇒ ū =
; v̄ =
; T̄ =
; ρ̄ =
; x̄ = ;
u∞
u∞
T∞
ρ∞
L
cp
λ
η
y
; c¯p =
; λ̄ =
ȳ = ; η̄ =
L
η∞
cp∞
λ∞
29
11.13
einsetzen:

ū2
ū2

∂
∂ 

∂ T̄
∂ T̄
2 + ρ̄ v̄ 2 
ρ̄
ū
=⇒ a1 c¯p ρ̄ ū
+ a2 
+ ρ̄ v̄

∂ x̄
∂ ȳ
∂ x̄
∂ ȳ 
∂ 2ū
∂ ū
= a3 η̄ ū 2 + a4 η̄
∂ ȳ
∂ ȳ
mit
cp∞ ρ∞ u∞ T∞
;
a1 =
L
2
∂ 2T̄
+ a5 λ̄
∂ ȳ 2
ρ∞ u3∞
a2 =
L
η∞ u2∞
λ∞ T ∞
a3 = a4 =
; a5 =
2
L
L2
dimensionslose Form durch Division der Gleichung z.B. durch a1:
30
11.13

ū2
ū2

∂
∂ 

∂ T̄
∂ T̄
2 + ρ̄ v̄ 2 
+ a2/a1 
ρ̄
ū
+ ρ̄ v̄
=⇒ c¯p ρ̄ ū

∂ x̄
∂ ȳ
∂ x̄
∂ ȳ 
∂ 2ū
∂ ū
= a3/a1 η̄ ū 2 + a4/a1 η̄
∂ ȳ
∂ ȳ
b) =⇒ Kennzahlen
(i)
2
∂ 2T̄
+ a5/a1 λ̄
∂ ȳ 2
L
ρ∞ u3∞
a2
=
K1 =
a1
L
cp∞ ρ∞ u∞ T∞
u2∞ γ R
2
=
(γ
−
1)
=
(γ
−
1)
M
∞
γ R c2∞
31
11.13
a3
a4
η∞ u2∞
L
(ii) K2 =
=
=
=
2
a1
a1
cp∞ ρ∞ u∞ T∞
L
η∞
(γ − 1)
u∞ ρ∞ L
u2∞
1
2
(γ
−
1)
M
=
∞
Re
c2∞
λ∞ T ∞
a5
L
=
=
(iii) K3 =
2
a1
cp∞ ρ∞ u∞ T∞
L
η∞
1 1
λ∞
=
u∞ ρ∞ L η∞ cp∞
Re P r
c)
K1 = K2 = 0 =⇒ (γ − 1) = 0 =⇒ γ = 1
32
11.13
Die laminare Grenzschichtstömung über einer längsangeströmten
ebenen Platte lässt sich unter Vernachlässigung der Reibungswärme
durch die Kontinuitäts-, die Impuls- und die Energiegleichung in der
folgenden Form beschreiben:
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
∂u
∂u
ρ u +v
∂x
∂y
∂ 2u
=η 2
∂y
∂ 2T
∂T
∂T
=λ 2
+v
ρcp u
∂x
∂y
∂y
33
11.13
a) Bestimmen Sie die Kennzahlen des Problems.
b) Überführen Sie die erhaltenen Kennzahlen in bekannte Kennzahlen der Strömungsmechanik.
Unter der Annahme konstanter Stoffwerte ist das Strömungsfeld unabhängig vom Temperaturfeld, so dass beide Felder getrennt berechnet werden können.
c) Nennen Sie die Voraussetzung, für die die Temperaturverteilung
in der Grenzschicht direkt aus der Geschwindigkeitsverteilung bestimmt werden kann.
Hinweis für c): Vergleichen Sie die Differentialgleichungen und gehen Sie davon aus, dass die Geschwindigkeitsverteilung ~v (x, y) bekannt ist.
34
11.13
a)
∂v
∂u
+
= 0
Konti:
∂x
∂y
∂u
∂u
= η
Impuls: ρ u
+ v
∂x
∂y
∂T
∂T
+ v
Energie: ρ cp u
∂x
∂y
dimensionslose Größen:
u
v
ρ
ū =
; v̄ =
; ρ̄ =
;
u∞
u∞
ρ∞
cp
η
η̄ =
; c¯p =
; T̄ =
η∞
cp ∞
35
∂ 2u
∂y 2
∂ 2T
= λ
∂y 2
x
y
x̄ = ; ȳ = ;
L
L
λ
T
; λ̄ =
T∞
λ∞
11.13
u∞
Konti:
L
∂ ū
∂ v̄
+
∂ x̄
∂ ȳ
= 0
=⇒ keine Kennzahl
u∞2
u∞ ∂ 2ū
∂ ū
∂ ū
= η∞ η̄ 2 ¯
Impuls: ρ∞
ρ̄ ū
+ v̄
L
∂ x̄
∂ ȳ
L ∂ y2
2
∂ ū
∂ ū η∞ u∞ L
∂ ū
+ v̄
= η̄ ¯
ρ̄ ū
2
∂ x̄
∂ ȳ
∂ y 2 | L2 ρ{z
∞ u∞ }
K1
η∞
1
K1 =
=
L ρ∞ u∞
Re
36
11.13
ρ∞ cp∞ u∞ T∞
λ∞ T∞ ∂ 2T̄
∂ T̄
∂ T̄
=
Energie:
ρ̄ c¯p ū
+ v̄
λ̄
2
L
∂ x̄
∂ ȳ
L
∂ ȳ 2
!
∂ 2T̄
λ∞ T ∞ L
∂ T̄
∂ T̄
λ̄
= 2
+ v̄
ρ̄ c¯p ū
∂ x̄
∂ ȳ
L ρ∞ cp∞ u∞ T∞
∂ ȳ 2
{z
}
|
K2
λ∞
K2 =
L ρ∞ cp∞ u∞
37
1
η∞
1
·
=
η∞
P r Re
11.13
c) dimensionslose Dgl.:
Konti:
∂ ū
∂ v̄
+
= 0
∂ x̄
∂ ȳ
1
∂ ū
∂ ū
=
Impuls: ρ̄ ū
+ v̄
η̄
∂ x̄
∂ ȳ
Re
∂ 2ū
∂ y¯2
1
∂ T̄
1
∂ T̄
=
λ̄
Energie: ρ̄ c¯p ū
+ v̄
·
∂ x̄
∂ ȳ
P r Re
konstante Stoffwerte: ρ̄ = c¯p = λ̄ = η̄ = 1
38
!
∂ 2T̄
∂ ȳ 2
!
11.13
Vergleich von Impuls- und Energiegl.:
Die Gleichungen werden identisch, wenn man in der Energiegleichung T durch u ersetzt und fordert, dass
Pr = 1
d.h.
ist.
η ∞ cp ∞
= 1
λ∞
39