géométrie - Art

Géométrie Comparée
Étude de la Composition dans les Arts
La naissance de la
GÉOMÉTRIE
Prague
Mars 2011
La Géométrie Égyptienne
Le Triangle Sacré au Nombre d'Or
par Yvo Jacquier
Nul n'est censé ignorer la Science
© Yvo Jacquier - La géométrie égyptienne
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◊ Introduction
Chaque afrmation de ce texte dispose de preuves en réserve. Il n'est pas possible
de les énoncer toutes, dans cette présentation destinée à des spécialistes de
l'Égypte. Néanmoins ces preuves sont disponibles, prêtes à répondre aux questions
que ces pages pourraient provoquer, sous la forme d'une cinquantaine d'articles.
Le présent texte réunit trois pôles, trois approches d'une seule et même culture de
l'Image. Trois chapitres abordent successivement son origine égyptienne, ses
principes mathématiques et son apothéose fnale, à la Renaissance.
L'art de la composition de Rublev, Botticelli et Dürer (pour ne citer qu'eux), naît dans
l'ancienne Égypte plus de 3000 ans avant notre ère. Byzance sera par la suite le
carrefour de son développement, et le Nombre d'Or, la clé de sa logique.
Cette Tradition, encore appelée Géométrie Sacrée, est une pratique très particulière
des mathématiques. Grâce à un quadrillage de mesure, elle associe les formes
géométriques à des valeurs symboliques. Les nombres font ainsi parler les formes.
Le quadrillage permet aussi de comprendre, de prouver, et de retenir facilement la
logique de cette géométrie résolument complexe.
À cet égard, les propositions "connues" soufrent de trop nombreuses lacunes.
1 - Même identifé, le quadrillage ne joue jamais son rôle dans la lecture symbolique
des oeuvres, grâce aux nombres issus de la mesure.
2 - Les formes géométriques ne constituent jamais des systèmes élaborés.
3 - Le seul système reconnu est le système perspectif. Objectivement, c'en est un,
mais il ne porte par défnition aucune valeur symbolique. Ensuite, son avènement est
conçu comme une capacité nouvelle à structurer la toile. Or non seulement les
artistes en ont pris l'habitude avec la Géométrie Sacrée, mais à la Renaissance, ils
pratiquent les deux systèmes simultanément !
Une discipline s'est forgée pour remédier à cette situation, si inconfortable pour qui
veut comprendre la volonté des artistes : la Géométrie Comparée reconstitue les
systèmes de composition en comparant les oeuvres, jusqu'à en tirer les communes
leçons. Elle entend respecter les règles et méthodes des Sciences Appliquées.
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L'étude des oeuvres est ainsi assortie de principes sévères, notamment ceux des
marges de précision et de la double-preuve. De plus, l'étude de la Géométrie pure se
révèle nécessaire : les principes fondamentaux qui fondent la Géométrie Sacrée sont
vierges de toute publication ! Si la mécanique du calcul et de l'algèbre produit un
nombre incroyables de manuels et d'articles sur le Nombre d'Or, sa géométrie se
réduit à l'étude des rectangles dorés "en colimaçon" et au Pentagramme. Or ces deux
expressions ne permettent pas de créer un pont entre les formes et les nombres...
Le Triangle Sacré est la seule fgure de la géométrie qui lui permette de se lier aux
nombres symboliques. Selon quoi un quadrillage se met en place avec toute la
pratique qu'il permet : construire, comprendre et retenir.
Le cercle inscrit de ce triangle à pour rayon 1. Donc, son diamètre est 2. Les cotés
font respectivement 3, 4 et 5. La surface compte 6 carreaux. Enfn, quand le triangle
s'incline de 45°, la pente de l'hypoténuse est égale à 7. Et ce n'est pas tout : le
nombre d'Or est présent deux fois dans la structure interne des bissectrices : par la
mesure et par les angles ! Cet aspect du Triangle Sacré est défnitivement inconnu.
Le Nombre d'Or trouve enfn son statut réel. Sa magie algébrique est clé de tous les
systèmes de composition, quand le triangle qui le porte permet à cette capacité
d'organiser les formes (et pas seulement des équations).
Méthodologie de l'article
Il présente les preuves essentielles, selon les trois aspects énoncés plus haut :
◊
Chapitre I - L'Égypte et le Nombre d'Or (l'origine)
L'on peut admettre que les Égyptiens pratiquent le Triangle 3-4-5, qui se fait par
ailleurs appelé "triangle égyptien". En revanche, si la proportion dorée est souvent
évoquée, il est essentiel de la démontrer au travers d'exemples concrets.
◊
Chapitre II - Triangle Sacré au Nombre d'Or (les principes)
C'est le chapitre, très heureusement, le plus simple de l'article.
◊
Chapitre III - Rublev, Botticelli et Dürer (l'apothéose)
C'est en ouvrant le livre de leurs oeuvres que la Géométrie Sacrée s'est révélée...
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◊ Chapitre I - L'Égypte et le Nombre d'Or
Ex 1 - La tombe « royale » de Nagada (règne de Aha)
Wikipedia : L'un des plus anciens mastabas dont
nous ayons connaissance se situe à Nagada, en
Haute-Égypte. Celui-ci, découvert par Jacques de
Morgan, daterait du tout début de la Ire dynastie et
représente, selon Jean-Philippe Lauer, le prototype
des grandes tombes à redans.
Son attribution reste très controversée. Il fut
d'abord
proposé,
à
partir
des
fragments
d'inscriptions relevés sur le site, qu'il s'agissait du
tombeau du souverain légendaire Ménès, identifé
d'abord
à
Hor-Aha,
ensuite
à
Narmer.
Les
dimensions peu communes de l'édifce vinrent
renforcer l'idée que celui-ci était de nature royale.
Cependant, suite aux dernières fouilles efectuées sur le terrain, une des premières
théories visant à y voir la sépulture de la reine Neith-Hotep a été remise à l'ordre du
jour. La présence en majorité d'objets de luxe gravés à son nom prouverait bien que
cette reine bénéfcia d'une sépulture aux dimensions plus ambitieuses que celle de
son roi, située à Oumm el-Qa'ab.
Sa superstructure représente l'archétype de ce style d'architecture. Un grand massif
rectangulaire, mesurant 43,40 m sur 26,70 m, était limité par un mur en briques
crues épais de 4,20 m, et orné de redans. Le noyau de ce massif était compartimenté
par l'intermédiaire de murs de refend, ces derniers créant cinq chambres dont la
chambre sépulcrale, située au centre du mastaba. Ce mastaba était lui même ceint
par un petit mur d'enceinte en briques crues. Il semble qu'il n'y eu aucune sépulture
subsidiaire, si commune dans les ensembles funéraires contemporains.
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Situation chronologique
Égypte prédynastique
Trois époques, de -3800 à #-3150
La Culture de Nagada (ou Naqada)
Héritière du Badarien (chalcolithique)
Période archaïque ou thinite
de -3150 à -2700
—> Ire dynastie
de -3140 à v.2850
—> Narmer (ou Ménès) unife les deux Égyptes v-3185
Étude du plan au sol
Première étape : le quadrillage
Si elle existe, l'organisation du plan de cet édifce doit prendre en compte les redans.
Par leur nombre, ils ne sauraient échapper à la logique d'un quadrillage, d'une
échelle dont ils sont les refets harmoniques.
Ces repères ne suivent pas seulement la loi du moindre efort,
mais aussi celle de la moindre erreur. En efet, la chaîne des
décalages, depuis l'idée originale des architectes jusqu'au
document dont nous disposons grâce à la magie d'Internet, rend
l'étude particulièrement délicate. Les erreurs s'additionnent et
même se multiplient : jamais elles ne s'annulent...
- Quelle était la précision du plan initial ?
- Quelle était la fdélité des exécutants par rapport à ce plan ?
- Quelle était leur marge d'interprétation de ce plan ?
- Quels dommages a subi le bâtiment au cours de 5000 ans de "vécu"
- De quelles "réhabilitations" a-t-il été l'objet ?
Ce point concerne régulièrement la peinture :
ainsi le Graal de Trinité (Rublev) a depuis longtemps avalé sa colombe...
- Quelle est la précision des relevés de l'Archéologue ?
- Quelles sont les déformations liées au dessin du plan, et du scan/photo fnals ?
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Ces déformations invitent à la plus grande prudence quant au document dont nous
disposons, et il faut des stratégies "sécuritaires" pour le faire parler. La première est
propre à la Géométrie Comparée : reconstituer les schèmes de la composition en
comparant plusieurs oeuvres, en l'occurrence plusieurs mastabas. La seconde
concerne précisément ce plan : si organisation il y a, on ne peut l'établir qu'en se
fant aux grandes mensurations, particulièrement si elles ont des rythmes, en évitant
les petites, dont les formes sont émoussées (parfois même remaniées).
Selon quoi un maillage s'établit tout naturellement (premier visuel), s'accordant au
rythme des redans selon les deux directions du plan. Ce quadrillage sert
essentiellement à la mesure des éléments. Ceux qui voient en ces mailles carrées
des barreaux prêts à enfermer tout objet, seront vite déçus. Cet art-là participe à
des disciplines comme celle de faire des frittes, des frises d'écolier ou encore des
déflés militaires. En outre, dès qu'ils entrent en action, les soldats évitent de rester
en ligne pour ne pas trop faciliter la tâche à l'ennemi...
Cette grille de mesure peut être proposée de façon la plus
centrée possible. Le fait qu'aucune ligne du plan, à part l'axe des
redans, ne se fxe sur elle nous prévient de la subtilité des
valeurs qui sont utilisées par l'architecte (peut-être "pluriel").
Ce visuel confrme la validité de la grille de mesure. Un certain
nombre d'éléments prennent le rythme de deux carreaux.
Cependant, cette étude n'arrivera pas à établir si l'on doit
considérer le carreau unitaire comme égal à 1 ou à 1/2 ?
Dans une peinture de Dürer, la précision de la composition est
telle (de l'ordre de 4‰) que l'étude va jusqu'à comprendre
l'entièreté du système qu'il déploie. Et même la moindre de ses intentions, dûment
marquée de signes clairs et précis. Dans la cas qui nous occupe, nous nous
bornerons à montrer qu'une organisation existe qui ne peut tenir du hasard, ou de
quelque étrange intuition de la part des architectes.
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Deuxième étape : la proportion dorée
Selon cette échelle, la hauteur (la largeur sur le plan, en réalité)
de la partie centrale du bâtiment fait exactement deux carreaux
multipliés par le Nombre d'Or. Les expressions de type
fractionnel (par ex: 8/5 à la place de Phi = (1+√5)÷2 ≈ 1,618)
ne marchent pas. Rappelons que la précision du carreau s'établit
sur la grande longueur du bâtiment, et que cela resserre
considérablement les marges de toute évaluation...
Trois droites, ici en vert, permettent de placer un rectangle d'or. La chambre appelée
"delta" vient se coller à ses lignes. Le premier réfexe est alors de chercher le carré
inscrit, selon la logique dorée la plus commune. NB : ce rectangle a pour petit coté
2.Phi selon le quadrillage et pour grand coté 2.Phi 2. La présence de la proportion
dorée se révèle avec les deux traits verts parallèles.
Ce carré mesure 2.Phi de coté selon le quadrillage initial; et il se
place entre les deux "horizontales" du calque précédent. Il trouve
les angles du bâtiment par ses diagonales. Le léger décalage entre
la verticale rouge et la verticale verte (issue du précédent calque)
procède de la volonté même de l'architecte.
La moulure des redans en est l'indice. Si le bâtiment avait bougé à ce point, il aurait
entraîné le périmètre extérieur qui sert de calage au premier rectangle. Ensuite, les
chambres externes auraient difcilement bougé de la même façon l'une et l'autre.
Elles sont en efet décalées d'une même distance par rapport à la ligne verte.
Ce carré de coté 2.Phi trouve une seconde place à gauche, sur le
même "chemin central". Une verticale se place à gauche au fond
des redans, selon quoi la chambre "epsilon" colle au carré, et les
diagonales à 45° qui partent des angles du carré vers la droite
se croisent sur les bords de la chambre "delta". Au passage, ils
montrent les angles de la chambre "gamma".
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Ce visuel est un écho des précédents avec ses mensurations de 2
carreaux par 2.Phi.
Troisième étape : la racine de trois
Les carrés ici présentés font exactement 2√3 de coté. Même
remarque qu'avec Phi : les valeurs fractionnelles ne marchent
pas. Nous disposons de deux grandes lignes horizontales sur le
plan, pour vérifer cette proposition.
Conclusions
- Fait n°1 - La précision du procédé qui établit l'échelle (quadrillage basé sur le
rythme des redans) est confrmée par des éléments internes du bâtiment.
- Fait n°2 - Selon quoi, la valeur de Phi devient explicite sur le plan (avec 8/5, les
traits tombent à côté des lignes du plan) ainsi que la valeur de √3 (même approche).
- Thèse n°1 - La vétusté de l'édifce ne permet pas de reconstituer le Système de
Composition, dont les valeurs sont les indices probants. Il faudrait recourir aux
stratégies scientifques de la Géométrie Comparée pour gagner ces certitudes.
- Thèse n°2 - Enfn, un tel niveau en géométrie ne peut s'envisager sans un long
parcours de développement. L'histoire désigne de fait la Civilisation de Nagada.
Exactement là où le solstice du Soleil désigne la diagonale d'un double-carré sur la
table d'orientation des astronomes...
Le soleil confa aux Égyptiens les secrets de la proportion dorée,
et cette lumière leur parut divine.
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Exemple 2 - Slab stellae de la princesse Néfertiabet
Soeur de Khéops - 4e dynastie (≈ -2500 ≈ Pyramides)
Calcaire peint - Giza, musée du Louvre
Un exemple de Croix Grecque
Les cercles inscrits aux rectangles sont valorisés.
- Celui du haut dessine la chevelure
- Celui de gauche enveloppe le bras
- Celui de droite esquisse le décolleté
- Celui du bas pointe l'arrière du trône et la main (motif)
La suite de cette étude sera l'objet d'un article complet. Celui-ci ne peut s'étendre
d'avantage, d'autant qu'il s'adresse avant tout à des mathématiciens.
La Géométrie Égyptienne démontre à l'époque des Pyramides une grande maturité. Il
est difcile de croire que son développement soit "spontané". Manifestement, l'on
doit chercher son origine très loin dans l'histoire. Plusieurs millénaires sont
nécessaire à atteindre un tel niveau de complexité. La Civilisation de Nagada est
dans l'état actuel des prospectives l'origine la plus probable...
Exemple 3 -Le souverain Benia
18e dynastie, autour de 1500 ans avant notre ère
(bien avant Pythagore et bien après les pyramides)
Placement du cadre doré et identifcation du quadrillage
- En bas : les pieds du souverain
- À gauche : le fl vertical des inscriptions
- En haut : le bas des hiéroglyphes et la tête de Benia
- Enfn, ceux-ci sont six en largeur qui fxent le bord droit
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Ensuite, les diagonales du rectangle coupent les bissectrices à 45° en deux points
qui sont ancrés dans la réalité du sujet (coude et ligne de l'abdomen).
Enfn, détail important, un trait que l'on pourrait prendre pour l'index de sa majesté
souligne la diagonale dorée. C'est une marque de composition. L'étude ne soufre
pas trop de la relative vétusté du sujet ni de la déformation optique de la photo. En
revanche, il ne faut pas chercher la précision à laquelle parviennent les artistes de la
fn du Moyen-Age et de la Renaissance dans leur Art, de l'ordre de 4‰ de carreau. En
cela l'on peut comprendre la part que les Grecs, Pythagore le premier, apportent à
cette Culture collective (pour ne pas dire universelle).
Si l'on prend la largeur du rectangle doré comme égal à 2, selon
les "habitudes habituelles", les hiéroglyphes s'inscrivent dans un
carré de coté 1/3. C'est la mesure de toute la frise.
Les points indiqués sont des intersections des lignes internes au
rectangle doré et à son développement en croix grecque.
Le calque de composition développé
La croix grecque est un motif persistant en Géométrie Sacrée.
On la connaît à propos des églises, beaucoup moins en peinture
et sculpture (pour ne pas dire pas du tout).
Le centre des compositions est 'dans le vide'. Ce fait est courant.
Il fait penser au pendule de Foucault, dont le référentiel refuse
tout
objet
connu
ou
identifé
(Soleil,
pulsars
et
autres
galaxies...). L'intuition des Anciens est d'ordre "prophétique"... Dans la pratique, les
traits de composition évitent les points matérialisés du dessin, et ils cherchent le
bord des sujets. Par exemple le bord d'un cercle plutôt que son milieu.
Enfn, les quelques haubans de la croix grecque se marient aux hiéroglyphes. Il est
permis de penser que la géométrie permettra de poursuivre le travail de
Champollion. L'écriture Égyptienne est née de l'Art, et pas de la comptabilité comme
tant d'autres. Ce principe de bon sens devrait inspirer l'étude...
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◊ Chapitre II - Triangle Sacré au Nombre d'Or
Les deux approches du Nombre d'Or
- L'approche algébrique développe une infnité de combinaisons à partir de
l'équation "Phi2=Phi+1". C'est le royaume du calcul et de l'analyse.
- Aucune publication n'est connue à ce jour*, qui établisse les rapports du Triangle
Sacré (3-4-5) et du Nombre d'Or. L'approche géométrique se résume classiquement
à l'étude du pentagramme et au découpage du plan en rectangles dorés.
[*] Si un tel texte existait, nul doute qu'elle intéresserait les peintres, mais encore les
historiens et les ésotéristes puisque c'est la clé de la Géométrie Sacrée. Cet Art de la
Composition prend sa source sur le Nil plus de 3000 ans avant Jésus-Christ, et il se
développe jusqu'au-delà de la Renaissance avec une incroyable continuité. Tout ce
que le monde civilisé compte de grands artistes pratique cette discipline telle une
religion. Les Anciens croient en la Géométrie comme ils croient en Dieu !
Le Triangle au Nombre d'Or
Personne ne semble l'avoir remarqué : le Triangle Sacré (3-4-5-) n'est pas la banale
équerre dont la corde à treize noeuds a fait la réputation. Cette opinion comptable
n'est pas celle des prêtres égyptiens qui initient Pythagore. Le Triangle porte en lui la
proportion dorée sous tous ses aspects, et il dispute ses faveurs au Pentagramme.
Ses trois bissectrices sont les diagonales d'un simple, d'un
double et d'un triple carré, qui se rejoignent au centre d'un
cercle inscrit de rayon 1. La proportion dorée (par 2), ici
représentée par une fèche, est sur la bissectrice d'ordre 2
(baptisée pour cette raison "bissectrice dorée"). C'est la
distance qui sépare le sommet du cercle inscrit.
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Les Égyptiens connaissaient la réalité du Nombre d'Or dont
ils ignoraient l'expression arithmétique : Phi = (1+√5)÷2.
Ils pratiquaient une géométrie avec les yeux, qui procédait
de l'évidence, sur un quadrillage. Construire, comprendre,
retenir : voilà la philosophie égyptienne du quadrillage.
Pythagore a résolu son théorème et la résolution arithmétique de Phi dans la même
foulée, en posant pour hypothèse que la diagonale du double-carré est √5...
Une deuxième réalité se cache dans les lignes internes du
Triangle Sacré. La trigonométrie moderne permet de mettre en
évidence cette réalité. Les Égyptiens avaient compris grâce à leur
pratique du quadrillage. Outre les fantastiques particularités des
valeurs de tangentes, les bissectrices du triangle esquissent les
diagonales d'un rectangle doré...
Il suft de retirer le triangle et ne garder que deux bissectrices,
sur le même quadrillage que celui du triangle. Le cercle pointant
au centre décide de la dimension du rectangle doré ! Ainsi, le
Triangle Sacré porte en ses lignes internes, et la mesure de Phi,
et les angles du rectangle doré (sur ses diagonales).
Ces propriétés particulières du Triangle Sacré expliquent le rôle central qu'il occupe
dans les systèmes de composition de la Géométrie Sacrée. Les développements du
Nombre d'Or, si explicites en algèbre et en analyse par leur calculs et leurs
équations, devient tout aussi lumineux quand on comprend sa réalité géométrique.
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◊ Chapitre III - Rublev, Botticelli et Dürer
L'apogée dans l'Art de la Composition
1 - La Sainte Trinité - Andreï Rublev - 1420/28
Cette Icône est un des exemples les plus didactiques de la
Géométrie Sacrée. D'entrée le peintre annonce son propos en
posant au front de l'autel un rectangle sans proportions
particulières, symbolisant la Géométrie. Ce signe qui ne participe
à aucun discours narratif, joue le rôle des monogrammes et des
inscriptions bibliques habituelles en tant qu'afrmation.
Le coté "4" du Triangle Sacré, se rappelant du terrestre selon la Tradition, se pose au
milieu de l'Autel. Le coté "3", au caractère céleste, se joint au sceptre du Père. Enfn
les têtes du Fils, au centre, et du Saint-Esprit, à droite, s'inclinent vers l'hypoténuse
de valeur "5", que l'on attribue à l'humain. Le père siège au dehors du triangle, le Fils
s'y tient seul à l'intérieur, et le Saint-Esprit reste en contact avec le coté humain. Pour
conclure cette introduction, un rectangle doré se développe verticalement à partir du
cercle inscrit, et désigne le haut du tableau. Un rectangle semblable vient en écho
chercher le sol au pied de l'autel à partir du petit rectangle évoqué plus haut. Un livre
ne sufra pas à exposer la richesse mathématique de cette oeuvre mythique.
Trinité est d'une extraordinaire complexité, et c'est en cette oeuvre que le système
de composition des tarots s'est révélé. Sept triangles, à la mesure des sept valeurs
astrologiques de la tradition médiévale, s'y combinent selon le principe de
l'homothétie. Ce principe reviendra beaucoup plus tard dans la théorie des fractales.
Dürer retrouve cet héritage à Venise au cours de son voyage des années 1505/6. La
ville est très liée à Byzance qui, pendant des siècles, est le centre du développement
de la Géométrie Sacrée. Les moines y lisent le grec dans l'intégrale et, à la chute de
Constantinople, ses savants se réfugient en Italie du Nord, particulièrement à Venise.
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2 - La naissance de Vénus - Sandro Botticelli - 1486
Commençons par le quadrillage. Pour le trouver on part
du format de l'oeuvre : un rectangle doré. Le grand coté,
horizontal, est le multiple par Phi du petit coté, vertical.
Pourtant, aucun des cotés ne mesure 1. Ils ont juste cette
proportion entre eux. Il nous faut diviser ce grand
rectangle pour trouver le 1.
Une des grande particularités géométriques du nombre d'or est ici explicite :
quand on retire un carré à un rectangle doré, il reste un petit rectangle doré, égal au
grand divisé par Phi. Et on peut répéter l'opération autant de fois que l'on veut...
Ici, tout est multiplié par 2 et il y a deux raisons d'ordre pratique : le Triangle Sacré,
et la Croix Grecque. Sur le visuel que nous observons, le grand coté mesure 2.Phi 3, le
coté vertical 2.Phi2, et l'on trouve à l'intérieur du rectangle vertical un rectangle
horizontal qui mesure 2.Phi de large sur 2 de haut.
La réalité mythologique de l'oeuvre trouve ici ses
valeurs absolues. Ainsi Zéphyr et Chloris s'inscrivent en
tant que couple dans le médaillon d'un Triangle Sacré.
La bissectrice qui porte le Nombre d'Or plonge vers le
nombril de Vénus. Un autre triangle, dont le cercle est
représenté, croise sa bissectrice dorée sur ce point.
Vénus la sirène
Dans ce Vesica Piscis, Botticelli a placé deux rectangles
de 3 sur 4 (chacun porte deux Triangles 3-4-5). Il les a
incliné de façon vraiment particulière : regardons le
rectangle de gauche, bleuté. Si l'on prolonge son coté
droit, il va chercher l'angle, en haut, du rectangle jaune.
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3 - Melencolia I - Albrecht Dürer - 1514
Albrecht Dürer est un pédagogue remarquable. Il s'acharne à
mettre à la disposition du travailleur manuel le savoir de la
Géométrie*. Avec Melencolia, il expose sa synthèse de tout
l'héritage de la Géométrie Sacrée. Les fameuses propriétés
des angles sont ici exploitées de façon exhaustive.
(*) par exemple dans « Instruction sur la manière de mesurer
ou Instruction pour la mesure à la règle et au compas »
Le grand Triangle Sacré de Melencolia résulte d'un parcours
beaucoup trop sophistiqué pour être exposé ici. Dürer met
en oeuvre tout une série de principes pour le construire.
L'inclinaison particulière du triangle ne doit rien au hasard :
le rectangle d'or (de sa bissectrice dorée) accorde l'une de
ses diagonale à l'horizontale, pendant que l'autre devient la
diagonale d'un double carré vertical. Quel double carré ?
La structure des Tarots de Marseille s'accorde à celle de
Melencolia. Les deux cercles les plus importants de l'une
comme de l'autre ont le même rapport algébrique. En
l'occurrence : le cercle de la Mandorle, en jaune sur la fgure,
est aussi celui de l'arc-en-ciel. Le cercle intime du Soleil des
Tarots correspond quant à lui à celui de la boule au premier
plan de la gravure. Et, preuve par quatre : la gravure et les
cartes sont, dans la réalité concrète, à la même échelle !
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Point d'orgue de cet article : la signature en M de Melencolia.
Le triangle se réorganise autour des diagonales du rectangle
doré et de son cercle inscrit. Les diagonales deviennent
bissectrices, respectant la tradition apprise au chapitre II, et
selon les deux cas possibles. Un M se dessine, tel une
signature, attestant l'identité de l'Archange Saint-Michel.
« MELENCOLIA § I » a pour anagramme « LEO IN MICAEL ».
Dans les deux cas, il manque le même "H" à leur orthographe.
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◊ Annexe I - La Géométrie Comparée
Questions essentielles à propos d'une Culture inconnue
1 - Introduction
Aristote écrit dans la Métaphysique : « ... Aussi l'Égypte a-t-elle été le berceau des
arts mathématiques ... ». La composition des oeuvres d'art de l'histoire occidentale
ne cesse de se rappeler de cette origine, et son étude permet désormais de
comprendre les secrets d'une géométrie totalement inconnue et chargée de mystère.
Je suis peintre, et ma formation initiale est scientifque. Ce n'est pas pour entretenir
le mystère qu'en 2003 je me suis penché, pour la première fois, sur un problème de
composition géométrique. Je voulais comprendre ce qui reliait mes deux passions :
l'Art et les Mathématiques. Une vie ne sufrait pas à lire tout ce s'est écrit à ce sujet,
à propos de la Musique. Malheureusement selon l'adage, c'est la Peinture qui m'a
choisi ! Sa situation est tout à fait diférente. La géométrie des Anciens s'est perdue
dans l'oubli, et celle que les artistes entendent réinventer au XXème Siècle ne peut
s'y comparer en termes de complexité et surtout, de cohérence. Pour exemples, la
poétique d'un Malevitch ne vaut pas mieux que le concept placébo de la "perspective
inversée". Ces propositions fantaisistes doivent leur crédit aux lacunes de bien des
esprits sur le plan scientifque. Escher est le seul artiste a produire au XXème Siècle
une oeuvre digne de considération. Très opportunément, il ne prétend pas réinventer
les principes anciens : il a l'audace d'en chercher d'autres, qui donnent le vertige !
Face à cette situation, il faut une méthode. Le propos de la Géométrie Comparée
n'est pas de repeindre des dogmes mathématiques avec une inspiration d'artiste
(démarche de Malevitch et Kandinsky). À l'inverse, on doit aborder l'Art bâti par la
géométrie avec une rigueur scientifque. « Si Mathématiques il y a, autant que ce
soient des Mathématiques ». Ce principe vient d'Occam, et pas du Dr Coué.
Ensuite, le Mystère est ce qui reste quand on a tout expliqué clairement. Ceux
qui prônent le mystère pour cacher leurs lacunes trahissent et la Science, et l'Art. Les
deux se posent des questions et cherchent des réponses, chacun à sa façon. L'Art
comme la Science se distinguent (notamment du jardinage) par leur force de
proposition : une vision cohérente du monde. Or si le XXème Siècle illumine par sa
Science, il n'est pas sûr que son approche de l'Art survive longtemps à l'étude...
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2 - Quelle est la question ? Les questions ?
La Géométrie Comparée met en évidence une Culture de la Composition qui prend sa
source dans l'Égypte Ancienne, et se construit avec une logique explicite pendant
4500 ans, jusqu'à son apogée, à la Renaissance.
La première question est directe : qui s'intéresse à cette Culture ?
Même face à des preuves, même si ces preuves sont rendues accessibles par une
volonté didactique, le rejet pur et simple des mathématiques est très fréquent, pour
ne pas dire banal dans ce que l'on nomme les Sciences Humaines. Les autres
seraient-elles divines ou inhumaines ? Et les objections vont bon train, quand il s'agit
d'ignorer ce que ces mathématiques apportent à la lecture des oeuvres. L'on va
jusqu'à prétendre que ces fgures étonnantes se seraient produites à l'insu des
artistes, par le miracle de leur talent (talent s'opposant à travail au moins autant que
gaudriole s'oppose à sérieux). Doit-on tolérer cette forme de négation qui s'adresse
au
travail
des
bâtisseurs
de
Cathédrales,
des
ciseleurs
de
lumière,
des
mathématiciens du Sacré ?
L'objection la plus banale invoque l'absence de sources écrites sur une tradition qui
justement, ne saurait se passer d'atelier pour se transmette, et fnit au bûcher par
deux fois avec ses peintres ! L'Iconoclasme a laissé des écrits en masse et zéro
artistes : une attitude "négationniste" ne ferait que renforcer ce constat !
La pratique du quadrillage des Anciens (= construire, comprendre, et retenir)
explique à elle toute seule l'absence de manuels, si chers et si encombrants. L'esprit
de cette Culture n'est celui du secret mais d'une initiation qui passe par la pratique
avant tout : celle du quadrillage. Il ne suft pas de nommer les choses pour les
comprendre. La logique d'étiquette ne vaut pas pour le Géomètre du Sacré.
Ainsi, prétendre à la compréhension d'un Art en ignorant sciemment cette part de sa
constitution est tout simplement révoltant. S'il n'est pas nécessaire d'être
mathématicien pour aborder l'Art, le moindre des respects est de demander conseil à
ce mathématicien avant de supputer. L'ignorance n'est pas une liberté; et ce constat
ne soufre aucune exception, fut-elle "autorisée".
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Seconde question : l'état exact des connaissances
Qu'en est-il des publications, des livres et des écrits sur la Géométrie de
Construction des Maîtres : les Rublev, les Botticelli et les Dürer ?
Pour y répondre clairement, il faut distinguer deux approches : celle des historiens et
des philosophes d'une part, et celle des mathématiciens. La Géométrie de
construction s'aborde selon deux points de vue : celui qui considère l'usage (A), et
celui qui considère l'outil (B).
A - Histoire et Esthétique
À ce jour, le seul système de composition qui soit reconnu est le système perspectif.
Il se développe à partir de la Renaissance, et n'est assorti d'aucune valeur
symbolique (notamment par la mesure). Les quelques propositions schématiques à
propos des oeuvres antérieures (par exemple, celles du Moyen-Age), ne sont pas
qualifables de systèmes. On y trouve tout au plus la somme ou la multiplication de
maigres fgures. Fondamentalement, un système se caractérise par les liaisons entre
ses fgures. Son intelligence. Ces liens sont, dans le cas de la Géométrie Sacrée, le
support même du sens symbolique. Une fgure isolée, fut-elle dorée, n'y parvient
pas : il ne suft pas d'enfermer un objet dans un rectangle doré pour qu'il se change
en or. Il faut un référentiel (un quadrillage), et tout le discours des lignes internes
pour que le sens s'établisse dans ce langage à part entière.
En outre les auteurs ignorent, sans exception, que pendant des siècles les artistes
pratiquent deux systèmes simultanément. Ils font collaborer la vision céleste de la
Géométrie Sacrée et la vision terrestre de la perspective. Cette double pratique a
échappé à tout le monde, en dépit du talent de Dürer à nous le démontrer.
B - Le deuxième pan des publications concerne les Mathématiques pures.
Qu'en est-il de nos connaissances sur les outils de construction?
Sur ce terrain, les progrès de la Géométrie Comparée se font de façon plus
confortable. Il ne s'agit pas de montrer à des yeux incrédules que l'échelle de
Melencolia ne tient pas plus debout que la Vénus de Botticelli (pour d'excellentes
raisons). Pour les scientifques, ce n'est pas l'opinion qui fait loi mais la preuve !
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Dès qu'il s'agit de Géométrie Sacrée, le Nombre d'Or est au centre. Ce principe fait
l'unanimité. Les publications mathématiques sur la divine proportion sont très
nombreuses, et elles sont classables selon deux genres : d'une part ce qui se
rapporte aux équations, au calcul et aux nombres purs, de l'autre les éléments de la
géométrie descriptive (celle des fgures de l'école d'antan, à la règle et au compas). Il
va de soi que le premier aspect, aussi riche soit-il, ofre peu de prise à la peinture et
à l'architecture. Concentrons-nous alors sur la géométrie dite "euclidienne" :
Phi se rappelle du sculpteur Phidias, à qui l'on doit le Parthénon. C'est dire tout
l'intérêt que les Grecs portaient à la divine proportion. De leur Géométrie dorée nous
connaissons essentiellement celle du Pentagramme, et celle des rectangles en
colimaçon (qui produisent une magnifque spirale). Par contre, les rapports étroits
entre la fgure archaïque du triangle 3-4-5 et la proportion dorée semblent avoir
échappé à tout le monde ! Aussi incroyable que cela puisse paraître, les liens
explicites du Triangle Sacré et du Nombre d'Or ne sont l'objet d'aucune publication
connue*. Or, sans ces propriétés particulières, on ne peut rien comprendre à la
Géométrie Sacrée ! En outre, le quadrillage ne saurait s'établir sans les valeurs du
Triangle. Enfn, ce quadrillage permet la mesure des nombres qui ouvrent les formes
à l'interprétation. Sans lui la géométrie reste muette, et nous avec !
(*) Ce n'est pas faute d'avoir cherché, enquêté etc...
3 - Des publications cachées, ou ignorées ?
Il est plus aisé de démontrer que quelque chose existe que de prouver le contraire.
En ce sens, l'on ne peut afrmer de façon défnitive que les propriétés dorées du
Triangle Sacré ne sont l'objet d'aucun article...
Cependant, si quelque publication existait, il est fort étonnant qu'elle n'aient aucun
d'écho, ce pour plusieurs raisons. Premièrement, la simplicité des fgures est gage de
succès au-près des professeurs de mathématiques. Il suft d'un quadrillage de
quatre carreaux sur six pour construire un rectangle doré. C'est joli, magique et
facile à retenir. Quel pédagogue résisterait à une telle invitation !
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Ensuite, il y a les possibilités qu'un tel outil permet : comprendre la Géométrie
Sacrée, dont le triangle est la clé. Toute trace de ses principes vitaux aurait
immédiatement alerté les symbolistes et les iconographes. L'on sait notamment que
la quête de la composition des Tarots a mobilisé toute la fne feur de l'Art Moderne.
Picasso en personne y aurait consacré sa légendaire énergie... En vain. Certaines clés
manquaient, en dépit du talent des artistes, pour craquer le système. L'explication
que propose Saint Occam sur cet échec est qu'ils ne soupçonnaient pas que la
composition des Tarots est un système, et pas quelques fgures disposées avec une
logique archaïque. Ils ont sous-estimé la dimension de cette géométrie.
Enfn, prétendre que ce savoir est par essence du domaine du secret est qualifable
de pure fumisterie ! Sous Dürer, oui : la chasse aux sorcières bat son plein en
Bavière, et son Empereur (et mécène) Maximilien Ier entretient des relations très
"tendues" avec le Pape Jules II. Le tableau de Dürer, « La Vierge au Rosaire » (Venise,
1506), en témoigne, et c'est une proposition très "diplomatique". Mais quel danger
courons-nous aujourd'hui, à dire ce que l'on sait de la peinture du Moyen-Age ?
Sommes-nous face aux risques politiques et humains de la Renaissance ? En des
siècles lointains, oui, le risque était réel de montrer ce Savoir car il était l'enjeu de la
convoitise de toutes les formes de pouvoirs, politiques et religieux. L'Iconoclasme,
l'Inquisition, et d'autres types de menaces, ont poussé les artistes à se cacher. Ce
principe de précaution n'a plus lieu d'être dans le monde d'aujourd'hui, si ce n'est
pour protéger l'égo de quelque exégète local...
Cette vérité est en efet particulièrement décevante : derrière leur rideau de fumée,
des maîtres de carnaval cachent leur totale ignorance afn de "vendre du mystère" !
Cette boutique-la n'a pas d'époque, et la présente n'y coupe pas...
Si quelque publication existe sur le genre qui nous préoccupe, elle peut se comparer
à celle de Fibonacci : il ignore que Phi est la destination de sa fameuse suite (ou sa
limite, selon le vocabulaire approprié)...
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Annexe 2 - La Géométrie paléolithique
La Géométrie Sacrée a un "début", une sorte d'origine où l'homme prend non
seulement conscience des formes intuitives qu'il pratique depuis des millénaires de
façon inconsciente, mais surtout il les organise "à la corde sur le sable". L'imitation
de la Nature devient progressivement représentation, puis conception.
◊ La Géométrie au Paléolithique
L'archéologue canadienne Geneviève von Petzinger analyse de façon systématique les
signes des cavernes paléolithiques. Son champ de recherches apporte
progressivement les clés essentielles à la compréhension des origines, des premiers
gestes de l'Homme à dresser des fgures abstraites comme entités géométriques
afranchies des traces que laisse la nature dans ses yeux. Le principe de "révélation"
trouve en ces recherches des références pour se préciser.
◊ La Civilisation de Nagada - Néolithique
L'apparition du Sacré = Conscience et Conception
Cette hypothèse ne tient pas du caprice : la révélation
de la Géométrie Sacrée pourrait avoir eu lieu dans
l'Égypte pré-dynastique, précisément dans la civilisation
de Nagada. Sa latitude place le solstice du Soleil sur la
bissectrice dorée du Triangle Sacré : condition idéale
pour provoquer l'imagination...
Cette chose étant établie, nous pourrons étudier un
grand nombre de documents archéologiques et
déterminer l'évolution progressive de la géométrie en
sculpture, en peinture et dans l'écriture.
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