Exercice n°1 ABC est un triangle rectangle isocèle tel que : AHMK

Exercice n°1
ABC est un triangle rectangle isocèle tel que :
AHMK est un rectangle. On pose
.
Prouver que l’aire ( ) du domaine coloré en vert est égale à :
( )
Etudier le sens de variation de ( )
Pour quelle valeur de
Trouvez les valeurs
cette aire est-elle minimale ? Calculez ce minimum.
de [
] telles que ( )
Exercice n°2
ABC est un triangle rectangle tel que :
M est un point de [
] tel que
, avec
appartenant à l’intervalle
A chaque point M, on associe le point N du segment [
[
].
] tel que
On note ( ) l’aire du triangle AMN.
Démontrer que ( )
Soit P la parabole représentative de ( ).
Quelle est la forme canonique de ( )? Quelles sont les coordonnées du sommet S de P?
Tracez dans un repère orthonormé la courbe représentative de ( ) définie sur .
Chercher l’ensemble des nombres de tels que
retrouvez cet ensemble par le calcul.
Première – 17351 – Second degré - Géométrie – 04.09.12
( )
. Conjecturez cet ensemble graphiquement et
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Exercice n°1
Exprimons l’aire ( ) du domaine coloré en vert en fonction de :
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
Le triangle ABC étant isocèle, le triangle CKM l’est également car les droites (KM) et (AB) sont parallèles. En effet,
̂ sont correspondants et par conséquent égaux. Les angles ̂
̂ sont bien sûr
les angles ̂
égaux puisque de même sommet.
Le triangle CKM étant isocèle, on a :
( )
(
puisque
est un rectangle.
)
( )
Etudions le sens de variation de ( )
Méthode 1
La parabole représentant ( ) est convexe orientée vers le haut puisque =1 est positif avec un minimum en :
( )
( )
[
]
[
]
Calculons ce minimum:
( )
( )
( )
( )
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Méthode 2
deux réels de [
Soient
Etudions le signe de ( )
( )
( )
( )
( )
] tels que
( )
(
)
(
On écrit ces trinômes d’inconnue
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
sous forme canonique.
)
((
( ) )
(
)
(
)
( )
( )
)
On doit alors étudier le signe de ( )
( ) en faisant une étude de cas:
Cas n°1:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
]
( )
[
( )
( )
]
( )
]
Cas n°2:
(
)
(
)
(
)
(
)
[
( )
( )
[
( )
( )
[
( )
]
( )
Calculons ce minimum:
( )
( )
( )
( )
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de [
Trouvons les valeurs
] telles que ( )
( )
(
√
√
)
√
√
(
√ )
[ (
√ )
(
√ )
(
√ )]
On peut retrouver ce résultat graphiquement:
10
9,5
9
8,5
8
7,5
7
6,5
6
5,5
5
0
0,5
1
1,5
2
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2,5
3
3,5
4
4,5
5
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Exercice n°2
Exprimons ( ) en fonction de .
( )
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
( )
Déterminons la forme canonique de
( )
( )
(
(
)
((
)
)
)
Le sommet de P a donc pour abscisse 3.
( )
((
)
)
(
)
Le sommet de P a donc pour coordonnées (3;9).
Traçons dans un repère orthonormé la courbe représentative de ( ) définie sur .
10
9,5
9
8,5
8
7,5
7
6,5
6
5,5
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5
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Conjecturons graphiquement l’ensemble des nombres
( )
de tels que
.
10
9,5
9
8,5
8
7,5
7
6,5
6
5,5
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
On ne peut qu’approximer les valeurs aux bornes de l’ensemble des solutions.
]
]
[
[
Confirmons cette conjecture par le calcul:
( )
{
{
{
On doit déterminer les racines de deux trinômes du second degré.
Sans détailler les calculs, on obtient:
( )
{
[
]
{
√
]
(
(
[
√ ]
[
√ )(
)(
√ )
(
{
)
([
√
√ )(
(
√ ])
(]
√
]
[
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)(
]
[
√ )
)
[
√
[)
]
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