Fonction logarithme népérien : Etude de coûts de transport

Fonction logarithme népérien : Etude de coûts de transport
Une entreprise de mareyage « PECHEDISTRIB » de Lorient procède à une étude du coût de
transport par route et par rail. Elle souhaite déterminer le mode de transport le plus rentable en
fonction du nombre de kilomètres parcourus pour les modes de transport ferroviaire et routier.
Pour un nombre x de kilomètres parcourus, le coût CF, en euros, du transport ferroviaire d’une
tonne de poisson est donné par la formule ; CF = 0,1x + 630 et le coût CR , eu euros, du transport
routier d’une tonne de poisson est donnée par la formule : CR = 200 ln(x) – 600
ICalcul du coût
L’entreprise doit transporter une tonne de poisson de Lorient à Bordeaux sur une distance de
480 km.
1) Calculer le coût de ce trajet par transport ferroviaire.
2) Calculer le coût de ce trajet par transport routier.
3) Quel moyen de transport le plus économique va-t-elle choisir ?
II-
Etude du coût : Représentation graphique – Exploitation graphique
1) Soit la fonction f définie sur l’intervalle [50 ; 1 200] par : f(x) = 0,1x + 630
Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal où :
- en abscisse, 1 cm représente 100 ;
- en ordonnée, 1 cm représente 50.
2) Soit la fonction g définie sur l’intervalle [50 ; 1 200] par : g(x) = 200 ln(x) - 600
a) Compléter le tableau de valeurs de la fonction g (valeurs arrondies à la dizaine) :
x
50
100
200
g(x)
180
320
460
300
400
600
800
1000
1200
780
820
b) Dans le même repère que pour la fonction f, construire la courbe représentative de la fonction g.
3) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = g(x)
4) Déterminer graphiquement :
a) pour quelle distance les deux coûts de transport sont égaux ;
b) sur quel intervalle le transport ferroviaire est le plus avantageux ;
c) sur quel intervalle le transport routier est le plus avantageux.
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I) Pour faire les calculs on va utiliser l’application RUN
Sélectionner dans le menu principal, à l’aide du bouton directionnel
RUN et faire
, l’application
.
1) Saisir le calcul suivant : 0,1 x 480 + 630 et faire
.
On obtient un coût de trajet par ferroviaire de CF = 678 €.
2) Saisir le calcul suivant : 200 ln(480) - 600 et faire
On obtient un coût de trajet par transport routier de CR = 634,8 €.
3) Pour une distance de 480 km, le transport routier est donc plus économique.
II) Etude du coût
Dans un premier temps, il faut effacer les fonctions éventuellement enregistrées dans la calculatrice.
Appuyer sur
GRAPH et faire
et à l’aide du bouton directionnel
sélectionner l’application
.
2
2
Dans le cas où des fonctions sont déjà présentes, il faut les effacer une à une en utilisant la
touche
( DEL) et puis
(YES) , et se déplacer à l’aide du bouton directionnel
.
1) Tracé de la fonction f
Lorsque l’écran ne comporte pas de fonctions, utiliser la touche
saisir la fonction : Y1 = 0,1 X + 630 et valider avec
pour la variable X, pour
.
Pour réaliser le tracé avec la calculatrice, il faut d’abord configurer les graduations sur les deux axes
X et Y.
Ainsi, sélectionner
puis
(V-Window) et saisir les valeurs
Xmin :
50
;
max : 1200
;
scl :
.
100
3
3
A l’aide du bouton
Ensuite, faire
et
se déplacer vers le bas et saisir les valeurs Ymin :
0
;
max :
850
;
scl :
50
.
(DRAW) pour tracer l’allure de la droite d’équation y = 0,1 x + 630.
2) Tableau de valeurs et tracé de la fonction g
Appuyer sur
TABLE et faire
et à l’aide du bouton directionnel
sélectionner l’application
.
4
4
Entrer la fonction Y2 = 200 ln(X) - 600
On va, maintenant, calculer les valeurs de la fonction g pour des valeurs entières x comprises
entre 50 et 1 200.
Sélectionner la touche
Puis, appuyer sur la touche
( RANG) et entrer les données :
Strt :
50
,
End : 1 200
,
ptch :
.
puis sélectionner alors la touche
50
(TABL)
a) Le tableau de valeurs de la fonction g.
Pour compléter le tableau pour la fonction g, on va utiliser les valeurs obtenues dans TABL et à
l’aide du bouton directionnel
faire apparaître la colonne Y2 :
En se déplaçant vers le bas, dérouler toutes les valeurs pour compléter le tableau.
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On obtient le tableau de valeurs complété suivant :
x
50
100
200
300
400
600
800
1000
1200
g(x)
180
320
460
540
600
680
740
780
820
b) Tracé de la fonction g.
Appuyer sur
GRAPH et faire
et à l’aide du bouton directionnel
puis
sélectionner l’application
(DRAW) pour tracer les allures des deux courbes.
On peut ainsi s’aider de l’allure de la courbe de g pour la tracer sur une feuille de papier millimétré.
3) Résolution graphique de l’équation f(x) = g(x)
Pour résoudre graphiquement f(x) = g(x) on utilise les deux courbes obtenues en 2) et
on sélectionne
puis
(Trace) .
Apparaît alors une croix que l’on peut déplacer sur chaque courbe à l’aide du bouton
en cliquant sur la flèche à droite pour augmenter les valeurs de x, ou la flèche à gauche pour
les diminuer.
On peut changer de courbe en cliquant sur la flèche du haut ou du bas.
L’équation de la courbe apparaît en haut et les valeurs obtenues en bas de l’écran.
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On obtient pour x = 654,48 une valeur de Y1 = 695.44 et Y2 =696.77
Donc, l’unique solution dans l’intervalle d’étude [50 ; 1 200] à l’équation f(x) = g(x) est
approximativement x = 650
4) Etude graphique.
a) Pour que les deux coûts de transport soient égaux il faut que l’on ait : f(x) = g(x) .
Or, d’après la résolution graphique en 4), on a approximativement comme solution x = 650.
Donc pour une distance de 650 kilomètres les deux coûts de transport sont égaux.
b) Le coût du transport ferroviaire est représenté par la fonction f en fonction de la distance
parcourue et le coût du transport routier est représenté par la fonction g.
Graphiquement, la courbe représentant la fonction f est en dessous de la courbe représentant
la fonction g sur l’intervalle ] 650 ; 1 200 ]
Ainsi le transport ferroviaire est le plus avantageux pour des trajets compris entre
650 et 1200 kilomètres.
c) Graphiquement, la courbe représentant le coût du transport routier est en dessous de la
courbe représentant le coût du transport ferroviaire sur l’intervalle [50 ; 650[ .
Ainsi le transport routier est le plus avantageux pour des trajets compris entre
50 et 650 kilomètres.
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