Chapitre 8: Les fonctions ex et ln(x)

3Mstand/renf – JtJ 2016
IR
ex
IR
x
*
+
⑥ Asymptote:
1
e
x
LES FONCTIONS ex
⑥ Asymptote:
ln(x)
1
y
③ Graphique
② ED =
ln(x)
Prérequis: Exponentielle et logarithme (2ème année), Études de fonctions
ex
⑤ Tableau de signes
x
⑤ Tableau de signes
1
1
0
a
3
④ Zéro de la fonction:
1
e
y
x
La fonction ln(x) a été définie comme la fonction réciproque de e x
① Définition:
④ Zéro de la fonction:
③ Graphique
② ED =
Rappel: la base de l’exponentielle est le nombre e = 2,71828..
① Définition:
Fonction logarithme naturelle
8.1
Fonction exponentielle naturelle
Les fonctions exponentielles naturelles et logarithmes naturelles: Ce qu’il faut en savoir :
CHAPITRE 8
ET
ln(x)
Chapitre 8: Les fonctions ex et ln(x)
Requis pour: Examen de maturité
Quelques rappels
1
2
CHAPITRE 8
Introduction
La croissance de la population, l'augmentation du capital, l'inflation,
l'utilisation de l'énergie, la croissance du produit national brut,
l'amortissement, la baisse de l'incidence de certaines maladies, la
baisse du pouvoir d'achat, la perte d'efficacité d'une machine
vieillissante sont des exemples d'utilisation des fonctions exponentielles.
En 2ème année, nous avons eu l'occasion de travailler avec des formules
contenant une expression exponentielle. Dans ce chapitre, nous
aborderons cette même notion sous une forme fonctionnelle. Nous
terminerons par des études de fonctions exponentielles.
Les règles de calculs de ex et ln(x) à connaître
e0 = 1
e1 = e
La plupart de ces règles
se trouvent dans votre formulaire
ln(e) = 1
eln(x) = ln(ex) = x
si x et y ∈ ……
ex · ey = ex + y
ex
= e x−y
ey
x y
(e )
Exemples:
ln(1) = 0
= e x⋅ y
si x et y ∈ ……
ln(x · y) = ln(x) + ln(y)
⎛ x⎞
ln⎜ ⎟ = ln(x) − ln(y)
⎝ y⎠
ln(xn) = n · ln(x)
Résoudre les équations suivantes
a) ln(x – 2) = 4
b) e x + 4 = 5
c) ln(x + 3) = ln(2x + 7)
⎛ x +3⎞
d) ln ⎜
⎟=0
⎝2− x⎠
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LES FONCTIONS ex
CHAPITRE 8
Exercice 8.1 :
3
b) ln(x) = 0
d) ln(x2) = 0
⎛ 2x ⎞
f) ln ⎜
⎟= 0
⎝ 5x − 8 ⎠
e) ln(2x) – ln(5x – 8) = 0
2x – 1
g) ex + 3 = 5
i) ex/10 = 7
h) e
= -8
x2
j) e = 4
Déterminer ED, les zéros et le tableau de signes de la fonction
f (x) =
Exercice 8.2 :
ln(x)
Préciser ED puis résoudre les équations suivantes:
a) ln(x) = 1
c) ln(x – 4) = 4
Exemple:
ET
ln(3 − x)
x
Déterminer l’ED, les zéros et le signe de f (x) définis par:
a) f (x) = ln(2 − 4 x)
c)
e)
⎛2 + x⎞
f (x) = ln⎜
⎟
⎝ 1− x ⎠
x 2 −1
f (x) = x
e
1
ln(x)
ln(x) + 3
d) f (x) =
ln(x) − 2
b) f (x) =
f) f (x) = e
x 2 +x
1
g) f (x) = (x + 3)e1/ x
h) f (x) = e x+3
8.2 Calculs de la dérivée de f (x) = ex et f (x) = ln(x)
Démarche:
Formellement, nous devrions déterminer la dérivée de ces
fonctions en utilisant la formule:
f (x) − f (a)
x →a
x−a
En fait, nous nous contenterons d'estimer la valeur de la pente
de la tangente à f (x) = ex et à g(x) = ln(x) en certains points puis
nous tenterons d'en déduire la fonction dérivée f ′ (x) et g′ (x) .
f ′(a) = lim
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CHAPITRE 8
À l'aide du graphique, compléter le tableau de valeurs de
f (x) = ex et la pente de la tangente en ces points.
En déduire une proposition pour la dérivée de f (x).
3
4
si f(x) = ex alors f ’(x) = …………
-2
y
x
0
1
2
3
4
1
ex
2
pente de la
tangente
y = ex
Proposition de dérivée :
x
Exercice 8.3 :
60
58
56
54
52
50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
4
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LES FONCTIONS ex
CHAPITRE 8
Exercice 8.4 :
ET
ln(x)
-4
-5
0
0,5
1
2
3
4
5
6
si f(x) = ln(x) alors f ’(x) = …………
-3
-2
-1
-3
-2
pente de la
tangente
-1
1
2
3
y
1
2
3
4
5
Proposition de dérivée :
6
7
y = ln(x)
x
À l'aide du graphique, compléter le tableau de valeurs de
f (x) = ln(x) et la pente de la tangente en ces points.
En déduire une proposition pour la dérivée de f (x).
ln(x)
x
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5
6
CHAPITRE 8
1ère règle:
La dérivée de ex vaut ex.
f (x) = e x
2ème règle:
f ′(x) = e x 1
f ′(x) = x
La dérivée de ln(x) vaut 1/x.
f (x) = ln(x)
3ème et 4ème règle:
La dérivée de fonctions composées en e… et ln(…).
g(x) = e f( x )
g(x) = ln ( f (x)) Exemples:
g′(x) = e f( x ) ⋅ f'(x)
g′(x) =
1
⋅ f'(x)
f (x)
1) Soit f (x) = e3x
alors f ′ (x) = e3x · (3x)' = e3x · 3 = 3e3x
2) Soit f (x) = (x2 + x + 1) e-2x
alors f ′ (x) = (x2 + x + 1)' · e-2x + (x2 + x + 1) (e-2x)'
= (2x + 1) · e-2x + (x2 + x + 1) · e-2x · (-2)
= e-2x · (2x + 1 – 2x2 – 2x – 2) = (-2x2 – 1) e-2x
x
3) Soit f (x) = e x +1
alors f ′ (x) =
4) Soit f (x) = ln(5x)
alors f ′ (x) =
1
1
⋅ (5x )′ =
5x
x
5) Soit f (x) = ln(2x2)
alors f ′ (x) =
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LES FONCTIONS ex
CHAPITRE 8
Exemples:
6) Soit f (x) =
=
1
x
7
(ln(x) + 2) − (ln(x) −1) 1x
2
(ln(x) + 2)
1 ln(x) + 2 − ln(x) + 1
3
=
⋅
2
2
x
x (ln(x) + 2)
(ln(x) + 2)
Déterminer l’ED, les zéros et la dérivée de f (x) définis par:
a) f ( x ) = e 5 x
b) f ( x ) = e
x2
c)
f ( x ) = e 1/x
d) f ( x ) = ln(−4 x + 5)
e)
f ( x ) = ln( x 2 − x )
f) f ( x ) = x 2 e 1/x
g) f (x) = x (ln(x) −1)
i)
Exercice 8.6 :
ln(x)
ln(x) −1
ln(x) + 2
alors f ′ (x) =
Exercice 8.5 :
ET
f (x) = e 2x − 3e x + 2
h) f (x) =
ln(x) − 2
ln(x) −1
(indication: il s'agit d'une … maquillée !!)
a) Démontrer que la tangente à la courbe y = ex au point
d'abscisse x = 1 passe par l'origine.
b) Démontrer que la tangente à la courbe y = ln(x) au point
d'abscisse x = e passe par l'origine.
Exercice 8.7 :
La capacité pulmonaire d'une personne en fonction de son
âge est donnée par la fonction:
C(t) =
110(ln(t) − 2)
t
avec t l'âge exprimé en
année et t > e2
a) Calculer la capacité pulmonaire à 10, 20, 30 et 70 ans
b) Calculer l'âge auquel la capacité pulmonaire d'une
personne est maximale.
Devinette:
Logarithme et exponentielle sont au restaurant. Qui paie
l'addition ?
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8
CHAPITRE 8
8.3 Calculs de limites (utiles pour les études fonctions)
Rappels:
Exercice 8.8 (début):
•
nbre +
= 0+
+∞
nbre−
= 0+
−∞
•
nbre +
nbre−
= +∞
= +∞
0+
0−
nbre +
= 0−
−∞
nbre−
= 0−
+∞
nbre +
= −∞
0−
nbre−
= −∞
0+
Compléter les limites des fonctions suivantes:
a)
lim f (x) = +∞⎫⎪
⎬⇒
lim g(x) = +∞ ⎪⎭
x →nbre
x →nbre
• lim f (x) ⋅ g(x) = … … … …
x →nbre
f (x)
= …………
x →nbre g(x)
• lim
b)
lim f (x) = −∞⎪⎫
⎬⇒
lim g(x) = −∞ ⎪⎭
x →nbre
x →nbre
• lim f (x) ⋅ g(x) = … … … …
x →nbre
f (x)
= …………
x →nbre g(x)
• lim
c)
lim f (x) = +∞⎫⎪
⎬⇒
lim g(x) = −∞ ⎪⎭
x →nbre
x →nbre
• lim f (x) ⋅ g(x) = … … … …
x →nbre
• lim
x →nbre
d)
lim f (x) = 0 + ⎫⎪
⎬⇒
lim g(x) = 0 + ⎪⎭
x →nbre
x →nbre
• lim f (x) ⋅ g(x) = … … … …
x →nbre
• lim
x →nbre
e)
lim f (x) = 0− ⎫⎪
⎬⇒
lim g(x) = 0− ⎪⎭
x →nbre
x →nbre
f (x)
= …………
g(x)
f (x)
= …………
g(x)
• lim f (x) ⋅ g(x) = … … … …
x →nbre
f (x)
= …………
x →nbre g(x)
• lim
f)
lim f (x) = 0 + ⎫⎪
⎬⇒
lim g(x) = 0− ⎪⎭
x →nbre
x →nbre
• lim f (x) ⋅ g(x) = … … … …
x →nbre
f (x)
= …………
x →nbre g(x)
• lim
Devinette (suite):
Nos amis Logarithme et Exponentielle sont maintenant sur
un bateau. Tout à coup, Logarithme est terrifié : « Attention,
on dérive ! ». Que va répondre Exponentielle ?
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LES FONCTIONS ex
CHAPITRE 8
Exercice 8.8 (suite):
ET
ln(x)
9
Compléter les limites des fonctions suivantes:
g)
lim f (x) = 0 ⎫⎪
⎬⇒
lim g(x) = ∞ ⎪⎭
x →nbre
• lim f (x) ⋅ g(x) = … … … …
x →nbre
x →nbre
f (x)
= …………
x →nbre g(x)
• lim
h)
lim f (x) = ∞⎫⎪
⎬⇒
lim g(x) = 0 ⎪⎭
x →nbre
• lim f (x) ⋅ g(x) = … … … …
x →nbre
x →nbre
• lim
x →nbre
Cas indéterminés:
f (x)
= …………
g(x)
Lors du calcul de limites, il arrive que l'on obtienne une
expression que l'on ne peut pas déterminer. Il faudra les
étudier de cas en cas.
Voici 3 cas d'indétermination:
±∞
±∞
0 ⋅ (±∞)
Exercice 8.9 (début) :
0
0
Le but de cet exercice est de déterminer les limites suivantes:
lim
x →+∞
ex
xn
et
pour tout n ∈ IN
lim
x
x →+∞ e
xn
1er cas: n = 1 et 2: En observant les graphiques suivants, compléter les limites:
y
y = ex
y = x2
20
10
1
y=x
1
2
3
4
5
ex
x →+∞ x
ex
• lim 2
x →+∞ x
x
• lim x
x →+∞ e
x2
• lim x
x →+∞ e
• lim
x
Vous constatez que ex croît plus vite que x2.
Ceci va-t-il se confirmer également avec x3 ?
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= ………
= ………
= ………
= ………
CHAPITRE 8
Exercice 8.9 (suite):
Justifiez-le à l'aide des deux graphes suivants:
y
2ème cas: n = 3:
y
y = x3
y = ex
20
100
y = x3
10
50
1
1
2
3
4
x
5
1
y = ex
1
2
3
4
5
x
Laquelle des 2 fonctions semble croître le plus vite ?
3ème cas: n = 10: En observant le graphique suivant, compléter les limites:
x
y
y=e
1·10 1 6
Exercice 8.10 :
ex
= ………
x10
• lim
x10
= ………
ex
x →+∞
x
20
• lim
x →+∞
y = x 10
10
40
60
80
En observant le graphe, compléter les limites (pour n ∈ IN)
8
y
y = x2
y=x
4
1
• lim
ln(x)
= ……
xn
• lim
xn
= ……
ln(x)
x →+∞
y = ln(x)
1
2
3
4
5
x →+∞
x
-4
Quelques limites usuelles:
La règle du podium
Les deux exercices précédents nous ont permis d’observer les
limites suivantes:
ex
n = +∞
x →+∞ x
ln(x)
lim
= 0+
x →+∞
xn
lim
xn
x = 0+
x →+∞ e
xn
lim
= +∞
x →+∞ ln(x)
lim
Vous trouverez encore quelques limites dans votre formulaire
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LES FONCTIONS ex
CHAPITRE 8
Exercice 8.11 :
Les limites suivantes sont-elles déterminées ?
À l'aide de votre calculatrice, estimer ces limites
ex
x →+∞ ln(x)
c) lim x 2e x
a) lim
x →−∞
Exemple:
La règle du podium
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ET
b) lim x 3 ln(x)
x →0 +
d) lim x 2e−5x
x →+∞
Calculer les limites suivantes
a) lim x 2 ⋅ e− x
b) lim x ⋅ e1/x
e− x
c) lim 2
x→−∞ x
e− x
d) lim
x→+∞ 4x
x→+∞
x→0+
ln(x)
11
12
CHAPITRE 8
Exercice 8.12 :
En essayant, si nécessaire, de se rapporter à une situation de
ex
ex
"podium" du type: lim k , lim
, … , calculer
x →+∞ ln(x)
x →+∞ x
ln(x)
a) lim 2x
b) lim e−x ln(x 3 )
c) lim e−x x
x →+∞
x →−∞
x →+∞ e
d) lim e x ln(−x)
e) lim x 3e 3x−5
g) lim e1/ x x 2
e−1/ x
h) lim
x →0 +
x
x →−∞
e1/ x
x →0 + x 2
f) lim
x →−∞
x →0 +
lim f (x )
Encore 2 formules bien pratiques • lim e f (x ) = e x→a
pour calculer des limites: x →a
•
Exemple:
lim ln( f (x))= ln(lim f (x))
x→a
x→a
Calculer lim e
−
3x +4
x−2
x →+∞
Exercice 8.13:
Calculer les limites suivantes :
x 2 −3x +2
a) lim e
−x
c) lim e
x 2 −5
2x 2
b) lim e
x →+∞
x →+∞
−2x
d) lim e
x →+∞
3x 2 +2
2x
x →-∞
⎛ 3x 2 −3x+2 ⎞
e) lim ln⎜ 2
⎟
x →+∞
⎝ x −5x+2 ⎠
⎛ 1⎞
f) lim ln⎜ ⎟
x →+∞
⎝ x⎠
Exercice 8.14:
Le but de cet exercice est de "calculer" lim
ln(1+ e x )
x →−∞
ex
a) en remplaçant naïvement x par –∞
b) à l'aide de la calculatrice en complétant le tableau de
valeurs ci-dessous:
x
-1
-10
-20
-25
-30
ln(1+ e x )
ex
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LES FONCTIONS ex
CHAPITRE 8
Exercice 8.14 suite:
ln(x)
ET
13
c) à l'aide 4 des représentations graphiques suivantes:
Geogebra
http:// www.geogebra.at
http://www.wolframalpha.com
MuPAD
Grapher
d) Finalement, à l'aide de MuPAD, nous obtenons:
e) Comment expliquez-vous ces différentes interprétations ?
8.4
Études de fonctions du type ex
Indications:
a) Il n'y aura pas de A.O à déterminer car la division de
polynômes ne peut s'appliquer dans ce cas.
L'étude d'une fonction de type exponentielle ou
logarithmique suivra la même marche à suivre que celle
étudiée lors de fonctions polynomiales. On mentionnera toute
fois:
b) La recherche de(s) A.H doit être effectuée en deux étapes,
AHG à l'aide de lim f (x) et AHD à l'aide de lim f (x)
x →−∞
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x →+∞
c) Contrairement aux fonctions polynomiales, le graphique
d'une courbe de type ln(x) peut débuter brusquement
depuis un point que nous nommerons point limite.
14
CHAPITRE 8
Un exemple :
x 2 +x−2
6x−12
Étudier la fonction f (x) = e
.
Pour un tracé plus précis, calculer en plus lim f ′(x)
x →2 −
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LES FONCTIONS ex
CHAPITRE 8
Exercice 8.15 :
ET
Étudier les fonctions suivantes
a) f ( x ) = e
−x 2
b) f ( x ) = ( x 2 − 6)e −2 x
2
c) f (x) = e x (6 − e x )
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ln(x)
d) f (x) = e x
2
−4
15
16
CHAPITRE 8
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