Corrigé du TD n°4 - Décembre 2012

Commande de processus – TD4 – Correction 2ème partie 2. Discrétisation du régulateur Asservissement en temps continu « modèle » : Y s + U s
K 1
‐ H s
Y s A
1
τs
K 1
Avec le correcteur. Asservissement numérique à réaliser : y n + Correcteur ? ‐ y n
C u n
ε n Modulateur
de durée Processus
A N Partie numérique (microprocesseur) On recherche donc un correcteur numérique équivalent au correcteur analogique . Problème : le correcteur analogique comporte un terme intégrateur. D’une manière générale, à partir du moment où le correcteur analogique comporte un (des) effet(s) dérivé(s) ou (et) intégrateur(s), il n’existe pas de solution exacte pour le correcteur numérique car le calcul de la dérivée ou de l’intégrale en numérique repose forcément sur une hypothèse sur la valeur du signal entre chaque échantillon. Approximation par la méthode d’Euler : Pour obtenir la fonction de transfert en Z du correcteur, on remplace simplement par dans la fonction de transfert en s. D’où : R Z
U Z
ε Z
K 1
1
Z 1
T
T
1 / U Z
K∙ε Z
Z∙U Z
U Z
K∙ε Z ∙
U Z
K∙Z∙ε Z
∙U Z
Z
T
T Z 1
K∙ε Z
K∙ε Z
K∙Z
ε Z ∙
K∙T
T
K∙T
∙Z
T
∙ε Z
∙ε Z D’où, le polynôme de correction : u n
u n
u n
1
K∙ε n
K∙ε n
K∙ε n
K∙ε n
1
T
T
1
1
K∙T
∙ε n
T
u n
1 1 Approximation par la méthode d’anticipation: Pour obtenir la fonction de transfert en Z du correcteur, on remplace par 1
fonction de transfert en s. / dans la D’où : R Z
U Z
ε Z
1
K 1
T
U Z
K∙ε Z
U Z
Z
K∙ε Z ∙
∙U Z
1
T
T
T 1
K∙ε Z
Z
K∙Z
K∙T
∙ε Z T
ε Z
D’où, le polynôme de correction : u n
u n
u n
K 1
1
K∙ε n
T
ε n
T
1
T
T
K∙ε n
K∙ε n
1 u n
1 1
Approximation par la méthode de Tustin: Pour obtenir la fonction de transfert en Z du correcteur, on remplace par 2/
dans la fonction de transfert en s. D’où : R Z
U Z
ε Z
1
K 1
T ∙
2
T
1
1
1 /
1 U Z
K∙ε Z
U Z
Z
K∙T
ε Z ∙
2∙T
∙U Z
1
1
K∙ε Z
K∙Z
K∙T
∙ε Z
2T
ε Z
K∙T
∙Z
2T
∙ε Z D’où, le polynôme de correction : u n
u n
u n
1
K∙ε n
T
ε n
2T
K 1
K∙ε n
K∙
1 +K
T
2T
1 ∙ε n
∙ ε n +K
1
u n
∙ε n
1 1 3. Sensibilité à un échelon Si l’on nomme H s la fonction de transfert du processus et R s celle du correcteur, U s est alors donné par: Y s ∙
U s
Si Y s
U s
R s
R s ∙H s
1
1/s (entrée en échelon) : 1
∙
s 1
R s
R s ∙H s
Comportement aux temps courts : lim → u t
lim
→
s ∙ U s =lim
→
∙
K Comportement aux temps longs : lim → u t
lim
→
s ∙ U s =lim
→
∙
 En réponse à un échelon d’amplitude 1, u(n) doit subit une discontinuité d’amplitude K. Le choix de K est donc restreint par le fait que u(n) doit rester inférieur à u
Y s + K
‐ ‐ + K U s
H s Y s Avec la variante du régulateur (figure ci‐dessus), U s est donné par: U s
Y s ∙
1
Si Y s
U s
K
Ts
K∙H s
K∙H s
Ts
1/s (entrée en échelon) : 1
∙
s
K
Ts
K∙H s
K∙H s
Ts
1
Comportement aux temps courts : lim → u t
lim
s ∙ U s =lim
→
→
∙
0 ∙
Comportement aux temps longs : lim → u t
lim
s ∙ U s =lim
→
→
∙
∙
Grâce à cette variante de régulateur, il n’y a plus de discontinuité à t=0. Le choix de K peut donc se faire de manière moins restrictive. 3.1 Discrétisation de la variante du régulateur U s
K
∙ ε s
Ts
K∙Y s Si on choisit par exemple l’approximation par la méthode d’Euler : U Z
K∙T
∙ ε Z
T Z 1
U Z
Z
K∙Y Z K∙T
∙ ε Z ∙ Z
T
∙U Z
K∙Y Z
K∙Y Z ∙Z
D’où, le polynôme de correction : u n
u n
u n
∙
∙ ε n
1
∙ ε n
1
K∙ y n
K ∙ y n +K ∙ y n
1 y n
1 1
: Si y
ε n
∙
1
y
y n  y n
 u n
∙
∙ ε n
y n
1
1
y
ε n
K∙ ε n
ε n
y
1
ε n
1
ε n
1 ε n
1