(Nouvelle Calédonie Novembre 2004 correction)

Bac ES Nouvelle Calédonie Novembre 2004
Exercice 1 (commun à tous les candidats) (3 points) :
1) La droite d’équation y = –2 est asymptote à la courbe Cf.
Faux, c’est la droite d’équation x = –2 qui est asymptote à Cf.
2) L’équation f(x) = 1 admet exactement deux solutions.
Faux, elle en admet trois : une dans ]–∞ ; –2[, une dans ]–2 ; 1[ et une dans ]1 ; +õ[.
3) f(x) ≤ 0 pour tout x ∈ ] –5 ; –2[.
On ne peut pas savoir car on ne connaît pas la valeur de f(–5).
2
4) Sachant que α appartient à l’intervalle ]1 ; 2[, on a ⌠
⌡α f(x)dx < 0.
2
Faux, comme α ∈ ]1 ; 2] et comme pour x ≥ α on a f(x) ≥ 0, on aura ⌠
⌡α f(x)dx ≥ 0.
5) Les primitives de f sont croissantes sur l’intervalle [1 ; α].
Faux, elles seront décroissantes sur [1 ; α] car sur cet intervalle f(x) ≤ 0.
6) Si –2 < x < 1 et α < x’ alors f(x) < f(x’).
On ne peut pas savoir.
Exercice 2 (commun à tous les candidats) (4 points) :
3
1) lim ln(2 + ) = L avec L = ln(2) (réponse B)
x
x → +õ
3
3
En effet, lim
= 0 donc lim (2 + ) = 2 et lim ln(x) = ln(2).
x
x
x→2
x → +õ
x → +õ
3ex
2) La courbe représentative de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x – 2 + x
admet pour
e –1
asymptote en +∞ la droite d’équation y = x + 1 (réponse A)
3ex
(x – 2)(ex – 1) + 3ex (x – 2)(ex – 1) + 3(ex – 1) + 3 (x + 1)(ex – 1) + 3
En effet, f(x) = x – 2 + x
=
=
=
e –1
ex – 1
ex – 1
ex – 1
3
Et donc f(x) = x + 1 + x .
e –1
3
Comme lim x
= 0, on en déduit que la droite d’équation y = x + 1 est asymptote à Cf en +õ.
e
–1
x → +õ
1 3 1
1 2x+1
3) I = ⌠
⌡0 e dx = 2e – 2e (réponse A)
1
En effet une primitive de f(x) = e2x + 1 est F(x) = e2x + 1.
2
1
1
Et donc I = F(1) – F(0) = e3 – e.
2
2
4) On peut traduire la situation par le tableau suivant :
Filles Garçons Total
Anglais
42
28
70
Allemand
5
9
14
Espagnol
8
8
16
Total
55
45
100
a. Il y a donc 28 % des garçons qui étudient l’anglais. (Réponse B)
b. On choisit au hasard la fiche d’un élève parmi ceux qui ne pratiquent pas l’allemand. La
8
4
probabilité que ce soit une fille qui étudie l’espagnol est = (réponse B) .
86 43
Exercice 3 (Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) (5 points) :
1) Sur ]0 ; +õ[, les deux courbes se coupent en un point, donc l’équation (E) semble avoir une seule
solution sur cet intervalle.
1
2) a. lim (x – 2) = –2 et lim = +õ donc lim g(x) = –∞
∞
x→0
x → 0x
x→0
1
lim (x – 2) = +õ et lim
= 0 donc lim g(x) = +õ
x → +õ
x → +õ x
x → +õ
–1
1
b. g’(x) = 1 – 2 = 1 + 2 > 0 comme somme de deux nombres positifs.
x
x
Par suite, la fonction g est strictement croissante sur ]0 ; +õ[.
c. Des questions précédents, on déduit que la fonction g est continue et strictement croissante,
qu’elle passe de valeurs négatives à des valeurs positives, donc l’équation g(x) = 0 admet une
unique solution sur ]0 ; +õ[
En utilisant les tables de valeurs de la calculatrice, on trouve : 2,41 < x0 < 2,42.
1
Or, g(x) = 0 ñ x – 2 = et c’est l’équation (E).
x
Finalement, l’équation (E) a une unique solution sur ]0 ; +õ[ qui se situe dans ]2,41 ; 2,42[.
1
3) = x – 2 ñ 1 = x(x – 2) ñ x2 – 2x – 1 = 0 ñ x = 1 – 2 ou x = 1 + 2
x
Donc sur ]0 ; +õ[, l’équation (E) a pour unique solution x = 1 + 2.
Exercice 3 (pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) (5 points) :
Partie A
1
3
1) f(x,y) = x y
1
2
est une fonction de Cobb-Douglas ace A = 1 ; α =
1
1
et β =
3
2
1
1
h(x,y) = x2y est une fonction de Cobb-Douglas avec A = ; α = 2 et β = 1.
4
4
2) f(0 ; y) = 0 quel que soit la valeur de y et f(x ; 0) = 0 quel que soit la valeur de x.
De même, h(0 ; y) = 0 quel que soit la valeur de y et h(x ; 0) = 0 quel que soit la valeur de x.
donc les deux surfaces contiennent les axes des ordonnées et des abscisses, ce qui élimine la
représentation n°1.
Par ailleurs, f(10 ; 10) ≈ 6,81 donc la fonction f est représentée par le graphique n°3.
Et h(10 ; 10) = 250 donc la fonction h est représentée par le graphique n°2.
Partie B
1
100
1) Si z = 25, on obtient 25 = x2y soit x2y = 100 et donc y = 2 .
x
4
De plus, si x = 10 alors y = 1.
C’est donc le graphique n°2 qui représente la section du plan d'équation z = 25 avec la surface
1
d'équation z = x2y.
4
2) a. On doit avoir x + y = 8 soit y = 8 – x.
1
1
Par suite, z = x2(8 – x) = 2x2 – x3.
4
4
3 2
3
x
0
16/3
8
b. g’(x) = 4x – x = 4x(1 – x).
4
16
signe de g’(x)
+
0
−
512/27
Comme x ∈ [0 ; 10], g’(x) a le même signe
g
3
que 1 – x.
0
0
16
On obtient donc le tableau de variation
suivant :
16
16 8
Par suite, la production sera maximale pour x =
et y = 8 – = .
3
3 3
Soit si la machine M fonctionne environ 533,33 heures et si la machine M’ fonctionne
environ 266,67 heures.
Exercice 4 (commun à tous les candidats) (8 points) :
Soit la fonction g définie sur ℝ par g(x) = xex – 1.
1) a. lim ex = +õ donc par produit, lim xex = +õ et donc, lim g(x) = +õ.
x → +õ
x → +õ
x → +õ
1
g(–1) = –e–1 – 1 = – – 1.
e
x
x
g’(x) = e + xe = (1 + x)ex.
Comme ex > 0 pour tout x, la dérivée g’(x) a le même signe que (1 + x).
Par suite, on a bien le tableau de variation suivant :
x
signe de g ′(x)
−∞
–
–1
0
+∞
+
–1
+õ
1
– –1
e
g
b. En admettant que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α (α ∈ ]–1 ; +õ[), on obtient le
tableau de signes suivant :
x
Signe de g(x)
−∞
–
α
0
+∞
+
2) On note f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : f(x) = ex – ln x.
a. lim ex = 1 et lim ln(x) = –∞ donc, lim f(x) = +∞
∞.
x→0
x→0
x→0
1 xex – 1 g(x)
b. f ’(x) = e – =
=
x
x
x
c. De la question précédente, et en sachant que x ∈ ]0 ; +∞[, on déduit que f ’(x) a le même
signe que g(x), signe qui a été étudié dans la question 1b. On obtient donc le tableau de
variation suivant :
x
x
signe de f ’(x)
−∞
–
α
0
+∞
+
+õ
+õ
f
f(α)
3)
4) On note D l’ensemble des points M(x ; y) du plan muni
du repère ci-dessus tels que :
1
≤ x ≤1 et 0 ≤ y ≤ f(x).
2
a. Voir le graphique.
1
b. U(x) = x ln(x) – x donc U’(x) = ln(x) + x× – 1 = ln(x)
x
Donc la fonction U est une primitive de la fonction logarithme
népérien.
c. Une primitive de f sur ]0 ; +∞[ est
F(x) = ex – U(x) = ex – xln(x) + x.
1
1
d. Aire(D) en unités d’aire = ⌠1 f(x) dx = F(1) – F( )
2
⌡
2
1
1
= e + 1 – e – ln(2) – .
2
2
Or, 1 u.a. = 2×4 = 8 cm2.
Donc aire(D) = 8e + 4 – 8 e – 4ln(2) cm2 soit environ 9,78
cm2