Anticipation des mouvements de marchés

DOSSIER TECHNIQUE
Anticipation des mouvements de marchés
Peut-on anticiper des événements extrêmes
sur les marchés ?
Un modèle acceptable doit être capable de rendre compte de ses propriétés. Le fait que les
s se diffusent à travers toute la surface indique que la dynamique de la Un
nappe
de volatilité
modèle
acceptable doit être capable de rendre
icite peut être décomposée en un petit nombre de mouvements élémentaires.
Dans
son
chocs se diffusent livre
à travers toute la surface indique q
parametric Modeling of Implied Volatility, Fengler détermine les facteursimplicite
suffisants
pour
explipeut
être
décomposée en un petit nombre de
Adrien Genin
la majeure partie de la dynamique de la nappe en effectuant une analyse
en composantes
Semiparametric
Modeling of Implied Volatility, Fengler dé
cipales de la nappe de volatilité. Il montre
qu’on
peut son
conserver
de quer
la nappe
trois
compoAdrien Genin
a effectué
Master 2 Ingénierie
Financière
et Modèles
Aléatoires
la majeure
partie
de laà l’Université
dynamique de la nappe e
Paris 6.en
Au sein
d’Opusde
Finance
Research, ilprincipales
prépare
sa thèsede
surrotation
les
différentes
d’anticipaes principales permettant son interprétation
termes
mouvements
: translation,
la nappe deméthodes
volatilité.
Il montre qu’on
tions
de
la
volatilité.
Ses
compétences
mathématiques
des
processus
stochastiques
et
de
l’analyse
formations.
santes principales permettant son interprétation en ter
lui permettent
de proposer
de valorisation et les indicateurs de risque
((début encadré PARTIE TECHNIQUE:numérique
Vous avez
dit volatilité
! ? des méthodes
et déformations.
innovants qui leur sont associés.
achissons nous la mémoire ! )))
(((début encadré PARTIE TECHNIQUE: Vous avez
Rafrachissons nous la mémoire ! )))
uite à l’échec du modèle de Black Scholes, de nombreux modèles ont été développés pour
re compte des propriétés de la nappe de volatilité implicite. Les modèles
à volatilité
locale
Suite
à l’échec
du les
modèle
de Black
epuis 2007, la crise financière l’a démontré à de nombreuses
reprises :
impacts
des Scholes, de no
été introduits par Dupire en 1994, Pricing with a smile, comme une généralisation
du
modèle
rendre compte des propriétés de la nappe de volatilit
de régime
sontunetrès
partiellement
diffusés
surpar
ladunappe
de volatilité,
lack-Scholes. Labrusques
volatilité changements
étant est modélisée
comme
fonction
déterministe
du prix
ont été introduits
Dupire en 1994, Pricing with a sm
en échec
lespermettent
modèles usuels,
incapables
d’anticiper
événements
extrêmes.
Pour
-jacent et dumettant
temps, ces
modèles
de rendre
compte du
smile
de les
volatilité
implide Black-Scholes.
La volatilité
étant
est ymodélisée com
De plus en n’introduisant
pas
un
deuxième
facteur
de
risque,
ils
permettent
de
conserver
la
faire face, nous proposons ici une idée très pragmatique...
sous-jacent et du temps, ces modèles permettent de re
plétude du marché qui assure l’unicité des prix et la réplication des cite.
actifsDecontingents.
Ces
plus en n’introduisant
pas un deuxième facteu
èles sont calibrés avec les prix ou la nappe de volatilité implicite des complétude
options vanilles
et
utidu marché qui assure l’unicité des prix e
intégrant l’information d’un choc bru- ● Les rendements du sous-jacent et les rendements de la
notamment Est-il
pourpossible
trouverenles
prix et les stratégies de couvertures desmodèles
optionssont
exotiques.
Ils
calibrés
les prix ou la nappe de vol
corrélésavec
négativement,
tal dans ces modèles de les rendre plus fiables ? Black et volatilité implicite sont
sent sur le concept
de
volatilité
locale,
définie
comme
le
carré
de
l’espérance
sous
la
probabiliséssur
notamment
les prix
et les stratégies
un point de lapour
nappetrouver
impacte tous
les autres
Litterman ont proposé une approche intéressante pour l’al- ● Un choc
isque neutrelocation
de la variance
instantanée
sachant
que lepermetprix du sous-jacent
égalleau
strike de volatilité locale, définie com
reposent
sur
concept
points
de la est
nappe.
d’actifs directement
cotés
sur le marché
option à la maturité
et toute
l’information
disponible
à latradidate t.
tant d’associer
la gestion
quantitative
et la gestion
lité risque neutre de la variance instantanée sachant q
Un
modèle
acceptable
doit
être capable
de rendre
compte
tionnelle de portefeuille.
de l’option
à la
maturité
et toute
l’information
disponib
2
2
σK,T
(St , t) =
σ (ST , T, .) |ST = K, Ftde ces propriétés. Le fait que les chocs se diffusent à trade la nappe 2
L’idée principale est de confronter les opinions du gestion- vers toute la surface indique que la dynamique
2
σK,T
(S
σ (ST , T,
t , t) =
lle peut donc s’interpréter comme le consensus de marché de la volatilité instantanée à la ma-
D
naire aux données pour créer une nouvelle prévision en ac-
de volatilité implicite peut être décomposée en un petit
é et au strikecord
de l’option
considérée.
La volatilité
s’interprète
une estimation
nombrecomme
de mouvements
élémentaires.
Dans son
livre « Seavec les deux
précédentes.
L’objectif implicite
de nos travaux
Elle peut
donc
s’interpréter
comme
le consensus de
miparametric
Modeling
of
Implied
Volatility »,
Fengler
marché de la de
volatilité
la vie de
l’option.
locale
contient
donc
la
recherchemoyenne
sur ce sujetdurant
est d’appliquer
cette
méthodeLa
auxvolatilité
turité et au strike de l’option considérée.déLa volatilité im
termine
lesmarché
facteurs
suffisants
pour expliquer
la majeure
produits dérivés
et de l’insérer
dans des modèles
à volatilité
ision de la volatilité
instantanée
à la maturité
alors que
la volatilité
implicite
est une
moyenne
du
de
la volatilité
moyenne
durant la vie de l’o
la dynamique de la nappe en effectuant une anastochastique,
pour pallier
échecs dans les phases ins- partie de
volatilité sur
toute la durée
de vieleurs
de l’option.
prévision de la volatilité instantanée à la maturité alors
lyse
en
composantes
principales
de la nappe de volatilité. Il
tables
en
y
ajoutant
de
l’information.
Le
modèle
présenté
es modèles à volatilité stochastique modélisent la volatilité comme unde
processus
de
diffusion
la volatilité
sur trois
toute
la durée de
vie de l’option.
montre
qu’on
peut
conserver
composantes
principales
permet de créer
un curseur entre
un stress
test etne
le fournissent
modèle.
élés avec le processus
du sous-jacent.
Ces
modèles
pas toujours
des formules
Les
modèles
à
volatilité
stochastique
la v
permettant son interprétation en termes de mouvementsmodélisent
:
ées pour les prix des options européennes et la calibration des paramètres
peut
nécessiter
des
corrélés
avecetledéformations.
processus du sous-jacent. Ces modèles
translations,
rotations
UNE MODÉLISATION
DE LAenNAPPE
rithmes sophistiqués
et difficile à mettre
oeuvre d’un point de vue industriel.
fermées pour les prix des options européennes et la cali
((fin de l’encadré)))
L’un des
modèles à volatilité
stochastique
les plus àutilisés,
DE VOLATILITÉ
algorithmes
sophistiqués
et difficile
mettre en oeuvre
)
comporte
4 paramètres
le modèle
SABR
(stochastic’un des modèle à volatilité stochastique les plus utilisés, le modèle
SABR
(stochastic-αβρ)
(((fin de l’encadré)))
qui rendent
compte
indirectement
propriétés
citées par
La nappequi
de volatilité
estindirectement
un objet complexedes
et de
porte 4 paramètres
rendentimplicite
compte
propriétés
citées
par
Fengler.
L’un
des
modèleLe
àdes
volatilité
stochastique
les plus
Fengler.
Le
choix
de
SABR
s’explique
par
sa
simplicité
et
grande dimension.
Fengler
quelquesde
prox de SABR s’explique
par saCependant,
simplicité
et parexpose
l’existence
formules approchées
pour
la
vocomporte 4 paramètres qui rendent compte indirectem
pour la volatilité
et communes
à de nombreux
marchés
: par l’existence
té implicite. priétés
Dans remarquables
sa version initiale,
le modèle
ne peut
pas rendre
compte
dedelaformules
nappe approchées
dans
choix
par sa ne
simplicité
implicite.
DansdesaSABR
versions’explique
initiale, le modèle
peut pas et par l’exis
talité car il ●
n’intègre
pas
le
temps
jusqu’à
la
maturité
:
il
modélise
simplement
le
smile
:
latilité de
implicite.
Danssasatotalité
version
Le smile est d’autant plus prononcé que le temps restant rendre compte
la nappe dans
car ilinitiale,
n’intègrele modèle ne
Le modèle
SABR
dynamique permet de pallierpas
cette
lacune
maiscar
nous
→ σimplicite (K).
sa
totalité
il n’intègre
pas simplement
le temps jusqu’à
la ma
jusqu’à
la maturité
est petit,
le temps
jusqu’à
lanous
maturité
: il modélise
le
entons ici de●résonner
à maturité
fixée.
Lelamodèle
plus
que les(K).
autres
Un minimum
est atteint
près de
monnaie,SABR n’est pas
. Le modèle SABR dynamique perm
smile
: Krobuste
−→ σimplicite
èles stochastiques
face de
à volatilité
des mouvements
la volatilité ou
du sous-jacent,
mais
● Le niveau
est plus élevéextrêmes
du côté put de
en dehors
contentons
ici de résonner
à maturité fixée. Le modèle
de laaisément
monnaie que
du côté call leurs
en dehors
de la monnaie,
SABR
dynamique
permetface
de pallier
lacune
t des paramètres
calibrables,
appliquer
les loisLedemodèle
transformations
définies
modèles stochastiques
à descette
mouvements
extrêm
●
La
volatilité
de
la
volatilité
implicite
décroît
avec
le
mais
nous
nous
contentons
ici
de
raisonner
à
maturité
fixée. leurs appl
le formalisme de Black Litterman permet d’imposer une vue sur la totalité
de la
nappe. Leaisément calibrables,
ayant des
paramètres
temps restant jusqu’à la maturité,
Le modèle SABR n’est pas plus robuste que les autres moavec le formalisme de Black Litterman permet d’impo
2
18
LL aa rr ee vv uu ee dd ‘‘ OO pp uu ss FF ii nn aa nn cc ee
Nº1 • décembre 2012
2
DOSSIER TECHNIQUE
Un modèle acceptable doit être capable de rendre compte de ses propriétés. Le fait que les
chocs se diffusent à travers toute la surface indique que la dynamique de la nappe de volatilité
implicite peut être décomposée en un petit nombre de mouvements élémentaires. Dans son livre
dèles
stochastiques Modeling
face à desofmouvements
extrêmesFengler
de choix
s’est portéles
surfacteurs
l’anticipation
des mouvements
de la
Semiparametric
Implied Volatility,
détermine
suffisants
pour explila volatilité ou du sous-jacent, mais ayant des paramètres nappe de volatilité mais nous aurions également pu choisir
quer la majeure partie de la dynamique de la nappe en effectuant une analyse en composantes
aisément calibrables, leur appliquer les lois de transfor- de l’appliquer aux courbes de taux, aux taux de change ou
principales
la nappe
de volatilité.
montre qu’on
peut conserver
de la nappe
trois compomations
définiesde
avec
le formalisme
de Black IlLitterman
bien directement
sur le sous-jacent
: la couverture
en delta
santes
principales
permettant
son
interprétation
en
termes
de
mouvements
:
translation,
rotation
permet d’imposer une vue sur la totalité de la nappe. Le est souvent mieux gérée que la couverture en vega.
et déformations.
(((début encadré PARTIE TECHNIQUE: Vous avez dit volatilité ! ?
Rafrachissons nous la mémoire ! )))
VOUS AVEZ DIT VOLATILITÉ ? RAFRAÎCHISSONS-NOUS LA MÉMOIRE !
Suite
à l’échec
du modèle
de Black Scholes,
de modèles
nombreux
modèles
ontpour
été rendre
développés
Suite
à l’échec
du modèle
de Black-Scholes,
de nombreux
ont été
développés
compte pour
des
propriétés
de
la
nappe
de
volatilité
implicite.
Les
modèles
à
volatilité
locale
ont
été
introduits
par
Dupire
en
1994,
rendre compte des propriétés de la nappe de volatilité implicite. Les modèles à volatilité locale
« Pricing
with a smile »,
comme une
modèle
de Black-Scholes.
ont
été introduits
par Dupire
en généralisation
1994, Pricingduwith
a smile,
comme une généralisation du modèle
de Black-Scholes. La volatilité étant est modélisée comme une fonction déterministe du prix du
La volatilité étant modélisée comme une fonction déterministe du prix du sous-jacent et du temps, ces modèles
sous-jacent et du temps, ces modèles permettent de rendre compte du smile de volatilité implipermettent de rendre compte du smile de volatilité implicite. De plus, en n’introduisant pas un deuxième facteur
cite.
De plus
en n’introduisant
pasla un
deuxième
facteurqui
deassure
risque,
ils permettent
conserver
de risque,
ils permettent
de conserver
complétude
du marché
l’unicité
des prix et lade
réplication
des la
complétude
du marché
qui assure
l’unicité
des
prix
la réplication
actifsdescontingents.
Ces
actifs contingents.
Ces modèles
sont calibrés
avec les
prix
ou laetnappe
de volatilitédes
implicite
options vanilles
modèles
calibrés
avec
les prix
ouetlalesnappe
de de
volatilité
implicite
desexotiques.
options vanilles et utiet utiliséssont
notamment
pour
trouver
les prix
stratégies
couvertures
des options
lisés notamment pour trouver les prix et les stratégies de couvertures des options exotiques. Ils
Ils reposent
conceptde
de volatilité
volatilité locale,
définie
comme
l’espérance
sous
probabilité risque
de la
reposent
sursur
le le
concept
locale,
définie
comme
le carré
delal’espérance
sousneutre
la probabivariance
instantanée
sachant
que
le
prix
du
sous-jacent
est
égal
au
strike
de
l’option
à
la
maturité
et
toute
l’inforlité risque neutre de la variance instantanée sachant que le prix du sous-jacent est égal au strike
disponible
à la date et
t. toute l’information disponible à la date t.
demation
l’option
à la maturité
2
σK,T
(St , t) =
σ 2 (ST , T, .) |ST = K, Ft
Elle peut donc s’interpréter comme le consensus de marché de la volatilité instantanée à la ma-
Elle peut donc s’interpréter comme le consensus de marché de la volatilité instantanée à la maturité et au strike de
turité et au strike de l’option considérée. La volatilité implicite s’interprète comme une estimation
l’option considérée. La volatilité implicite s’interprète comme une estimation du marché de la volatilité moyenne
dudurant
marché
volatilité
moyenne
vielade
l’option.
volatilité
locale àcontient
la viede
de la
l’option.
La volatilité
localedurant
contientladonc
prévision
de laLa
volatilité
instantanée
la maturitédonc
alors la
prévision
de la implicite
volatilité
alors
la volatilité
implicite
une moyenne
que la volatilité
estinstantanée
une moyenne à
dela
la maturité
volatilité sur
touteque
la durée
de vie de l’option.
Lesest
modèles
à volatidelité
la stochastique
volatilité sur
toute lala durée
decomme
vie deunl’option.
modélisent
volatilité
processus de diffusion corrélé avec le processus du sous-jacent.
Les modèles à volatilité stochastique modélisent la volatilité comme un processus de diffusion
Ces modèles
des formules
fermées pour
les prix des options
européennes
et la cacorrélés
avec ne
le fournissent
processuspas
dutoujours
sous-jacent.
Ces modèles
ne fournissent
pas toujours
des formules
libration
des
paramètres
peut
nécessiter
des
algorithmes
sophistiqués
et
difficiles
à
mettre
en
oeuvre
d’un
point
fermées pour les prix des options européennes et la calibration des paramètres peut nécessiter
des
de
vue
industriel.
algorithmes sophistiqués et difficile à mettre en oeuvre d’un point de vue industriel.
(((fin de l’encadré)))
L’un des modèle à volatilité stochastique les plus utilisés, le modèle SABR (stochastic-αβρ)
comporte 4 paramètres qui rendent compte indirectement des propriétés citées par Fengler. Le
RISQUER
PLUS
POUR GAGNER
PLUS ! et par l’existence de formules approchées pour la vochoix
de SABR
s’explique
par sa simplicité
latilité
implicite.
sapremier
version
initiale, le
modèle
peut pascherche
rendreà compte
nappe
Markowitz
(1959)Dans
a été le
à quantifier
le fait
qu’un ne
investisseur
minimiserde
le la
risque
pourdans
un
sarendement
totalité car
n’intègre
pas
le actif
temps
jusqu’à
: il modélise
simplement
le smile :
fixé.ilPlus
la volatilité
d’un
est élevée
pluslasonmaturité
prix sera susceptible
d’avoir
de grandes amplitudes
le risque
est élevé.
Ainsidynamique
naquit l’étudepermet
de la volatilité
et de sa
dynamique.
et
(K).deLeprix
modèle
SABR
de pallier
cette
lacune Black-Scholes
mais nous nous
Ket−donc
→ σplus
implicite
Merton
publient
en
1973
un
article
qui
va
révolutionner
le
monde
de
la
finance
quantitative.
contentons ici de résonner à maturité fixée. Le modèle SABR n’est pas plus robuste que les autres
modèles stochastiques face à des mouvements extrêmes de la volatilité ou du sous-jacent, mais
La volatilité est supposée constante mais inconnue, il faut donc inverser la formule pour obtenir la volatilité
ayant
des paramètres aisément calibrables, leurs appliquer les lois de transformations définies
nécessaire afin de disposer du prix de marché des options européennes. Cette volatilité est appelée « la volatilité
avec
le formalisme de Black Litterman permet d’imposer une vue sur la totalité de la nappe. Le
implicite ». Cependant, l’observation de la volatilité implicite en fonction du prix d’exercice et du temps restant
jusqu’à la maturité de l’option fait apparaître une nette courbure en prix d’exercice et en temps. La volatilité n’est
donc pas constante.
2
Le modèle de Black-Scholes n’a pas été abandonné pour autant, au contraire, aujourd’hui de nombreux produits
sont cotés en volatilité implicite. Une option étant un pari sur l’évolution future du sous-jacent, sa volatilité
implicite est donc une grandeur qui mesure le futur, à l’inverse de la volatilité historique. La nappe de volatilité
implicite contient donc non seulement l’information sur les prix mais aussi sur l’évolution future du sous-jacent.
L’étude de sa dynamique est donc fondamentale.
La revue d‘Opus Finance
Nº1 • décembre 2012
19
DOSSIER TECHNIQUE
choix
s’est
sur l’anticipation
des mouvements
de la
de volatilité
mais
nous aurions
choix s’est
porté
surporté
l’anticipation
des mouvements
de la nappe
denappe
volatilité
mais nous
aurions
également
de
auxmouvements
courbes
denous
taux,
tauxde
deou
change
ou
biennous
directement
r l’anticipation
des
mouvements
lal’appliquer
nappe
de des
volatilité
mais
choix
s’est pu
porté
surdel’anticipation
de aurions
laaux
nappe
volatilité
mais
aurions
également
pu choisir
dechoisir
l’appliquer
aux courbes
de
taux,
aux
taux
de
change
bien directement
sur
le
sous-jacent
:
la
couverture
en
delta
est
souvent
mieux
gérée
que
la
couverture
en
vega.
r de sur
l’appliquer
aux courbes
de taux,
aux
tauxest
de souvent
change
ou
bien
directement
également
choisir
deen
l’appliquer
aux courbes
degérée
taux,
aux la
taux
de change
bien directement
le sous-jacent
: lapu
couverture
delta
mieux
que
couverture
enou
vega.
mouvements
desous-jacent
la
volatilité
mais
aurions
(((début
encadré
PARTIE
TECHNIQUE:
LeSABR
modèle
et ses
principaux
résultats
mathécipation
des mouvements
de lade
nappe
de
volatilité
aurions
choix
s’est
porté
sur
l’anticipation
des
mouvements
de
la
de
mais
nous
aurions
choix
s’est
porté
l’anticipation
des
mouvements
de
la nappe
nappe
de volatilité
volatilité
mais
nous
aurions
ades
couverture
en
delta
estnappe
souvent
gérée
que
lamais
couverture
enmieux
vega.
sur
le
:sur
lamieux
couverture
ennous
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estnous
souvent
gérée
que
larésultats
couverture
en
vega.
(((début
encadré
PARTIE
TECHNIQUE:
Le
modèle
et SABR
ses
principaux
mathéréppliquer
aux
courbes
de
taux,
aux
taux
de
change
ou
bien
directement
matiques
)))
aux
courbes
de
taux,
aux
taux
de
change
ou
bien
directement
également
pu
choisir
de
l’appliquer
aux
courbes
de
taux,
aux
taux
de
change
ou
bien
directement
également
pu
choisirPARTIE
de
l’appliquer
aux courbes
de taux,SABR
aux taux
deprincipaux
change ou résultats
bien directement
PARTIE
TECHNIQUE:
modèle
SABR
et
ses principaux
mathéencadré
TECHNIQUE:
Le résultats
modèle
et ses
mathématiques
))) (((débutLe
delta est
souvent
mieux
gérée
que
la
couverture
en
vega.
Le
modèle
SABR
est
un
modèle
à
deux
facteurs
décrivant
de
manière
couplé
le
cours
forward
Ft
erture
en
delta
est
souvent
mieux
gérée
que
la
couverture
en
vega.
sur
le
sous-jacent
:
la
couverture
en
delta
est
souvent
mieux
gérée
que
la
couverture
en
vega.
sur
le
sous-jacent
:
la
couverture
en
delta
est
souvent
mieux
gérée
que
la
couverture
en
vega.
matiques
)))
Le modèle SABR est un modèle à deux facteurs décrivant de manière couplé le cours forward Ft
HNIQUE:
Le
modèle
SABR
et
ses
principaux
résultats
mathéetdeux
la
volatilité
αdécrivant
: est un
Le
modèle
etmodèle
ses
principaux
résultats
mathé(((début
encadré
PARTIE
TECHNIQUE:
Le
modèle
SABR
et
résultats
mathétSABR
(((début
encadré
PARTIE
TECHNIQUE:
Lecours
modèle
SABR
ses principaux
principaux
résultats
mathétIEunTECHNIQUE:
modèle
àLe
de manière
couplé
le
forward
modèle
SABR
à deux
facteurs
décrivant
de F
manière
couplé le cours
forward
Ft
et la volatilité
αfacteurs
tet ses
t :
matiques
)))
matiques
))) αt :
et
la
volatilité
β MATHÉMATIQUES
1
LEmodèle
MODÈLE
SABR
ET modèle
SESlePRINCIPAUX
RÉSULTATS
dF
deux
deSABR
manière
couplé
cours
forward
Ft décrivant
1αt Ft dW
t β=
odèlefacteurs
à deux décrivant
facteurs
décrivant
de un
manière
couplé
le cours
forward
Ft t de
Le
est
ààt deux
facteurs
Le modèle
SABR
est
un modèle
deux
facteurs
de manière
manière couplé
couplé le
le cours
cours forward
forward FFtt
=
α
dF
t Ft dWdécrivant
t
β
β t2 1
1
dα
=
να
dW
2
t
t
et
la
volatilité
α
:
=
α
F
dW
dF
Le
modèle
SABR
est
un
modèle
à
deux
facteurs
décrivant
de
manière
couplée
le
cours
forward
F
et
la
volatilité
αt :
et la volatilité
αtt t: t
=t αt Ft dWt
dαt = dF
ναtt dW
t
t
t
2
2
=β να
dWt un processus dαt la =loi να
tsuit
Le dα
forward
Ft1processus
dont
estt dW
déterminé
par le paramètre modèle β et la
t
1t suit
ββ par
Fttα
un
dont la loi
est déterminé
11 le paramètre modèle β et la
αttFtβ=
dW
dFt Le=forward
F
dW
dF
=
α
F
dW
dF
t
dF
=
α
F
dW
t
t
t
t
t
t
t
t
t
volatilité
α
suit2F
unsuit
processus
log-normal
deloi
volatilité
ν,
volatilité
de lamodèle
volatilité.
2 un
uit un
processus
dont
latprocessus
loi
est
déterminé
par
le paramètre
modèle
βt appelée
et la
forward
un processus
dont
la
est
déterminé
le paramètre
la
par
volatilité
αtttLe
suit
log-normal
de
volatilité
appelée
la2 volatilité.
Ces β etCes
dα
να
dW
t = dα
=
t ναt dWt t
dα
1 ,de
t2t2 1volatilité
dαtt =
=ν,να
να
dW
ttdW
=
ρdt.
Les
paramètres
dW
deux
processus
sont
corrélés
via
leurs
mouvements
browniens
dW
2
t
t
processus
log-normal
volatilité
ν,
appelée
volatilité
de
la
volatilité.
Ces
volatilité
αde
suit
un
processus
log-normal
de
volatilité
ν,
appelée
volatilité
de
la
volatilité.
Ces
=
ρdt.
Les
paramètres
,
dW
deux processus
sont
corrélés
via
leurs
mouvements
browniens
dW
t
t
β et la
modèle
tρ et1ν. 2 us
dont lavia
loi
est
déterminé
par
le
paramètre
2(la
du
modèles
calibrer
sont
α1lavolatilité
=loiαmouvements
initiale),
processus
dont
la
loi
est Fàdéterminé
par
levia
paramètre
modèle
βbrowniens
et
laet
forward
FFttun
suit
un
processus
dont
la
loi
est
déterminé
par
le
modèle
ββ et
0est
Le
forward
suit
un=donc
processus
dont
la
loiLes
est
déterminé
par
le paramètre
paramètre
modèle
et la
la
=volatilité
ρdt.
paramètres
corrélés
leurs
mouvements
browniens
Le
forward
suit
processus
dont
par
paramètre
modèle
volatilité
αt suit
un
Les
paramètres
deux
processus
sont
corrélés
leurs
du modèles
àLe
calibrer
donc
α
α
(la
initiale),
β,
ρle
ν. β, dW
t , dW
t déterminée
0dW
t , dWtβ et=laρdt.
tsont
normal
de
volatilité
ν,
appelée
volatilité
de
la
volatilité.
Ces
Le
coefficient
β
détermine
la
loi
du
forward
:
le
cas
β
=
1
produit
une
loi
log-normale
et
la
cas
ssus
log-normal
de
volatilité
ν,
appelée
volatilité
de
la
volatilité.
Ces
volatilité
α
suit
un
processus
log-normal
de
volatilité
ν,
appelée
volatilité
de
la
volatilité.
Ces
processus
log-normal
de
volatilité
υ
,
appelée
volatilité
de
la
volatilité.
Ces
deux
processus
sont
corrélés
via
leurs
volatilité
α
suit
un
processus
log-normal
de
volatilité
ν,
appelée
volatilité
de
la
volatilité.
Ces
ttà calibrer
du
er sont donc
αdu
= modèles
α0 (laβvolatilité
initiale),
β, forward
ρ et
donc
αν.
= α0: le
(lacas
volatilité
initiale),une
β,ρloi
et log-normale
ν.
Le coefficient
détermine
lasont
β = 1 produit
et la cas
loi
1 , dW
2 =
1 , dW
2Les
11, dW
22n’est
ρdt.
paramètres
rs via
mouvements
browniens
dW
β
=
0
produit
une
loi
normale.
Contrairement
aux
autres
paramètres,
il
pas
déterminé
dW
=
ρdt.
Les
paramètres
és
leurs
mouvements
browniens
mouvements
browniens
.
Les
paramètres
du
modèle
à
calibrer
sont
donc
αLes
=
αpar
(la et
volatit
t
=
ρdt.
deux
processus
sont
corrélés
via
leurs
mouvements
browniens
dW
=
ρdt.
Les
paramètres
,
dW
deux
processus
sont
corrélés
via
leurs
mouvements
browniens
dW
t
t
détermine
la
loi
du
forward
:
le
cas
β
=
1
produit
une
loi
log-normale
et
la
cas
0paramètres
t
t
Le
coefficient
β
détermine
la
loi
du
forward
:
le
cas
β
=
1
produit
une
loi
log-normale
la par
cas
β = 0 produit une loi normale. Contrairement aux autres paramètres, il n’est
t past déterminé
=
α
(la
volatilité
initiale),
β,
ρ
et
ν.
lité
initiale),
β
,
et
υ
.
l’algorithme
de
calibration
mais
par
des
considérations
spécifiques
au
marché.
0
(la
volatilité
initiale),
β,
ρ
et
ν.
donc
α
=
α
du
modèles
à
calibrer
sont
donc
α
=
α
(la
volatilité
initiale),
β,
ρ
et
ν.
0
du
modèles
à
calibrer
sont
donc
α
=
α
(la
volatilité
initiale),
β,
ρ
et
ν.
0
loi normale.
Contrairement
aux
autres
paramètres,
il0 n’est pas
déterminé
par
β =de
0 produit
unemais
loi normale.
Contrairement
aux
autres au
paramètres,
l’algorithme
calibration
par
des considérations
spécifiques
marché. il n’est pas déterminé par
du la
forward
:par
le
cas
produit
une
loi mais
log-normale
et
la dans
cas:: le
Hagan,
Kumar,
etpar
Woodward
Managing
Smile
Risk trouvent
ine
loimais
du forward
:=
le1Lesniewski
cas
β calibration
=ββ1Lesniewski
produit
une
loi
log-normale
et
la
Le
détermine
la
loi
forward
cas
ββspécifiques
=
1Managing
une
loi
log-normale
et
Leβcoefficient
coefficient
détermine
la
du
forward
lel’article
cascas
=fondateur
1 produit
produit
une
loi
log-normale
et la
la cas
cas
bration
des
considérations
spécifiques
audu
marché.
l’algorithme
de
des
considérations
au
marché.
Hagan,
Kumar,
et
Woodward
dans
l’article
fondateur
Smile
Risk
trouvent
Le
coefficient
β
détermine
la
loi
du
forward
:
le
cas
β
=
1
produit
une
loi
log-normale
et
le
cas
β
=
0
produit
une
ntrairement
aux
autres
paramètres,
il
n’est
pas
déterminé
par
une
formule
approchée
pour
la
volatilité
implicite.
male.une
Contrairement
aux
autres
paramètres,
il
n’est
pas
déterminé
par
β
=
0
produit
une
loi
normale.
Contrairement
aux
autres
paramètres,
il
n’est
pas
déterminé
par
β
=
0
produit
une
loi
normale.
Contrairement
aux
autres
paramètres,
il
n’est
pas
déterminé
par
Lesniewski
et
Woodward
dans
l’article
fondateur
Managing
Smile
Risk
trouvent
Hagan,
Kumar,
Lesniewski
et
Woodward
dans
l’article
fondateur
Managing
Smile
Risk
trouvent
formule
pour la volatilité
implicite.
loiapprochée
normale.
Contrairement
aux autres
paramètres, il n’est pas déterminé par l’algorithme de calibration mais par
rhée
despour
considérations
spécifiques
au marché.
mais
par la
des
considérations
au
marché.
l’algorithme
de
calibration
mais
par
spécifiques
l’algorithme
despécifiques
calibration
mais
par des
des considérations
considérations
spécifiques au
au marché.
marché.
volatilité
implicite.
une
approchée
pour
la
volatilité
implicite.
desformule
considérations
spécifiques
au
marché.
oodward
dans l’article
fondateur
Managing
Smile
Risk
trouvent
trouvent
wski
et Woodward
dans
l’article
fondateur
Managing
Smile
Risk
trouvent
Hagan,
fondateur
Smile
Hagan, Kumar,
Kumar, Lesniewski
Lesniewski et
et Woodward
Woodward dans
dans l’article
l’article
fondateur Managing
Managing
Smile
Risk
trouvent
z Risk
α
z
α
atilité
implicite.
ur la volatilitéune
implicite.
σ
(K,
f
)
=
formule
approchée
pour
la
volatilité
implicite.
une
formule
approchée
pour
la
volatilité
implicite.
implicite
Hagan,
Kumar,
Lesniewski
et
Woodward
dans
l’article
fondateur
« Managing
Smile
Risk »
trouvent
une
formule
2
4
1−β
2 f4
4 f
σimplicite (K, f ) =α
(1−β)
x(z)
2
1−β
2
z
α K + 4(1−β)
(1−β)
(1−β)
f log x(z)
1log
+
2 24f zlog
approchée
pour
la
volatilité
implicite.
2= (f1K)
1920
log
+
+
(f
K)
(K, f ) =
K σ
(K,
f
)
implicite
2
4 1−β24
1−β
1920
K
K
2
4
4 f (1−β)
K)log
(1−β)
2 f
x(z)
2 f
4 f x(z)
(1−β)
(f K) 2 α 1 + (1−β)
1K+
(f
2
z 22 (1 −
24
1920
1920 log
K1 +αβρν
K3ρ2
z 2 24 αlog
α log K +
β)
2
−
z
α
2
2
z
α
2
(1
−
β)
α
1
αβρν
2
−
3ρ
=
1
+
ν
t
+
+
σ
(K,
f
)
=
2
4
2
−β
σ
(K,
f
)
=
ex
implicite
2
1−β
implicite
22 1−β
1−β44 ν
1−β
1 1+f 4αβρν
+ K)
+αβρν
(1−β)
22(1−β)
f2 log(1−β)
f 1−β
2 −f β)2+ 2(1−β)
(1−β)
ex
ff1
ff3ρ2
2
(1−β)
(1−β)
24
4 (f
x(z)
4 x(z)
x(z)
22 1−β
2
+ (1−β)
1−β
(f
αK
2 K)
−
3ρ
2 log
22(1
−
β)
α2log
244 −t24
+ (1
+ 41920
(f1K)
K)
(f
K)
11x(z)
+
+
24
24
4
2
log
log
+
+
(f
K)
24 1 log
K log
2
(f
24K log 1920
K
2
24
K
1920
K
24
1920
K
K
(f
K)
1
+
ν
t
+
+
1 + ex1−β +
ν tex
+
24 (f K)
1−β
24 2 (f K)1−β
4 K)
24
4 (f K) 1−β
2
22
2
2
2
2
(1 − β)2 (1 −
α2β)2 où :α
1 αβρν 1 αβρν
2 − (f
3ρ2 22 2− 3ρ2(1
α
αβρν
−
β)
1
2
−
3ρ
(1
−
β)
α
1
αβρν
2
−
3ρ
2
t+
ex ν
1 + où : 1−β + 1−β +1−β + 1−β +ν 11 +
tex
νν22 ttex
+
+
ex
1−β
1−β +
1−β +
24 (f K)
24 où
24
24
24
(f K)
24 (f
24
2
: 4 (f K) 24 (f K) 24
2
(fK)
K)1−β 44 (f
2
K)
(f
K)
1−β f ν
Où :
1−β
ν
z = 2 (f
K) f2 log où
z = (f K)
où ::
log
α
K
1−β
1−β
ν
f
f
α z = ν (fK)
K2 log
z = (f K) 2 log
2
α K
α
K
+
z
−
ρ
1
−
2ρz
+
z
2
1−β
−
z + z −ffρ
=1 log
ν
f f
1−β
+1−β
x(z)
ν
1−β
νν 2ρz
2 log
x(z)
=
log
= choix
(f zK)
2 +des
2la
2 +volatilité
1+
− zρde
2 log
= s’est
(f porté
K) 2 sur
log l’anticipation
mouvements
de
nappe
mais nous aurions
z
=
(f
K)
z
=
(f
K)
log
z
−
ρ
1
−
2ρz
+
z
1
−
2ρz
z
−
ρ
1
−
ρ
α
K
α = log
K
α
K
x(z)
α
K
x(z)
=
log
également
de l’appliquer
pu
choisir
ou bien directement
taux,
1 − ρ aux courbes de
− ρ de change
aux1taux
2 + z − ρ2
22 + zla−couverture
1sous-jacent
− 2ρz La
+1 z−
volatilité
à
la
monnaie
est
donnée
par
:
+
z
−
ρ
2ρz
+
z
ρ
1
−
2ρz
+
z
sur
le
:
la
couverture
en
delta
est
souvent
mieux
gérée
que
en vega.
+
z
−
ρ
1
−
2ρz
+
z
Lalog
volatilité à la monnaie est donnéex(z)
par=
: log
= log
x(z) =
x(z)
=
La
volatilité
à−laρmonnaie
est donnée
parLe
: log
1
−
ρ
1
(((début
encadré
PARTIE
TECHNIQUE:
modèle
SABR
et
ses
principaux
résultats
mathé11 −
monnaie est donnée
par :
− ρρ
La volatilité
à la monnaie est donnée par :
matiques )))
2 2
2
2 (1 −
α
αβρν
α
2
− 3ρ 2 F
β)
1
2
2
nnée
par
:
aie est
:σ
(1
−1par
β)
α f )est
1 αβρν
La
volatilité
la
donnée
Ledonnée
modèlepar
SABR
estM
à (f,
deux
facteurs
décrivant
couplé
le3ρ
cours
un=modèle
La
volatilité
la monnaie
monnaie
est
donnée
par
σààimplicite
++ 2 −
ν ttex
=1 +
+ :: αdemanière
+ν 2 forward
AT
1−β
1−β
2) = 2
2(1−β)
σATαM = σ
+
t24
(f,
f
2
2
2
2
ex
implicite
24
4
f
f
f
1−β
1−β
α
(1
−
β)
2
−
3ρ
1
αβρν
2(1−β)
α
(1
−
β)
α
2
−
3ρ
1
αβρν
et la volatilité αt :
24 +
f(f, f+
ν 2 tex 4 f
1 AT
+ M = σimplicite
+24
+
ν 2 tex
1 + f ) = 1−β
licite
(f, f) =f 1−β σ
2(1−β)
1−β
2(1−β)
24
24
4
f
24
24
f
4
f
f
2
3ρ2
2
2 1 αβρν
22 dynamique
2 est 1α . La
22
α
− β)Le(1terme
α
−
du
point
à 3ρ
la22monnaie
(backdominant
de
cette
expression
α2cette
− β)
αLe(1terme
22est
− 3ρα
1 2expression
αβρν
α F2β
α
(1
−
β)
α
2
−
1
αβρν
1−β
α
(1
−
β)
α
2
−
3ρ
1
αβρν
=
dW
dF
2
f
.
La
dynamique
du
point
à
la
monnaie
(backdominant
de
expression
2
t
t
Le
terme
dominant
de
cette
est
.
La
dynamique
du
point
à
la
monnaie
(backbone)
est
donc
es+
t text
++(f,
ν+
,−β
f ) =1 +1−β 1 + 2(1−β)
+να1−βtex
σ
=
σ
+
ν
1
t
f
)
=
+
f 1−β
σ
=
σ
+
ν
1
+
t
(f,
f
)
=
+
1−β
ex
AT
M
implicite
ex
AT
M
implicite
1−β
2(1−β)
α
1−β
2
α
24
24
2(1−β)
4
f
f est
1−β
1−βpoint
2(1−β)
bone)
donc
essentiellement
et
donc
β
peut
aussi
être
déterminé
par
une
étude
du
back24
24
f
4
f
α
f
24
24
f
4
f
f
1−β
.
La
dynamique
du
point
à
la
monnaie
(backant de
cette
expression
est
dα
=
να
dW
24
24
f
4
f
sentiellement
et
donc
β
peut
aussi
être
déterminé
par
une
étude
du
backbone.
Regardons
l’influence
des
f
.
La
dynamique
du
à
la
monnaie
(backLe
terme
dominant
de
cette
expression
est
ft
bone) est donc essentiellement
et donc
β peutt aussi
être déterminé par une étude du backt f 1−β
f 1−β
f 1−β
α
α
paramètres
sur
le
smile
de
volatilité.
bone.
ntiellement
et
donc
β
peut
aussi
être
déterminé
par
une
étude
du être
backbone)
est
donc
essentiellement
et
donc
β
peut
aussi
déterminémodèle
par uneβétude
bone.
1−β
α
f 1−β
Le
Fdynamique
undynamique
processus
dont
la loi
déterminé
par
le paramètre
et la du backfmonnaie
αα (backtαsuit
. est
La
du point
à paramètres
lapoint
(backpression
estforward
du
à laest
monnaie
cette expression
.
La
dynamique
du
point
à
la
monnaie
(backLe
terme
dominant
de
cette
expression
est
.
La
dynamique
du
point
à
la
monnaie
(backLe
terme
dominant
de
cette
expression
est
1−β . La
Regardons
l’influence
des
sur
le
smile
de
volatilité.
En
faisant
varier
les
paramètres
f 1−β
1−β
1−β
f
ff appeléeEn
bone.
l’influence
des
paramètres
sur
levolatilité
smile
de
volatilité.
faisant
varier
les paramètres
volatilité
αtEn
suit
un
processus
log-normal
ν,
volatilité
de la: volatilité.
Ces
α Regardons
αde
faisant
varier
les
paramètres
un
par
tous
les
autres
étant
fixés,
nous
observons
αun,nous
β
peut
aussi
être
déterminé
par
une
étude
du
back
ment
et
donc
β
peut
aussi
être
déterminé
par
une
étude
du
backβ et donc
un
par
un,
tous
les
autres
étant
fixé,
observons
:
bone)
est
donc
essentiellement
et
donc
β
peut
aussi
être
déterminé
par
une
étude
du
est
donc
essentiellement
et donc
β smile
peut
aussi
parvarier
une étude
du backback1−β paramètres
1−β
1 être déterminé
2 En faisant
1−βfaisant
uence
surautres
le smile
de fixé,
volatilité.
varier
les paramètres
fdes
Regardons
l’influence
des
paramètres
sur
de
les paramètres
ffEn
un
par
un,bone)
tous
les
étant
nous
observons
: le
deux
processus
sont
corrélés
via
leurs
mouvements
browniens
dWvolatilité.
t , dWt = ρdt. Les paramètres
bone.
bone.
autres
étant
fixé,
nous
observons
:
un àpar
un,
tous
autres
fixé, nous observons
dusur
modèles
calibrer
sontles
donc
αα=étant
α
initiale),
β,: ρet ν.
Volatilité
initiale
Corrélation
Volatilité de la volatilité υ
0 (la volatilité
mètres
le smile
de
volatilité.
En
faisant
varier
lesvarier
paramètres
des paramètres
surRegardons
le smile
del’influence
volatilité.
En
faisant
lesle
paramètres
des
paramètres
sur
smile
de
volatilité.
En
faisant
varier
les paramètres
Regardons
l’influence
des
paramètres
sur
le
smile
de
volatilité.
En
faisant
varier
3
Le coefficient
β détermine la loi du forward : 3le cas β = 1 produit une loi log-normale
et lales
casparamètres
,tant
nousfixé,
observons
:
nousun
observons
: les
par
un,
tous
autres
étant
fixé,
nous
observons
:
un
par
un,
tous
les
autres
étant
fixé,
nous
observons
:
3
β = 0 produit une loi normale.
Contrairement aux autres3paramètres, il n’est pas déterminé par
l’algorithme de calibration mais par des considérations spécifiques au marché.
3 Kumar,
3 Lesniewski et Woodward dans l’article 3fondateur
3
Hagan,
Managing Smile Risk trouvent
une formule approchée pour la volatilité implicite.
σimplicite (K, f ) =
1−β
Translation verticale
(f K) 2
1+
1+
(1−β)2
2
24 log
(1−β)4
f
4
Rotation
K + 1920 log
f
K
z
x(z) Battement d’ailes
(1 − β)2
α2
1 αβρν
2 − 3ρ2 2
ν tex
+
+
24 (f K)1−β
24
4 (f K) 1−β
2
n de l’encadré)))
(((fin de l’encadré)))
(((fin de l’encadré)))
20
α
oùLL aa: rr ee vv uu ee dd ‘N‘ OOºpp1uu ss• dFF éii nnc aea nmn ccbeer e 2 0 1 2
DOSSIER TECHNIQUE
.
ANTICIPATION DE LA VOLATILITÉ IMPLICITE :
.
MODE D’EMPLOI
ZOOM SUR LE MODÈLE ORIGINEL
DE BLACK LITTERMAN
Pour réaliser des
anticipations
sur la volatilité
implicite, implicite : mode d’emploi
(((titre)))
Anticipation
de la volatilité
mploi
ticipationAnticipation
denous
la volatilité
: mode
d’emploi
(((titre)))
deleimplicite
lamodèle
volatilité
implicite
: mode
d’emploi
adaptons
de
Black-Litterman.
Celui-ci
est
Black et Litterman ont développé un modèle peressentiellement basé
sur
le
théorème
de
Bayes.
Il
quantifie
mettant d’associer
la gestion
et lamodèle
gesPour
réaliser
des anticipations sur la volatilité
implicite
noustraditionnelle
adaptons le
de Blackcite nous. adaptons
le lamodèle
ded’un
Blackl’impact
de
réalisation
événement
surnous
laimplicite
probabilité
tion
quantitative
de
portefeuille
d’actifs
directement
liser
des
anticipations
sur
la
volatilité
implicite
adaptons
le
modèle
de
BlackPour
réaliser
des
anticipations
sur
la
volatilité
nous
adaptons
le
modèle
de
BlackLitterman.
Celui-ci
est
essentiellement
basé
sur
le
théorème
de
Bayès.
Il
quantifie
l’impact
de la
tons
le
modèle
de
Blackème de Bayès.
Il quantifie
l’impact
de laFixons les idées : Si X une
qu’un
autre
événement
sesur
réalise.
cotés l’impact
sur
le marché.
Le
marché de
est modélisé
par une
Celui-ci
est
essentiellement
basé
le
théorème
de
Bayès.
Il
quantifie
de
la
Litterman.
Celui-ci
est
essentiellement
basé
sur
le
théorème
de
Bayès.
Il
quantifie
l’impact
la
d’un
évènement
la probabilité
qu’un autre évènement se réalise. Fixons les idées :
quantifie
l’impact
de Fixons
laréalisation
(((titre)))
dedensité
la volatilité
implicite
:sur
mode
d’emploi
el évènement
se
réalise.
les
idées
variable
aléatoire
de
π et: autre
Y
est une
autre
variable
nticipation
de
laAnticipation
volatilité
implicite
: mode
d’emploi
variable
aléatoire
suivant
loi normale.
Son espéd’un
évènement
sur
la probabilité
évènement
se
réalise.
Fixons
les idées
: une
réalisation
d’un
évènement
sur
la qu’un
probabilité
qu’un
autre
évènement
se
réalise.
Fixons
lesaléatoire
idées
: dont
Si
X
une
variable
aléatoire
de
densité
π
et
Y
une
autre
variable
connait f (y|x)
réalise.
Fixons
les
idées
:
aléatoire
dontononconnait
connaît f (y|x) la densité conditionnelvariable aléatoire
dont
rance
représente
les
rendements
des
actifs
et laon
mariable
aléatoire
de
densité
π
et
Y
une
autre
variable
aléatoire
dont
on
connait
f
(y|x)
Si
X
une
variable
aléatoire
de
densité
π
et
Y
une
autre
variable
aléatoire
dont
on
connait
f
(y|x)
la
densité
conditionnellement
à
X.
Alors
:
la
densité
jointe
de
Y
et
X
est
donnée
re
connait
f X,
(y|x)
lement
alors,
la volatilité
densité
de la
Y et
X est donnée
trice
deadaptons
covariance
leurs
corrélations.
Les opinionspar f (y, x) =
Pour
des
anticipations
sur
volatilité
implicitelenous
le
modèle
de Blackntedont
dedes
Yon
et
X réaliser
est àdonnée
par
f (y, x)jointe
=implicite
aliser
anticipations
sur
la
nous
adaptons
modèle
de
Blackonditionnellement
à
X.
Alors
:
la
densité
jointe
de
Y
et
X
est
donnée
par
f
(y,
x)
=
la
densité
conditionnellement
à
X.
Alors
:
la
densité
jointe
de
Y
et
X
est
donnée
par
f
(y,
x)
=
(y|x)
etsur
densité
marginale
de Y sede
calcule
simplement
en
intégrant
par fCelui-ci
==π(x)f
et
laladensité
marginale
Y se
est
donnée
par
(y, x)
du
gestionnaire
sont
exprimées
sur lesde
rendements.
Litterman.
estbasé
essentiellement
basé
surBayès.
ledethéorème
Bayès.
Il quantifie
l’impact
lala densité jointe sur
ement
en
la densité
jointe
densité
Celui-ci
estintégrant
essentiellement
surdele
théorème
de
Il quantifie
l’impact
desur
la
et
la densité
marginale
de
Y en
seintégrant
calcule
simplement
en
intégrant
laCes
jointe
π(x)f
(y|x)
et
lajointe
densité
marginale
Yla
se
calcule
simplement
en
intégrant
la
densité
jointe
sur
calcule
simplement
densité
jointe
sur
toutes
toutes
les
valeurs
possibles
de
X
f
(y)
=
π(x)f
(y|x)dx.
Alors,
la
densité
de X
opinions
ou
vues
sont
supposées
suivre
rant
la
densité
sur
évènement
réalisation
d’un
évènement
sur
qu’un autre
évènement
se
réalise.
les idéesconditionnelle
: une loi
x. Alors,
la densité
conditionnelle
delaXprobabilité
d’un
évènement
sur
lapossibles
probabilité
qu’un
autre
se
réalise.
Fixons
les
idées
: Fixonsde
aleurs
possibles
de
X
f
(y)
=
π(x)f
(y|x)dx.
Alors,
la
densité
conditionnelle
de
X
toutes
les
valeurs
possibles
de
X
f
(y)
=
π(x)f
(y|x)dx.
Alors,
la
densité
conditionnelle
X
les
valeurs
de
X
:
.
La
normale
dont
l’espérance
est
la
vue
et
la
variance
la
sachant Ydeest
donnée
parY : une autre variable aléatoire dont on connait f (y|x)
nsité conditionnelle
de Xaléatoire
Sialéatoire
X une variable
densité
π
et
ariable
densité
autre
variable
aléatoire
dontconfiance
on connait
f (y|x)
densité
sachant
Y est
donnée par
:
st
donnée
: deconditionnelle
sachant
Y par
est
donnée
par : π etdeY Xune
dans cette
vue. Ce paramètre de confiance
la densité conditionnellement
à X. Alors
la densité
de Y par
et Xf est
donnée
par f (y, x) =
onditionnellement
à X. Alors : la densité
jointe: de
Y et X jointe
est donnée
(y,
x)
=(y|x)
dans
chaque
vue
permet
de nuancer l’importance et
π(x)f
(y|x)
π(x)f
x)f (y|x)
π(x|y)
=
=
π(x)f
(y|x)
et
la
densité
marginale
de
Y
se
calcule
simplement
en
intégrant
la
densité
jointe
(y|x) π(x)f
π(x)f(y|x)
et la densité marginale de Yπ(x)f
secalcule
simplement
en π(x)f
intégrant
jointe
sur
(y|x)ladonc
de
la vue
par rapport
au sur
modèle inifdensité
(y)l’influence
π(x)f
(y|x)
(y|x)
=
=
π(x|y)
π(x|y)
=
=
(x)f
(y|x)
les valeurs
de X(y|x)dx.
f (y)
=
π(x)f
(y|x)dx.
Alors,
la
densité
conditionnelle
de
X la loi
tial.
Dans
un
premier
temps,
il
faut
déterminer
aleurstoutes
possibles
de X fpossibles
(y) = f (y)
π(x)f
Alors,
la
densité
conditionnelle
de
X
π(x)f
(y|x)
f (y)
π(x)f (y|x)
C’est
le
théorème
de
Bayès
dans
sa
version
continue.
Black
et
Litterman
ont développé
leur
sachant
Y
est
donnée
par
:
des
rendements
étant
donnée
la
vue,
puis
revenir
au
.stBlack
et
Litterman
ont
développé
leur
donnée de
parBayès
:
théorème
dans
sa
version
continue.
Black
et
Litterman
ont
développé
leur
C’est
le
théorème
de
Bayès
dans
sa
version
continue.
Black
et
Litterman
ont
développé
leur
pour la gestion de portefeuille composé
uniquement
d’actifs
simples. Les anticipations se
rmand’actifs
ont développé
leurmodèle
marché
quiet
suit
une
loila
normale.
ment
simples.
Les
anticipations
C’est le théorème
de Bayès dansse
sa version continue.
Black
l’espérance
est
la vue
laaussi
variance
confiance dans cette vue. Ce par
r la gestion
delaportefeuille
composé
uniquement
d’actifs
simples.
Les
anticipations
se loi gaussienne
modèle
pour
gestion se
de
portefeuille
composé
uniquement
d’actifs
simples.
Les anticipations
se
π(x)f
(y|x)
π(x)f
(y|x)
font
alorsµ(y|x)
sur
les
rendements
des
actifs.
Les
actifs
suivent
une
de moyenne µ et de
π(x)f
mples.
Les
anticipations
π(x)f
(y|x)
t une loi
gaussienne
de moyenne
et
de
et Litterman
ont
développé
leur
modèle
pour
lachaque
gestion
π(x|y)
=
=
vue
permet
de
nuancer
l’importance
et donc l’influence de la v
π(x|y)
=
=
ur
les
rendements
des
actifs.
Les
actifs
suivent
une
loi
gaussienne
de
moyenne
µ
et
de
font
alors
sur
les
rendements
des
actifs.
Les
actifs
suivent
une
loi
gaussienne
de
moyenne
µ
et
de
Nous
présentons
ici
un
exemple
repris
de
l’article
f
(y)
π(x)f
(y|x)
Σ : X(y|x)
∼ N (µ,
Les vues sont des combinaisons linéaires
sur l’évolution
enne
de moyenne
µ et devariance-covariance
f (y)
π(x)f
de portefeuille
composé
uniquement d’actifs
simples.
LesΣ).
s combinaisons
linéaires
sur l’évolution
initial.
Dans
un
premier
temps,
ilBlack-Litterman
faut déterminer
la loi des rendements
variance
Σ
:
X
∼
N
(µ,
Σ).
Les
vues
sont
des
combinaisons
linéaires
sur
l’évolution
variance-covariance
Σ
:
X
∼
N
(µ,
Σ).
Les
vues
sont
des
combinaisons
linéaires
sur
l’évolution
d’Attilio
Meucci
« The
approach:
des
actifs,
V
=
P
X,
sont
exprimées
sur
les
rendements
des
actifs
et
sont
supposées
encore gauslinéaires
sur
l’évolution
anticipations
se
font
alors
sur
les
rendements
des
actifs.
le supposées
théorème
Bayès
dans sa version
continue.
Black
et
Litterman
ontune
développé
leur
des
actifs C’est
etdesont
encore
gausthéorème
Bayès
dans
sade
version
continue.
Black
et
Litterman
ont
développé
leur
revenir
au
marché
qui
suitgausaussi
loi
normale.
Original
Model
and
Extensions »
qui permet
dela vue. Alors
=
Pactifs,
X, sont
exprimées
sur
les
rendements
des
actifs
et
sont
supposées
encore
des
V Les
=
P
X,gaussont
exprimées
sur
les
rendements
des
actifs
et
sont
supposées
encore
gausactifs
suivent
une
loi
gaussienne
de
moyenne
μ
et
de
siennes
:
P
µ
∼
N
(v,
Ω)
où
v
représente
la
valeur
de
la
vue
et
Ω
la
confiance
dans
t
supposées
encore
modèle
pour
la gestion
portefeuille
composé
uniquement
d’actifs
simples.
Les
anticipations
vue
Ω la confiance
dans composé
la de
vue.
Alors
r∼
la et
gestion
portefeuille
uniquement
d’actifs
simples.
Les
anticipations
se
Nous
ici un
de se
l’article
fixer
les
idées
surexemple
les
et l’intérêt
de ce d’Attilio Meuc
µfiance
N (v,
où
vNreprésente
valeur
Ω la
confiance
dans
la
vue.
Alors
siennes
: Ω)
P µde
∼vue.
(v,
Ω) où
v la
représente
de
vue
Ωmla
confiance
dans
la objectifs
vue. repris
Alors
variance-covariance
Σ
:est
X encore
~ N de
(μ,lala
Σ)valeur
.vue
Les et
vues
sont
deset présentons
X|v;
Ω
gaussien
de
moyenne
et
de
matrice
de
variance-covariance
σ avec :
dans
la
Alors
font
alors surdes
lesactifs.
dessuivent
actifs. Les
actifs
suivent
une
loi
gaussienne
de
moyenne
µinvestit
et dededans
e variance-covariance
σrendements
avecLes
: actifs
modèle.
Un
fonds
d’investissement
6 les idées sur le
ur
les
rendements
une
loi
gaussienne
de
moyenne
µ
et
de
proach
:
Original
Model
and
Extensions
qui
permet
fixer
ncore
moyenne
m moyenne
etsur
del’évolution
matrice
σ avec :
combinaisons
linéaires
desvariance-covariance
actifs, V de
= PX
,
X|v; Ωgaussien
est
encore
de
m etde
de
matrice
variance-covariance
σ avec :
ariance
σ avec
:de gaussien
variance-covariance
Σ
:
X
∼
N
(µ,
Σ).
Les
vues
sont
des
combinaisons
linéaires
sur
l’évolution
indices
nationaux
:
Italie,
Espagne,
Suisse,
Canada,
variance Σ :sont
X ∼
N (µ, Σ).
vues sont des
desactifs
combinaisons
sur l’évolution
modèle.
exprimées
surLes
les rendements
et sont
sup- linéaires
−1 La matrice
et
USA
Allemagne.
de covariance
actifs,
V encore
= P X,gaussiennes
sont
surdes
lesoù
rendements
des
actifs
etencore
sont
supposées
encore
X, sont
exprimées
sur
lesexprimées
rendements
actifs
et
sont
supposées
gaus1 = P des
Un
fond
d’investissement
investit
dans
6gausindicesdes
nationaux : Italie,
posées
:
Pμ
~
N(υ,Ω)
υ
représente
+
Ω
(v
− P µ)
P
ΣP
m
=
µ
+
ΣP
−1
(v −siennes
P µ) : P µ ∼ N (v, Ω) où
−1
v représente
rendements
journaliers
de
ces
six
indices
est estila −
valeur
de
la
vue
et
Ω
la
confiance
dans
la
vue.
Alors
= µla +vue
ΣPet
(v
PΩ
µ)
P
ΣP
de
dans
la+
vue.
Alors
Ω
(v
−
P
µ)
ΣP
mΩ
=la
µ confiance
++
ΣPΩla Pvue
µ ∼ N (v, Ω)laoùvaleur
vm
représente
la
valeur
de
et
la
confiance
dans
la
vue.
Alors
USA et Allemagne.
La
de covariance des rendements journal
−1
matrice
−1
mée
àΣP
partir
σ =: (21%; 24%; 24%;
+ des
Ω volatilités
Pσ
Σ avec
Pavec
Σ de
− ΣP
−1
dede
σ−1= de
Ω Xest
encore
gaussien
moyenne
mvariance-covariance
et de
dematrice
matrice
variance-covariance
est encore
gaussien
moyenne
et
P Σ X|v;
|υ;Ω
de
ncore
gaussien
de
moyenne
m
et
matrice
de
σ
:
estimée
à
partir
des
volatilités
σ
=
(21%,
24%,
24%, 25%, 29%, 31%) et d
+
Ω
P
Σ
P
ΣP
σ
=
Σ
−
ΣP
+
Ω
P
Σ
P
ΣP
σ
=
Σ
−
ΣP
25%;
29%;
31%)
et
de
la
matrice
de corrélation :
variance-covariance σ avec :


L’exemple
ci-contre ’Zoom sur le modèle originel de Black-Litterman’
illustre cette approche.
Black-Litterman’ illustre cette
approche.
−1illustre
1 approche.
54% 41%
62% 59%
25% 41% 59%
le
ci-contre
’Zoom
sur
le
modèle
originel
de
Black-Litterman’
cette
approche.
L’exemple
ci-contre
’Zoom
sur
le
modèle
originel
de
Black-Litterman’
illustre
cette
1
54%
62%
25%
−1
En
la
modifiant
pour
postuler
les
anticipations
non
plus
sur
les
rendements
des
actifs
directement
n’
cette approche.
+Ω
(v − P µ)
ΣP
m =+µΩ+ ΣP(v −P P
urillustre
les rendements
des
actifs
directement
=
µ + ΣP
Panticipations
ΣP
µ) sur
m
directement
. 26%
1 36%
69% 83%
26% 36% 83%
antla
pour
postuler
les
anticipations
non
plus sur
les
rendements
des actifs
directement
En
modifiant
pour
postuler
les
non
plus
les
rendements
des
1actifs
69%
volatilité

côtés
sur
le
marché
mais
sur
les
mouvements
de.la
nappe
de
implicite
des options, nous
nts
des
actifs
directement
−1
de volatilité implicite des options,
nous
−1


.
.
1
15%
46%
65%
+
Ω
P
Σ
P
ΣP
σ
=
Σ
−
ΣP
.
.
1
15%
46%
65%
marché
mais
sur
les
mouvements
de
la
nappe
de
volatilité
implicite
des
options,
nous
côtés surdes
le marché
sur
les mouvements
deP la
defortes
volatilité
implicite de
deslaoptions,
nous
σmais
= Σsommes
− ΣP
P ΣPmesure
+ Ω d’anticiper
Σ nappede
volatilité.

turbulences
Les indicateurs de risque
mplicite
options,
nous
e la volatilité.
Les indicateurs
de en
risque

. 39%
1
47% 39%
. indicateurs
.risque
. . de1.risque
47%
mesure
d’anticiper
de
fortes
turbulences
de
la
volatilité.
Les
indicateurs
de
sommes
en
mesure
d’anticiper
de
fortes
turbulences
de
la
volatilité.
Les


qui
en
découlent
intègrent
alors ces
extrêmes
et sont
plus
pertinents. Bien sûr cette
Les
indicateurs
de risque
ci-contre
’Zoom
sur lede
modèle
originel
deévènements
Black-Litterman’
approche.
es
sontL’exemple
plus
pertinents.
Bien
sûr
cette


le et
ci-contre
’Zoom
sur
le
modèle
originel
Black-Litterman’
illustre
pluscette
. approche.
. illustre
. . cette
.. cette
1. 38%
.
1
38%
ulent
intègrent
alors
ces
évènements
extrêmes
et
sont
plus
pertinents.
Bien
sûr
cette
qui
en
découlent
intègrent
alors
ces
évènements
extrêmes
et
sont
pertinents.
Bien
sûr
L’exemple
« Zoom
sur le modèle
originel
de Black-Litterman
» trading des options ou de la volatilité.
approche
pourra
aussi
s’appliquer
au
pertinents.
Bien
sûr cette
En
la
modifiant
pour
postuler
les
anticipations
non
plus
sur
les
rendements
des
actifs
directement
s
ou
de
la
volatilité.
.....
1
fiant
pour postuler
les
non
plus sur
les
rendements
actifs directement .
.
.
.
.
1
ourra
s’appliquer
au
trading
des
options
ou
de
la qui
volatilité.
illustreaussi
cetteanticipations
approche.
Enle
lacas
modifiant
pour
postuler
les de des
approche
pourra
s’appliquer
au
trading
des
options
ou
la volatilité.
Dans
d’application
nous
intéresse,
nous
devons
déterminer
la distribution des palité. aussi
côtés
sur
le
marché
mais
sur
les
mouvements
de
la
nappe
de
volatilité
implicite
des
options,
nous
evons
déterminer
la
distribution
des
pamarché
mais
sur
les
mouvements
de
la
nappe
de
volatilité
implicite
des
options,
nous
nts
de
la
nappe
de
volatilité
mais
nous
aurions
anticipations
non plus
surnous
les nous
rendements
des
actifsdevons
cas
d’application
qui
nous
intéresse,
devons
déterminer
la
distribution
des
pale cas
d’application
qui
intéresse,
nous
déterminer
distribution
des
pa- suivante
du
modèles
SABR
quidirecdéfinissent
smile
de
volatilité
implicite
sachant
sur 5%,
le 8
er laDans
distribution
des
pa-ramètres
Le Les
portefeuille
estlaréparti
de ladefaçon
:: w̃des
(4%, 4%,
Leleportefeuille
est
réparti
la façon
== vues
sommes
en sachant
mesure
d’anticiper
de
fortes
turbulences
la
volatilité.
Lesrisque
indicateurs
desuivante
risque
olatilité
implicite
des
vues
sur
le sur
mesure
d’anticiper
de
fortes
turbulences
de
lamouvements
volatilité.
indicateurs
de
tement
cotés
sur
leou
marché
mais
lessmile
dedesachant
de
taux,
aux
taux
de
change
bien
directement
modèles
SABR
qui
définissent
le
smile
de
volatilité
implicite
des
vues
sur
le
ramètres
du
modèles
SABR
qui
définissent
le
de
volatilité
implicite
sachant
des
vues
sur
le
(4%;
4%;
5%;
8%;
17%;
8%)’.
L’espérance
des
smile.
Par
analogie
avec
le
modèle
initial
portant
sur
les
cours
:
e
sachant
des
vues
sur
le
des
rendements
duBien
portefeuille
: π = (6%, 7%, 9%, 8%, 1
qui
en
découlent
intègrent
alors
ces
évènements
extrêmes
et sont
plus
pertinents.
Bien sûrpar
cette
cours
:intègrent
lale
nappe
dela
volatilité
implicite
desles
options,
nous
sommes
ulent
alors
ces
extrêmes
etsur
sont
plus
pertinents.
sûr
cetteest donnée
ent
mieux
gérée
queavec
couverture
en
vega.
nalogie
avec
modèle
initial
portant
sur
cours
: les
smile.
Par
analogie
leévènements
modèle
initial
portant
cours
:
rendements
du portefeuille
est
donnée
par
: π = de volatilité
–
X
représente
le
vecteur
des
paramètres
du
modèle
SABR
qui
définissent
le smile
Supposons
que
l’investisseur
ait
deux
vues
:
approche
pourra
aussi
s’appliquer
au
trading
des
options
ou
de
la
volatilité.
enetmesure
de des
fortesoptions
turbulences
de la
la volatilité.
volatiABR qui
définissent
led’anticiper
smile
de volatilité
ourra
aussi
s’appliquer
au trading
oumodèle
de
modèle
SABR
ses
principaux
résultats
mathérésente
le
vecteur
des
paramètres
du
modèle
SABR
qui
définissent
le
smile
de
volatilité
(6%;
7%;
9%;
8%;
17%;
10%).
–
X
représente
le
vecteur
des
paramètres
du
SABR
qui
définissent
le
smile
de
volatilité
implicite
: Xen=découlent
(α, β, ρ,intègrent
ν)
ssent le smile
deleLes
volatilité
– l’indice
espagnol
vades
augmenter
de 12%
lité.
indicateurs
de
risque
qui
Dans
cas
d’application
quinous
nous
intéresse,
nous
devons
déterminer
la padistribution
des sur
pa-l’année
cas: d’application
qui
nous
intéresse,
devons
déterminer
la distribution
ite
Ximplicite
= (α,alors
β, :ρ,X
ν)
=
(α,
β,
ρ,
ν)
–
Y
représente
la
vue
de
l’investisseur
ou
du
gestionnaire
de
risque
cesmodèles
évènements
extrêmes
et sont plus pertinents.
–Bien
différence
entre
lessur
rendements
de l’indice
ramètres
duqui
SABR
définissent
le smile
delavolatilité
implicite
vues
le : US et allemand sera
naire
de
risque
modèles
SABR
définissent
lequi
smile
deou
volatilité
implicite
sachant
des
vues
le des ait
Supposons
que sachant
l’investisseur
deuxsur
vues
décrivant
de
manière
couplé
le
cours
forward
F
ésente
vue
decette
l’investisseur
ou
du
gestionnaire
detrading
risque
t au
– Y lareprésente
laapproche
vue de(((début
l’investisseur
du
gestionnaire
de
risque
sûr
pourra
aussi
s’appliquer
des
encadré
PARTIE
TECHNIQUE:
Zoom
sur
le
modèle
originel
de
Black
Litterman
Il
est
possible
de
résumer
ces
vues
dans
un
vecteur
v = )))
(12%, −
smile.
Par
analogie
avec
le modèle
portant
sur les cours :
modèle
originel
de Black
Litterman
)))surinitial
nalogie
avec
le modèle
portant
cours
: originel
TECHNIQUE:
Zoom
sur
le
modèle
Black
Litterman
)))100%
encadré
TECHNIQUE:
Zoom
sur
le modèle
originel
de Black
Litterman
)))
options
ouPARTIE
deinitial
la volatilité.
Dans
lesles
cas
d’applications
qui dedans
lencadré
de(((début
BlackPARTIE
Litterman
)))
confiance
les
vues
ici
à
:
X représente
le vecteur
paramètres
du modèle
SABR
définissent
leaugmenter
smile dede
volatilité
l’indice
espagnol
va
12% sur l’année.
résente le–vecteur
des paramètres
dudes
modèle
SABR
définissent
le●qui
smile
de
volatilité
nous intéressent,
nous
devons
déterminer
la qui
distribution
Black
et
Litterman
ont
développé un modèle
permettant
d’associer
lal’indice
gestion
β d’associer
1
●
la
différence
entre
les
rendements
de
UStraditionnelle
implicite
:
X
=
(α,
β,
ρ,
ν)
ttant
la
gestion
traditionnelle
ite
:X
β, développé
ρ,
ν) ont
αLitterman
dW=t (α,
t FtBlack
des
paramètres
duun
modèles
SABR
définissent
le smilelad’associer
modèle
permettant
d’associer
gestion
traditionnelle
etont
Litterman
développé
un qui
modèle
permettant
ladirectement
gestion
traditionnelle
0
1
0
0
0
0
et
la
gestion
quantitative
de
portefeuille
d’actifs
côtés
sur
le
marché.
Le
marché
est
la
gestion
traditionnelle
et
allemand
sera
de
-10%.
2
– sur
Ydereprésente
laLe
vue
de du
l’investisseur
ouPar
durisque
gestionnaire de risque
ment
côtés
le l’investisseur
marché.
marché
est
P =
résente
de
ou
gestionnaire
de
να
dW
volatilité
implicite
des
vuesdirectement
surd’actifs
le smile.
analogie
tla
t la vue
de
portefeuille
d’actifs
côtés
sur lesuivant
marché.
Le
marché
est
etquantitative
gestion
quantitative
de portefeuille
directement
côtés
sur
leloi
marché.
Le Son
marché
est
0
0
0
0
1
−1
Il
est
possible
de
résumer
ces
vues
dans
un
vecteur
modélisé
par
une
variable
aléatoire
une
normale.
espérance
représente
les
rendele
marché.
Le
marché
est
(((début
encadré
PARTIE
TECHNIQUE:
Zoom
sur lede
modèle
originel
de)))
Black Litterman )))
ale. Son espérance
représente
lesZoom
rendeavec
leTECHNIQUE:
modèle
initial
portant
sursur
les le
cours
: Son
PARTIE
modèle
originel
Black
Litterman
rencadré
une
variable
aléatoire
suivant
une
loi
normale.
espérance
les
rendemodélisé
par une
variable
aléatoire
suivant
une
loi normale.
Sonreprésente
espérance
représente
υ =leurs
(12%;corrélations.
-10%)’
et une les
matrice
de confiance
dans
est
déterminé
par
le
paramètre
modèle
β
et
la
ments
des
actifs
et
la
matrice
de
covariance
Lesrendeopinions
du gestionnaire
sont
nce
représente
les
rendetions. Les opinions du gestionnaire sont
(((fin dedu
l’encadré)))
ctifs
et
la
matrice
de
covariance
leurs
corrélations.
Les
opinions
gestionnaire
sont
les
vues
ici
à
100%
:
ments
des
actifs
et
la
matrice
de
covariance
leurs
corrélations.
Les
opinions
du
gestionnaire
sont
latilité
ν,
appelée
volatilité
de
la
volatilité.
Ces
exprimées
sur
les
rendements.
Ces
opinion
ou
vues
sont
supposées
suivre
une
loi
normale
dont
ons
du
gestionnaire
sont
● Xetreprésente
vecteur
desdont
paramètres
modèle
SABR
lenormale
Black
Litterman
ont
développé
undumodèle
permettant
d’associer
la gestion traditionnelle
supposées
suivre
une loi
.suivre
Litterman
ont
développé
un
modèle
permettant
d’associer
la gestion
traditionnelle
1rendements.
2opinion
ur
les
rendements.
ou
vues
sont
loi
normale
dont
exprimées
sur
les
Ces
opinion
ousupposées
vues
sont
supposées
suivre
une loi
normale dont
Les
paramètres
,Ces
dW
ts
browniens
dW
qui
le ρdt.
smile
deportefeuille
volatilité
implicite
:X
=directement
(α,
β, une côtés
vre
une
loigestion
normale
dont
tdéfinissent
t =
et
la
quantitative
de
d’actifs
sur
le
marché.
n quantitative de portefeuille d’actifs directement côtés sur le marché. Le marché
0
1 est 0 Le marché
0
0 est 0
P
=
ité initiale),
β,
ρ
et
ν.
,
ν)
.
5du0
par une variable
aléatoire
suivant Son
une(((titre)))
loi normale.
rendeLareprésente
preuve
concept
avec
option
Son espérance
0représente
0 une
0les
1 vanille
-1
ar unemodélisé
variable
aléatoire
suivant
loi normale.
espérance
les
rende● Y représente
la log-normale
vue deune
l’investisseur
ou 5du gestionnaire
e cas β
= 1 produit
une
loi
et la cas
5 covariance
ments
des
actifs
et
la
matrice
de
leurs
corrélations.
Les
opinions
du
gestionnaire
sont
ctifs et la matrice
de covariance leurs corrélations. Les opinions du gestionnaire sont
de risque.
ux autres
paramètres,
il rendements.
n’est pas déterminé
par ou vues sont supposées suivre une loi normale dont
surCes
les
Ces sont
opinion
d’une
telle méthode
ur lesexprimées
rendements.
opinion ou vues
supposées L’intérêt
suivre une
loi normale
dont apparaît déjà sur une seule option vani
ations spécifiques au marché.
la VaR. Les paramètres d’intérêt qui pilotent le modèle SABR sont X =
l’article fondateur Managing Smile Risk trouvent
donne
une valeur à l’instant initial pour chaque paramètre, X0 = (α0
5
5
e.
L a r e vd’un
u e d an,
‘ O p ce
u s qui
F i n fournit
ance
est répétée sur un historique de données
une
21 lo
Nº1 • décembre 2012
mètres. Les anticipations sont exprimées sur les paramètres. Le gestion
(
)
(
)
og
DOSSIER TECHNIQUE
nts de entre
la nappe
de volatilitéde
mais
nousUS
aurions
érence
les rendements
l’indice
et allemand sera de -10%
l’anticipation
desdemouvements
de la
nappe de volatilité mais nous
aurions
de
taux,
aux
taux
change
ou
bien
directement
ssible de résumer ces vues dans un vecteur v = (12%, −10%) et une matrice de
de
l’appliquer
aux
courbes
de
taux,
aux
taux
de
change
ou
bien
directement
ent les
mieux
que la: couverture en vega.
ans
vuesgérée
ici à 100%
couverture
est souventrésultats
mieux gérée
que la couverture en vega.
modèle
SABRenetdelta
ses principaux
mathé
PARTIE TECHNIQUE: Le modèle
SABR
et
ses
résultats mathé0 1 0 0 0 0 principaux La
loi a posteriori de chaque paramètres est caluler en confronta
P
=
décrivant de manière couplé le0 cours
Ft
0 0forward
0 1 −1
grâce
à la formule
de Black-Litterman.
un modèle à deux facteurs décrivant de manière couplépation
le cours
forward
Ft
Dans cet exemple, le portefeuille contient une seule option d’ach
l’encadré)))
● chaque paramètre est tiré selon sa loi,
se déroule
de la façon suivante :
DU CONCEPT
αt Ftβ dWt1 LA PREUVE
● calcul de la volatilité implicite avec la formule fermée
β
1
– chaque paramètre est tiré selon sa loi
= αt FtVANILLE
dWt
dFt OPTION
ναt dWt2
AVEC UNE
obtenue par Hagan,
2
– calcul
de la volatilité implicite avec la formule fermée obtenue
preuve du concept dα
avec
une
option
vanille
t = ναt dWt
● la formule de Black-Scholes permet d’obtenir le prix des
est déterminé
par
le
paramètre
modèle
β
et
la
–
la
formule
de Black-Scholes
permetlesd’obtenir
le prix
L’intérêt d’une telle méthode apparaît déjà sur une seule options européennes
et de calculer
gains/pertes
du des option
uit
un processus
dont
la
loi
est
déterminé
par
le
paramètre
modèle
β
et
la
latilité
ν,
appelée
volatilité
de
la
volatilité.
Ces
option
vanille
cas sur
du calcul
de la option
VaR. Les
para- les
du portefeuille
d’une telle méthode
apparaît
une seule
vanille
dans
le cas duàcalcul
de souhaité, à l’horizon souhaité
dans ledéjà
gains/pertes
portefeuille
l’horizon
2 volatilité
processus
log-normal
de
ν,
appelée
volatilité
de
la les
volatilité.
Ces
=
Les
paramètres
, dW
ts
browniens
dWt1d’intérêts
mètres
quiρdt.
pilotent
le
modèle
SABR
sont
X
==(α,
SABR
●
les
étapes
précédentes
sont
N fois
grand,
–
étapes
précédentes
sontrépétées
répétées
N avec
fois N
avec
N grand
paramètres
d’intérêt
quit pilotent
le modèle
sont
X
(α,
β,
ρ,
ν).
La
calibration
2 = ρdt. Les paramètres
corrélés
via leurs
mouvements
browniens
dWt1à, dW
N me trajectoire la
ité
initiale),
β,
ρ
et
ν.
β,
,
ν)
.
La
calibration
donne
une
valeur
l’instant
initial
t
●
La
VaR
Monte
Carlo
à
α
%
est
la
α
Carlo à α% est la α 100 trajectoire la plus défav
, ρ0VaR
, ν0 ).Monte
La calibration
valeur à l’instant initial pour chaque paramètre, X0 = (α0 ,–β0La
re sont
donc
αpour
=α
volatilité
initiale),
β,
chaque
paramètre,
X0 = (α0, et
, ρ et
, ν0ν.
). La calibration plus défavorable.
cas
= 1 produit
une
loi log-normale
0 (la
0 la 0cas
sur
unβhistorique
de
données
d’un
an, ceβqui
fournit
une loi historique pour les paraest du
répétée
surn’est
un: le
historique
qui
étermine
loi
forward
casdéterminé
β =de1 données
produit
une an,
loi ce
log-normale
et simplement
la cas
ux
autres la
paramètres,
il
pas
pard’un
Il s’agit
de simulations trajectorielles pour un cal
anticipations
sont une
exprimées
sur les
paramètres.
Le Les
gestionnaire
deici
risque
donne les
fournit
loi
historique
pour
les
paramètres.
anticiIl
s’agit
ici
simplement de simulations trajectorielles pour
oi
normale.
Contrairement
aux autres paramètres, il n’est
pas
déterminé
par
ations
spécifiques
au
marché.
Carlo mais cet exemple met en évidence la modification de la VaR q
ues de ces anticipations
:
pations
exprimées
sur spécifiques
les paramètres.au
Le gestionnaire
un calcul de la VaR de type Monte Carlo mais cet exemple
ration
mais
par
dessont
considérations
l’article
fondateur
Managing
Smile Risk
trouvent marché.
sont
Nous avons
vu que β
pasles
enparajeu pour la calib
de risque donne les caractéristiques de ces anticipations
: modifiés.
met en
évidence
la modification
den’entrait
la VaR quand
esniewski et Woodward dans l’article fondateur Managing
Smile
Risk
trouvent
e.
tion n’est
postulée
dans cetNous
exemple.
Les
anticipations
sur les
mètres
modèlesur
sontβmodifiés.
avons vu
que
β n’enhée pour la volatilité implicite.α ∼ N (µα , Σα )
des gaussiennes
dont
et laaucune
variance
ont été choisie arb
trait pas en jeu
pourlalamoyenne
calibration donc
anticipation
postulée sur βsignificatif.
dans cet exemple.
Les anticipations
obtenir n’est
un mouvement
Par rapport
au smile de volatilité
β ∼z N (µβ , Σβ )
α
les trois autres paramètres sont des gaussiennes dont la
sur
4
smilezanticipé a subi les trois mouvements fondamentaux décrits plu
α N (µρ , Σρ )
f
f
ρ x(z)
∼
log 4 K
homothétie
og 2f ) K
+ (1−β)
K,
=
moyenne
et la variance ont été choisies arbitrairement mais
2
4
1−β
1920
et rotation.
(1−β)
f
x(z)de façon
2∼ N
4 f
ν
(µ
,
Σ
)
log
log
+
(f K) 2 1 + (1−β)
à
obtenir un mouvement significatif. Par rapport
ν
ν
24
1920
K
K
2
1 αβρν
2 − 3ρ2 2
au
smile
de
volatilité obtenu par la calibration, le smile anν2 tex 1 αβρν
+
+ β)2
2
1−β
1−β
(1
−
α
2
−
3ρ
ticipé
a
subi
les trois mouvements fondamentaux décrits
24
4 (f1K)
2
de chaque
paramètre+est calculée
+La 2loi a posteriori 1−β
ν entex
+
1−β
plus
haut
:
translation
verticale, homothétie et rotation.
24
24
4
confrontant la(f
loiK)
historique et
l’anticipation
grâce à la for6(f
K) 2
mule de Black-Litterman. Dans cet exemple, le portefeuille
contient une seule option d’achat européenne.
f
K
L’algorithme se déroulede lafaçon suivante :
Le passé est résumé par les lois historiques sur les paramètres, déterminées par les différentes calibrations. Les distributions des paramètres anticipés sont des scénarios pour
1−β
ν
f
z = (f K) 2 log
α
K
2ρz + z 2 + z − ρ
2+z−ρ
1
−
2ρz
+
z
1choix
− ρ s’est
HISTORIQUE,
ANTICIPÉE
ET A POSTERIORI
SURdeLES
PARAMÈTRES
DUaurions
MODÈLE SABR
l’anticipation
des mouvements
de la nappe
volatilité
mais nous
x(z)porté
=LOIS
logsur
1−ρ
également pu choisir de l’appliquer
courbes de taux, aux taux de change ou bien
directement
Lois pouraux
α.
Lois pour
ν
sur le sous-jacent : la couverture en delta est souvent mieux gérée que la couverture en vega.
monnaie est donnée par :
(((début encadré PARTIE TECHNIQUE: Le modèle SABR et ses principaux résultats mathé 2
matiques
α2 ))) 1 αβρν
− β)
2 − 3ρ2 2
2ν à deux
+SABR
t2ex facteurs
2de manière couplé le cours forward Ft
Le modèle
est+
un
modèle
décrivant
1−β
α
(1
−
β)
α
2
−
3ρ
1
αβρν
2(1−β)
4 f f) =
24
4 f 1+
+
ν 2 tex
+
citeet(f,
la volatilité
24 f 2(1−β) 4 f 1−β
24
f 1−βαt :
Figure : Lois d’anticipations sur les paramètres du m
α
β
−β . La dynamique du point à la monnaie (back1
=
α
F
dW
dF
α
t
t
t monnaie (back. La
dynamique
nt
cette
expression
ut de
aussi
être
déterminéest
parf 1−β
une
étude
du back-du pointt à la
dαt = ναt dWt2
α
tiellement f 1−β et donc β peut aussi être déterminé par une étude du backforwardEn
Ftfaisant
suit un
processus
dont la loi est déterminé par le paramètre modèle β et la
mile deLe
volatilité.
varier
les paramètres
αt suit un
log-normal
de faisant
volatilité
ν, appelée
volatilité
ence
surprocessus
le smile de
volatilité. En
varier
lesparamètres
nsvolatilité
: des paramètres
de la volatilité. Ces
1 , dW 2 = ρdt. Les paramètres
deux
processus
sont
corrélés
via
leurs
mouvements
browniens
dW
utres étant fixé, nous observons :
t
t
du modèles à
calibrer sont donc α = α0 (la volatilité initiale),
β, ρ et ν.
Lois pour
Le coefficient β détermine
la loi du forward : le cas β = 1 produit une loi log-normale et la cas
3
β = 0 produit une loi normale. Contrairement aux autres paramètres, il n’est pas déterminé par
l’algorithme de calibration mais par des considérations spécifiques au marché.
Hagan, Kumar, Lesniewski et Woodward dans l’article fondateur Managing Smile Risk trouvent
7
une formule approchée pour la volatilité implicite.
z
σimplicite (K, f ) =
2
1−β
(1−β)4
x(z)
2 f
4 f
log
log
+
(f K) 2 1 + (1−β)
24
1920
K
K
(1 − β)2
α2
1 αβρν
2 − 3ρ2 2
1+
ν tex
+
+
24 (f K)1−β
24
4 (f K) 1−β
2
α
22
où :
LL aa rr ee vv uu ee dd ‘‘ OO pp uu ss FF ii nn aa nn cc ee
Nº1 • décembre 2012
SmileVaR
DOSSIER TECHNIQUE
MOUVEMENTS DU SMILE DE VOLATILITÉ IMPLICITE ET MODIFICATION DU P&L
ET DE LA VAR DU CALL EUROPÉEN
le futur. En confrontant les lois historiques et les anticipations du gestionnaire, il est possible de créer un curseur entre
la VaR, sans anticipation, et un stress test, sans historique,
en fonction de la confiance accordée
les anticipations.
Figure dans
: Mouvements
du smilePour
de volatilité
avoir une implicite
application industrielle, il est néet modification du P&L et de lacessaire
VaR duque
call
ceseuropéen
méthodes s’adaptent à des portefeuilles avec un grand nombre de produits dérivés.
de formules
fermées et l’utilisation
de
Le passé est résumé par les lois historiques surL’obtention
les paramètres,
déterminées
par les difféméthodes
numériques
efficaces
sont
donc
un
obL’anticipation
à
l’aide
des
paramètres
d’un
modèle
n’est
rentes calibrations. Les distributions des paramètres anticipés sont des scenarios pour le futur.
première importance.
pas
il est très
de prédire a priori
Enintuitive,
confrontant
lesdifficile
lois historiques
et lescomment
anticipationsjectif
du de
gestionnaire,
il est possible de créer un
sera
modifié
le
smile.
Pour
conserver
l’aspect
intuitif
et
hucurseur entre la VaR, sans anticipation, et un stress test, sans historique, en fonction de la confiance
Afin d’accroître la précision et la pertinence de nos rémain de cette méthode, nous devons l’appliquer directement
accordée dans les anticipations.
sultats, nous nous intéressons à la géométrie différenaux mouvements du smile, sur lesquels les gestionnaires de
tielle, elle permet d’obtenir des formules fermées plus
risque. ont une expertise. Les résultats obtenus montrent bien
précises que celles obtenues par Hagan grâce aux méqu’il est alors possible d’intégrer des anticipations sur d’imthodes de perturbations singulières et d’extrapoler ces
(((titre)))
Conclusion
portants
mouvements
du smile et de les prendre en compte
résultats à des portefeuilles de grandes dimensions.
pour le calcul d’indicateurs de risque tels que la VaR.
PERSPECTIVES
CONCLUSION
L’anticipation sur les paramètres n’est pas intuitive, il est très difficile de prédire a priori com-
Dans le cas où la distribution historique des paLa
force sera
de cette
approche
la diversité
de l’informent
modifié
leréside
smiledans
et ne
sont pas
directement observables sur le marché. Pour conserver
ramètres et des vues sont gaussiennes, Black et
mation qui peut être intégrée et nuancée grâce à un paramètre
l’aspect intuitif et humain de cette méthode, nous devons
l’appliquer
du smile,
Litterman
ont montréaux
quemouvements
la loi qui en résultait
est
qui quantifie la confiance du gestionnaire dans chaque inforsur
lesquels
les
gestionnaires
de
risque
ont
une
expertise.
Les
résultats
obtenus
montrent
bien
encore gaussienne.
mation. Les indicateurs qui en résultent seraient alors une sorte
estentre
alors
d’intégrer
sur d’importants mouvements du smile et de
dequ’il
curseur
unepossible
situation normale
et undes
stressanticipations
test. Cette
Cependant,
la mise
approche
les prendre
en compte
pour
calcul d’indicateurs
de
risque tels
queenlaœuvre
VaR. de
Lacette
force
de cette
démarche
généralisée
à l’ensemble
desleindicateurs
de risque
nécessite
d’être
précis
sur
les
distributions
histodonnerait
un
moyen
d’ajouter
des
« anticipations »
devant
approche réside dans la diversité de l’information qui peut être intégrée et nuancée grâce
à un
riques
des
paramètres
pour
les
confronter
aux
vuesdu
l’imminence
d’un
grand
péril,
alors
que
les
outils
statistiques
paramètre qui quantifie la confiance du gestionnaire dans chaque information. Les scénarios
du gestionnaire, il est donc nécessaire de s’extraire
usuels
encoreou
jamais
de tels cas. Enetpériode
de
plus n’ont
probable
plusrepéré
catastrophique
les indicateurs
qui en résultent seraient alors une sorte de
du cas gaussien.
crise, la mise à disposition de telles méthodes permettrait de
curseur entre une situation normale et un stress test. Points clefs Pour avoir une application inmieux s’adapter à des situations encore « jamais vues ».
dustrielle, il est nécessaire que ces méthodes s’adaptent à des portefeuilles avec un grand nombre
de produits dérivés. L’obtention de formules fermées et l’utilisation de méthodes numériques efficaces sont donc un objectif de première importance. Afin d’accroître la précision et la pertinence
de nos résultats, nous nous intéressons à la géométrie différentielle, elle permet d’obtenir des formules fermées plus précise que celle obtenues par Hagan grâce aux méthodes de perturbations
singulières et d’extrapoler ces résultats à des portefeuilles de grandes dimensions. Dans le cas
où la distribution historique des paramètres et des vues sont gaussiennes, Black et Litterman ont
montré que la loi qui en résultait est encore gaussienne. Cependant, la mise en oeuvre de cette
approche nécessite d’être précis sur les distributions historiques des paramètres pour les confron8
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