Représentation paramétrique d`une droite

Transcription

Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour y accéder directement)
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Exercice 1 : représentation paramétrique d’une droite connaissant un point et un vecteur directeur
Exercice 2 : représentation paramétrique d’une droite connaissant deux points
Exercice 3 : représentation paramétrique d’une droite passant par un point et parallèle à une droite
Exercice 4 : représentation paramétrique d’une droite passant par un point et orthogonale à un plan
Exercice 5 : utilisation de la représentation paramétrique d’une droite
Exercice 6 : représentation paramétrique d’une droite et projection orthogonale
Exercice 7 : intersection de droites (= position relative de deux droites)
Exercice 8 : intersection de droites suivant un paramètre (= position relative de deux droites)
Exercice 9 : intersection de droite et de plan (= position relative d’une droite et d’un plan)
Exercice 10 : intersection de droite et de sphère
Exercice 11 : droites coplanaires et détermination d’une équation cartésienne de plan
Exercice 12 : représentation paramétrique d’un segment et d’une demi-droite
Exercice 13 : intersection de deux plans et représentation paramétrique de la droite d’intersection
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Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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1
Exercice 1 (1 question)
On munit l’espace d’un repère (
Niveau : facile
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). La droite ( ) passe par le point (
) et admet ⃗⃗ ( ) comme
vecteur directeur. Donner une représentation paramétrique de ( ).
Correction de l’exercice 1
Retour au menu
La droite ( ) passe par le point (
(
)
) et admet ⃗⃗ ( ) comme vecteur directeur.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗ colinéaires
( )
⏟
tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
tel que {
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
tel que {
tel que {
Une représentation paramétrique de la droite ( ) est {
(
).
Remarque : On pouvait directement appliquer le résultat du cours ci-dessous.
Rappel : Représentation paramétrique d’une droite
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soit ( ) la droite passant par le point (
⃗⃗
le vecteur ⃗⃗ (
⃗⃗ )
pour vecteur directeur. Dire qu’un point
(
) et admettant
) appartient à ( ) équivaut à dire qu’il
⃗⃗
existe un réel vérifiant le système d’équations paramétriques de paramètre suivant : {
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
2
Niveau : facile
On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les
) et (
).
points (
Soient les points (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
Retour au menu
). Alors le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées (
) et (
), c’est-à-dire
).
La droite (
) passe par le point
(
) et admet ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
) pour vecteur directeur donc une
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
représentation paramétrique de la droite (
) est {
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
, c’est-à-dire {
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Finalement, une représentation paramétrique de la droite (
) est {
(
)
où
.
).
Remarque importante : Une représentation paramétrique de droite est obtenue à partir du choix d’un point et
d’un vecteur directeur. C’est pourquoi il n’y a pas unicité de la représentation paramétrique d’une droite. En
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
l’occurrence, {
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
), c’est-à-dire {
(
) est une autre représentation
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
paramétrique de la droite (
).
3
Niveau : facile
On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Donner une représentation paramétrique de la droite ( ) passant
) et parallèle à la droite passant par les points (
) et (
).
par le point (
Retour au menu
Rappel : Parallélisme et colinéarité
On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soient ( ) et ( ) deux droites de vecteurs directeurs respectifs ⃗⃗
et ⃗. Ces droites sont parallèles (c’est-à-dire strictement parallèles ou confondues) si et seulement si ⃗⃗ et ⃗ sont
colinéaires.
Les droites ( ) et (
) étant parallèles, un vecteur directeur de la droite ( ) est le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour
coordonnées (
), c’est-à-dire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
( ) passe par le point
paramétrique de ( ) est {
).
) et admet ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
(
(
) (
) pour vecteur directeur donc une représentation
(
).
4
Niveau : facile
On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Donner une représentation paramétrique de la droite ( ) passant
) et orthogonale au plan d’équation
par le point (
.
Retour au menu
Rappel : Vecteur normal à un plan
Dire qu’un vecteur ⃗⃗ non nul est normal à un plan signifie que toute droite de vecteur directeur ⃗⃗ est
orthogonale à ce plan.
(
L’ensemble des points
, ,
) de l’espace qui vérifient l’équation cartésienne
désignent des réels non tous nuls et
(où
un réel) est un plan de vecteur normal ⃗⃗ ( ).
Réciproquement, si un plan a pour vecteur normal ⃗⃗ ( ), alors ce plan a une équation cartésienne de la forme
(où , ,
désignent des réels non tous nuls et
( ) est une droite orthogonale au plan d’équation
directeur un vecteur normal à ce plan.
Or, un vecteur normal au plan d’équation
( ) passe par le point
paramétrique de ( ) est {
(
(
(
) (
, donc ( ) admet pour vecteur
)
) et admet ⃗⃗ (
un réel).
est le vecteur ⃗⃗ (
).
) pour vecteur directeur donc une représentation
(
).
5
Exercice 5 (7 questions)
Niveau : facile
⃗ ⃗ ⃗⃗ ).
Soit la droite ( ) dont une représentation paramétrique est {
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
(
).
Donner les coordonnées de trois points appartenant à ( ).
Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant pour abscisse.
Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant
pour ordonnée.
Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant pour cote.
) appartient-il à ( ) ?
Le point de coordonnées (
Donner un vecteur directeur de ( ).
Donner le vecteur directeur de ( ) de cote .
Retour au menu
Soit la droite ( ) dont une représentation paramétrique est {
(
).
1) Donnons les coordonnées de trois points appartenant à ( ).
Rappel : Représentation paramétrique de droite et critère d’appartenance
Une représentation paramétrique d’une droite ( ) n’est pas un système à résoudre mais un critère
d’appartenance d’un point à ( ). Pour obtenir un point de ( ), il suffit d’affecter une valeur au paramètre de la
représentation paramétrique de ( ).
Pour chaque valeur réelle de , on obtient un point de ( ). Prenons donc arbitrairement 3 valeurs de distinctes.
 Si
, alors {
 Si
, alors {
, c’est-à-dire {
.
) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre
, c’est-à-dire {
.
.
) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre
.
6
 Si
√
√ , c’est-à-dire {
√
√ , alors {
√
√
√ .
√
√ ) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre
√
√ .
2) Donnons les coordonnées du point de ( ) ayant
pour abscisse.
Pour ce faire, cherchons le point de coordonnées (
). Ce point appartenant à ( ), ses coordonnées
vérifient chacune des équations paramétriques de ( ). Résolvons donc le système {
{
{
{
(
(
{
Le point de ( ) ayant
paramètre est égal à
)
)
{
pour abscisse a pour coordonnées (
). Ce point est obtenu lorsque le
.
Cherchons donc le point de coordonnées (
pour ordonnée.
). Ce point appartenant à ( ), ses coordonnées vérifient le
système d’équations paramétriques de ( ). Résolvons donc le système {
{
.
.
{
{
{
Le point de ( ) ayant
pour ordonnée a pour coordonnées (
paramètre est égal à .
Cherchons donc le point de coordonnées (
pour cote.
). Comme ce point appartient à ( ), ses coordonnées en
vérifient le système d’équations paramétriques. Résolvons donc le système {
{
.
( )
{
( )
{
{
7
Le point de ( ) ayant pour cote a pour coordonnées (
paramètre est égal à
.
5) Soit le point de coordonnées (
).
1ère méthode :
Ce point a pour abscisse
. Or, lorsque
coordonnées du point de ( ) lorsque
Or, si
(
, alors
, c’est-à-dire
, on a
)
(
et
Autrement dit, le point de coordonnées (
. Calculons les autres
)
.
) n’appartient pas à ( ).
Remarque : En revanche, le point de coordonnées (
paramètre
.
) appartient à ( ). C’est le point de ( ), de
2e méthode :
Vérifions si le système {
{
{
admet une solution réelle unique.
{
Ce système n’admet pas de solution donc le point de coordonnées (
) n’appartient pas à ( ).
6) Donnons un vecteur directeur de ( ).
Une représentation paramétrique de ( ) est {
conséquent, un vecteur directeur de ( ) est (
(
( ) (
( )
). Par
).
7) Donnons le vecteur directeur de ( ) de cote .
1ère méthode :
On cherche le vecteur directeur ⃗ de ( ), de cote
⃗⃗
précédente, un vecteur directeur de ( ) est ⃗⃗ (
), vecteur de cote
directeur ⃗ recherché est donc colinéaire à ⃗⃗ tel que ⃗
Par conséquent, le vecteur directeur de ( ) ayant
, c’est-à-dire le vecteur ⃗ (
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗ ).
. Ainsi,
Or, d’après la question
⃗⃗
⃗⃗ .
Le vecteur
⃗⃗.
pour cote est le vecteur de coordonnées (
).
8
2ème méthode :
On cherche le vecteur directeur ⃗ de ( ), de cote
vecteur de cote
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
, c’est-à-dire le vecteur ⃗ (
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗ )
colinéaire à ⃗⃗ (
),
. Comme ⃗ et ⃗⃗ sont colinéaires, leurs coordonnées sont proportionnelles. Ainsi, on a :
. Il vient alors que
⃗⃗
(
)
Par conséquent, le vecteur directeur de ( ) ayant
et
⃗⃗
.
pour cote est le vecteur de coordonnées (
).
9
Niveau : moyen
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de (
sur la droite ( ) dont une représentation paramétrique est {
(
)
).
Retour au menu
Rappel : Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace
⃗⃗
Dire qu’un vecteur ⃗⃗ (
⃗⃗
⃗⃗ )
et qu’un vecteur ⃗ (
⃗⃗
⃗⃗ )
sont orthogonaux équivaut à dire que leur produit scalaire
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗ ⃗ est nul. Dans un repère orthonormal de l’espace, ⃗⃗ (
⃗⃗ )
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
et ⃗ (
⃗⃗ )
sont orthogonaux si et seulement si
⃗⃗
.
⃗⃗
(
) donc ( ) est dirigée par le vecteur ⃗⃗ (
) le projeté orthogonal de sur ( ). Comme est le projeté orthogonal de
vient que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗ sont orthogonaux, c’est-à-dire que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
.
Notons
(
En utilisant la représentation paramétrique de ( ), il existe un réel tel que {
(
que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
D’où ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
)
(
)
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
. Dès lors, il vient
⃗⃗
)
. Ainsi, les coordonnées de
sont données par
)
(
).
(
)
Finalement, le point
sur ( ), il
).
est donc le point de ( ), de paramètre
(
{
), c’est-à-dire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
Le point
)
).
, projeté orthogonal de
sur ( ), a pour coordonnées (
).
10
Niveau : facile
(
respectives {
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soient les droites ( ) et ( ) de représentations paramétriques
) et {
(
).
1) Démontrer que les droites ( ) et ( ) sont sécantes.
2) Préciser les coordonnées de leur point d’intersection.
Retour au menu
1) Démontrons que les droites ( ) et ( ) sont sécantes.
(
) donc ⃗⃗ ( ) est un vecteur directeur de ( ).
(
) donc ⃗ ( ) est un vecteur directeur de
( ).
Or, comme il n’existe aucun réel non nul tel que ⃗⃗
⃗, les vecteurs ⃗⃗ et ⃗ ne sont pas colinéaires. Il
s’ensuit que les droites ( ) et ( ) sont soit coplanaires et sécantes soit non coplanaires et jamais sécantes.
Remarque importante : Attention ! Dans l'espace, deux droites non parallèles ne sont pas nécessairement
sécantes. Elles peuvent être non coplanaires et ne jamais être sécantes.
(
)
{
(
( )
)
( )
{
{
{
{
{
Le système admet pour solution le couple (
)
(
{
{
{
) donc les droites ( ) et ( ) sont sécantes.
2) Précisons les coordonnées du point d’intersection des droites ( ) et ( ).
Les coordonnées du point d’intersection de ( ) et ( ) sont donc obtenues, soit en remplaçant par dans la
représentation paramétrique de ( ), soit en remplaçant par dans la représentation paramétrique de ( ).
( ), de paramètre
(
) donc les coordonnées de l’unique point de
, vérifient ce système d’équations paramétriques pour
.
), c’est-à-dire
Ainsi, le point d’intersection de ( ) et ( ) a pour coordonnées (
(
).
11
Niveau : moyen
(
respectives {
) et {
(
). Déterminer, suivant les valeurs du paramètre
, l’intersection des deux droites.
réel
(
)
( )
( )
Retour au menu
(
)
tels que {
{
(
)
tels que {
(
)
tels que {
(
)
tels que {
(
)
tels que {
(
)
tels que {
(
)
tels que {
Posons
(
)
le discriminant du trinôme du second degré
donc le trinôme admet deux racines réelles
(
)
tels que {
. Alors
et
(
)
.
distinctes :
(
√
)
√
Par conséquent, 3 cas de figure sont à envisager :
, alors les droites ( ) et ( ) sont sécantes.
 si
Leur point d’intersection a pour coordonnées (
On note ( )
 si
( )
{(
), c’est-à-dire (
).
)}.
, alors les droites ( ) et ( ) sont sécantes.
Leur point d’intersection a pour coordonnées (
), c’est-à-dire (
).
12
On note ( )
( )
{(
}, alors les droites ( ) et ( ) ne sont pas sécantes.
{
 si
On note ( )
( )
)}.
.
Remarque : Dans ce dernier cas, comme elles ne sont pas sécantes, les droites ( ) et ( ) sont soit coplanaires
et confondues, soit coplanaires et parallèles, soit non coplanaires.
Or, une représentation paramétrique de ( ) est {
⃗⃗ (
(
) donc un vecteur directeur de ( ) est
). En outre, une représentation paramétrique de ( ) est {
(
) donc un vecteur
directeur de ( ) est ⃗ (
). Les cotes de ⃗⃗ et ⃗ sont égales mais par leurs ordonnées ; il n’existe donc aucun
non nul tel que ⃗⃗
⃗. Autrement dit, les vecteurs ⃗⃗ et ⃗ ne sont pas colinéaires et les droites ( ) et
réel
( ) ne sont ni confondues ni parallèles. Finalement, si
{
}, alors les droites ( ) et ( ) ne sont pas
coplanaires.
13
Niveau : facile
passant par (
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Déterminer l’intersection de la droite ( ) dirigée par ⃗⃗ ( ) et
):
1) avec le plan (
)
2) avec le plan (
)
3) avec le plan (
Retour au menu
1) Déterminons l’intersection de la droite ( ) avec le plan (
La droite ( ) est dirigée par ⃗⃗ ( ) et passe par (
(
{
)
).
) donc une représentation paramétrique de ( ) est
).
De plus, une équation du plan (
(
)
( )
(
)
) est
{
.
{
{
{
(
(
)
)
(
)
{
La droite ( ) et le plan (
) ont pour intersection le point de coordonnées (
Une équation du plan (
(
)
( )
(
) est
)
{
).
).
.
{
{
{
(
)
{
).
14
Une équation du plan (
(
)
( )
) est
(
)
{
).
.
{
{
(
(
)
)
{
{
).
15
Niveau : moyen
), (
L’espace est muni d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ) dans lequel on place les points (
(
) et (
). Etudier l’intersection de la sphère de diamètre [ ] et de la droite ( ).
Retour au menu
1) Dans un premier temps, déterminons une représentation paramétrique de ( ), droite passant par
Un vecteur directeur de cette droite est le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
), c’est-à-dire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
appartient à ( ) donc une représentation paramétrique de ( ) est {
). De plus, (
)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( )
). Donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
. Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées (
(
)(
)
(
Une équation cartésienne de la sphère ( ) de diamètre [
et .
)
.
2) Dans un second temps, déterminons une équation de la sphère ( ) de diamètre [
(
),
)(
].
) et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées
)
(
)(
)
] est donc
.
3) Déterminons désormais l’éventuelle intersection de ( ) et ( ).
(
)
( )
( )
{
{
(
)
( )
(
)
(
)
{
Soit
{
le discriminant du trinôme du second degré
donc le trinôme admet 2 racines réelles distinctes :
(
)
(
. Alors
(
√
)
)
.
√
16
Ainsi, on a :
(
)
( )
( )
{
{
{
{
La sphère de diamètre [
(
{
)
(
] et la droite (
{
) ont deux points d’intersection
et
de coordonnées :
)
17
Niveau : moyen
(
respectives {
) et {
(
).
1) Montrer que les droites ( ) et ( ) sont coplanaires.
2) Donner une équation cartésienne du plan qu’elles déterminent.
Retour au menu
1) Montrons que les droites ( ) et ( ) sont coplanaires.
vecteur ⃗⃗ (
(
). Par conséquent, ( ) est dirigée par le
(
). Par conséquent, ( ) est dirigée par le
).
vecteur ⃗ (
).
Or, ⃗
⃗⃗. Autrement dit, les vecteurs ⃗⃗ et ⃗ sont colinéaires. Il s’ensuit que les droites ( ) et ( ) sont
coplanaires.
2) Donnons une équation cartésienne du plan qu’elles déterminent.
Les vecteurs ⃗⃗ et ⃗ étant colinéaires, les droites ( ) et ( ) sont soit parallèles soit confondues. Montrons
qu’elles ne sont pas confondues.
D’après la représentation paramétrique de ( ), on déduit que (
( )
{
{
)
( ). Vérifions que
( ).
{
{
Ce système n’admet pas de solution donc
( ).
Finalement, les droites ( ) et ( ) sont strictement parallèles. Cherchons désormais une équation du plan ( )
qu’elles déterminent.
18
D’après la représentation paramétrique de ( ), on déduit que (
)
( ). Il vient alors ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
).
Ainsi, n’étant pas colinéaires, les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗ forment un couple de vecteurs directeurs du plan ( ).
Cherchons désormais un vecteur ⃗⃗ ( ) normal à ce plan, où ,
(
D’une part, ⃗⃗ ⃗⃗
)
(
D’autre part, ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Dès lors, (
)
(
(
Ainsi, en posant par exemple
)
)
)
(
et (
)
)
( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
(
)
)
(
(
)
)
.
, on obtient que ⃗⃗ ( ) est un vecteur normal à ( ).
Finalement, ( ) est le plan passant par (
(
et désignent des réels non tous nuls.
(
) et admettant ⃗⃗ ( ) comme vecteur normal.
)
(
)
(
)
Une équation cartésienne du plan déterminé par les droites ( ) et ( ) est
.
19
Niveau : moyen
L’espace est muni d’un repère (
(
) et (
).
⃗ ⃗ ⃗⃗ ) dans lequel on place les points
(
),
(
),
1) Donner une représentation paramétrique du segment [ ].
2) Donner une représentation paramétrique de la demi-droite [ ).
3) Montrer que [ ] et [ ) sont sécants et préciser les coordonnées de leur point d’intersection.
Retour au menu
1) Donnons une représentation paramétrique du segment [
].
Rappel : Représentation paramétrique d’un segment
(
Dire qu’un point
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soient (
) appartient à [
) et (
) deux points distincts.
] équivaut à dire qu’il existe un réel
[
] vérifiant le
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
système d’équations paramétriques de paramètre suivant : {
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
] est dirigé par le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées (
Le segment [
).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ainsi,
(
)
[
]
{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
[
])
(
{
[
])
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
{
(
[
]) est une représentation paramétrique du segment [
2) Donnons une représentation paramétrique de la demi-droite [
].
).
Rappel : Représentation paramétrique d’une demi-droite
Dire qu’un point
(
⃗ ⃗ ⃗⃗ ). Soient (
) appartient à [
) et (
) deux points distincts.
) équivaut à dire qu’il existe un réel
[
[ vérifiant le
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
système d’équations paramétriques de paramètre suivant : {
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
La demi-droite [
) est dirigée par le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Or, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ a pour coordonnées (
).
20
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ainsi,
(
)
[
)
{
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
[)
[
(
{
[)
[
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
{
3) Montrons que [
(
)
[
[) est une représentation paramétrique de la demi-droite [
[
]
] et [
[
)
) sont sécants et précisons les coordonnées de leur point d’intersection.
(
{
[
])
(
{
(
[
{
]
[
[
{
[
[
[
{
[
[
[
{
[
]
[
{
[)
[
)
]
]
[
).
[
]
[
[
{
[
]
[
{
]
{
Le système admet pour solution le couple (
Le point du segment [
], de paramètre
)
(
) donc [
] et [
) sont sécants.
, a pour coordonnées
.
{
Le point d’intersection de [
] et [
) a pour coordonnées (
{
).
21
Niveau : moyen
On munit l’espace d’un repère ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). On désigne par ( ) et ( ) les plans d’équations cartésiennes
respectives
et
. Caractériser l’intersection éventuelle de ( ) et ( ).
(
)
{
( )
(
( )
Retour au menu
{
)
{
{
{
{
{
{
{
(
{
(
{
)
)
{
Les plans ( ) et ( ) sont sécants suivant la droite dont une représentation paramétrique est
(
{
(
). Cette droite est dirigée par le vecteur
et passe par le point de coordonnées
(
)
).
22

Représentation paramétrique d`une droite

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