Liste d`exercices 3 - Tabard

Liste d’exercices 3
Prof. Vincent Tabard-Cossa
Quiz 3 : 28 janvier 2010
1
1.1
Exemples
Fil de longueur finie
On désire calculer le champ magnétique produit par un fil de longueur finie l en
un point P dans lequel passe un courant I (figure ??). Puisque le produit vectoriel
dl × ur donne un vecteur perpendiculaire à la page, nous pouvons utiliser la forme
scalaire de l’équation de Biot-Savart. Ainsi:
Z
Z
µ0 Idx sin θ
(1)
B = dB =
4πr2
En posant r = R/ sin θ et x = −R cot θ (dx = Rdθ/ sin2 θ) on trouve, en
intégrant de θ1 jusqu’à θ2 :
µ0 I
B=
4πR
Z
θ2
sin θdθ =
θ1
B=
µ0 I
[− cos θ]θθ21
4πR
µ0 I
(cos θ1 − cos θ2 )
4πR
(2)
On peut utiliser ce résultat partout là où il y a un fil rectiligne qu’il soit de
longueur finie où infinie même puisque nous avons alors θ1 = 0 et θ2 = π de sorte
que B = µ0 I/2πR.
1.2
Distribution de courant complexe
Un fil infini parcouru par un courant I est recourbé de sorte que nous obtenions
une sorte de U dont la base est un demi-cercle de rayon a (voir figure ??). Nous
cherchons le champ en P .
1
dB
r
P
y
R
x
θ
dx
I
x
P
θ2
θ1
I
Figure 1: Le fil rectiligne fini
Le champ magnétique B sort de la page pour toute section du fil. Il s’agit
alors de faire la somme des champs produits par la section rectiligne du haut, le
demi-cercle et la section rectiligne du bas. Pour la section du haut on trouve:
µ0 I
µ0 I
(cos 0 − cos(π/2)) =
(3)
4πa
4πa
Pour le demi-cercle, on calcule la moitié du champ produit au centre d’un anneau
complet:
Bh =
µ0 I
(4)
4a
Pour la section rectiligne du bas nous trouvons la même chose que pour celle du
haut (symmétrie):
Bdc =
µ0 I
µ0 I
(cos(π/2) − cos(π)) =
4πa
4πa
µ0 I
Le champ total est donc B = Bh + Bb + Bdc = 4a 1 + π2 .
Bb =
2
(5)
Champ magnétique créé par un long fil conducteur
Équations utiles: B =
µ0 I
(cos θ1
4πR
− cos θ2 ), B =
2
µ0 I
2πR
I
P
a
Figure 2: Exemple d’une configuration de courant “complexe”
1. Soit deux longs fils conducteurs rectilignes parcourus par des courants dont
les directions sont indiquées à la figure 3. (a) Déterminez le champ magnétique
résultant au point P . (b) Quelle serait la force exercée sur 1m d’un troisième
fil conducteur parcouru par un courant de 3A sortant de la page et placé en
P ? (Réponses: (a) (1.924i + 4.12j) × 10−5 T ; (b) (−12.36i + 5.772j) × 10−5 N )
y
P
x
8cm
I1 = 4A
6cm
12cm
x
I2 = 12A
Figure 3: Problème 2.1
2. Un éclair équivaut à un courant de 5 × 103 A d’une durée de 1ms. Évaluez
son champ magnétique à une distance de 2m perpendiculairement à l’éclair.
(Réponse: 5.00 × 10−4 T )
3. Une plaquette métallique mince de longueur infinie et de largeur l est parcourue par un courant I (figure 4). En divisant la plaquette en bandes
infinitésimales et en utilisant le résultat donnant le champ magnétique créé
par un fil infini, montrez
que le champ magnétique produit au point P est
µ0 I
l
B = πl arctan 2D .
3
Loi de Biot-Savart
sin θ
Équations utiles: ..., dB = µ0 Idl
version scalaire, B = µ0 N I sin3 α/2a le long
4πr2
de l’axe de N spires superposées et B = µ0 N I/2a au centre, B = 21 µ0 nI(cos α2 −
cos α1 ) le long de l’axe d’un solénoı̈de et B = µ0 nI sur l’axe d’un solénoı̈de infini
3
P
D
I
l
Figure 4: Problème 2.3
1. Soit une boucle de courant constituée de deux demi-cercles concentriques
reliés par des sections radiales (figure 5). Quel est le champ magnétique au
centre des demi-cercles ? (Réponse: (µ0 I/4)(1/a − 1/b))
b
a
Figure 5: Problème 3.1
2. Un cadre de côté l est parcouru√ par un courant I. Montrez que le champ
2µ0 I
.
magnétique au centre est B = 2 πl
3. Combien faut-il de spires de fil de cuivre isolé pour constituer un solénoı̈de de
longueur 25cm et de rayon 2cm si le courant est égal à 15A et que le champ
selon l’axe est de 0.02T (on néglige les effets de bord). (Réponse: 265)
4
Théorème d’Ampère
Équations utiles: ...,
H
B · dl = µ0 I
1. Utilisez le théorème d’Ampère pour démontrer que les lignes du champ
magnétique associé à un aimant ne peuvent s’arrêter brutalement comme
à la figure 6.
2. Un long fil rectiligne de rayon 2mm transporte un courant de 12A uniformément distribué sur sa section transversale. En quels points, à l’intérieur
4
N
S
Figure 6: Problème 4.1
et à l’extérieur du fil, l’intensité du champ magnétique est-elle égale à 25%
de sa valeur à la surface du fil ? (Réponse: r = 0.5mm et r = 8mm)
5