révisions - compléments : induction - CPGE

Énoncé de TD - Électromagnétisme 0b
(révisions - compléments : induction)
Physique - Chimie
Énoncé de TD - Électromagnétisme 0b
(révisions - compléments : induction)
Exercice 1 : Étiquette antivol
Un portique de sécurité de magasin est constitué de deux bobines se faisant face. La bobine de
l’émetteur est alimentée par un générateur de courant alternatif (fréquence f = 135 kHz). On mesure
la tension aux bornes de la bobine du récepteur. L’antivol, attaché aux objets du magasin, est constitué
d’un petit bobinage (cf enroulement du fil métallique) en série avec un condensateur (au centre).
Bobines
Antivol
émetteur
récepteur
~
Portiques de sécurité
1. Expliquer qualitativement pourquoi, lorsque l’étiquette se trouve entre les portiques, il apparaı̂t
dans le circuit de l’étiquette une force électromotrice de la forme e(t) = E0 sin(ωt) avec ω = 2π f .
2. Préciser le schéma électrique équivalent à l’antivol.
Déterminer l’équation différentielle gérant l’évolution de i(t).
3. Résoudre cette équation différentielle dans le cas où les phénomènes dissipatifs sont négligeables.
Quel phénomène se produit si LCω2 = 1 ? On suppose cette condition vérifiée ensuite.
4. Expliquer pourquoi, lorsque l’étiquette antivol est entre les portiques, le champ magnétique au
niveau du portique récepteur diminue (d’où une chute de tension, déclenchant l’alarme).
Exercice 2 : Pince ampèremétrique
Une pince ampèremétrique est constituée d’un tore de section
carrée de côté a = 5, 0 cm, d’axe Oz et de rayon moyen 3a/2
(petit rayon a, grand rayon 2a), sur lequel sont enroulés un
grand nombre N = 1 × 104 de spires en série. Ce circuit de
résistance totale R = 0, 2 Ω est fermé sur un ampèremètre de
résistance r = 0, 3Ω.
On va montrer comment cette pince permet de mesurer un
courant d’intensité I (t) = IM cos (ωt) (fréquence f = 50 Hz)
parcourant un fil, considéré ici comme infini.
Soit i (t) = iM cos (ωt + ∆ϕi ) le courant induit dans la pince
→
−
ampèremétrique en régime forcé et B le champ magnétique
total, créé par le fil et la pince. On suppose l’ARQS vérifiée.
→
−
1. Pourquoi faut-il I variable ? Déterminer B régnant dans le tore de la pince.
2. En déduire le flux magnétique total à travers les N spires du tore, puis la fém induite.
3. Écrire l’équation électrocinétique. A-t-on pris en compte l’inductance de cette bobine ?
4. Donner une condition sur N pour négliger R et r. Déterminer alors iM en fonction de IM .
Quel est l’intérêt de la pince ampèremétrique ?
Franck Galland
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Physique - Chimie
Exercice 3 : Chute d’une tige dans un champ magnétique
Une tige rectiligne de longueur a, de masse m et de résistance R
peut effectuer un mouvement de translation le long de la verticale
−
descendante →
ez en restant parallèle à une direction horizontale et
tout en fermant un circuit rectangulaire qui comporte une bobine
d’inductance L. La résistance totale du circuit est R quelle que
soit la position de la tige. L’ensemble du dispositif est plongé dans
→
−
−
un champ magnétique B = −B →
ey uniforme et stationnaire. La
tige est abandonnée sans vitesse initiale à t = 0. Son glissement
−
−
s’effectue sans frottements. On notera →
v = v→
ez (v ≡ vz ) sa vitesse
par rapport au référentiel du laboratoire, supposé galiléen.
1. En notant i l’intensité du courant qui circule à l’instant t dans le circuit, écrire une équation
différentielle faisant intervenir i, sa dérivée par rapport au temps, et la vitesse v de la barre.
2. Établir une équation différentielle liant la dérivée de v par rapport au temps, et le courant i.
3. En combinant les deux équations précédentes, faire apparaı̂tre un bilan de puissance.
4. (a) Écrire une équation différentielle faisant intervenir uniquement le courant i, en mettant en
évidence une pulsation propre ω0 et un coefficient d’amortissement λ à expliciter.
(b) Dans le cas d’une résistance suffisamment grande (à préciser), décrire qualitativement
l’évolution temporelle de i (t). Mettre en évidence un couple de valeurs particulières (i0 , v0 )
dont on explicitera la signification physique.
(c) Dans l’hypothèse d’une résistance négligeable, déterminer explicitement les fonctions i(t),
v(t) et z(t). Analyser la situation obtenue d’un point de vue énergétique.
−
→
(d) Discuter le signe de i et le sens de FL suivant que vz < 0 ou vz > 0. Vérifier le caractère
parfait de la conversion électromécanique.
Exercice 4 : Le transformateur
1. On considère un solénoı̈de de rayon r1 , parcouru par un courant i1 et possédant n1 enroulements
par unité de longueur. Ce solénoı̈de, de longueur `, sera considéré comme infini pour les calculs
de champ.
Déterminer le flux du champ magnétique créé par ce solénoı̈de 1 à travers lui-même.
En déduire l’expression de l’inductance propre de ce solénoı̈de 1.
2. On place maintenant un deuxième solénoı̈de (solénoı̈de 2, non relié au générateur) à l’intérieur
du premier, de même axe et même longueur, de rayon r2 < r1 , possédant n2 enroulements par
unité de longueur.
Quel est le flux du champ magnétique créé par le premier solénoı̈de à travers le deuxième ?
Donner l’expression de l’inductance mutuelle M.
3. Décrire qualitativement l’évolution de i2 (t) si i1 (t) = Cte .
4. Décrire qualitativement l’évolution de i2 (t) si i1 (t) = I1 1 − e−t/τ et si le circuit contenant le
solénoı̈de 2 est refermé sur lui-même seulement via une résistance R2 .
5. Le courant qui parcourt le premier solénoı̈de est maintenant un courant alternatif i1 = I1 cos (ωt),
ce qui constitue le cas du transformateur proprement dit. Déterminer la force électromotrice
induite par le solénoı̈de 1, en considérant seulement les flux des questions 1 et 2 :
(a) dans le solénoı̈de 1 ;
(b) dans le solénoı̈de 2. Commenter (on pourra considérer ici que r1 ' r2 ).
Franck Galland
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Physique - Chimie
Exercice 5 : Spire tournant dans un champ magnétique
On considère une spire rectangulaire de côté a et b, pouvant
tourner autour de l’axe Oz ; on néglige les frottements.
Cette spire, de résistance électrique R, est plongée dans un
→
−
champ magnétique B uniforme et stationnaire.
Elle est aussi soumise à un couple de rappel (constante de
torsion C).
z
b
y0
→
−
B
x0
1. Quelle est l’expression de la fém induite ?
a
2. Déterminer l’action exercée par le champ magnétique.
3. En déduire l’équation gérant l’évolution de la position
angulaire de la spire.
Exercice 6 : Oscillateurs couplés par induction mutuelle
Deux circuits électriques sont couplés par induction mutuelle,
comme indiqué sur la figure ci-contre. On néglige la résistance
électrique de chacun et on considère le cas où L1 = L2 = L
et C1 = C2 = C.
1. Soient q1 et q2 les charges des condensateurs à l’instant t ; établir un système d’équations
√1
différentielles en q1 et q2 . On posera k = M
L et ω0 = LC .
2. À l’instant initial, le condensateur C1 porte une charge Q tandis que C2 est déchargé. Les
intensités dans les deux circuits sont nulles. Résoudre le système précédent.
3. Montrer que si k 1, les fonction q1 (t) et q2 (t) sont sinusoı̈dales, de pulsation ω0 , modulées
en amplitude à une pulsation Ω à déterminer.
En pratique, quels phénomènes vont limiter la durée des oscillations ?
Exercice 7 : Haut-parleur
Un haut-parleur est un transducteur qui transforme de l’énergie
électrique en énergie mécanique de vibration (énergie acoustique).
Il est constitué de :
â un aimant permanent et fixe, cylindrique d’axe Ox et créant
un champ magnétique radial d’intensité constante B ;
â une bobine pouvant se déplacer dans l’entrefer de l’aimant ;
â un amplificateur, connecté à la bobine, qui se comporte comme
un générateur dont on notera E(t) la force électromotrice ;
â une membrane, solidaire de la bobine, disque plan et rigide de
masse m, mobile selon l’axe Ox ; elle est soumise notamment
à :
−
• une force de rappel −kx →
ex (x étant le déplacement de la
membrane par rapport à sa position d’équilibre) ;
→
−
• une force de frottement visqueux − f dx
dt ux (couplage avec
l’air).
La résistance totale du circuit est notée R, l’inductance propre L,
la longueur du fil bobiné `.
Données : B = 2, 0 T, ` = 10 m, R = 6, 0 Ω, L = 0, 50 mH, m = 15 g, k = 6 × 103 N·m−1 et f = 27 kg·s−1 .
Franck Galland
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Physique - Chimie
1. Décrire qualitativement le couplage électromécanique.
2. En supposant un couplage électromécanique parfait, obtenir l’expression de la fem induite e.
3. Déterminer un système d’équations différentielles régissant les évolutions de la position x(t) et
de l’intensité i(t).
4. Lorsque la force électromotrice E(t) est sinusoı̈dale de pulsation ω, quelle est l’impédance
complexe Z du haut-parleur ?
Proposer un schéma électrique équivalent (association série de R, L et de «Rm , Lm , Cm parallèle»).
Pour aller plus loin
Exercice 8 : Courants de Foucault : chauffage par induction
On considère un cylindre métallique (conductivité γ) d’axe Oz, de longueur ` et de rayon b (section
de surface S), placé dans un solénoı̈de long d’axe Oz, de section circulaire de rayon a > b, comprenant
une densité linéique de spires n («nombre de spires par mètre»), parcourues par un courant d’intensité
→
−
i = Im cos (ωt) (fréquence f = 50 Hz), à l’origine d’un champ magnétique B .
→
−
1. Rappeler l’expression de B . Déterminer la densité volumique de courants induits en tout point
→
−
du cylindre conducteur par ce champ B .
2. En déduire la puissance moyenne hPtot i dissipée dans le cylindre conducteur. Dans quel but
cette perte peut-elle être provoquée ?
isolées de même métal,
3. On remplace le cylindre par un grand nombre N de tiges cylindriques
D 0 E
de longueur ` et de section s ∼ S/N. Exprimer la puissance Ptot dissipée dans l’ensemble des
tiges, en fonction de hPtot i. Commentaires ?
4. On considère à nouveau un seul cylindre métallique, de rayon b. En supposant ` b et en
considérant les courants induits dans le métal entre les cylindres de rayon r et r + dr, déterminer
→
−0
→
−0
le champ magnétique d B créé par ces courants induits, puis le champ total B créé par tous
les courants induits, ce en un point quelconque du cylindre.
→
−0
→
−
Montrer que l’amplitude de B est négligeable devant celle de B si b 2δ en précisant
l’expression de δ.
Franck Galland
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