CCP – 2014 – Physique 1 – corrigé O.Ansor ( )

CCP – 2014 – Physique 1 – corrigé
O.Ansor
Mécanique
Exercice 1 : Satellites
I.1. le TMC appliqué à P s’écrit :
dLO ( P )
dt
 mMG

= OP ×  − 3 OP  = 0 ⇒ LO = OP ( t ) × mvP ( t ) = cst . OP ( t ) est
r


constamment normal au vecteur constant LO . P(t) évolue donc dans le plan normal à LO , passant par O.
(
)
ɺ r + rθɺeθ = mr 2θɺez = cst ⇒ C = r 2θɺ = cste .
I.2. LO = rer × m re
I.3. d’après le PFD : maP ier = − mC 2u 2 [ u ''+ u ] = −mMGu 2 . d’où l’équation différentielle du mouvement :
MG
MG
MG
, de solution : u = 2 + A cos (θ − θ 0 ) = 2 1 + ε e cos (θ − θ 0 )  . Ou encore :
2
C
C
C
u ''+ u =
r=
p
C2
, avec: p =
.
1 + ε e cos (θ − θ 0 )
MG
p
p
2p
p
+
=
= 2a ⇒ a =
.
2
1+ e 1− e 1− e
1 − e2
mMG
 mMG 
I.5. f = − 3 OP = ∇ P 
 = −∇ P ( EP ) . f est conservative et dérive de l’énergie potentielle
r
 r 
I.4. r (θ 0 ) + r (θ0 + π ) =
mMG
mMG
+ cst = −
( EP ( ∞ ) = cst = 0 ).
r
r
1 2 1
mC 2u
2
2
2


I.6. EC = mvP = mC u ' + u  . f est conservative, donc Em = EC + EP = cst .Or : EP = −mMGu = −
2
2
p
EP ( r ) = −
2
mC 2 (1 − e 2 )
mC 2 1 − e mC 2  1 − e 
mC 2 
mC 2 
2
2


.
Em = −
+
−2 + 2e + (1 − e ) =
−2 + 2e + (1 − e ) = −

 =
 2 p2 

p
p
2  p 
2 p2 
2 p2
Soit : Em = −
mC 2
mMG
=−
.
2 pa
2a
I.7. la surface balayée par OP pendant dt est : dS =
1
C
dS C
π ab
r × rdθ = dt ⇒
= = cst =
(loi des aires) .
2
2
dt 2
T
2π ab
p 
2ap
p2
p2  2
p2


2
2
2
b
+
a
−
=
a
⇒
b
=
−
=
−
1
=
= pa . Donc :
D’où : T =
.
Or
:


C2
1+ e 
1 + e (1 + e )2 (1 + e ) 2 1 − e  1 − e2

2
T=
2π a pa
pMG
I.8. vT =
I.9. a =
. Soit : T =
4 π 2 32
a
MG
.
M SG
M SG
2π rT
r
=
= vT T . AN : vT # 29,8kms −1 . vM # 24, 2kms −1 .
. vM =
TT
rT
rM
rM
2 ( Em − EP ( 0 ) )
rT + rM
= 1, 25 UA . vP =
.
2
m
I.10. ∆T =
π2
MG
3
a 2 . AN : ∆T # 258 jours 16h 9 min . ∆T =
rM β
v ∆T
⇒β= M
.AN : β #0,377rad ≃ 21, 6° .
vM
rM
I.11. d’après le TMCM : mr0ω 2 = G
mmM
m
⇒ ω = G M . AN : ω #1,87rad .s −1 .
2
r0
r0
m
mmM
mmM
−R ⇒ R = G
( r0 − h ) ω 2 = G
2
2
2
2 ( r0 − h )
I.12. d’après le PFD appliqué à P1, on a :
1

1
.
 2−
2
 r0 ( r0 − h ) 
GmmM h 2
mmM  
h2 
Au 1 ordre : R ≃ G
1 − 1 + 2 2   . soit : R ≃ −
. AN : R #3.10−8 N , trop faible.
4
2 
r0
r0  
2r0  
ier
Exercice II : système articulé de quatre solides
II.1. mT C3C = mC3C1 + mC3C2 + M C3C4 = M C3C4 ⇒ C3C =
M
M
C3C4 . d = C3C =
C3C4 .AN : d = 1m .
mT
mT
v
II.2. la CRSG des roues Sk s’écrit : vIk ∈Sk = vCk + ω × Ck I k = vex − ωez × rey = ( v + rω ) ex = 0 . D’où : ω = − .
r
II.3. le TMC appliqué à S1en Ck s’écrit :
dLCk ( S k )
dt
( )
v
= 0 + M Ck R k . Or : LCk ( Sk ) = jω = − j ez et
r
( )
M Ck R k = Ck I k × R k = −re y × (Tk ex + N k e y ) = rTk ez . D’où : Tk = − j
vɺ
.
r2
II.4. v = cste ⇒ Tk = 0 et d’après le TRC appliqué au système S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 , on a:
d ( mT v )
= F + mT g + R k + R k = 0 ⇒ F = mT g sin α et N1 + N 2 = mT g cos α .
dt
II.5. le TMC appliqué au système S1 ∪ S2 ∪ S3 s’écrit :
dLC3 (1, 2,3)
dt
( )
( )
( )
= 0 + M C3 R 1 + M C3 R 2 + M C3 F . Or :
LC3 (1, 2,3) = LC3 (1) + LC3 ( 2 ) + LC3 ( 3) ; LC3 (1) = jω + C3C1 × mv = jω + lex × vex = jω ; LC3 ( 2 ) = jω ;
( )
( )
LC3 ( 3) = 0 (mouvement de translation pure) ; M C3 R 1 = C3C1 × R 1 = −lN1ez ; M C3 R 2 = C3C 1 × R 1 = lN 2 ez et
( )
M C3 F = C3 H × F = − hFez . D’où : 0 = l ( N 2 − N1 )ez − hFez . soit : l ( N 2 − N1 ) = hF = hmT g sin α .
II.6. N 2 =
mT g 
h
m g cos α

cos α + sin α  . N1 = T

2 
l
2

 h

1 − l tan α  .
II.7. pour que le contact entre les roues et le câble persiste, il faut avoir : N1 > 0 et N 2 > 0 . Soit :
ta n α <
AN : tan α < 1, 67 ou α < 59° .
II.8. le TMC appliqué au système S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 s’écrit :
dLC3 (1, 2,3, 4 )
dt
( )
( )
( )
+ vC3 × mT vC = 0 + M C3 R1 + M C3 R 2 + M C3 F + M C3 ( Mg ) .
LC3 (1, 2,3, 4 ) = LC3 (1, 2,3) + Jθɺez . vC3 × mT vC = vex × mT ( vex + dθɺeθ ) . on suppose que
pour de faibles amplitudes, dθɺmax ≪ v . Ainsi : vC3 × mT vC ≈ 0 .
J θɺɺ = − mT C3C4 g sin θ ≃ − mT C3C4 gθ . De la forme : θɺɺ + Ω2θ = 0 : oscillations sinusoïdales de pulsation :
Ω=
mT C3C4 g
. AN : Ω # 4, 42rad .s −1 .
J
l
h
.
Remarque :
(
)
vC3 × mT vC = vex × mT vex + dθɺeθ = mT vdθɺ sin (θ − α ) ez ⇒ Jθɺɺ + mT vdθɺ sin (θ − α ) = −mT C3C4 g sin θ . Au 1ier
ordre en θ et ses dérivées, on obtient Jθɺɺ − mT vdθɺ sin α + mT C3C4 gθ = 0 : équation de solution divergente.
ɺ x = ( − Mg sin α + T − Mvɺ ) ex + ( − Mg cos α + N ) e y = 0 .
II.9. S4 est en équilibre dans R ' ( C3 xyz ) .Donc : Mg + R − Mve
Soit : T = Mvɺ + Mg sin α et N = Mg cos α .
II.10. le TMC appliqué à S4 en C3 dans le référentiel s’écrit :
ɺ x ] = 0 ⇒ er × [ gu − ve
ɺ x ] = −  g sin β + vɺ cos ( β − α )  ez = 0 . on en déduit :
C3C 4 × [ Mg − Mve
−
vɺ
g
=
sin β
cos ( β − α )
=
sin ( β − α + α )
cos ( β − α )
= tan ( β − α ) cos α + sin α ⇒ tan ( β − α ) = −
vɺ
− tan α .
g cos α
AN : tan ( β − α ) # − 0, 46 .
II.11. le TRC appliqué au système S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ,(cf II.4) s’écrit:
mT vɺ = F + T1 + T2 et d’après II.3 Tk = − j
d ( mT v )
= F + mT g + R k + R k = 0 (1) ⇒
dt
vɺ
. D’où : F = m T g sin α +  mT + 2 2j  vɺ . AN : F = −325 N .
2
r
r 

II.12. (1) ⇒ N1 + N 2 = mT g cos α .
le TMC appliqué au système S1 ∪ S2 ∪ S3 (Cf II.5. ) s’écrit :
LC3 (1, 2,3) = −
dLC3 (1, 2,3)
dt
= −lN1ez + lN 2 ez + −hFez .
2 jv
vɺ

2 j  h 
ez . D’où : −2 j = l ( N 2 − N1 ) − hF . soit : l ( N 2 − N1 ) = hmT g sin α +  hmT +  − 1  vɺ .
r
r  r 
r

On en déduit :
N2 =
mT g cos α hmT g sin α 
h
j  h 
m g cos α hmT g sin α 
h
j  h 
+
+  mT +  − 1  vɺ et N1 = T
−
−  mT +  − 1  vɺ .
2
2l
2
2l
 2l lr  r  
 2l lr  r  
Thermodynamique – Géothermie
Exercice III : Ondes thermique
III.1. le problème est invariant par translation suivant O
Ox et invariant par translation suivant Oy, donc : T(M,t)
T(z,t) .
III.2. jth ( M , t ) = −λ∇M T ( M , t )  . jth : vecteur densité de courant thermique. T ( M , t ) :température absolue
en M à t. λ : conductivité thermique du milieux. Loi analogue à la loi d’Ohm locale : j ( M , t ) = −γ∇ M [V ( M , t )] .
III.3. θ ( M , t ) = f ( z ) e
d 2 f ( z ) iω
(1 + i ) ω f z = 0 (1).
∂θ
∂ 2θ
.
=D 2 ⇒
−
f ( z ) = 0 .ou encore : f " ( z ) −
( )
2
∂t
∂t
dz
D
D
2
iωt
 ω

 ω

III.4. la solution générale de (1) est f ( z ) = A exp  −
(1 + i) z  + B exp 
(1 + i) z  .A et B constantes.
D


 D

Physiquement, T ( z → ∞, t ) est finie, d’où : B=0.
z
 ω

−
2D
ω 
 
z 
III.5. θ ( z , t ) = f ( z )eiωt = A exp  −
z + i  ωt −
z   = Ae δ exp  +i  ωt −   , avec : δ =
.
 D

ω
δ
D








θ ( 0, 0 ) = A = a .
z
z

cos  ωt −  : Les fluctuations de la température à la surface se propagent en
δ

profondeur en s’atténuant. 2πδ est la pseudo-période des variations spatiales de l’onde thermique. δ représente
aussi une distance caractéristique sur la quelle l’amplitude des fluctuations s’annule. Après une profondeur de
quelques δ , les variations occasionnelles de température à la surface ne sont plus ressenties.
III.6. T ( z , t ) = T0 + ae
III.7. θ ( z , t ) = ae
−
z
δ
−
δ
L
− 10
a
z

cos  ωt −  . ae δ = ⇒ L10 = δ ln10 .
δ
10

III.8.variations quotidiennes de température, la période des variations temporelle de température à la surface est
τ=
2π
ω
= 1 jour. δ =
2D
ω
#8, 4cm .D’où : L10 # 20cm .
Pour les variations annuelles, τ =
2π
ω
= 1an, δ #1, 6m et L10 #3, 70m : trop profond ! . On peut donc enfouir les
canalisations à une profondeur de 20 à 30 cm pour s’emparer des fluctuations journalières de température.
III.9. ∆t =
L10
ωδ
=
ln10
ω
=
τ ln10
ne dépend que de la fréquence des fluctuations de T à la surface.
2π
AN : variations quotidiennes, ∆t # 8h 48 min . Variations annuelles : ∆t # 47 jours 17h .
III.10. la pertinence du modèle réside dans le faite qu’il permet d’évaluer la profondeur que peut attendre une
fluctuation de température de surface et le temps qu’elle met pour atteindre cette profondeur. Néanmoins, ce
modèle est simpliste et ne prend pas en compte l’inhomogénéité et les variations temporelles (surtout
saisonnières) de la conductivité thermique, les fluctuations aléatoires de température à la surface qui ne sont pas
périodiques et la possibilité de production d’énergie interne .
Exercice IV : Pompe à chaleur géothermique
IV.1. diagramme de Clapeyron (voire figure)
IV.2. a) lv (T ) = hv (T ) − hl ( T ) .
b) c p =
γR
.
M ( γ − 1)
c) pour un GP, dh = c p dT ⇒ h(T ) =
γR
T + cst .
M ( γ − 1)
IV.3. a) w > 0 , qC < 0 et q f > 0 . e = −
2ième principe).
qc
. 1 < e < eC (1ier et
w
b) e = −
q f qc
qf
T f T f sc
qc
qc
1
=
=
et d’après le 2ième principe :
+ + sc = 0 ( tq sc ≥ 0 ) ⇒
=− −
w q f + qc 1 + (q f / qc )
T f Tc
qc
Tc
qc
1
. d’où : e =
1−
Tf
Tc
−
T f sc
qc
≤
Tc
1
=
= eC . e = eC ⇒ sc = 0 : c’est le cas d’un cycle totalement réversible.
T f Tc − T f
1−
Tc
IV.4. a) cycle thermodynamique (voir figure)
b) qc = q2→3 . q f = q4→1 .
c) au cours de 2 3 : c’est l’air intérieur à la maison de
température Tc qui joue le rôle de thermostat.
IV.5. a) sur le diagramme de Clapeyron, w est représenté
par l’aire du cycle.
b) en augmentant T f à Tc constante, l’aire du cycle, donc
w, diminue sans que qc change. L’efficacité e va donc
augmenter.
c) pour une PAC sur aquifère, la température de l’eau glycolée est relativement élevée par rapport à celle de
l’air ambiant d’hiver. Elle est donc plus efficace qu’une PAC air-air.
IV.6. a) 1 2 est une compression isentropique de gaz parfait, donc d’après la loi de Laplace :
1−γ
1−γ
T1 p1 γ = T2 p2 γ
p 
⇒ T2 = T f  f 
 pc 
1−γ
γ
b) qc = hV (Tc ) − hV (T2 ) − lv (Tc ) =
. T1 = T f . p1 = psat (T f ) = p f . p2 = pc . AN : T2 #335K .
γR
(Tc − T2 ) − lv (Tc ) . AN : qc #158kJ .kg −1 .
M ( γ − 1)
c) enthalpie massique de changement d’état : lv (Tc ) = hV (Tc ) − hL (Tc ) #151kJ .kg −1 .
Enthalpie massique de surchauffe :
γR
(T2 − Tc ) # 6,52kJ .kg −1 plus faible que lv .
M ( γ − 1)
C/C : qc est due principalement au changement d’état du gaz.
IV.7. a) la détente de Joule Kelvin est isenthalpique. Au cours de 3 4 h se conserve.
b) h4 = xhV (T f ) + (1 − x ) hL (T f ) = hL (Tc ) ⇒ x =
hL (Tc ) − hL (T f
hV (T f ) − hL
) . AN :
(T )
x #0, 272 .
f
IV.8. q f = hV (T f ) − h4 = (1 − x )  hV (T f ) − hL (T f )  . soit : q f = (1 − x ) lv (T f
IV.9. w = − q f − qc = h2 − h1 =
IV.10. a) e = −
b) eC =
)
. AN : q f #135kJ .kg −1 .
γR
T2 − T f ) . AN : w # 25, 2kJ .kg −1 .
(
M ( γ − 1)
(1 − x )  hV (T f ) − hL (T f )
hV (T f ) − hL ( Tc )
qf
qc
= 1+
= 1+
= 1+
. AN : e #6,36 .
γR
γR
w
w
(T2 − T f )
(T2 − T f )
M ( γ − 1)
M ( γ − 1)
Tc
. AN : eC #9, 23 . e < eC .
Tc − T f
Il y’a irréversibilité lors de la détente du gaz. Elle est due aux frottements et à la diffusion du fluide.