III - Construction de FRESNEL

DOCUMENT ANNEXE
III - LA CONSTRUCTION DE
FRESNEL
DEPARTEMENT SCIENCES
A.Biolluz
Janvier 2005
DOCUMENT ANNEXE
III - LA CONSTRUCTION DE FRESNEL
LES COORDONNÉES D'UN VECTEUR
→
→
Dans un plan possédant un repère orthonormé où i et j sont les vecteurs
→
unité portés par les axes, un vecteur V a deux coordonnées.
Il y a deux façons de présenter un vecteur. Soit :
→
V
Vx et Vy sont alors appelées les
coordonnées
cartésiennes
du
vecteur, ce sont des grandeurs
algébriques (positives ou négatives).
Vx
Vy
Ou bien :
→
→
→
V = V cos α i + V sin α j
V et α sont dans ce cas appelées ses
coordonnées polaires.
Il faut noter dans ce dernier cas que :
V est la norme (en mathématiques) ou la valeur (en physique) du vecteur.
La valeur d'un vecteur est toujours un nombre POSITIF.
α est l'angle que fait le vecteur avec l'axe OX.
Cet angle est un nombre positif à condition de l'évaluer en
partant de l'axe OX et en tournant dans le sens trigonométrique
(inverse du sens des aiguilles d'une montre).
Des relations d’évidence relient ces deux types de coordonnées :
Vx = V cos α
Vy = V sin α
Y
Vy = V sin α
→
V
α
Vx = V cos α
X
1
LA SOMME DE VECTEURS
→
→
Pour faire graphiquement la somme de deux vecteurs V 1 et V 2 , il suffit de les
→
mettre bout à bout et de représenter le vecteur somme S partant de l'origine du
premier pour rejoindre l'extrémité du second.
En regardant un tel graphique on constate que les coordonnées du vecteur
→
→
→
somme S sont les sommes des coordonnées des vecteurs V 1 et V 2 .
→
→
→
S = V 1+ V
2
Sx = V1x + V2x
S cos β = V1 cos α1 + V2 cos α2
Sy = V1y+ V2y
S sin β = V1 sin α1 + V2 sin α2
Y
Sy = S sin β
→
V2
→
S
β
→
V1
Sx = S cos β
X
L'expression des relations mathématiques entre ces coordonnées
montre que l'on peut toujours ramener une fonction trigonométrique [S cos
(β) ou S sin (β)] à une somme de fonctions de même type (les relations (1)).
Le graphique montre que l'on peut accéder à la valeur de cette somme
par une lecture directe des coordonnées du vecteur somme.
MÉTHODE DE FRESNEL
En électricité, on est amené à faire des sommes de tensions (ou d'intensités)
sinusoïdales dont l'expression mathématique est une fonction trigonométrique du
type UM cos (ωt + ϕ) ou UM sin (ωt + ϕ), ces fonctions ayant toutes même
fréquence, donc même pulsation ω.
Pour éviter des calculs fastidieux, on peut donc considérer que ces fonctions sont
→
les coordonnées de vecteurs U de valeur U et faisant l'angle (ωt + ϕ) avec l'axe
OX.
2
(1)
Soit u3 = u1 + u2
avec :
u1 = U1 cos (ωt + ϕ1)
u2 = U2 cos (ωt + ϕ2).
On sait donc que u3 peut aussi se mettre sous la forme :
u3 = U3 cos (ωt + ϕ3).
Ces trois fonctions peuvent en conséquence être considérées comme les
→ →
→
abscisses de trois vecteurs U 1 , U 2 et U 3 .
Si on représente ces trois vecteurs à trois dates différentes t0 , t' et t" (figure cidessous), on remarque qu'ils ont toujours la même position relative les uns par
rapport aux autres. En effet, quelle que soit la date, l'angle entre :
→
→
U 1 et U 2
est
(ωt + ϕ2).- (ωt + ϕ1) = ϕ2 - ϕ1 = Cte
→
→
U 1 et U 3
est
(ωt + ϕ3).- (ωt + ϕ1) = ϕ3 - ϕ1 = Cte
→
→
U 3 et U 2
est
(ωt + ϕ2).- (ωt + ϕ3) = ϕ2 - ϕ3 = Cte
De préférence on choisit donc de les représenter à la date t0 = 0 s pour
laquelle tous les angles ϕ sont facilement mis en évidence.
Y
Date t'
→
U2
→
U3
ϕ3
ϕ1
→
U1
Date t0 = 0
ϕ2
X
Date t"
On voit ainsi apparaître un triangle, qui peut être quelconque comme sur notre
figure.
Ensuite, en utilisant des relations de trigonométrie concernant les triangles, on
peut déterminer un des trois côtés de ce triangle et un de ses angles, connaissant
les deux autres côtés et angles.
3
DETERMINATION DES VALEURS DE U3 ET ϕ3
Dans un triangle ABC on vérifie la relation :
B
∧
a2 = b2 + c2 - 2 b.c.cos A
et les deux autres déduites par permutation :
c
a
∧
A
b2 = a2 + c2 - 2 a.c.cos B
∧
C
c2 = a2 + b2 - 2 a.b.cos C
∧
∧
b
∧
A + B + C =π
avec
a
ainsi que
b
=
ˆ
sinA
ˆ
sinB
=
c
ˆ
sinC
Dans le cas de notre exemple, nous pouvons observer que dans le triangle formé
→ →
→
par les trois vecteurs U 1 , U 2 et U 3 . :
Y
→
U2
→
U3
ϕ3
ϕ1
Date t0 = 0
ϕ2
→
U1
X
→
l'angle opposé à U 3 est égal à : π - (ϕ2 - ϕ1) = π + ϕ1 - ϕ2 ,
→
l'angle opposé à U 2 est égal à : (ϕ3 - ϕ1).
On en déduit les valeurs de :
2
2
U 3 = U 1 + U 2 − 2U 1 U 2 cos( π + ϕ 1 − ϕ 2 )
sin(ϕ 3 − ϕ 1 ) =
U2
sin( π + ϕ 1 − ϕ 2 )
U3
On remarquera que ces calculs se simplifient à l'évidence si l'un des angles
connus ϕ1 ou ϕ2 est nul.
4