Lycée Privé de Marcq-en-Baroeul Février 2012 BAC BLANC DE

Lycée Privé de Marcq-en-Baroeul
Février 2012
BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES
Série ES
Durée : 3 heures.
Calculatrice autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part
importante dans l’appréciation des copies.
SLPhDEB1112
Barème : 5 / 2 / 4,5 / 3,5 / 5.
Exercice 1 :
Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d’appareil photo
numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil.
Il a constaté, lors d’une précédente promotion, que :
• 20% des clients achètent l’appareil photo en promotion.
• 70% des clients qui achètent l’appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion.
• 60% des clients n’achètent ni l’appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion.
On suppose qu’un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte mémoire en
promotion.
Un client entre dans le magasin.
On note A l’évènement : « le client achète l’appareil photo en promotion ».
On note C l’évènement : « le client achète la carte mémoire en promotion ».
1. a. Construire un arbre représentant la situation que l’on complètera au fur à mesure des questions.
b. Donner les probabilités p ( A) et p ( A C ) .
2. Un client n’achète pas l’appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu’il n’achète pas non
plus la carte mémoire en promotion.
3. Montrer que la probabilité qu’un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34.
4. Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité que ce client achète aussi
l’appareil photo en promotion.
5. Le commerçant fait un bénéfice de 30 € sur chaque appareil photo en promotion et un bénéfice de 4 €
sur chaque carte mémoire en promotion.
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client. Aucune
justification n’est demandée.
Bénéfice par client en euros
Probabilité d’atteindre le bénéfice
0
0,6
Exercice 2 :
 
La courbe ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur [0, + [ dans le repère (O ; i , j ).
La droite TA est la tangente au point A d’abscisse 0.
La courbe admet une tangente parallèle à l’axe des
abscisses au point 1.
Enfin, la fonction f est croissante sur [1, + [ et sa
limite en + est + .
1. A partir des informations portées sur le graphique et complétées par les précisions précédentes,
répondre aux questions suivantes :
a. Donner f (0), f (1), f ’(0) et f ’(1).
b. Donner le tableau de variation de f sur [0, + [, complété par la limite en + .
2. Dresser le tableau de signes de f ’(x) sur [0,+ [.
3. On considère la fonction g définie par : g ( x) ln( f ( x)) .
a. Calculer g(1).
b. Dresser, en le justifiant, le tableau de variation de la fonction g sur [0 ; + [ .
c. Déterminer les valeurs de g’(0), g’(1).
d. Déterminer la limite de g en + .
Exercice 3 :
Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de
l’électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2 500.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0,5 ; 25] par f (x) = 18lnx −x2 +16x −15.
Si x représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que f (x)
représente le bénéfice mensuel de l’entreprise, en milliers d’euros.
On suppose que f est dérivable sur [0,5 ; 25], et on note f’ sa fonction dérivée.
1. Calculer f’(x).
2. Étudier le signe de f’(x) sur l’intervalle [0,5 ; 25]. En déduire les variations de f sur [0,5 ; 25].
3. a. Calculer f (1).
b. Montrer que sur l’intervalle [18 ; 19] l’équation f (x) = 0 admet une solution unique
Déterminer un encadrement de à 10−2 près.
c. En déduire le signe de f (x) pour tout x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25].
.
4. Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l’entreprise doit produire et
vendre pour être bénéficiaire ?
5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 euros ? Justifier la réponse.
6. Démontrer que la fonction G définie sur l’intervalle ]0 ; + [ par G(x) = x lnx−x.
est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l’intervalle ]0 ; + [.
En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [0,5 ; 25].
Exercice 4 :
Une infirmière libérale parcourt chaque jour entre 40 et 80 kilomètres. Elle calcule le montant de ses frais
de déplacement.
Soit g la fonction définie sur [40 ; 80] par g (x) = 20+ 40 ln(0,04x).
On admet que g (x) représente alors le montant des frais de déplacement exprimé en euros en fonction du
nombre x de kilomètres parcourus par jour.
1. Déterminer le montant des frais de déplacement pour 40 kilomètres parcourus.
(On précisera la valeur arrondie à 10–1)
2. a. Calculer g ′(x) puis étudier son signe.
b. Dresser le tableau des variations de g sur [40 ; 80].
3. Résoudre par le calcul dans l’intervalle [40 ; 80] l’inéquation 1+2ln(0,04x)
3.
4. Déterminer à partir de combien de kilomètres ces frais de déplacement s’élèveront au moins à 60 €.
(On arrondira le résultat au mètre près).
Exercice 5 : Uniquement pour les élèves ne suivant pas la spécialité.
Pour chaque question, il y a une seule bonne réponse. Recopier sur la copie la bonne réponse.
Question
A
B
-¥
-1
Une équation de la tangente à la
courbe de
y = x+2
y = -x + 4
y = 3x +1
au point d’abscisse 1 est :
Pour tout réel a >0, ln(a + a) =
2ln a
ln 2 + ln a
ln(a 2 )
x -3
F(x) =
x
-2x + 3x
)=
(2x -1)3
3
lim(
C
-
x ® +¥
f : x ® 3ln x - 2x +5
Une primitive sur ]0
; + [de f
3
définie par f (x) = 2 est
x
Si p(A) 0,49 ,
p(B) 0,38 et
p(AÇ B) = 0,11, alors
F(x) =
p( A
B)
3
x3
0,49
F(x) = -
p( A
B)
3
x2
0,87
p( A
B)
1
4
0,76
Exercice 5 : Uniquement pour les élèves suivant l’enseignement de spécialité
La société «Vélibre », spécialisée dans la location de vélos, a été créée en janvier 2010 avec un parc de
150 vélos neufs.
Afin de conserver un parc de bonne qualité, à partir du 1er janvier 2011 le directeur de la société a décidé :
– de racheter 40 vélos neufs au 1er janvier de chaque année ;
– de revendre 20 % des vélos au 1er janvier de chaque année.
1. Pour tout nombre entier naturel n, on modélise le nombre approximatif de vélos du parc en janvier de
l’année 2010+n par les termes de la suite (Un) définie pour tout nombre entier naturel n par
U n +1 = 0,8U n + 40 et U 0 = 150
Vérifier que U 1 et U 2 correspondent bien au nombre prévu de vélos du parc pour le 1er janvier 2011 et le
1er janvier 2012.
2. Pour connaître l’évolution du nombre approximatif de vélos du parc, le directeur utilise un tableur.
Voici un extrait de sa feuille de calcul
a. Conjecturer le sens de variation de la suite ( U n ).
b. Quelle semble être la limite de la suite ( U n ) ?
3. Pour tout nombre entier naturel n, on pose V n = U n −200.
a. Prouver que la suite ( V n ) est géométrique de raison 0,8. Déterminer son premier terme.
b. En déduire, pour tout nombre entier naturel n, l’expression de V n puis celle de U n en fonction du
nombre entier n.
c. Déterminer la limite de la suite ( U n ).
d. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : U n
e. En déduire le sens de variation de la suite ( U n ).
1
Un
10 0,8 n
4. A l’aide du tableau précédent, déterminer à partir de quelle année le parc comptera au minimum 195
vélos.
Retrouver ce résultat en résolvant une inéquation par le calcul.
.