T ES Bac Blanc Fév2012 - Lycée Léonard de Vinci

Lycée Léonard de VINCI
Février 2012
SAINT-WITZ
MATHEMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée conformément à la loi en
vigueur. L'échange de calculatrices lors de l'épreuve est interdit.
Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien
5 pages numérotées de 1 à 5.
Il complètera son nom ou son numéro de candidat à l'endroit indiqué
au bas de la page 2 et remettra l'énoncé avec sa copie.
Chaque candidat doit traiter 4 exercices au total.
Les exercices n° 1 , 3 et 4 sont traités par tous les candidats.
L'exercice n°2 diffère en fonction de la spécialité du candidat.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
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Exercice 1 :
(5 points)
Exercice commun à tous les candidats.
candidats.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses
proposées est exacte. Indiquer clairement sur la copie le numéro de la question et recopier entièrement la
réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème: Une réponse exacte rapporte 0,625 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de
réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice 1 est ramenée à 0.
Q1
Le prix T.T.C. (toutes taxes comprises) d'un article est 299€. Sachant que le taux de la T.V.A. est de 19,6 %, le prix
Q2
Une primitive de la fonction f définie sur l'intervalle ]0; +∞[[ par f ( x ) =
Q3
L'équation
H.T. de cet article est :
(a)
(a)
(a)
F( x ) = x ln x
ln
( x²
+
x ;
x+ 1
)=
aucune solution
;
+
240,40 € ;
(b)
0
(b)
F( x ) = x ln x
250 € ;
– 1
279,60 € ;
x + 1 est :
1
(c)
F( x ) = x ;
(c)
deux solutions
admet sur IR :
(b)
Alors, on peut affirmer que :
f (x)
(a) lim
= 0 ;
x ↦ +∞
ln
;
une seule solution
;
g est une fonction qui vérifie la propriété : Pour tout x de [1; +∞[[ ,
Q4
(c)
(b)
x
lim f ( x ) = 1 ;
x ↦ +∞
x
1 ≤
x
(c)
;
g( x ) ≤ 1 .
lim f ( x ) = +∞ ;
x ↦ +∞
x
Q5
On considère deux fonctions f et g définies sur un intervalle I, telles que g soit une primitive de la fonction f sur I.
On sait de plus que g est croissante sur I. Alors, on peut affirmer que :
(a) g est positive sur I ;
(b) f est positive sur I ;
(c) f est croissante sur I ;
Q6
La limite en +∞ de la fonction
Q7
Q8
t (x) =
–2 x
3
+ 3x
(2 x – 1)3
est :
(a) – ∞ ;
(b) +∞ ;
(c) – 1 ;
(d) – 1 ;
4
Soit v , la fonction définie et dérivable sur ]0 ;+∞[ par v(x) = 3 ln x – 2 x + 5 . Alors, dans un plan muni d'un
repère , la tangente à la courbe représentative de en son point d'abscisse admet pour équation :
(a) y = x + 2 ;
(b) y = – x + 4 ;
(c) y = 3 x + 1 ;
(d) y = x + 3 ;
Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux événements indépendants A et B tels que p (A) = 0,6
et p (B) = 0,2. Alors, on a : (a) p ( A ∪ B ) = 0,8 ;
(b) p ( A ∪ B ) = 0,68 ;
(c) p ( A ∪ B ) = 0,92 ;
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Exercice 2 :
(4 points)
Pour les candidats n'ayant PAS suivi l'enseignement de Spécialité .
Soit une fonction h , définie sur l’intervalle ] – 2 ; +∞ [ par : h (x) =
10 x ²
x+2
(C h) est la courbe représentative de h dans un repère.
1°) (a) Déterminer la limite de h en – 2. En déduire une asymptote à (C h) dont on précisera l'équation.
(b) Déterminer la limite de h en +∞.
40
(c) Vérifier que, pour tout x > – 2 : h (x) = 10 x – 20 +
x+2
(d) En déduire que la droite (D) , dont une équation est y = 10 x – 20 , est asymptote oblique à (C h) .
2°) (a) Vérifier que, pour tout x > – 2 :
h' (x) =
10 x (x + 4)
(x + 2) ²
(b) Etudier le signe de h' (x).
(c) Dresser le tableau de variation de h sur ] – 2 ; +∞ [ .
Exercice 2 :
(4 points)
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de SPECIALITE .
Un orchestre doit effectuer une
A
tournée passant par les villes
A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant
le réseau autoroutier. Le graphe (G)
ci-dessous représente les différentes
villes de la tournée, les autoroutes
reliant ces villes (une ville est
représentée par un point, une autoroute par
une arête) ainsi que les longueurs en
kilomètres de chaque tronçon :
B
300
F
400
D
700
200
400
500
700
100
H
C
300
200
200
E
200
G
1°) Est-il possible d’organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville, tout en
empruntant une fois et une seule chaque tronçon d’autoroute ? (la réponse sera justifiée).
Si oui, citer un trajet de ce type.
2°) On appelle M la matrice associée au graphe (G) (les sommets étant pris dans l’ordre
alphabétique). Ecrire la matrice M puis expliquer comment on obtient le nombre de chemins de
longueur 3 reliant B à H ? (la réponse devra être justifiée). Préciser ces chemins.
3°) Des contraintes de calendrier imposent en fait d’organiser un concert dans la ville F
immédiatement après un concert dans la ville A. Déterminer, en utilisant un algorithme dont on
citera le nom, le trajet autoroutier le plus court (en kilomètres) pour aller de A à F.
Préciser la longueur en kilomètres de ce trajet.
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Exercice 3 :
(5 points)
Exercice commun à tous les candidats.
Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un modèle d’appareil
photo numérique et un modèle de carte mémoire compatible avec cet appareil.
Il a constaté, lors d’une précédente promotion, que :
• 20 % des clients achètent l’appareil photo en promotion.
• 70 % des clients qui achètent l’appareil photo en promotion achètent la carte mémoire en promotion.
• 60 % des clients n’achètent ni l’appareil photo en promotion, ni la carte mémoire en promotion.
On suppose qu’un client achète au plus un appareil photo en promotion et au plus une carte mémoire
en promotion. Un client entre dans le magasin.
On note A l’évènement : « le client achète l’appareil photo en promotion ».
On note C l’évènement : « le client achète la carte mémoire en promotion ».
1°) . a. Donner les probabilités p ( A ) et p ( A∩C ).
. b. Un client n’achète pas l’appareil photo en promotion. Calculer la probabilité qu’il n’achète pas non
plus la carte mémoire en promotion.
2°) Construire un arbre pondéré représentant la situation.
3°) Montrer que la probabilité qu’un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34.
4°) Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité que ce client achète
aussi l’appareil photo en promotion (arrondir le résultat au centième près).
5°) Le commerçant fait un bénéfice de 30 € sur chaque appareil photo en promotion et un
bénéfice de 4 € sur chaque carte mémoire en promotion.
. a. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du bénéfice par client.
Aucune justification n’est demandée.
Bénéfice par client en euros
0
Probabilité d’atteindre le bénéfice
0,6
. b. Pour 100 clients entrant dans son magasin, quel bénéfice le commerçant peut-il espérer tirer de sa
promotion?
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Exercice 4 :
(6 points)
Exercice commun à tous les candidats.
Les deux parties peuvent êtres traitées indépendamment l’une de l’autre.
Partie A
1°) Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 20] par : f (x) = 0,3 x + 1,5 – 0,9 ln (x + 1).
On admet que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; 20].
Étudier les variations de f sur [0 ; 20] et dresser son tableau de variation.
2°) On donne la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 20] par :
g (x) = – 0,05 x – 1,5 + 0,9 ln (x + 1).
On admet que g est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 17]
et strictement décroissante sur l’intervalle [17 ; 20].
.(a
.(a). Justifier qu’il existe un unique réel x0 dans l’intervalle [0 ; 17] tel que g (x0) = 0.
Donner un encadrement de x0 d’amplitude 10- 2 .
.(b).
.(b). En déduire le signe de g (x) sur [0 ; 20].
Partie B
Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats de la partie A. On demande de justifier les réponses.
Dans une petite ville, un promoteur immobilier projette de construire un lotissement dont le nombre
de maisons ne pourra pas dépasser 20 maisons construites. Le coût de production, en millions d’euros,
pour n maisons construites ( 0 ≤ n ≤ 20 ) est donné par : C(n) = 0,3 n + 1,5 – 0,9 ln ( n + 1).
Chaque maison est vendue 250 000 euros.
1°) . (a). Calculer C(0). Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
.(b
.(b). Combien de maisons le promoteur doit-il prévoir de construire pour que le coût de production
soit minimal ?
2°) . (a). Montrer que le bénéfice réalisé pour la fabrication de n maisons est, en millions d’euros,
donné par B (n) = – 0,05 n – 1,5 + 0,9 ln ( n + 1).
.(b
.(b). Déterminer le nombre de maisons à construire pour que le bénéfice soit maximal.
Quel est alors ce bénéfice (à 100 euros près) ?
.(c). Déterminer le nombre minimal de maisons à construire pour que le promoteur ne travaille pas à
perte.
Pour la question suivante, on explicitera la démarche utilisée. Toute trace de recherche même
incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
.(d
.(d). À partir de combien de maisons construites le bénéfice du promoteur est-il supérieur à 200 000
euros ?
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