Laboratoire de mécanique assisté par ordinateur -- LMAO

Balle de tennis
Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
Laboratoire de mécanique assisté par ordinateur
– LMAO –
14/11/2007
1. Mise à jour 22/10/2009 (M. Godart et al.)
2. Mise à jour 23/09/2010 (M. Godart et al.)
email: godart at astro.ulg.ac.be
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Balle de tennis
Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
Balle de tennis
La balle de tennis décrit un MRUA:
1
y (t) = y0 + v0 t + at 2
2
v (t) = v0 + at
où y0 est la postion de la balle en t=0 seconde (y0 = 2.5m), v0 est
la vitesse initiale (v0 =0m/s) et a = −g . L’énergie totale est
donnée par:
1
E = Ec + Ep = mv 2 + mgh
2
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Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
Forces de frottements
La force de frottement s’oppose au mouvement
d’un objet qui glisse sur une surface.
~ = m~a = ~0
Au repos: ΣF
~
N
Au repos
~P
selon y :
y
⇒N = P
~
N
~Ffs
Au repos
~T
~ +P
~ = ~0
N
(1)
x
~
selon x : F~fs + T
= ~0
⇒ Ffs
= T
~P
(2)
~
N
En mouvement: la vitesse est constante
~ = ~0.
⇒ ΣF
⇒ N = P et Ffc = T .
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~T
~Ffc En mouvement
~P
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Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
F
Coefficient de frottement statique: µs
Coefficient de frottement cinétique: µc
(ou dynamique: µD )
Ffs
(max)
Ffc
Ffs (max) = µs N
Ffc = µc N
Laf
orcedef
ro} Laf
orcedef rottementcine
|
{z
|
{z
}
t
Ffs
Ffc
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Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
Forces de frottements
Si la traction T augmente, la force de frottement statique Ffs
augmente également. Lorsque T atteint une valeur suffisamment
grande, le bloc commence à glisser. Expérimentalement on montre
que:
Ffs max = µs N
(3)
Cette force est indépendante de l’aire de contact. La force qui
doit être appliquée pour qu’un objet qui glisse garde une vitesse
constante est inférieure à celle qui est nécessaire pour le mettre en
mouvement.
Ffc = µc N
(4)
Puisque Ffs max > Ffc on a µs > µc .
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Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
Démonstration 1
Démonstration 2
Mouvement vibratoire vertical non amorti
Mouvement d’une masse suspendue à un ressort.
La masse effectue un
mouvement vibratoire
autour de la position
d’équilibre ye .
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Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
Démonstration 1
Démonstration 2
Mouvement vibratoire vertical non amorti
Le sonar mesure la distance qui le sépare de la
masse.
Le capteur de force
mesure la force exercée
par le ressort sur le crochet.
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Mouvement vibratoire
Annexe
Démonstration 1
Démonstration 2
Mouvement vibratoire vertical non amorti
Mouvement vibratoire d’amplitude A et de fréquence angulaire ω
autour de la position d’équilibre ye .
Les équations du mouvement sont:
y (t) = ye + A sin (ωt + ϕ)
(5)
v (t) = A ω cos (ωt + ϕ)
(6)
2
a(t) = −A ω sin (ωt + ϕ)
(7)
On définit l’écart par rapport à ye : ∆y (t) = y (t) − ye
⇒ a(t) = −ω 2 [y (t) − ye ] = − ω 2 ∆y (t)
(8)
L’énergie cinétique et l’énergie potentielle de la masse suspendue
au ressort sont données par:
1
1
Ec = mv 2 et Ep = k(∆y )2
(9)
2
2
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Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
Démonstration 1
Démonstration 2
Mouvement vibratoire vertical non amorti
Sans masse
y
m
au repos
m en
mouvement
La force de rappel Fr est
I opposée au vecteur de déplacement
par rapport à ysans masse
I proportionnelle à ce déplacement
Au repos:
ysans
masse
F~r
−−→
y
sans
masse
~Fr
ye
~Fr
y~e
y(t)
−−→
y(t)
En mouvement:
F~r
~P
= −k [y~e − ~ysans masse ]
= −k ~h
(10)
~P
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= −k [~y (t) − ~ysans masse ]
= −k [~y (t) − y~e ] − k ~h
−→
= −k ∆y − k ~h
(11)
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Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
Démonstration 1
Démonstration 2
Mouvement vibratoire vertical non amorti
Sans masse
y
m
au repos
Dém 1: Forces qui s’appliquent sur la masse:
~ r et P
~
F
m au repos: position de m: ye
~ = ~0
ΣF
ysans
masse
~Fr
~ = ~0 donc k F
~r k − k P
~ k= 0
F~r + P
~ r k = k (ye − ysans masse ) = k h (12)
or k F
~ k = mg
kP
(13)
selon y :
ye
~P
⇒
k h−mg
⇒
= 0
k h = mg
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Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
Démonstration 1
Démonstration 2
Mouvement vibratoire vertical non amorti
Sans masse
y
m en
mouvement
m en mouvement: position de m: y (t)
~ = m~a
ΣF
~ = m~a
F~r + P
or
ysans
masse
~h
~r
F
(15)
= −k [~y (t) − ~ysans masse ]
h
i
= −k ~y (t) − y~e + ~h
~ r k = −k [y (t) − ye ] + kh
⇒k F
= −k∆y + kh
ye
−→
∆y
~Fr
y(t)
~P
de (14) on a :
k F~r k = mg − k∆y
(16)
(17)
⇒ (15) : (mg − k∆y ) − mg = ma
k
⇒ a = − ∆y = − ω 2 ∆y
(18)
m
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Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
Démonstration 1
Démonstration 2
Mouvement vibratoire vertical non amorti
~Fcap
y
Dém2: Forces qui s’appliquent sur le ressort:
~ cap , P
~ res , F~ 0 r
F
~ = mressort~aressort
En mouvement: ΣF
~ cap + P
~ res + F~ 0 = mres ~ares
F
r
~Pres
(19)
ye
~Fr
I
y(t)
~P
~F′
r
I
~ cap + F~ 0 = 0
Hypothèse: mres est négligeable: F
r
0
~
~
F = −Fr (action - réaction)
r
~ cap = F~r
⇒F
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Frottements
Mouvement vibratoire
Annexe
Utilisation du logiciel (Feuille disponible à l’examen)
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