Dimensions fractales

Dimensions fractales
Hervé Stève
[email protected]
KaféMath du 24/11/2011
1
PLAN
1. Généralités, Mandelbrot
2. Dimensions entières et
fractales
3. Des exemples
2
Généralités
Fractales : formalisme B. Mandelbrot (1975)
Dimension linéaire :
ex) feuille A4 : 210mm x 297mm
Nombre de coordonnées :
- Surface d’une feuille : dimension d=2
- Notre espace : d=3 : largeur, hauteur, profondeur
- d > 3 ? hypercubes, espace-temps …
Propriété d’un objet fractal :
ex) dimension fractale = 2,5
 dimension topologique objet ≠ dimension espace
3
Benoit Mandelbrot
Origine lituanienne, 1924-2010
Mathématicien franco-américain
Ecole Polytechnique, IBM, Yale, Cambridge …
Théorie de l’information
Les fractales
-Forme, hasard et dimension (1974)
-Théorie financière (dès 1961), temps multifractal
Une approche fractale des marchés (2004)
-De Mandelbrot : zn+1 = zn2 + c , c complexe
4
Fractale de Mandelbrot
5
Dimensions entières
d < 0 : kafemath du 6/01/2011
d = 0 : point, scalaire, sans axe
d = 1 : droite, vecteur, 1 axe
segments, courbes
d = 2 : plan, 2 vecteurs, 2 axes
quadrangles, …, surfaces, …
d = 3 : espace, 3 vecteurs, 3 axes
d > 3 : hyperespace, d vecteurs, …
d=4
hypercube
2d sommets
16 sommets
32 arêtes
24 faces
8 cubes
6
Fractale de Vicsek
Propriétés des colloïdes d’or (1983)
R=3
R=3²=9
n=1
5 carrés
n=2
5² carrés
R=33=27
R=1
n=0
1 carré
n : R=3n, V=5n carrés, R < V < Rd=2
Df = log3 5 ≈ 1,4650 < 2 = d
V=RDf Dimension fractale
V « volume »
R longueur caractéristique
n=3
53 carrés
7
Dimensions fractales
Calcul de Df : V=RDf
Fonction log = logarithme : logb b = 1
log (a x b) = log a + log b  log a² = 2 log a
 log ab = b log a
  log V = Df log R  Df = log V / log R
 Df = log 5n / log 3n = log 5 / log 3 = log3 5
n=5
Hiérarchie infinie des détails
Rugosité infinie (fractus)
Objet autosimilaire régulier
Df = logq p
8
propriétés
• Fractale désordonnée (or) :
aléa
Df = log 5 / log 3
n=5
• Loi d’échelle : V( r) = ( r)Df = Df V(r)
invariance par unité de longueur
Df dimension fractale de similitude = log V( r) / V(r)
• N(r) nombre de carrés de côté r : N(r)  1 / rDf
Df dimension fractale de « comptage de boites »
ex) Vicsek : r = 1/3n , N(r)=5n , Df=log N(r) / log(1/r)
9
Dimension de
Hausdorff-Besicovitch
 Espace métrique (X,dist) Félix Hausdorff (1918)
- espace euclidien : D=dimH(X) = d entier
- espace métrique : D=dimH(X) réel ≥ 0
Hs mesure de Hausdorff (Hs « volume », s réel ≥ 0)
h(Ai) diamètres de parties dénombrables Ai de X




s
s
H ( X )  lim inf  h( Ai ) : X   Ai 
r 0 h ( Ai )  r
i 1
 i 1

D = dimH(X) = inf { s, Hs(X) = 0} = sup { s, Hs(X) =  }
Propriété d’invariance : HD( X) = D HD(X)
10
Longueur d’une côte …
Somme de petites longueurs (s=1) :
H1  « infini »
Somme de petites surfaces (s=2) :
H²  0
Dépendance de la mesure !
On a affaire à une fractale !
Somme intermédiaire Hs
On trouve 1,2 < s < 1,3
côte ouest GB : D=1,24 >1
Côte de la Norvège D=1,52 (fjords !)
11
Auto-similarité
Si l’objet X est compact auto-similaire :
X = S1(X)  S2(X)  …  SN(X)
avec S1,S2,…SN similitudes de rapport r1,r2,…,rN<1
Alors s dimension d’autosimilarité vérifie :
r 1 s + r 2 s + … + r Ns = 1
et s = D = dimH(X) (avec une condition sur X)
Applications :
- Vicsek : 5 (1/3s) = 1  s = D = log3 5 < 2
- Poussières de Cantor :
rien
1/3
2 (1/3s) = 1  s = D = log3 2 ≈ 0,6309 < 1
Mesure(Cantor)=0, Cantor indénombrable !
1/3
12
Cantor (suite)
flocon de Koch
• Cantor asymétrique : 1  1/2 + rien + 1/4
1/4s + 1/2s =1  1 + 2s = 4s = (2s)2
 2s =  = (1+5)/2 nombre d’or
 s = D = log2  ≈ 0,6942 < 1
• Flocon de Koch :
4 (1/3)s = 1  s = D = log3 4 ≈ 1,2619 > 1
n=6
n=0
n=1
Périmètre = 3 x 4n/3n
13
Animation flocon de Koch
ZOOM
14
Zoom flocon de Koch
15
colloïdes d’or
agrégation rapide de particules
16
autour d’un germe
agrégat de particules
Df=1,7
Claquage électrique
(d=2)
17
percolation
Remplissage (carré, cube) avec probabilité p
en dessous du seuil
amas isolés
Df =2 en 3D
Df=1,6 en 2D
juste au seuil
amas compacts
Df=2,3 en 3D
Df=1,9 en 2D
18
Encore des fractales
Tout n’est pas fractal !
Q nombre rationnels : D=0 et Q dense dans R !
 R nombres réels avec décimales paires
Df = log 5 / log 10 ≈ 0,69897
Pseudo-fractales, autosimilarité variable, …
Exemples :
chou romanesco : Df=2,66
Mouvement Brownien : ligne brisée
et pourtant en 3D , Df=2 ! presque sûrement
19
Images
Julia
Fougères
20