Préférences contingentes et valorisation des actifs : les

Préférences contingentes et valorisation des actifs : les implications
pour les facteurs de l’APT
Mohsen Bouaissa∗†
Université Laval
(Préliminaire et incomplet)
8 mai 2003
Résumé
Près de trois décennies après l’introduction de la théorie de l’APT par Ross (1976, 1977), la question
du choix des facteurs responsables de la variabilité des rendements des actifs dans ce modèle demeure
ouverte, en dépit d’une vaste littéarture dans la matière. Deux principales approches ont été développées :
l’une faisant appel aux techniques statistiques d’analyses factorielles et en composantes principales pour
extraire les facteurs à partir de l’historique des rendements [Roll & Ross (1980), Connor & Korajczyk
(1986)], et l’autre s’appuyant sur l’intuition économique pour spécifier à l’avance un nombre de variables
fondamentales macroéconomiques ou financières [Chen et al. (1986), Fama & French (1993, 1995)] et
dont la pertinence est ensuite validée par les données. Les résultants obtenus sont peu probants, et les
travaux les plus récents en la matière, bien que techniquement plus élaborés, restent néanmoins dans la
même lignée, se rapportant à l’une ou l’autre de ces deux approches, et n’apportent pas de réponse définitive et convainquante à la question. Les modèles de valorisation des actifs avec préférences contingentes,
dévéloppés dans la littérature sur les anomalies du C-CAPM, semblent indiquer une voie prometteuse
pour trouver réponse à la question des choix des facteurs de l’APT. En ce domaine, la formulation avec
des préférences conditionnellement iso-élastiques proposée par Gordon et St-Amour (2000, 2002), est
particulièrement intéressante. En postulant une aversion au risque stochastique et fonction de l’état de la
nature sous-jacent, elle permet d’obtenir l’APT comme une version restreinte du C-CAPM, et d’adresser
la question du choix de ses facteurs. Se référant à cette théorie, nous investigons dans ce travail les im∗
Département d’Économique, Université Laval et Cirpée-Laval.
Je remercie D. Bolduc et M. Truchon pour leur aide précieuse, ainsi que le Cirpée-Laval pour l’accès aux données et l’appui
financier
†
1
plications de ce modèle pour le choix des facteurs de l’APT, et nous dérivons notamment de la théorie
des restrictions que doivent satisfaire ces facteurs. Pour illustrer l’approche, nous reconsidérons, dans
une application empirique, les variables proposées comme facteurs dans la littérature, et investigons leur
conformité avec les implications de la théorie.
1 Introduction
L’Arbitrage pricing theory (APT ci-après) de Ross (1976, 1977), et les raffinements ultérieurs de cette
théorie1 constitue l’un des principaux modèles d’évaluation d’actifs de la théorie financière et parmi les
plus populaires. Son grand attrait tient essentiellement à ses exigences théoriques minimales, la nature très
intuitive de son argument, et la simplicité et l’applicabilité immédiate de sa conclusion.
Pour l’essentiel, ce modèle attribue les movements des prix des actifs à un ensemble réduit de facteurs
communs, et prévoit que les rendements excédentaires espérés des titres sont des combinaisons linéaires des
poids de ces facteurs2 .
Une contrainte majeure à l’application de l’APT est que la théorie ne spécifie ni la nature ni le nombre
des facteurs qu’il faut retenir pour expliquer les rendements des actifs. Une large littérature s’est dévéloppée
autour de cette question, et les travaux en ce domaine peuvent être ramenés à deux approches : une approche
statistique, fondée sur l’analyse factorielle [ Roll & Ross (1980)] et en composantes principales [Connor &
Korajczyk (1986,1988)] pour dériver les facteurs, et une approche économique, se référant plutôt à l’intuition et la théorie, économique (approche macroéconomique de Chen et al., 1986), ou financière (approche
fondamentale de Fama & French, 1993, 1995) pour identifier les facteurs.
En dépit d’une bonne performance au plan empirique, l’approche statistique reste critiquable du fait que,
en utilisant uniquement l’historique des rendements des actifs, il est difficile de rattacher les facteurs extraits
aux variables fondamentales de l’économie et de leur attribuer une interprétation claire et intuitive, et les
estimations demeurent toujours sujettes au problème d’erreur de mesure sur les variables et dépendent des
spécificités des données.
Qaunt à l’approche économique, elle procède d’une logique plus intuitive, un plus cohérente avec la
théorie (mais certainement plus pragmatique), en spécifiant d’emblée un ensemble de facteurs, suggérés par
1
En statique : Huberman (1982), Chamberlain & Rothschild (1983), Ingresoll (1984), Reisman (1988), et en dynamique :
Chamberlain (1988), Reisman (1992), et plus récemment Björk & Näslund (1998).
2
Connor-Korajczyk (1995) offre une excellente revue de la dérivation et des principaux travaux empiriques sur l’APT.
2
une théorie ou une intuition, qu’on valide par la suite par les données. Outre le problème de mesure des
variables, se pose la question du bien-fondé du choix de tel ou tel facteur, d’autant plus qu’on dispose
pas d’une théorie, à proprement parlé, claire et communément acceptée pour la sélection des variables
pertinentes : tout ce qu’on a c’est le peu d’intuition fournit par Chen et al. 1986.
Ceci a motivé le courant Fama & French (1993, 1995) qui procède de manière encore plus pragmatique,
en considèrant comme facteurs, en plus d’indice de marché et indicateurs de risque financiers, les attributs
propres de la firme (tels la taille, le rapport entre valeur comptable et valeur du marché (book-to-market),
etc.), qui ont prouvé empiriquement pouvoir expliquer une bonne proportion des rendements. Bien qu’elle
performe bien mieux que l’approche macroéconomique, un problème majeur demeure avec cette approche
quant à la rationalisation du choix des facteurs propres, même si des travaux récents tentent de motiver
théoriquement l’inclusion de ces facteurs [Telmer & Zin (2002), Reisman (2003)].
Dans cet essai, nous réexaminons la question des choix des facteurs pour l’APT à la lumière des modèles de valorisation des actifs avec préférences contingentes. Plus précisément, se référant au modèle avec
préférences iso-élastiques de Gordon & Saint-Amour (2000, 2001), où l’aversion au risque, stochastique
et fonction de l’état de la nature, permet d’obtenir l’APT comme une version restreinte du C-CAPM, nous
considérons une extension simple de ce modèle, et investigons les implications pour le choix des facteurs de
l’APT. Nous dérivons de cette théorie certaines restrictions que doivent satisfaire ces facteurs. Pour illustrer
l’approche, nous reconsidérons, dans une application empirique, les variables proposées comme facteurs
dans la littérature, et investigons leur conformité avec les implications de la théorie.
La struture de la suite du papier est la suivante : un survol de l’APT, ses implications et de ses principales
applications empiriques est présenté dans la section suivante. Le modèle avec préférence contingente et ses
implications pour le choix des facteurs sont présentés dans la troisième section. Les détails et résultats de
l’application empirique sont présentés dans la quatrième section. Les conclusions et les questions ouvertés
sont présentées à la dernière section.
3
2 Bref survol de l’APT et ses études empiriques
Le modèle d’évaluation par arbitrage APT de Ross (1976, 1977) part du postulat que les rendements des
n actifs disponibles dans l’économie sont considérés, de manière unanime par les agents, comme générés
par un processus aléatoire linéaire à k facteurs, avec k ¿ n :
ri = r̄i + bi f + ²i ,
i = 1, ..., n,
(1)
avec ri le rendement de l’actif i, r̄i le rendement espéré de l’actif, f ≡ (f1 , ..., fk )0 est un vecteur de
réalisations de k facteurs communs, bi est un vecteur (1 × k) des poids respectifs des ces facteurs, et ²i est
une composante aléatoire qui traduit le risque spécifique du titre. Le modèle suppose qu’en moyenne l’effet
des facteurs est nul, E(fj ) = 0, et que ceux-ci sont non corrélés avec les risques spécifiques des actifs :
E(²i fj ) = 0, de sorte que la matrice V des covariances des rendements est donnée par :
V = BB 0 + Σ
où E(f 0 f ) = I, et Σ ≡ E(²0 ²) diagonale.
(2)
L’application d’un argument d’absence d’opportunité d’arbitrage sur le marché des actifs permet de dériver
la principale prédiction du modèle : les rendements espérés des actifs sont une combinaison linéaire des
poids des facteurs :
r̄i = λ0 +
K
X
bik λk ,
i = 1, ..., n.
k=1
Si de plus, il existe un actif sans risque qui rapporte r0 , et tel que b0k = 0 pout tout k, son rendement
serait λ0 , et on peut réécrire l’équation précédente comms suit :
r̄i − r0 =
K
X
bij λk = bi λ,
i = 1, ..., n,
(3)
k=1
avec λ ≡ (λ1 , ..., λK )ce qui donne la formulation alternative de la conclusion du modèle : les rendements
excédentaires des actifs sont une combinaison linéaire des poids des facteurs.
Simple et très intuitif, l’APT est d’autant plus intéressant qu’il paraît facile à appliquer. La principale
difficulté avec cette théorie est qu’elle laisse ouverte la question du nombre et la nature des facteurs à retenir.
Deux principales approches ont été dévéloppées pour tenter de répondre à cette question : (i) utiliser les
techniques statistiques, telles que l’analyse factorielle et en composantes principales, pour extraire les facteurs, (ii) s’appuyer sur l’intuition et la théorie économique pour retenir un ensemble de facteurs, notamment
des variables macroéconomiques. Nous les revoyons dans ce qui suit :
4
2.1 L’approche statistique pour la détermination des facteurs
Gehr (1975) est le premier à appliquer l’analyse factorielle à un ensemble de titres américains pour
identifier les facteurs suggérés par l’APT. Son approche est dévéloppée par Roll & Ross (1980) et étendue à
plusieurs de groupes de titres, et ils identifient cinq facteurs comme déterminants, dont deux sont valorisés
(priced). Chen (1983), dans une étude très similaire, retient a priori cinq facteurs, et montre que les facteurs
valorisés (priced) varient dans le temps.
En dépit d’une évidence en faveur de l’APT (les données supportent la formulation à k facteurs, et les
variables spécifiques aux titres, telles que la taille et leurs propres variances, qui mesurent leurs risques spécifiques, n’apportent aucun pouvoir explicatif supplémentaire), cette approche présente plusieurs faiblesses :
- il y a le problème d’indétermination des facteurs (rotation indeterminacy), qui empêche d’interpréter
l’amplitude des poids estimés des facteurs, et de les comparer dans le temps,
- le signe des coefficients des facteurs n’est pas fiable, et donc la nature de leurs effets demeure inconnue,
d’autant plus qu’on ne dispose d’aucune information a priori sur ces effets,
- le problème d’erreur de mesure sur les variables met en doute la robustesse des résultats obtenus,
- les facteurs retenus n’ont pas le même ordre d’importance pour différents titres,
- le nombre des facteurs obtenus et valorisés s’accroît avec le nombre de titres considérés et la longueur
de la période d’étude (Dhrymes et al. 1984, 1985)
- les estimations des primes de risque sont sensibles aux saisonnalités (Cho & Taylor, 1987 ; Gultekin &
Gultekin, 1987) et aux critères de composition des portefeuilles (Lehman & Modest, 1988).
Parallèlement, Chamberlain-Rothshild (1983) définissent le concept de structure approximative de facteurs3 et montrent qu’à toute fin utile, une analyse en composantes principales suffit pour l’identification des
facteurs. L’approche est baptisée analyse en composantes principales asymptotique (asymptotic principal
component analysis). Cependant, et en raison de sa nature asymptotique, la méthodologie nécessite un très
grand nombre de titres, et produit autrement des estimations biaisées (Grinblatt-Titman, 1985). Accroître
le nombre de titres étudiés pose des problèmes supplémentaires, puisque le nombre des facteurs identifiés
s’accroît avec le nombre de titres (Trzcinka, 1986), et peut conduire à surestimer le nombre de facteurs
(Brown, 1989).
3
Fondamentalement, la différence entre la structure exacte de facteurs dans la formulation de Ross (1976), et la structure approximative de Chamberlain-Rothschild (1983) porte sur la matrice Σ = E(²0 ²) : Ross exige que Σ soit diagonale, alors que
Chamberlain-Rothschild permettent que Σ soit non-diagonale, mais imposent que ses valeurs propres soit bornées.
5
Connor & Korajczyk (1986,1988) développent alors une méthodologie de test plus robuste (plus fiable
pour le détermination du nombre de facteurs, et permet certaines formes de variabilité des primes), et
confirment par leurs résultats qu’une structure de cinq facteurs explique la majeure partie des rendements
observés, qu’en général deux facteurs sont évalués et que les primes des facteurs sont affectées par la saisonnalité4 .
Shukla & Trzcinka (1990) comparent les deux méthodes et ne trouvent d’évidence pour la supériorité
de l’analyse factorielle sur celle en composantes principales.
Plus récemment, Jones (2001) propose une méthode alternative à l’approche de Connor-Korajczyk
(1986,1988) plus simple à appliquer et robuste à l’hétéroscédasticité des données, ce qui permet d’améliorer
la qualité des facteurs extraits et augmenter leurs pouvoirs explicatifs. Xu (2002) renoue avec l’analyse en
composantes principale pour définir l’approche des composantes expliactives maximales (maximum explanatory component) fondée sur le choix des composantes principales ayant le pouvoir explicatif le plus élevé
comme facteurs pour les titres.
En dépit des performances empiriques satisfaisantes de cette approche, deux critiques majeures lui sont
adressées : d’une part, les facteurs extraits ne sont que des artifacts statistiques auquels on ne peut attribuer
aucune signification ni inetrprétation claire et intuitive, d’autre part, le nombre de facteurs à retenir reste à
détreminer, et varie d’une étude à l’autre [Conway & Reinganum (1988), Connor & Korajczyk (1993)], ce
qui motive la recherche dans cette direction [Bai &Ng (2002), Xu (2002)].
2.2 L’approche macroéconomique pour les facteurs
L’idée d’utiliser des variables macroéconomiques suggérées par la théorie comme facteurs pour l’APT a
été suggérée par Chen (1983), mais Chen et al. (1986) est le premier travail dans ce sens. Les auteurs partent
de l’intuition qu’étant donné les possibilités de diversification, seules les variables macroéconomiques affectent de manière généralisée l’économie, les marchés des actifs et donc les prix des actifs, et devraient
être considérées en premier lieu comme facteurs pour l’APT. Les auteurs soulignent en particulier que les
variables qui traduisent les modifications des opportunités d’investissement des firmes, celles qui affectent
leurs cash-flows et les taux d’escompte affectent directement la valeur de leurs titres et leurs rendements.
4
Connor-Korajczyk (1993), dans un travail similaire, développent un test pour le nombre de facteurs à ternir, mais leurs résulats
confirment essentiellement les mêmes faits : près de cinq facteurs sont déterminants (4, 5 ou 6 sont siginificatifs), au-delà du 1er
voire le 2ème facteur, le pouvoir explicatif est considérablemnt réduit, la sensibilité à la saisonnalité (1à 2 faceturs en exclaunt le
mois de janvier, mais jusqu’à 6 en incluant ce mois.)
6
Pour sélectionner les variables pertinentes, les auteurs recommandent de se référer à la théorie, bien
qu’ils présentent plus des intuitions simples qu’une véritable théorie, et retiennent les innovations dans les
variables décrivant les variations des opportunités de production, des prix et les taux d’intérêt. Ils retiennent
notamment les variable suivantes : un indice de croissance de la production (le taux de croissance de la production industrielle), une mesure des variations des prix (variations anticpées et non anticpées de l’inflation),
et des mesures du risque : la prime de défaut (censée traduire les variations de l’aversion pour le risque),
et la prime du terme (spread, traduisant les variations du taux d’escompte). Ces variables s’avèrent significatives dans l’ensemble, exception faite de celles relatives à l’inflation, et leurs effets (signes) conformes
à ceux anticipés. Les auteurs expériementent avec des mesures de la coissance de la consommation (par
tête), des indices boursiers et des prix du pétrole, mais aucune de ces variables ne s’est avérée petinentes
(significatives).
Un grand nombre de travaux ont suivi cette étude, tout en restant dans la même lignée avec des variations mineures sur les mesures des facteurs [Burmesiter & Wall (1986), Burmesiter, Wall & Hamilton
(1986)] l’inclusion de nouveaux facteurs [Berry, Burmesiter & McElroy (1988), Caporale & Thorbecke
(1993)], sur les méthodes d’estimation employées [Burmesiter & McElroy (1988), McElroy & Burmesiter
(1988), Zhou (1999), Flannery & Protopapakais (2002)], ou les titres employées [Elton, Gruber & Blake
(1995), Thorbecke (2000)]. D’autres études ont considéré conjointement des facteurs macroéconomiques
et fondamentaux et/ou se sont intéressées à comparer leurs performances respectives [Chan, Karceski &
Lakonishok (1998), Connor (1995), Jensen & Mercer(2002), Zhou (1999)], ou ont reconsidéré l’étude de
Chen et al. à la lumière de données corrigées [Christoffersen, Ghysels & Swanson (2002)].
Pour l’essentiel, les résultats sont contradictoires, et il y a peu d’unanimité sur un ensemble particulier
de facteurs, bien qu’il semble y avoir un consensus, fondé presqu’exclusivement sur l’evidence empirique,
sur le fait que le nombre des facteurs serait de cinq, les deux ou trois premiers étant les plus déterminants.
Dans ce contexte, il paraît important de revenir à la théorie et/ou s’en inspirer pour identifier un ensemble
de facteurs qu’on peut justifier de manière cohérente avec le restant des modèles existants.
En ce domaine, les modèles de valorisation des actifs avec préférences contingentes, dévéloppés dans
la littérature sur les anomalies du C-CAPM, semblent indiquer une voie prometteuse pour trouver réponse à
la question des choix des facteurs de l’APT. En particulier, la formulation avec des préférences conditionnellement iso-élastiques proposée par Gordon & St-Amour (2000, 2002), est particulièrement intéressante.
En postulant une aversion au risque stochastique et fonction de l’état de la nature sous-jacent, elle permet
7
d’obtenir l’APT comme une version restreinte du C-CAPM, et d’adresser la question du choix de ses facteurs. Dans ce qui suit, nous considérons le modèle Gordon & St-Amour, et examinons ses implications
pour le choix des facteurs de l’APT, et nous en dérivons notamment des restrictions que doivent satisfaire
ces facteurs. Pour illustrer l’approche, nous reconsidérons, dans la section 4 une application empirique, les
variables macroéconomiques proposées comme facteurs dans la littérature, et investigons leur conformité
avec les implications de la théorie.
3 Le modèle
Suivant Gordon & Saint-Amour (2000, 2002), considérons le problème d’un agent représentatif, vivant
éternellement, qui souahite allouer sa richesse courante W (t) entre consommation C(t), et placement diversifié en un portefeuille composé d’un actif sans risque (d’indice 0) et n actifs risqués dans des proportions
ω(t) = (ω 0 (t), ω 1 (t), ..., ω n (t))0 respectivement. La valeur d’un actif à l’instant t, incluant ses paiements de
dividendes ou intérêts, est notée Pi (t), pour i = 0, ..., n, et les transactions se déroulent en temps continu.
Les préférences de l’agent sont caractérisées par une aversion au risque contingente (dépendante de
l’état de la nature, noté S(t)) et sont décrites par une fonction d’utilité V (t), définie par
V (t) = Et
R∞
τ =0 β
τ
U [C (t + τ ) , γ(S (t + τ ))]dτ ,
où Et (·) ≡ E(·|I(t)) est l’opérateur d’éspérance conditionnelle habituel, par rapport à l’ensemble d’information I(t), et β ∈ (0, 1).
Le problème de l’agent s’écrit donc :
max
{C(t+τ ),ω(t+τ )}∞
τ =0
Et
Z
∞
β τ U [C (t + τ ) , γ(S (t + τ ))]dτ
(4)
τ =0
sous les contraintes :
dW (t) = −C(t)dt +
n
X
i=0
ω i (t)
dPi (t)
W (t),
Pi (t)
n
X
ω i (t) = 1,
i=0
∀t,
(5)
et la fonction d’utilité instantanée U [C (t) , γ(S (t))] est strictement concave, et conditionnellement isoélastique de la forme :
U [C (t) , γ(S (t))] =
Θ [C(t)/Θ]1−γ(S(t))
,
1 − γ(S (t))
8
(6)
où Θ est un paramètre d’échelle subjectif, et γ(·) est une fonction continue strictement positive de S (t).
Conditionnellement à S (t) , U (·) est iso-élastique, et γ(S (t)) détermine courbure de la fonction et donc le
degré d’aversion relative au risque (au sens d’Arrow-Pratt) de l’agent. Avec cette formulation, l’aversion au
risque de l’agent varie avec l’état de la nature, tel que résumé par S (t) .
En notant c(t) = log C(t), pi (t) = log Pi (t), et θ = log(Θ), et en considérant que le vecteur de variables
[c(t), p0 (t), ...pi (t), ...pn (t), γ(S (t)]0 suivent un processus d’Itô conjoint, il est possible de montrer [Gordon
& Saint-Amour (2002), proposition 1] que les rendements excédentaires espérés des titres sont donnés par :
1
i = 1, ..., n,
Et [pi (t) − p0 (t)] = γ(S (t))σ ci (t) + [c(t) − θ] σ γi (t) − σ ii (t),
2
£
¤
avec σ ci (t) = Et [dc(t)dpi (t)] , σ γi (t) = Et [dγ (t) dpi (t)] et σ ii (t) = Et dpi (t)2 .
(7)
L’équation (7) est particulièrement intéressante puisqu’elle établit une relation linéaire entre le rende-
ment et le risque associé à la détention d’un titre, ce qui rappelle les modèles de facteurs, dont elle retient
aussi certains aspects. Le terme de covariance σ ci est en effet interprété dans la littérature du C-CAPM
comme le risque de consommation lié à la détention de l’actif, et l’extension au terme σ γi de covariance
entre le rendement de l’actif et l’aversion au risque, variable dans ce contexte, est immédiate : il s’agit d’un
risque sur les préférences : la détention d’un actif fait courir à l’agent un risque sur sa consommation pour
lequel il est rémunéré à γ(S (t)) par unité, et comme son aversion au risque est modifiée, une prime supplémentaire est exigée suite à cette modification, donnée par le terme [c(t) − θ] .Ainsi, si l’aversion au risque est
contra-cyclique (σ γi < 0), alors, plus la consommation est faible (c < θ), comme en périodes de recession,
plus la prime de risque exigée sur la détention du titre est élevée, et inversement lorsque la consommation est
elevée comme en périodes d’expansion. L’équation (7) peut aussi être perçue comme modèle de valorisation
des actifs à deux facteurs : un facteur de conommation et un facteur de préference, auxquels sont associés
les betas suivants : β c = σ ci /σ cc et β γ = σ γi /σ γγ . L’extention à un modèle à plusieurs facteurs est immé-
diate : s’il existe un ensemble de facteurs qui seraient arguments de la fonction γ(S (t)) et qui associeraient
un degré d’aversion relative au risque à l’état de la nature S (t), ils seraient inclus dans l’équation (7) avec
les betas correspondants. Ainsi, s’il est possible d’écrire l’aversion au risque γ (t) comme une combinaison
linéaire de (K − 1) facteurs Ik , k = 1, ..., K − 1 :
γ (t) = γ 0 +
K−1
X
k=1
9
γ k Ik (t),
avec les γ k comme poids des facteurs, et sous l’hypothèse que les (K − 1) suivent un processus d’Itô
P
conjoint, de sorte que dγ (t) = K−1
k=1 γ k dIk (t), on peut réécrire l’équation (7) comme :
"
#
"K−1
#
K−1
X
X
1
γ k Ik (t) σ ci (t) + [c(t) − θ]
γ k σ ki (t) − σ ii (t),
(8)
Et [pi (t) − p0 (t)] = γ 0 +
2
k=1
k=1
où σ ki (t) = Et [dIk (t)dpi (t)] est le terme de covariance entre le titre i et l’actif k, k = 1, ..., K − 1.
En supposant, pour simplifier, que les termes de covariance sont constants, l’équation (8) peut être
réécrite comme une équation de l’APT avec des primes de risques variables dans le temps, de la forme :
Et [pi (t) − p0 (t)] =
K−1
X
(9)
β ki λk (t),
k=1
avec β ki ≡ σ ki /σ kk , le beta du facteur k, et λk (t) sa prime associée, définie par :
λk (t) =


[c(t) − θ] γ k σ kk
h
i
 γ + PK−1 γ I (t) σ
k
kk
0
k=1 k
k 6= c
(10)
k = c.
L’équation (10) définit les restrictions imposées par le modèle de préférences contingentes avec utilité
conditionnellement iso-élastique sur le choix des facteurs pour l’APT : un des facteurs est nécessairement
la consommation et les autres facteurs doivent satisfaire les conditions de l’équation (10). Étant donné ces
éléments, nous souhaitons savoir si les facteurs retenus dans la littérature empirique de l’APT satisfont ou
non ces restrictions. A cet effet, nous considérons d’abord5 les facteurs retenus par l’approche macroéconomique, et pour ce faire nous devons spécifier au préalable le modèle économétrique.
4 Spécification économétrique, données et résulats
Pour explorer les implications de ces restrictions sur les choix des facteurs, considérons un ensemble
particulier de facteurs I(t) = [I1 (t), ..., IK−1 (t)]0 , et définissons le vecteur Y (t) = [p0 (t), c(t), I 0 (t)]0 , avec
p(t) = [p1 (t) − p0 (t), ..., pn (t) − p0 (t)]0 . On suppose aussi que les logs des prix des actifs, le log de la
consommation et les facteurs suivent un processus d’Itô conjoint, de la forme :
dY (t) = {AY (t) + b}dt + σdZ(t),
5
(11)
L’ambition du travail est de rééexaminer systématiquement l’ensemble des facteutrs retenus dans la littérature, et en ce sens cet
essai est un premier pas dans cette direction.
10
avec A = [akl ] pour k, l = p1 , ..., pn , c, I1 , ..., IK−1 , une matrice carrée [(n + k) × (n + k)] , b = [bk ] un
vecteur [(n + k) × 1] , σ = [σ k ] une matrice diagonale, et dZ(t) = [dZk (t)] un vecteur de processus Wiener
corrélés, avec Et [dZk (t)dZl (t)] = ρkl dt où ρkl est le coefficient de corrélation entre les processus et Zk (t) et
Zl (t). Il s’ensuit alors que Et [dY (t)dY 0 (t)] = Σdt = [σ kl (t)], avec σ kl (t) défini par : σ kl (t) = σ k σ l ρkl dt.
Avec cette formulation, les restrictions imposées par l’équation (10) sont :
∀i, j = 1, ..., n,
api pj = 0
PK−1
api c = k=1 γ k σ kpi ,
api Ik = γ k σ cpi ,
bpi = − 12 σ 2pi + γ 0 σ cpi − θ
hP
K−1
k=1
i
γ k σ kpi .
En intégrant ces restrictions dans l’équation (11), on obtient le modèle suivant :

 


 




p(t)
b
A
A
dp(t)
A
pp
pc
p
pI




 

 

 




 dc(t)  =  Acp Acc AcI   c(t)  +  bc  dt + σdZ(t)

 


 







A
A
A
b
I(t)
dI(t)
Ip
Ic
II
(12)
I
avec :
App = un bloc n × n de zéros,
(120 .a)
Apc = Σ0Ip γ −0 ,
(120 .b)
ApI
bp
= Σ0cp γ 0−0 ,
1
= − [diag(Σpp )]0 + γ 0 Σ0cp − θApc ,
2
(120 .c)
(120 .d)
et γ −0 = (γ 1 , ...., γ K−1 )0 et Σpp , Σcp et ΣIp les blocs de la matrice Σ correspondants à la décomposition :


Σpp Σpc ΣpI




Σ =  Σcp Σcc ΣcI  ,


ΣIp ΣIc ΣII
le restant des paramètres étant libres. Il est aussi utile de remarquer les restrictions entre équations : pour
deux titres i et j, les coefficients du facteur k, k = 1, ..., K − 1, sont donnés par : api Ik = γ k σ cpi et
apj Ik = γ k σ cpj , ce qui implique que pour γ k 6= 0 (le facteur affecte réellement l’aversion au risque de
l’agent), on a : api Ik /apj Ik = σ cpi /σ cpj .
Le modèle étant en temps continu, et les données réelles étant en temps discret, nous adoptons comme
première approximation de l’équation (11), la version en temps discret due modèle suivante :
Yt − Yt−1 = AYt−1 + b + ²t ,
11
(13)
avec E(²t |Yt−1 ) = 0 et V ar(²t |Yt−1 ) = Σ. L’équation (13) peut être réécrite sous la forme d’un vecteur
auregressif (VAR) comme suit :
Yt = [A + In+K ]Yt−1 + b + ²t ,
(14)
avec In+K la matrice identité de dimension (n + K). L’équation (14) définit la forme estimable du modèle
(12), et une façon simple de tester si le vecteur des facteurs It = [I1,t , ..., IK−1,t ]0 satisfait les restrictions
définies par les équations (120 .a − d) serait à tarvers un test du type ratio de vraisemblance (LR), après
avoir estimé le modèle de l’équation (14) sous sa forme contrainte et non contrainte, sous l’hypothèse de
normalité de la distribution du terme ²t . Étant donné un échantillon aléatoire de taille T , la fonction de
log-vraisemblance du modèle non contraint s’écrit alors :
T
(n + K)T
log(2π) − log |Σ|
2
2
T
1X
[Yt − (A + In+K )Yt−1 − b]0 Σ−1 [Yt − (A + In+K )Yt−1 − b] ,
−
2 t=1
L (A, b, Σ) = −
(15)
tandis que pour le modèle contraint, la log-vraisemblance est donnée par :
³
´
T
(n + K)T
log(2π) − log |Σ|
(16)
Lc γ, θ, Ã, b̃, Σ = −
2
2
T
1X
−
[Yt − (A∗ + In+K )Yt−1 − b∗ ]0 Σ−1 [Yt − (A∗ + In+K )Yt−1 − b∗ ] ,
2 t=1
où γ ≡ (γ 0 , γ 0−0 )0 , Ã et b̃ les sous-matrices de A et b, respectivement, des paramètres libres, et A∗ et b∗
designant A et b sous les contraintes des équations (120 .a − d).
En notant L∗ et L∗c les valeurs maximales de log-vraisemblance du modèle contraint et non-contraint,
respectivement, la statistique du test LR de l’hypothèse nulle définie par les équations (120 .a − d), est
définie, de manière usuelle, par LR = 2[L∗ − L∗c ], et est distribuée, asymptotiquement, sous la nulle selon
¡
¢
une χ2 4n2 .
4.1 Données
L’échantillon retenu pour l’application empirique porte sur des données américaines en fréquence mensuelle, couvrant la période de juin 1976 à juin 2000, pour un total de 300 observations. Les facteurs retenus
sont ceux identifiés par Chen, Roll & Ross (1986), et utilisés dans les travaux de même nature ultérieurs, et
12
concernent : la consommation, la croissance du PIB, les variations de l’inflation anticipée, l’inflation nonanticipée, la prime du terme et la prime de défaut. La consommation est mesurée par la dépense par tête en
biens non-durables et services, en dollars constants de 1996, et le taux d’intérêt sans risque est approximé
par le taux de rendement réel sur les T-bills à 3 mois. Le taux de croissance du PIB est mesuré par le taux
de croissance de l’indice de production industrielle, et l’inflation par les variations de l’indice des prix à la
consommation. Pour ce qui est des prix des titres, vu que les données disponibles concernent les rendements,
les différences de prix par rapport à l’actif sans risque, pit − p0t , sont obtenus en accumulant, à partir d’une
observation de base de 0, les rendements excédentaires des titres.
L’inflation anticipée est approximées par les valeurs predites de l’inflation, après avoir ajusté la série des
variations de l’IPC par un modèle ARIMA(1,1,1). Les résidus de ce modèle ont été retenus pour approximer
la série de l’inflation non-anticipée.
Pour ce qui est des primes du terme et de défaut, elles sont approximées par les différences entre le taux
sur les obligations à long terme du gouvernement (mesuré taux composite sur les titres du gouvernement
de plus de 10 ans d’échéance) et le taux des T-bills à 3 mois, et le taux de rendements sur les obligations
privées (notées Baa par Moody’s), respectivement.
Les données sur la consommation, les indices de production industrielle et des prix à la consommation,
et les taux d’intérêt sont obtenus à partir des données de la Federal Reserve (base de données FRED), et les
rendements sont obtenus à partir de la base de Datastream.
Une des difficultés à travailler avec ces séries, et qui survient régulièrement avec les données macroéconomiques, concerne la non-stationnarité et la présence de racine unitaire. Les tests de racine unitaire
confirment que c’est bien le cas pour la consommation et les prix des actifs, mais pas pour le restant des
variables, qui pourraient être considérées comme exempte de ce problème. Ceci écarte donc la possibilité
d’estimer le modèle par un VAR cointegré, et il s’avère indispensable de stationnariser les séries avant de
procéder à l’estimation, étant donné les problèmes d’inférence en présence de variables expliquées ayant
une racine unitaire. Une façon simple, et possiblement ad hoc, d’y parvenir serait d’éliminer la tendence
temporelle6 , et il est toujours possible de la justifier, à tout le moins pour la consommation en redifinissant
le paramètre d’échelle subjectif θ comme une fonction du temps, de la forme : θ(t) ≡ θ0 +θt. Nous adoptons
6
C’est essentiellemen la même stratégie qui est utilisée par Grossman, Melino & Shiller (1987), à l’exception qu’ils la motivent
par l’introduction d’une tendence temporelle dans la modélisation de la dynamique des processus de consommation et des prix des
actifs.
13
cette stratégie, et nous retenons comme séries pour de la consommation et les prix des actifs, les valeurs des
séries brutes desquelles une tendance linéaire du temps est soustraite.
Un dernier point qui mérite considération est celui du nombre d’actifs qu’il faut retenir, du fait que
le nombe de paramètres à estimer s’accroît très rapidement.7 Pour les besoins de l’application, nous avons
retenus cinq titres, un nombre qui nous paraîssait comme raisonnable pour éviter un modèle surdimensionné.
4.2 Résultats
Les résultats de l’estimation sont reproduits dans les tableaux 1 et 2 [tableau 2 à compléter] de l’annexe
pour le modèle non-contraint et contraint, respectivement.
L’examen du tableau 1 confirme bien le problème de racine unitaire, ce qui rend problématique toute
inférence à partir de ce tableau.8 Bien que les résultats de l’estimation contrainte ne sont pas encore disponibles, nous pensons que le problème va y être présent, et il n’est donc pas évident de conclure sur la
significativité des paramètres et ainsi le rôle des facteurs dans l’explication des rendements des actifs. Notre
intuition cependant est que seule la vraisemblance devrait être informative dans ce contexte : des veleurs de
la log-vraisemblance très différentes seraient en faveur du rejet du modèle contraint, ce qui suggèrerait que
les facteurs retenus dans l’approche macoéconomique ne satisfont pas les restrictions du modèle C-CAPM
avec préférences conditionnelement iso-élastiques. Nous somme toujours en l’attente de la convergence du
programme d’estimation du modèle contraint pour produire ces résultats et les interpréter.
Un des points que nous comptant explorer une fois le modèle contraint estimé est de voir si le niveau
P
d’aversion au risque qu’il prédit, donné par γ̂ (t) = γ̂ 0 + K−1
k=1 γ̂ k Ik (t), est dans la fourchette considéré
comme plausible dans les travaux sur le C-CAPM. Nous envisageons également de comparer γ̂ (t) à une
mesure de la confiance des consommateurs, telle que l’indice publié par la University of Michigan.
D’autre part, étant donné les difficultés d’inférences posées par le problème de racine unitaire, notre
intention est de réestimer le modèle par une approche bayesienne, dont les résultats sont valides en échantillon fini. Ceci devrait permettre de faire de l’inférence sans se préoccuper des conséquences de la nonstationnarité de certaines séries de variables.
7
En estimation non-contrainte, il faut estimer la matrice A, pour un total de (n + K)2 paramètres, le vecteur b et ses (n + K)
composantes, et la matrice Σ, pour 12 (n+K)(n+K +1) éléments, soit un total de 32 (n+K)(n+K +1) paramètres. En estimation
contrainte, ce nombre, plus faible, est de 12 (n + K)(n + 3K + 1) + 2K, mais continue à croître beaucoup plus rapidement que n.
8
Les passages en italique fairont l’objet de révision pour la version finale du papier.
14
Lemodèle théorique étant en temps continu, nous comptons dépasser le cadre approximatif du modèle
de l’équation (13) et estimer le modèle en temps continu.
Tous ces aspects techniques seront examinés dans la suite du travail, et nous comptons reconsidérer
tous les facteurs suggérés par la littérature, i.e. ceux des approches statistiques, macroéconomiques et fondamentales.
5 Conclusion
Une des critiques de fonds souvent adressées au modèle APT de Ross (1976), du moins par les économistes, est l’absence de cadre d’agent optimisant : le modèle est dérivé à travers un argument d’arbitrage, et non pas à travers l’examen d’un problème d’allocation de ressources entre consommation et
épargne, comme c’est le cas dans le C-CAPM de Lucas (1978) et Breeden (1979). Ls reconciliation entre
les deux modèles est obtenue par Dybvig (1983), Grinblatt & Titman (1983), Chen & Ingersoll (1983) au
prix de restrictions sur le processus générateurs des rendements (modèles de facteurs) et sur les préférences
(formes des fonctions d’utilités des investisseurs). Un des attraits du modèle C-CAPM avec préférences isoélastiques est qu’il permet de dériver l’APT sous restrictions beaucoup plus faibles, non par sur le processus
générateur des rendements ou les préférences, mais sur les betas, les primes et l’identité des facteurs, ce qui
définit un ensemble de restrictions testables.
L’objectif de cet essai a été de montrer comment dériver de telles restrictions, leur importance dans le
choix des facteurs de l’APT, et comment procéder pour les tester. Empiriquement, on est confronté, étant
donné la nature des données utilisées, à une difficulté majeure : la non-stationnarité des données jette un sérieux doute sur les éventuels résultats d’inférence à partir du modèle estimé selon l’approche classique. Ceci
suggère d’estimer le modèle selon l’approche bayesienne, ce qui devrait faire l’objet des travaux ultérieurs,
à travers l’examen systématique des divers facteurs retenus dans la littérature empirique de l’APT.
15
6 Références
Bai, J., S. Ng (2002), “Determining the Number of Factors in Approximate Factor Models.” Econometrica
70 : 191-221.
Berry, M. A., E. Burmeister, M. B. McElroy (1988), “Sorting Out Risks Using Known APT Factors.” Financial Analysts Journal 44 : 29-42.
Björk, T., B. Näslund (1998), “Diversified Portfolios in Continuous Time.” European Finance Review 1 :
361-387.
Breeden, D. T. (1979), “An Inter-temporal Asset Pricing Model with Stochastic Consumption and Investment Opportunities.”, Journal of Financial Economics 7 : 265-296.
Brown, S. J. (1989), “The Number of Factors in Security Returns.” Journal of Finance 44 : 1247-1262.
Burmeister, E., M. B. McElroy (1988), “Joint Estimation of Factor Sensitivities and Risk Premia for the
Arbitrage Pricing Theory.” Journal of Finance 43 : 721-733.
Caporale, T., W. Thorbecke (1993), “The Budget Deficit and the Arbitrage Pricing Theory.” Economics
Letters 41 : 313-317.
Chamberlain, G. (1988), “Asset Pricing in Multiperiod Securities Markets.” Econometrica 51 : 1283-1300.
Chamberlain, G., M. Rothschild (1983), “Arbitrage and Mean Variance Analysis on Large Asset Markets.”
Econometrica 51 : 1281-1304.
Chan, L. K. C., J. Karceski, J. Lakonishok (1998), “The Risk and Return from Factors.” Journal of Financial
and Quantitative Analysis 33 : 159-188.
Chen, N. (1983), “Some Empirical Tests of the Theory of Arbitrage Pricing.” Journal of Finance 38 : 13931414.
Chen, N., R. Roll, S. A. Ross (1986), “Economic Forces and the Stock Market.” Journal of Business 59 :
383-403.
Chen, N., J. E. Ingersoll, Jr. (1983), “Exact Pricing in Linear Factor Models with Finitely Many Assets : A
Note.” Journal of Finance 38 : 985-988..
Cho, D. C., and W. M. Taylor (1987), “The Seasonal Stability of the Factor Structure of Stock Returns.”
Journal of Finance 42 : 1195-1211.
16
Christoffersen, P., E. Ghysels, N. Swanson (2002), “Let’s Get ‘Real’ About Using Economic Data.” Journal
of Empirical Finance 9 : 343-360.
Connor, G. (1995), “Three Types of Factor Models : A Comparison of Their Explanatory Power.” Financial
Analysts Journal 51 : 42-46.
Connor, G., R. A. Korajczyk (1995), “The Arbitrage Pricing Theory and Multifactor Models of Asset Returns.” in Handbooks in Operations Research and Management Science : Finance , Volume 9, edited by R.
Jarrow, V. Maksimovic, and W. Ziemba. Amsterdam : North Holland.
Connor, G., R. A. Korajczyk (1993), “A Test for the Number of Factors in an Approximate Factor Model.”
Journal of Finance 48 : 1263-1291.
Connor, G., R. A. Korajczyk (1988), “Risk and Return in an Equilibrium APT : Application of a New Test
Methodology.” Journal of Financial Economics 21 : 255-289.
Connor, G., R. A. Korajczyk (1986), “Performance Measurement with the Arbitrage Pricing Theory : A
New Framework for Analysis.” Journal of Financial Economics 15 : 373-394.
Conway, D. A., M. R. Reinganum, (1988) “Stable Factors in Security Returns : Identification Through Cross
Validation.” Journal of Business and Economic Statistics 6 : 1-15.
Dhrymes, P. J., I. Friend, M. N. Gültekin, N. B. Gültekin (1985), “New Tests of the APT and Their Implications.” Journal of Finance 40 : 659-674.
Dhrymes, P. J., I. Friend, , N. B. Gültekin (1984), “A Critical Reexamination of the Empirical Evidence on
the Arbitrage Pricing Theory.” Journal of Finance 39 : 323-346.
Dybvig, P. H. (1983), “An Explicit Bound on Individual Asset’s Deviations from APT Pricing in a Finite
Economy.” Journal of Financial Economics 12 : 483-496.
Elton, E. J., M. J. Gruber, C. Blake, (1995) “Fundamental Economic Variables, Expected Returns, and Bond
Fund Performance.” Journal of Finance 50 : 1229-1256.
Fama, E. F., K. R. French (1993), “Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds.” Journal of
Financial Economics 33 : 3-56.
Fama, E. F., K. R. French (1995), “Size and Book-to-Market Factors in Earnings and Returns”, Journal of
Finance 50 :131-155.
17
Flannery, M. J., A. A. Protopapadakis (2002), “Macroeconomic Factors Do Influence Aggregate Stock Returns”, Review of Financial Studies 15 :751-782.
Gehr, A., Jr. (1978), “Some Tests of the Arbitrage Pricing Theory.” Journal of the Midwest Finance Association 7 : 91-106.
Gordon, S., P. St-Amour (2000), “A preference regime model of bear and bull markets.”, American Economic
Review, 90 : 1019-1033.
Gordon, S., P. St-Amour (2001,2002), “Asset returns and state-dependent risk preferences.”, en revision pour
Journal of Business and Economics Statistics.
Grinblatt, M., S. Titman (1985), “Approximate Factor Structures : Interpretations and Implications for Empirical Tests.” Journal of Finance 40 : 1367-1373.
Grinblatt, M., S. Titman (1983), “Factor Pricing in a Finite Economy.” Journal of Financial Economics 12 :
497-507.
Grossman, S.J., A.Melino, R. J. Shiller (1987), “Estimating the continuous-time consumption-based asset
pricing model.” Journal of Business and Economics Statistics 5 : 315-327.
Gültekin, M., N. B. Gültekin (1987), “Stock Return Anomalies and Tests of the APT.” Journal of Finance
42 : 1213-1224.
Huberman, G. (1982), “A Simple Approach to Arbitrage Pricing.” Journal of Economic Theory 28 :183-191.
Ingersoll, J. E., Jr. (1984), “Some Results in the Theory of Arbitrage Pricing.” Journal of Finance 39 :
1021-1039.
Jensen, G. R., J. M. Mercer. (2002), “Monetary Policy and the Cross-section of Expected Stock Returns.”
Journal of Financial Research 25 : 125-139.
Jones, C. S. (2001), “Extracting Factors from Heteroskedastic Asset Returns.” Journal of Financial Economics 62 : 293-325.
Lehmann, B. N., D. M. Modest (1988), “The Empirical Foundations of the Arbitrage Pricing Theory.” Journal of Financial Economics 21 : 213-254.
Lucas, R. E. (1978), “Asset prices in an exchange economy.” Econometrica 46 : 1429-1445.
18
McElroy, M. B., E. Burmeister (1988), “Arbitrage Pricing Theory as a Restricted Nonlinear Multivariate
Regression Model.” Journal of Business and Economic Statistics 6 : 29-42.
Reisman, H., (2003) “Accounting APT.” Working paper, Technion.
Reisman, H., (1992) “Intertemporal Arbitrage Pricing Theory.” Review of Financial Studies 5 : 105-122.Reisman,
H. (1988),“A General Approach to the Arbitrage Pricing Theory (APT).” Econometrica 56 : 473-476.
Roll, R., S. A. Ross (1980), “An Empirical Investigation of the Arbitrage Pricing Theory.” Journal of Finance
35 : 1073-1103.
Ross, S. A. (1977), “Return, Risk and Arbitrage.” In I. Friend and J. Bicksler (eds.) Risk and Return in
Finance, Cambridge, MA : Ballinger.
Ross, S. A. (1976), “The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing.” Journal of Economic Theory 13 :
341-360.
Shukla, R. and C. Trzcinka (1990), “Sequential Tests of the Arbitrage Pricing Theory : A Comparison of
Principal Components and Maximum Likelihood Factors.” Journal of Finance 45 : 1541-1564.
Telmer, C. I., S. E. Zin (2002), “Prices as factors : Approximate aggregation with incomplete markets.”
Journal of Economic Dynamics and Control 26 :1127-1157.
Thorbecke, W. (2000), “Monetary Ploicy, Time-varying Risk and the Bond Market Debacle of 1994.” Journal of Macroeconomics 22 :159-174.
Trzcinka, C. (1986), “On the Number of Factors in the Arbitrage Pricing Model.” Journal of Finance 41 :
347-368.
Xu, Y., (2002) “Extracting Factors with Maximum Explanatory Power.” Working paper, University of Texas
at Dallas.
Zhou, G., “Security Return Factors as Linear Combinations of Economic Variables.” Journal of Financial
Markets 2 : 403-432.
19
0,930
(0,020)
0,019
(0,011)
–0,021
(0,015)
–0,032
(0,017)
–0,015
(0,022)
2,499e–4
(3,454e–4)
–0,052
(0,058)
–9,040e–5
(7,970e–5)
–9,800e–5
(3,720e–5)
0,006
(0,003)
–0,020
(0,044)
p1,t
p2,t
p3,t
p4,t
p5,t
ct
gt
πtm
πtd
∆iet
∆in
t
–0,074
(0,100)
0,011
(0,007)
–1,162e–4
(8,490e–5)
–1,550e–5
(1,817e–4)
–0,109
(0,132)
5,430e–5
(0,001)
–0,119
(0,050)
–0,072
(0,038)
–0,025
(0,033)
0,909
(0,025)
–0,163
(0,046)
p2,t−1
0,010
(0,102)
–0,010
(0,008)
1,313e–4
(8,700e–5)
3,980e–6
(1,862e–4)
–0,038
(0,136)
2,154e–4
(0,001)
0,141
(0,052)
0,139
(0,039)
0,980
(0,034)
0,033
(0,025)
–0,012
(0,048)
p3,t−1
0,017
(0,098)
0,006
(0,007)
–2,208e–4
(8,360e–5)
–1,543e–4
(1,789e–4)
–0,225
(0,130)
0,001
(0,001)
–0,135
(0,050)
0,811
(0,037)
–0,036
(0,033)
–0,008
(0,024)
0,026
(0,046)
p4,t−1
0,029
(0,051)
0,001
(0,004)
1,860e–5
(4,360e–5)
–1,424e–4
(9,340e–5)
–0,185
(0,068)
0,001
(4,046e–4)
0,931
(0,026)
–0,008
(0,019)
0,009
(0,017)
–0,006
(0,013)
–0,008
(0,024)
p5,t−1
5,488
(2,326)
–0,526
(0,173)
0,003
(0,002)
–0,002
(0,004)
5,525
(3,084)
0,971
(0,018)
0,946
(1,175)
2,036
(0,879)
0,414
(0,772)
1,002
(0,575)
3,031
(1,082)
ct−1
–0,087
(0,044)
–0,003
(0,003)
7,040e–5
(3,770e–5)
7,640e–5
(8,060e–5)
0,124
(0,059)
0,001
(3,494e–4)
3,575e–4
(0,022)
0,009
(0,017)
–0,004
(0,015)
–0,028
(0,011)
–0,014
(0,021)
gt−1
–17,946
(11,054)
1,914
(0,822)
–0,030
(0,009)
0,943
(0,020)
–59,982
(14,656)
0,321
(0,087)
–1,700
(5,586)
2,489
(4,179)
–0,759
(3,672)
2,548
(2,734)
2,560
(5,142)
m
πt−1
–48,531
(28,658)
9,668
(2,130)
0,878
(0,024)
0,081
(0,052)
122,953
(37,998)
–0,312
(0,226)
–0,068
(14,483)
–5,250
(10,834)
0,478
(9,519)
10,744
(7,089)
3,720
(13,331)
d
πt−1
–0,211
(0,148)
–0,292
(0,011)
1,492e–4
(1,263e–4)
2,631e–4
(2,703e–4)
0,162
(0,197)
0,001
(0,001)
–0,122
(0,075)
–0,041
(0,056)
0,039
(0,049)
0,026
(0,037)
0,003
(0,069)
∆iet−1
0,056
(0,059)
0,383
(0,004)
–9,690e–5
(5,060e–5)
5,440e–5
(1,082e–4)
–0,129
(0,079)
–2,871e–4
(4,690e–4)
0,003
(0,030)
–0,012
(0,022)
–0,023
(0,020)
–0,038
(0,015)
–0,011
(0,028)
in
t−1
0,079
(0,050)
–0,016
(0,004)
2,302e–4
(4,270e–5)
–3,000e–5
(9,140e–5)
–0,183
(0,067)
1,027e–4
(3,958e–4)
0,005
(0,025)
0,007
(0,019)
0,002
(0,017)
–0,022
(0,012)
–0,010
(0,023)
cons.
0,116
0,967
0,913
0,915
0,229
0,962
0,929
0,926
0,962
0,921
0,949
R2
Valeur de la log-vraisemblance = 8725,022.
† ct = Log de la consommation par tête , gt = taux de croissance du PIB, πtm = prime du terme, πtd = prime de défaut, ∆iet = variation de l’inflation anticipée, in
t = inflation non-anticipée
∗ Le coefficient de la variable j dans la régression de la variable i est à l’intersection de la ligne i et de la colonne j, son écart-type est en dessous, entre parenthèses.
p1,t−1
Équation
Variables explicatives†
Tab.1: Résultats de l’estimation non-contrainte∗