FICHE C5 MATHEMATIQUES – CALCUL Résoudre des problèmes

FICHE
C5
MATHEMATIQUES – CALCUL

Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication

Approcher la division de deux nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de
groupements.
Items
AIDE À L’ANALYSE DES DIFFICULTÉS
Item 90 : si l’élève a répondu 337, il a
effectué une somme. Le mot « total » l’a
conduit à une addition. D’autres réponses
traduisent des erreurs de calculs. L’élève a
pu tenter des procédures personnelles, par
exemple de dessiner ou de représenter les
animaux et les fleurs. Les nombres étant
relativement grands, il avait peu de chance
d’aboutir.
90
91
92
Item 91 : l’élève peut ne pas avoir associé la
multiplication à ce problème. Il a pu tenter
des procédures personnelles, par exemple
de dessiner ou de représenter les boîtes de
balles. Il a pu se tromper dans le comptage
et donner une réponse proche : 46, 47, 49,
50. Il peut aussi oublier une boîte de balles
et répondre 44.
D’autres erreurs peuvent être dues à une
mauvaise maîtrise des techniques
opératoires : addition réitérée ou 12 x 4.
Item 92 : l’élève peut ne pas avoir reconnu
ACTIONS DE REMÉDIATION PROPOSÉES
 Ne pas calquer les problèmes proposés sur la progression des techniques
opératoires : toujours travailler sur des problèmes relevant des différentes
opérations et pas seulement de l’opération en cours d’étude.
 Associer un type de calcul à un problème mathématique avec différents
signes opératoires (+ - x :) proposés
 Lors de séances de résolution de problèmes, proposer des énoncés où
l’unique variable didactique est l’opération, tout le reste étant identique :
contexte, vocabulaire, données numériques (exemple ci-dessous). En
travaillant de la sorte, le travail de recherche de l’élève sera
obligatoirement centré sur le choix de l’opération (effet entonnoir).
Exemples d’énoncés dont la seule variable est l’opération :
- Dans un jardin, un parterre de fleurs est constitué de 5 tulipes rouges et de 40
tulipes jaunes.
Quel est le nombre total de tulipes dans ce jardin ?
- Dans un jardin, un parterre de fleurs est constitué de 5 tulipes rouges et aussi
de tulipes jaunes. Il y a 40 tulipes en tout.
Quel est le nombre de tulipes jaunes dans ce jardin ?
- Dans un jardin, un parterre de fleurs est constitué de 5 rangées ayant 40 tulipes
chacune.
Quel est le nombre total de tulipes dans ce jardin ?
- Dans un jardin, des fleurs sont organisées en rangée. Il y a 5 rangées de tulipes
et on compte 40 tulipes en tout.
Quel est le nombre de tulipes dans chaque rangée de ce jardin ?
 Associer un schéma à un énoncé donné. La difficulté de l’élève porte ici
une situation de partage. Il peut aussi avoir
commis une erreur de calcul dans l’opération
75 : 3. L’élève peut aussi avoir cherché à
résoudre le problème par un dessin et s’être
trompé dans le nombre d’éléments.
sur sa capacité à mobiliser une concentration de façon continue lorsqu’il
doit enchaîner plusieurs tâches (lecture, compréhension, recherche,
résolution, réponse). Il serait alors intéressant de placer l’effort principal en
début de travail :
o Placer la question au début du problème afin de focaliser l’attention
immédiatement sur l’objet de la recherche.
o Lui demander d’écrire dès le départ la phrase réponse en laissant
un « espace » pour la donnée numérique. Cela l’aide à fixer dès le
départ l’attendu et mieux orienter sa recherche.
o Après la résolution de l’opération, sa tâche sera seulement d’écrire
cette donnée numérique dans la phrase réponse.
o S’il est important que la technique opératoire de la soustraction
prenne sens pour l’élève, cette opération doit également avoir du
sens en terme de résolution de problèmes. Les élèves doivent donc
fréquenter les différentes situations soustractives.
Exemples :
J’ai placé 10 bouchons dans la boîte, j’en enlève 3. Combien y en a-t-il
maintenant dans la boîte ?  Sens « j’enlève ».
J’ai placé 6 bouchons dans la boîte et j’en ajoute un certain nombre. On en
compte maintenant 10, combien en ai-je ajouté ?  Sens « pour aller à »
Ici c’est l’addition à trou qui est naturelle, l’élève devra pourtant comprendre que
la soustraction est aussi outil de résolution.
Avec l’usage de plus grands nombres, rendant difficile la stratégie de calcul
mental ou de dessin, ce second sens de la soustraction pourra se construire
comme suit :
J’ai placé 25 bouchons dans la boîte et j’en ajoute un certains nombre. On en
compte maintenant 42, combien en ai-je ajouté ?
En menant un raisonnement collectivement, il s’établit que c’est mentalement
difficile et que le recours au dessin va être long, par contre il suffit d’enlever les
25 bouchons de départ pour compter ce qui reste.
Dans cette situation, le « pour aller à » est associé à « enlever ».
En calcul mental par contre, quelque soit le sens de la situation « pour aller à »
ou « enlever », l’élève utilisera la stratégie qui lui est la plus productive.
Vérifier donc que l’élève associe l’usage de cette opération aux deux principales
situations : la situation « partage » (division partition) et la situation «
groupement ou combien de fois» (division groupement). L’usage de la
manipulation permettra aux élèves d’appréhender plus concrètement la nuance
entre ces deux situations faisant pourtant appel au même outil.
Exemple :
- J’ai 12 bonbons à partager entre 3 camarades. [12 à partager en 3]
En manipulant, les pions sont forcément distribués 1 par 1 pour 3 camarades
jusqu’à épuisement.
En parallèle de la manipulation, toujours indiquer aux élèves l’écriture
mathématique correspondant à la situation (12 : 3 = 4)
- J’ai 12 élèves à répartir en équipe de 3. [dans 12 combien de fois 3]
En manipulant, l’élève constate qu’il ne peut distribuer les pions 1 par 1. Il les
distribue par 3 jusqu’à constitution de toutes les équipes (il a groupé par 3 et a
intuitivement raisonné sur en 12 combien de fois 3).
En parallèle de la manipulation, toujours indiquer aux élèves l’écriture
mathématique correspondant à la situation (12 : 3 = 4)
Avant les programmes 2008, ces situations étaient déjà proposées mais avec les
programmes 2008, il faut systématiquement associer le signe « : » et transmettre
aux élèves que :
- « partager » c’est « diviser », « : »
- « combien de fois » c’est « diviser », « : »
Avec de plus grand nombre, le recours au matériel multi-base s’appuyant sur les
connaissances en numération par le « cassage » des dizaines (cf. exemple pour
la soustraction, item 76) permet, en plus de proposer les deux situations, de
construire de façon intuitive le futur algorithme opératoire qui sera construit au
CE2.
- 5 pirates se répartissent les 40 pièces d’or de leur trésor. (40 à partager en 5)
- Avec 40 pièces d’or des pirates constituent des bourses devant avoir 5 pièces
chacune.(regroupement par 5, en 40 combien de fois 5)
Dans les deux cas, l’élève cassera les 4 barres dizaines contre 40 pions pour
ensuite distribuer 1 par 1 (1er cas) ou 5 par 5 (2ème cas) et constatera un même
résultat de 8 (8 pièces chacun ou 8 bourses constituées)
L’élève doit alors faire appel à ses compétences en calcul réfléchi et exploiter sa
connaissance des tables de multiplication (de 2 à 5) pour savoir en 3, combien
fait 45.
Cela suppose donc un travail sur les tables par différentes approches :
« quel nombre multiplié par 3 donne 45 ? », « en 45 combien de fois 3 ? », etc.
Cf.« aide à l’analyse des évaluations CE1 » items 75, 76, 77, 78, 79 selon
l’opération.