Cours Contraintes - Bienvenue au département Génie Civil de l`IUT

Transcription

IUT Béthune – Génie Civil Année Spéciale– RDM
S. KESTELOOT
COURS : CONTRAINTES NORMALES ET TANGENTIELLES I) Généralités : 1.1) But de l’étude :
Toute structure doit être suffisamment résistante pour supporter les charges auxquelles
elle sera soumise au cours de sa durée de vie.
Les critères de résistance sont toujours basés sur les contraintes. En effet, à partir d’essais sur
les matériaux, on déduit les valeurs limites à ne pas dépasser.
Cette partie de cours est donc primordiale dans l’étude des structures.
Les calculs seront réalisés principalement à l’état limite ultime (ELU). Cet état limite fait appel
à des combinaisons d’actions définies dans l’Eurocode 1 du type :
(G : charge permanente Q : charge d’exploitation)
1,35G + 1,5Q
1.2) Rappels :
Lors du module MS1, nous avons défini les sollicitations suivantes :
Nx Effort normal
Vy Effort tranchant selon l’axe y
Vz Effort tranchant selon l’axe z
Tx Moment de torsion
My Moment de flexion selon l’axe y
Mz Moment de flexion selon l’axe z
1.3) Définition (Cauchy) :
« Sur toute facette dA d’une coupe naît une force de surface : f appelée vecteur
contrainte »
Cauchy – 1822
Les sollicitations représentent les actions qui agissent entre la partie gauche et la partie
droite de la « barre » symbolisant la poutre. Cependant, il faut répartir ces sollicitations sur la
section, d’où le principe des contraintes.
q Vy
Tx
Vz
q
Mz
My
dA
Nx
Tronçon de gauche de la « barre » en statique
Contrainte
agissante sur dA
Partie de gauche de la poutre en mécanique
des structures
@ Remarque 1 : chaque fibre dA reçoit sa contrainte qui peut avoir une intensité, une direction voire un sens
différent des autres.
@ Remarque 2 : tout comme les sollicitations équilibrent le tronçon de gauche, les contraintes équilibrent la
partie gauche de la poutre.
@ Remarque 3 : un principe est une hypothèse. La véracité des contraintes est invérifiable puisqu’on ne sait pas
les mesurer.
Mathématiquement parlant, la contrainte est la limite de
Page n°1/27
dF
quand A → 0.
dA
S. KESTELOOT
1.4) Unité :
La contrainte est une force par unité de surface. Son unité est donc le [N/m²] ou le [Pa]
(Pascal).
Page n°2/27
S. KESTELOOT
II) Notations : 2.1) Contraintes :
ur
Cette force de surface f est généralement un vecteur incliné par rapport à la normale à
la facette dA. On décomposera donc chaque contrainte selon 3 composantes dans le repère :
uury
τ xy
y
ur
f
G
z
uur
τ xz
dA
x
uur
σx
G
z
dA
x
.
•
•
•
la composante selon l’axe x de la contrainte agissante sur la facette normale à x sera
notée σx ;
la composante selon l’axe y de la contrainte agissante sur la facette normale à x sera
notée τxy ;
la composante selon l’axe z de la contrainte agissante sur la facette normale à x sera
notée τxz ;
@ Remarque : σ se dit « sigma » et τ se dit « tau ».
2.2) Etats de sollicitations :
Nous définissons des noms d’états de sollicitations suivants :
Sollicitations non nulles
Etat de sollicitation
Nx < 0
Nx > 0
M z ou M y
Compression pure
Vy , M z ou Vz , M y
Flexion simple
Vy , Vz , M y , M z
Flexion biaxiale ou Flexion déviée
N x , Vy , M z ou N x , Vz , M y
Flexion composée plane
N x , Vy , Vz , M y , M z
Flexion composée biaxiale ou composée déviée
Tx , M z ou Tx , Vy , M z ou Tx , N x , Vy , M z …
Flexion torsion
Traction pure
Flexion pure
Page n°3/27
S. KESTELOOT
III) Hypothèses : -
3.1) Hypothèses classiques :
Dans le cours suivant, de nombreuses hypothèses sont posées :
les structures étudiées sont composées de poutres (c.f. théorie des poutres) ;
les sections possèdent un plan moyen (axe de symétrie Gy) ;
les déformations restent faibles ;
le matériau travaille dans la zone élastique (que nous définissons juste après) ;
les contraintes existent ;
la matière est uniforme et continûment répartie dans le solide (pas de miro trous – ensemble
cohérent au sens propre : la matière forme un bloc).
@ Remarque : cette hypothèse est relativement vraie lorsqu’on fait une analyse macroscopique (il est hors de
question de raisonner au niveau moléculaire – analyse microscopique).
Dans le présent chapitre, nous nous limiterons aux poutres composées d’un seul matériau (pas
de section mixte).
3.2) Loi de comportement – Loi de Hooke :
On entend « loi de comportement du matériau » (LC) l’allure de la courbe « contrainte
– déformation ».
Cette courbe, intrinsèque au matériau, est la base de toute la théorie.
@ Remarque : intrinsèque veut dire uniquement fonction du matériau.
a) Loi réelle :
Le comportement réel de l’acier, par exemple est le suivant :




 Droite de Hooke - Zone élastique
 Palier d’étirage
 Zone d’écrouissage
 Zone de striction
 Rupture

@ Remarque 1 : à chaque matériau sa loi de comportement. Il est donc très difficile de prendre une courbe type
(certains matériaux sont fragiles, d’autres ductiles …).
@ Remarque 2 : cette courbe a été tracée à la suite d’un essai sur une barre haute adhérence mise en traction.
La machine était pilotée en déplacement. La courbe contrainte – déformation étant intrinsèque
au matériau, elle permet de nous affranchir des dimensions de l’éprouvette (le résultat est le
même quelque soit la taille de l’éprouvette d’essai).
Page n°4/27
S. KESTELOOT
b) Loi simplifiée :
Dans la plupart des cas, nous allons limiter le travail
du matériau dans sa zone élastique. C’est pourquoi nous
prendrons la loi élastique parfaite suivante :
@ Remarque 1 : il existe encore d’autres modélisation de loi de
comportement – exemple : la loi de comportement
élasto-plastique parfaite, la loi de comportement
plastique parfaite …
σx : contrainte
σmax
=
σélastique
@ Remarque 2 : les calculs se font généralement dans le domaine
élastique pour plusieurs raisons :
- les déformations dans la zone pastique peuvent être
considérées trop importantes (exemple : ouverture des fissures
εx
pour le béton armé facilitant la corrosion) ;
Zone
- la déformée de la structure risque d’être trop importante ;
élastique
- les déformations y sont réversibles ;
- on reste généralement dans le domaine de validité de la
mécanique des structures (théorie du 1er ordre) ;
- le comportement du matériau hors de cette zone augmente la probabilité d’obtenir des instabilités
(voilement …) ;
- on se place en sécurité (puisqu’il reste une réserve de résistance) ;
- il existe des matériaux sans zone plastique ;
- les calculs sont plus simples.
Dans la zone élastique, les contraintes et les déformations sont
proportionnelles.
La droite de cette loi de comportement est donc la suivante :
σx = E ×ε x
c) Valeurs intrinsèques de matériaux :
Matériau
Acier doux
Aluminium
Verre
Plexiglas
E [MPa]
210 000
70 000
66 000
2 900
3.3) Comportement des sections – Loi de Navier Bernoulli :
Navier et Bernoulli ont étudié le comportement de poutres. Ils en ont déduit la loi
suivante :
Les sections droites restent droites, identiques à elle mêmes et
normales à la ligne moyenne.
@ Remarque : on sait pertinemment que cette loi est fausse : ce n’est qu’une simplification de la réalité.
Cependant, elle est relativement exacte et permet de simplifier grandement les raisonnements.
Page n°5/27
S. KESTELOOT
Par exemple, on sait que les dimensions transversales changent – si on pose « ν » : coefficient de
poisson : Δφ = −ν ΔL
φ
L
3.4) Hypothèses de Saint Venant :
a) Observation :
b) Enoncé :
« Les contraintes, dans une région éloignée des points d’applications d’un système de
forces, dépendent uniquement de la résultante générale et du moment résultant de ce système
de forces. »
Le principe de Saint-Venant suppose que les calculs des contraintes se fait suffisamment loin
des points d’application des forces.
@ Remarque : au final, on considère que la diffusion des charges se fait immédiatement dans le matériau
(diagramme « c » partout sous la charge – zone de transition « ac » inexistante).
Page n°6/27
S. KESTELOOT
IV) Contraintes normales : 4.1) Lien entre contraintes normales et sollicitations :
Lorsqu’on réduit les contraintes normales au niveau du centre de gravité, on retrouve
les sollicitations :
y
uur y
τ xy
Vy
Tx
G
z
Vz
uur
τ xz
Mz
Nx
My
y
x
On peut donc dire que :
∫ σ ,τ = ( N , V
z
G
z
uur
σx
dA
x
,Vz , T , M y , M z )
y
A
Si l’on regarde le lien entre les sollicitations et les contraintes normales, on peut dire que :
∑F
x
∫σ
=0
x
× dA = N x
A
∑M
z
=0
∫ −σ
∑M
y
=0
∫σ
x
× y × dA = M z
A
x
× z × dA = M y
A
@ Remarque : pour les signes, il faut analyser si une contrainte positive sur une fibre ayant des coordonnées
positives engendre un moment positif ou négatif.
Page n°7/27
S. KESTELOOT
4.2) Sous effort normal Nx :
a) Loi de Navier Bernoulli :
Observons les déformations d’une poutre puis d’un tronçon dx infiniment petit de cette
poutre soumise uniquement à un effort normal (traction pure) :
x
Nx
Nx
Les fibres se sont toutes allongées. De la
même valeur.
x
y
Nx
G
dx
Nx
Δdx
= ε x = cste
dx
x
Δdx
b) Loi de Hooke :
Appliquons la loi de Hooke : σ x = E ×ε x sur le tronçon dx :
y
σx = E ×ε x
Nx
Nx
G
x
dx
@ Remarque : E et εx étant constants pour toutes les fibres de la section, σx l’est aussi.
c) Formule liant σx et Nx :
A partir du bilan intégrale du 3.1, nous allons établir la relation liant σx et Nx.
N x = ∫ σ x × dA = σ x ∫ dA = σ x × A
A
A
σx =
Nx
A
y
Nx
σx
G
z
Page n°8/27
x
S. KESTELOOT
d) Déformée et déplacement :
L’allongement de la poutre correspond à la somme des allongements relatifs des
sections. Donc :
σ
1
1 N
ΔL = ∫ ε x × dx = ∫ x × dx = ∫ σ x × dx = ∫ x × dx
E
Ex
Ex A
x
x
Dons, dans le cas particulier où :
- l’effort normal est constant ;
- cet effort normal agit sur une longueur L de la poutre ;
- la section reste constante selon x ;
on a :
y
ΔL
Nx
G
z
ΔL =
Nx
Nx L
EA
x
e) Cas particulier de la compression :
Lorsque la poutre est soumise à un effort normal de compression ( N x < 0 ), une
instabilité peut se produire : le flambement.
Si la force de compression reste inférieure à l’effort normal critique de flambement ( Ncr ),
seul le sens du vecteur contrainte change par rapport à la traction.
@ Remarque : le flambement sera étudié dans les modules de structure (charpente métallique).
f) Exemple :
Soit un tirant d’acier de section circulaire de diamètre 7 cm. Ce tirant à une longueur
de 5 m. Connaissant la limite élastique de l’acier doux : f y = 235MPa , on vous demande de :
 calculer la charge qu’est capable de reprendre ce tirant ;
 déterminer l’allongement maximum avant de dépasser la limite élastique ;
 tracer l’allure du diagramme des contraintes normales dans la section.
@ Résultat :
- section : 3,848.10-4 m2 ;
- charge limite Flimite =0,904 MN (soit 90 tonnes) ;
- allongement : 5,59 mm.
Page n°9/27
S. KESTELOOT
4.3) Sous moment de flexion Mz :
a) Loi de Navier Bernoulli :
Observons les déformations d’une poutre puis d’un tronçon dx infiniment petit de cette
poutre soumise uniquement à un moment de flexion (flexion pure) :
Mz
Mz
x
Les fibres ne s’allongent pas toutes de la
même valeur. En effet, certaines se sont
raccourcies, et d’autres allongées.
y
Soit Δdx(y) la variation de longueur de la
fibre à l’ordonnée y.
La longueur initiale de cette fibre est dx.
y
G
Mz
Mz
x
Δdx ( y )
= εx ( y ) = a × y
dx
dx
@ Remarque : Δdx est négatif pour y > 0. Donc a <0
b) Loi de Hooke :
Appliquons la loi de Hooke : σ x = E × ε x ( y ) sur le tronçon dx :
σx = E × ε x ( y )
y
Nx
G
x
Mz
dx
c) Formule liant σx et Mz :
A partir du bilan intégrale du 3.1, nous allons établir la relation liant σx et Mz.
ε
M z = ∫ −σ x × y × dA = ∫ − E × ε x ( y ) × y × dA = − E ∫ a × y × y × dA = − Ea ∫ y 2 × dA = − E x I Gz
y
A
A
A
A
=−
σ x × I Gz
y
σx ( y ) = −
Mz
×y
I Gz
y
σx ( y )
Mz
G
z
Page n°10/27
x
S. KESTELOOT
d) Exemple :
Soit une poutre de section rectangulaire 200 x 500 mm2 (posée à chant) soumise à un
moment de flexion de 100 kN.m. Le matériau composant la poutre est du bois. Son module
d’Young E = 10 000 MPa. On vous demande de :
 tracer le diagramme des déformations dans la section ;
 tracer le diagramme des contraintes normales dans la section ;
 ajouter sur le diagramme les valeurs caractéristiques ;
 si la contrainte limite du bois est de 13 MPa, la poutre résistera t’elle où faut-il la
redimensionner ?
@ Résultat :
- moment quadratique IGZ = 2083 .10-6 ;
- σxmax = 12 MPa.
•
•
•
e) Définition :
plan neutre : on appelle plan neutre le plan formé par toutes les fibres qui ne s’allongent
pas (et ne se raccourcissent pas non plus).
plan moyen : on appelle plan moyen le plan vertical passant par G.
axe neutre : on appelle axe neutre (élastique) l’intersection entre le plan moyen et le plan
neutre.
@ Remarque : en flexion simple et pure, l’axe neutre est confondu avec la ligne moyenne.
Plan
moyen
y
Axe neutre
G
z
Plan
neutre
x
f) Simplification pour section rectangulaire :
M
La formule de base est donc σ x ( y ) = − Z × y . La contrainte qui nous intéresse est
I Gz
celle qui est maximale, c'est-à-dire la plus éloignée du plan (x, G, z). Dans le cas d’une section
h
rectangulaire, cette contrainte est à y = . On peut donc simplifier la formule comme suit :
2
MZ
h 6M Z
σ x max =
× =
3
b × h 2 b × h2
12
6M Z
σ x maxysup = −
b × h2
Mz
Plan
neutre
x
z
σ x max inf =
6M Z
b × h2
Page n°11/27
S. KESTELOOT
g) Moment capable :
Le moment maximum qui est applicable à une section avant que la contrainte
maximale arrive à valeur limite s’appelle moment capable.
• Cas du rectangle :
bh2σ x max Ahσ x max
6M Z
donc
σ x max =
M
=
=
Zcapable
b × h2
6
6
•
σ x max
•
σ x max
Cas du disque :
M
4× MZ
= Z × ymax =
×r
I GZ
π× r 4
donc
MZ =
πr 3σ x max Arσ x max
=
4
4
Cas du triangle :
M
36M Z 2h
= Z × ymax =
×
I GZ
b × h3 3
donc
MZ =
bh2σ x max Ahσ x max
=
24
12
h) Rendement géométrique d’une section :
Pour une section d’aire A, certaines formes sont plus adaptées que d’autre à reprendre
un moment de flexion élevé. En effet, la matière la plus éloignée du centre de gravité a un
rendement fort, tandis que celle au niveau de l’axe neutre est inutile.
On peut donc définir le rendement d’une section comme étant le rapport entre le moment de la
forme géométrique et le moment capable théorique (maximum correspondant à la section
géométriquement la plus adaptée).
• Cas du rendement parfait :
Cette section hypothétique possède la moitié de son aire sur la fibre supérieure extrême, et la
moitié de son aire sur la fibre extrême inférieure :
σ x maxysup
Mz
h
z
A
2
x
A ⎞ h
⎛
M capable théorique = F × d = 2 × ⎜ σ x max × ⎟ ×
2 ⎠ 2
⎝
Ah
=
σ x max
2
σ x max inf = −σ x max sup
Cas du rectangle :
Ahσ x max
1
6
ηrectangle =
=
Ahσ x max 3
2
•
•
ηtriangle
Cas du triangle :
Ahσ x max
1
= 12
=
Ahσ x max 6
2
•
ηdisque
•
Cas du disque :
Ahσ x max
Arσ x max
1
8
4
=
=
=
Ahσ x max
Ahσ x max 4
2
2
Autres cas :
Section
Tube
IPE, HEA
Page n°12/27
Rendement géométrique
½
Proche de 1
S. KESTELOOT
4.4) Sous moment de flexion My :
La démarche d’étude est la même que sous un moment de flexion Mz. Le bilan intégral
est :
∫σ
x
× z × dA = M y
A
Pour déterminer la relation entre le moment de flexion M y et la contrainte σ x , nous ferons
simplement une permutation circulaire (changer y en z et z en y), sans oublier de changer de
signe :
M
σx ( z ) = y × z
I Gy
@ Remarque : le changement de signe vient du fait qu’une contrainte positive amène un moment positif si elle
est appliquée sur un fibre de coordonnées positives.
y
σx ( z )
My
G
z
Page n°13/27
x
S. KESTELOOT
4.5) Sous sollicitations composées :
Pour les sollicitations composées, nous allons utiliser le principe de superposition :
a) Flexion composée Nx + Mz :
• Formule :
σx ( y ) =
Nx M z
−
×y
A I Gz
si l’on pose ey (excentrement par rapport à l’axe y) le rapport : −
I Gz
A
iGz =
):
N
σx ( y ) = x
A
Mz
, la formule devient (rappel :
Nx
N ⎡ M
σ x ( y ) = x ⎢1 − z
A ⎢ N x
⎣
e
⎞
N ⎛
σ x ( y ) = x ⎜1 + y2 × y ⎟
A ⎝ iGz
⎠
⎡
⎤
A Mz
×
× y ⎥
⎢1 −
⎣ N x I Gz
⎦
⎛ A
× ⎜⎜
⎝ I Gz
2
⎤
⎞
⎟⎟ × y ⎥
⎥
⎠
⎦
y
Nx
Mz
G
z
ey
x
Nx
•
Diagramme des contraintes :
y
Nx
y
σx
σx ( y )
Mz
G
G
z
x
z
y
Nx
σx ( y )
Mz
G
z
x
@ Remarque : on observe le déplacement vertical du plan neutre. En effet, il ne passe plus par le centre de
gravité de la section.
Page n°14/27
x
Nx
Mz
y
y
Nx
G
Nx
S. KESTELOOT
Mz
G
Cas particulier
:
x
z
h/6 dux rectangle – tiers central
Pour de nombreuses sections telles que les fondations, il faut se débrouiller pour que
toutes les fibresy de la section subissent des contraintes deymême signe.
Nous allons donc rechercher laNvaleur ey maximale.
x
ey
⎞ N x ⎛ A × ey
⎞ N ⎛ 12bh × ey
⎞ N ⎛ 12 × ey
⎞
N x ⎛
σ x ( y) =
× y ⎟ = x ⎜1 +
× y ⎟ = x ⎜1 +
× y ⎟
⎜1 + 2 × y ⎟ = M⎜z 1 +
3
2
A G⎝ iGz
I Gz
bh
h
⎠ A ⎝
⎠
⎠ A ⎝
⎠ A ⎝ G
h/6
La contrainte maximale (pour la fibre extrême d’une section rectangulaire)xvaut :
x
z
z
Nx
N x ⎡ 12 × ey ⎛ h ⎞ ⎤
σ x ( y) =
× ⎜ ± ⎟ ⎥
⎢1 +
A ⎣
h2
⎝ 2 ⎠ ⎦
Si l’effort normal est positif. Pour que la contrainte soit dans toute la section positive, il faut :
12 × ey ⎛ h ⎞
1+
× ⎜ ± ⎟ ≥ 0
h2
⎝ 2 ⎠
6 × ey
6 × ey
et
1+
≥0
1−
≥0
h
h
6 × ey
6 × ey
donc
et
≥ −1
≤1
h
h
h
h
et
ey ≥ −
ey ≤
6
6
C’est ce que l’on appelle le tiers central :
z•
Nx
Mz
Exemple :
Soit une fondation de 1,5 x 2 m² reprenant une force verticale de compression de 200
kN et un moment M = 30 kN.m. Cette fondation repose sur un sol de résistance 0,1 MPa.
 Après avoir choisi le sens de cette fondation ;
 vérifiez que le sol sous cette fondation résiste ;
•
@ Résultat :
-
sens selon moment quadratique maxi ;
-
σx ( y ) =
-
σx min = ( 66,7 − 30 ×1) ×103 = 36,7 kPa >0 → Ok (le sol ne peut être mis en traction) ;
-
σx max = ( 66,7 − 30 × ( −1)) ×103 = 96,7 kPa < 100 kPa → Ok
Nx M z
200 ×103 30 ×103 ×12
−
×y=
−
× y = ( 66, 7 − 30 × y ) ×103
A I Gz
2 ×1,5
1,5 × 23
Page n°15/27
y
Mz
y
σx ( y )
My
S. KESTELOOT
G
b) Flexion déviée (ou biaxiale) My + Mz :
z
x
z
• Formule :
M
M
σ x ( y, z ) = + y × z − z × y
I Gy
I Gz
•
σx ( z )
y
G
x
σx ( y )
Mz
My
G
z
x
@ Remarque : on observe une rotation du plan neutre autour de l’axe Gx (l’axe neutre est toujours au niveau du
centre de gravité des sections).
Page n°16/27
y
Nx
y
σx
G
x
σx ( z )
My
Mz
z
y
σx ( y )
G
z
x
z
G
S. KESTELOOT
x
c) Flexion composée déviée Nx + My + Mz :
• Formule :
M
N
M
σ xy( y , zσ
) = ( yx, +z ) y × z − z × y
x A
I Gy
I Gz
Mz
M
si l’on pose ey le rapport : − z , la formule devient (rappel : iGz = IGz ) :
My
Nx
A
MG
et
ez le rapport : + y , la formule devient (rappel : iGy = IGy ) :
z
x
Nx
A
σx ( y, z ) =
•
Nx
A
⎡
⎤
A My
A Mz
×
×z−
×
× y ⎥
⎢1 +
N x I Gz
⎢⎣ N x I Gy
⎥⎦
σ x ( y, z ) =
⎞
ey
N x ⎛
e
⎜⎜1 + 2 × y + z2 × z ⎟⎟
A ⎝ iGz
iGy
⎠
Exemple :
Soit une fondation de 1,5 x 2 m² reprenant une force verticale de compression de 200
kN et deux moments Mz = 30 kN.m My = 20 kN.m. Cette fondation repose sur un sol de
résistance 0,15 MPa.
 Déterminez les contraintes dans le sol aux 4 coins de la fondation.
•
@ Résultat :
Nx M y
M
+
×z− z ×y
A I Gy
I Gz
-
σ x1 ( y , z ) =
-
σ x1 (1; 0, 75 ) =
-
−200 ×103 20 ×103 ×12
30 ×103 ×12
+
×
0,75
−
×1 = −70kPa
2 ×1,5
2 ×1,53
1,5 × 23
−200 ×103 20 ×103 ×12
30 ×103 ×12
σ x 2 (1; −0, 75 ) =
+
×
−
0,75
−
×1 = −123kPa
(
)
2 ×1,5
2 ×1,53
1,5 × 23
−200 ×103 20 ×103 ×12
30 ×103 ×12
σx 2 ( −1; −0, 75 ) =
+
×
−
0,75
−
× ( −1) = −63, 4kPa
(
)
2 ×1,5
2 ×1,53
1,5 × 23
−200 ×103 20 ×103 ×12
30 ×103 ×12
σx 2 ( −1; 0, 75 ) =
+
×
0,75
−
× ( −1) = 10kPa
2 ×1,5
2 ×1,53
1,5 × 23
Page n°17/27
y
y
Nx
Mz
Nx
Mz
My
z
h/3
G
b/3
Nx
S. KESTELOOT
G
My
x
z
x
Cas particulier du rectangle – tiers central :
Nous allons rechercher la zone d’application de la force pour que les contraintes dans
la section aient le même signe quelque soit la fibre
⎞ N ⎛ A × ey
⎞
e
N ⎛
e
A × ez
σ x ( y , z ) = x ⎜1 + y2 × y + z2 × z ⎟ = x ⎜1 +
×y+
× z ⎟
⎟ A ⎜
⎟
A ⎜⎝ iGz
iGy
I Gz
I Gy
⎠
⎝
⎠
⎞ N ⎛ 12 × ey
⎞
N ⎛ 12bh × ey
12bh × ez
12 × ez
= x ⎜1 +
×y+
× z ⎟ = x ⎜1 +
×y+
× z ⎟
3
3
2
2
A ⎝
bh
bh
h
b
⎠ A ⎝
⎠
La contrainte maximale (pour la fibre extrême d’une section rectangulaire) vaut :
⎤
6e
⎛ h b ⎞ N ⎡ 6e
σ x ⎜ ; ⎟ = x ⎢1 + 2y × ( ± h ) + 2z × ( ±b )⎥
b
⎝ 2 2 ⎠ A ⎣ h
⎦
En analysant cette équation, on trouve la zone suivante nommée « tiers central » :
•
@ Remarque : pour une section circulaire, la zone correspond à un disque de diamètre D/4.
Page n°18/27
y
τ yx
uur y
τ xy
IUT Béthune
Vy – Génie Civil Année Spéciale– RDM
Tx
Mz
σy
τGxy
G
σ
y
dx
z
τ
Vz
uur
τ xz
σ
S. KESTELOOT
G
dA
y
z
x xdy
5.1) Lien entre contraintes tangentielles
et sollicitations
z
x :
Nx
V) Contraintes tangentielles : My
uur
σx
x
Lorsqu’on
réduit les contraintes tangentielles au niveau du centre de gravité, on
retrouve les sollicitations :
dz
Si l’on regarde les liens entre les sollicitations et les contraintes tangentielles, on peut dire
que :
∑F
=0
∫τ
xy
⋅ dA = V y
∑F
=0
∫τ
xz
⋅ dA = V z
y
z
∑M
x
A
A
∫ (τ
=0
xz
⋅ y − τ xy ⋅ z )⋅ dA = Tx
A
5.2) Réciprocité de Cauchy :
Considérons un demi volume élémentaire (dV = dx . dy . dz) :
∑M
G/ z
= 0 = ( τ xy × dy × dz ) ×
dx
dy
+ ( τ yx × dx × dz ) ×
2
2
τ xy = −τ yx
Page n°19/27
yy
b(y)
σx
σ + d σx
τ yx ( y ) x
y
y
MM
z z1 Vy1
Vy
z
S. KESTELOOT
τ xyτxy
( y)
τ xy ( y )
τ
xy
5.3) Sous effort tranchant Vy :
Vy + dV
Mz1
y + dMz1
G
a)GDémonstration
:
x
La recherche
de
l’expression
des
contraintes
tangentielles
τ
xy en fonction de y doit
Mz + dM
x z
Vy1 + dVy1
y
G
G
passer par la recherche de l’expression des contraintes tangentielles xτ yx en fonction de y.
z
x
@ Remarque : en effet, si l’on analyse τxy en fonction de y, on ne peut rien démontrer.
dx
σx ( y ) + d σx ( y )
σx ( y )
Considérons une poutre de section
quelconque sollicitée
en flexion simple (donc Vy et
dx
Mz peuvent varier selon x). Isolons un tronçon dx de cette poutre :
dx
Comme nous sommes en flexion simple et non pas en flexion pure, nous obtenons Mz + dMz
du côté droit de la poutre (le diagramme de sollicitation des moments n’est pas constant lorsque Vy ≠ 0).
Nous avons σ x = −
Mz
M + dM z
y et σ x + d σ x = − z
y
I GZ
I GZ
Si nous coupons horizontalement ce tronçon dx à l’ordonnée y, le tronçon du bas (tout
doit rester en équilibre. De plus, il va libérer les contraintes tangentielles de
comme celui du haut)
cohésion τyx(y) :
@ Remarque : τyx = cste car dx est très petit.
Page n°20/27
S. KESTELOOT
L’équilibre selon l’axe des x s’écrit :
∑ Fx = 0 = − ∫ ( σ x ( y )) ⋅ dA + ∫ (σ x ( y ) + d σ x ( y )) ⋅ dA + τ yx ( y ) ⋅ b ( y ) ⋅ dx
A'
A'
= ∫ d σ x ( y ) ⋅ dA + τ yx ( y ) ⋅ b ( y ) ⋅ dx
A'
⎛ M
⎞
= − ∫ d ⎜ Z × y ⎟ ⋅ dA + τ yx ( y ) ⋅ b ( y ) ⋅ dx
I
⎠
A ' ⎝ Gz
dM Z
= −∫
× y ⋅ dA + τ yx ( y ) ⋅ b ( y ) ⋅ dx
I
Gz
A'
dM z
Or,
(c.f. chapitre sollicitations)
donc dM z = −V y ⋅ dx
= −V y
dx
⎛ −Vy ⋅ dx ⎞
0 = − ∫ ⎜
⋅ y ⎟ ⋅ dA + τ yx ⋅ b '⋅ dx
I Gz
⎠
A ' ⎝
Vy ⋅ dx
V
=
( y ) ⋅ dA + τ yx ⋅ b '⋅ dx = y ∫ ( y ) ⋅ dA + τ yx ⋅ b '
∫
I Gz A '
I Gz A '
−τ yx = τ xy =
Or
Vy
I Gz ⋅ b ' A∫'
( y ) ⋅ dA
∫ y ⋅ dA est le moment statique selon l’axe des z, de la partie supérieure de la section (ici :
A'
partie basse du tronçon : A’).
Nous le noterons S’GZ
S 'Gz sup + S 'Gz inf = SGz = 0 ⇒ S 'Gz sup = − S 'Gz inf = S 'Gz
b) Formule :
−τ yx = τ xy =
Vy × S 'Gz
I Gz × b '
@ Remarque 1 : la contrainte tangentielle maximale est obtenue, pour une section symétrique par rapport à
l’axe des z, au milieu de la section (si b’ cste).
@ Remarque 2 : la contrainte tangentielle maximale est obtenue, pour la section qui supporte l’effort tranchant
maxi (si la poutre est à section constante).
@ Remarque 3 : à chaque matériau, nous considèrerons qu’il existe une contrainte tangentielle limite au delà de
laquelle la poutre casse par cisaillement. Il est donc nécessaire d’avoir des sections avec base
b minimale (fonction de l’intensité de l’effort tranchant)
Ceci est une simplification – en théorie, il faut étudier le cercle de Mohr des contraintes, c'està-dire l’interaction entre les contraintes normales et les contraintes tangentielles pour caque
fibre dA.
@ Remarque 4 : lorsque Vy est nul, τxy et τyx le sont aussi.
→ En traction, compression et flexion pure, Vy=0 donc τxy et τyx=0
Page n°21/27
y y
z
yG’
A’
0
G’
IUT Béthuneh– Génie Civil Année Spéciale– RDM
x y
G
0
S. KESTELOOT
2
c) Cas particulier du rectangle :
3
b × h3
τ xy max =
Vy
I Gz =
2 ⋅ Atotal
12
S’GZ de la partie grisée = S 'Gz = A'× y 'G
⎛ h
⎞
A' = ⎜ − y ⎟ × b
⎝ 2
⎠
1 ⎛ h
⎞
y 'G = y + ⎜ − y ⎟
2 ⎝ 2
⎠
⎡⎛ h
1 ⎛ h
⎞ ⎤ ⎡
⎞⎤
S 'GZ = A'× y 'G = ⎢⎜ − y ⎟ × b⎥ × ⎢ y + ⎜ − y ⎟⎥
2 ⎝ 2
⎠ ⎦ ⎣
⎠⎦
⎣⎝ 2
b ⎛ h
⎞⎛ h
⎞
S 'GZ = ⎜ − y ⎟⎜ + y ⎟
2 ⎝ 2
⎠⎝ 2
⎠
V ⋅S '
Vy
Vy
⎛ h 2
b ⎛ h
⎞⎛ h
⎞
2 ⎞
τ xy = y GZ =
⋅
−
y
+
y
=
×
⎜ − y ⎟
⎜
⎟⎜
⎟
3
3
b×h
I Gz ⋅ b '
2 2
⎠⎝ 2
⎠ b × h
⎝ 4
⎠
⋅ b ⎝
6
12
→ Solution parabolique (en y²).
• Le maximum est obtenu pour y = 0
Vy
⎛ h 2 ⎞ 6 ⋅ V y ⎛ h 2 ⎞
3
⎜⎜ ⎟⎟ =
donc τ xy max =
×
× ⎜⎜ ⎟⎟ =
Vy
3
3
b×h
⎝ 4 ⎠ b × h ⎝ 4 ⎠ 2 ⋅ b ⋅ h
6
Comme b ⋅ h = Atotal , on obtient :
3
τ xy max =
Vy
2 ⋅ Atotal
• Aux extrémités les contraintes tangentielles sont
nulles.
d) Exemple :
Afin de déterminer la colle utilisable, trouvez la contrainte de cisaillement horizontale
maximale dans la colle d’une poutre lamellée collée de 1,2 m de haut et 0,5 m de large
lorsqu’elle est soumise à un effort tranchant de 20 kN (il y a un nombre paire de lamelles).
@ Résultat :
τ yx = τ xy =
τ xy max
V y ⋅ S 'GZ
. La valeur maximale est atteinte à l’axe de symétrie, et vaut
I Gz ⋅ b
3
=
20 ⋅ 10 3 = 50kPa
2 × 1,2 × 0,5
τ xy max =
3
Vy
2 ⋅ Atotal
On choisira donc une colle qui, outre son adhérence sur le bois, résistera à une contrainte tangentielle
supérieure à 50 kPa.
Page n°22/27
IUT Béthune – Génie Civil Année Spéciale–
α RDM
L
x
S. KESTELOOT
T
5.4) Sous effort tranchant Vz :
Nous venons de démontrer que −τ yx = τ xy =
Vy × S 'Gz
I Gz × b '
Nous pouvons recommencer la démonstration ou raisonner par permutation circulaire pour
obtenir :
Vz × S 'Gy
−τ zx = τ xz =
I Gy × h '
5.5) Sous moment de torsion – notions :
a) Généralités :
Comme nous faisons l’hypothèse des petits déplacements, nous savons que :
- l’hypothèse de Navier Bernoulli reste toujours valable ;
- la distance axiale séparant 2 sections droites ne varie pas ;
- la rotation des sections est proportionnelle à la distance qui la sépare du point
d’encastrement en torsion :
b) Loi de Hooke :
γxy est la distorsion (distance par unité de longueur).
La loi de Hooke s’écrit :
τ = G ⋅ γ xy
G est le module d’élasticité transversale (ou module de Coulomb).
Les contraintes qui se développent sous ce type de sollicitation sont uniquement des
contraintes de cisaillement.
dα
= r ⋅θ
dx
r : distance entre l’axe de rotation et le point considéré.
donc τ = G ⋅ r ⋅ θ
γ xy = r ⋅
c) cas des profils pleins circulaires :
Si on analyse la déformation d’une section à l’abscisse x :
En écrivant l’équilibre de la section, nous obtenons :
T = ∫ τ ⋅ r ⋅ dA = ∫ G ⋅ θ ⋅ r ⋅ r ⋅ dA = G ⋅ θ ⋅ ∫ r 2 ⋅ dA
A
A
A
Page n°23/27
∫r
2
S. KESTELOOT
⋅ dA est appelé moment quadratique polaire. Il est noté IO.
A
T
G ⋅ IO
T
et :
τ=
⋅r
IO
Le diagramme de répartition des contraintes tangentielles a l’allure suivante :
τmax est obtenu pour r maxi.
donc :
θ=
d) cas des profils minces - tubes :
Ces profils peuvent aussi bien être ouverts que fermés. Une analyse expérimentale
peut prouver que leur comportement à la torsion est totalement différent :
un tube fermé résiste beaucoup mieux qu’un tube ouvert !
@ Remarque : considérer le flux des contraintes tangentielles permet de simplifier le problème.
Page n°24/27
yyy
Nx
σσσxxx ((zy))
Mzy
S. KESTELOOT
GGG
zzz
xxx
VI) Résumé : 6.1) Formules :
a) Formules de base :
τ xy
σx
Sollicitation
Nx
A
τ xy = 0 , τ xz = 0
Nx
σx =
Vy
σx = 0
τ xy =
Vz
σx = 0
τ xz =
My
σx =
Mz
My
⋅z
I Gy
M
σx = − z ⋅ y
I Gz
b) Formules générales :
Etat de sollicitation
Traction - compression :
Nx
Flexion pure :
Mz
Flexion simple :
Vy , M z
Flexion composée plane :
N x , Vy , M z
Flexion déviée :
Vy , Vz , M y , M z
Flexion composée déviée :
N x , Vy , Vz , M y , M z
Déformation
εx =
Vy ⋅ S 'Gz
Nx
= cst
E× A
εx = 0
I Gz ⋅ b '
Vz ⋅ S 'Gy
εx = 0
I Gy ⋅ h '
τ xy = 0 , τ xz = 0
εx = a× z
τ xy = 0 , τ xz = 0
εx = a× y
τ xy
σx
Nx
A
M
σx = − z ⋅ y
I Gz
M
σx = − z ⋅ y
I Gz
N
M
σ x ( y) = x − z × y
A I Gz
e
⎞
N ⎛
σ x ( y ) = x ⎜1 + y2 × y ⎟ (avec
A ⎝ iGz
⎠
M
M
σ x ( y, z ) = y × z − z × y
I Gy
I Gz
τ xy = 0
σx =
σ x ( y, z ) =
σ x ( y, z ) =
τ xy = 0
τ xy =
τ xy =
ey = −
Nx M y
M
+
×z− z ×y
A I Gy
I Gz
⎞
ey
N x ⎛
e
⎜⎜1 + 2 × y + z2 × z ⎟⎟
A ⎝ iGz
iGy
⎠
Page n°25/27
Mz
Nx
)
τ xy =
ey = −
ez =
Mz
Nx
My
Nx
τ xy =
Vy ⋅ S 'Gz
I Gz ⋅ b '
Vy ⋅ S 'Gz
I Gz ⋅ b '
Vy ⋅ S 'Gz
I Gz ⋅ b '
Vy ⋅ S 'Gz
I Gz ⋅ b '
S. KESTELOOT
6.2) Démarche de résolution :
1) Nature de la structure ;
@ Remarque 1 : on ne peut poursuivre que si la structure est isostatique.
@ Remarque 2 : bien regarder s’il n’existe pas de mécanisme.
2) Inconnues de liaisons ;
@ Remarque : pour cela, appliquer le principe fondamental de la statique.
3) Sollicitations ;
@ Remarque : il est nécessaire de tracer les diagrammes pour connaître les extremums, les valeurs en tout point
de la structure ainsi que l’état de sollicitation de la section à étudier.
5) Contraintes :
@ Remarque : cette étude se déroule à l’ELU (état limite ultime).
5.1) Etat de sollicitation ;
@ Remarque : déterminer l’état de sollicitation de la section à étudier.
5.2) Caractéristiques géométriques des sections droites ;
@ Remarque : en fonction de l’état de sollicitation de la section, déterminer :
- l’aire A ;
- la position du centre de gravité (yG et zG) ;
- les moments quadratiques IGz et IGy (on insiste sur le fait qu’ils sont calculés pour des axes passant par
le CdG) ;
- les modules de flexion élastiques.
- les rayons de giration.
-
5.3) Contraintes normales :
tracer le diagramme des contraintes normales dans la section droite ;
@ Remarque : il est important de présenter un schéma en équilibre.
- calculer les valeurs caractéristiques (extrêmes positif et négatif, valeur au niveau du CdG) ;
-
vérifier si ces valeurs sont inférieures à la valeur admissible.
@ Remarque : dans le cas contraire, il sera nécessaire de redimensionner.
-
5.4) Contraintes tangentielles :
tracer le diagramme des contraintes tangentielles dans la section droite ;
@ Remarque : il est important de présenter un schéma en équilibre.
- calculer les valeurs caractéristiques (valeur extrême, et 0 aux extrémités du profilé) ;
-
vérifier si ces valeurs sont inférieures à la valeur admissible.
@ Remarque : dans le cas contraire, il sera nécessaire de redimensionner.
@ Remarque : en vérité, pour certains matériaux comme l’acier, il est nécessaire d’étudier le cercle de Mohr
qui est une combinaison entre la contrainte normale et les contraintes tangentielles sur une fibre.
On vérifie alors un critère de résistance tels que le critère de Von Mises.
Page n°26/27
S. KESTELOOT
CONTRAINTES NORMALES ET TANGENTIELLES .............................................................. 1
I) Généralités : ................................................................................................................................... 1
1.1) But de l’étude : ..................................................................................................................................................1
1.2) Rappels : ............................................................................................................................................................1
1.3) Définition (Cauchy) : ........................................................................................................................................1
1.4) Unité : ................................................................................................................................................................2
II) Notations : ..................................................................................................................................... 3
2.1) Contraintes : ......................................................................................................................................................3
2.2) Etats de sollicitations : ......................................................................................................................................3
III) Hypothèses : ................................................................................................................................ 4
3.1) Hypothèses classiques : .....................................................................................................................................4
3.2) Loi de comportement – Loi de Hooke : ............................................................................................................4
a) Loi réelle : ............................................................................................................................................................................ 4
b) Loi simplifiée : .................................................................................................................................................................... 5
c) Valeurs intrinsèques de matériaux :..................................................................................................................................... 5
3.3) Comportement des sections – Loi de Navier Bernoulli : ..................................................................................5
3.4) Hypothèses de Saint Venant : ...........................................................................................................................6
a) Observation :........................................................................................................................................................................ 6
b) Enoncé : ............................................................................................................................................................................... 6
IV) Contraintes normales : ............................................................................................................... 7
4.1) Lien entre contraintes normales et sollicitations : .............................................................................................7
4.2) Sous effort normal Nx : .....................................................................................................................................8
a) Loi de Navier Bernoulli : ..................................................................................................................................................... 8
b) Loi de Hooke : ..................................................................................................................................................................... 8
c) Formule liant σx et Nx : ........................................................................................................................................................ 8
d) Déformée et déplacement : .................................................................................................................................................. 9
e) Cas particulier de la compression : ...................................................................................................................................... 9
f) Exemple : ............................................................................................................................................................................. 9
4.3) Sous moment de flexion Mz : ..........................................................................................................................10
a) Loi de Navier Bernoulli : ................................................................................................................................................... 10
b) Loi de Hooke : ................................................................................................................................................................... 10
c) Formule liant σx et Mz : ..................................................................................................................................................... 10
d) Exemple : ........................................................................................................................................................................... 11
e) Définition : ......................................................................................................................................................................... 11
f) Simplification pour section rectangulaire : ........................................................................................................................ 11
g) Moment capable : .............................................................................................................................................................. 12
h) Rendement géométrique d’une section : ........................................................................................................................... 12
4.4) Sous moment de flexion My : ..........................................................................................................................13
4.5) Sous sollicitations composées : .......................................................................................................................14
a) Flexion composée Nx + Mz : .............................................................................................................................................. 14
b) Flexion déviée (ou biaxiale) My + Mz : ............................................................................................................................. 16
c) Flexion composée déviée Nx + My + Mz : ......................................................................................................................... 17
V) Contraintes tangentielles : ......................................................................................................... 19
5.1) Lien entre contraintes tangentielles et sollicitations : .....................................................................................19
5.2) Réciprocité de Cauchy : ..................................................................................................................................19
5.3) Sous effort tranchant Vy : ...............................................................................................................................20
a) Démonstration : ................................................................................................................................................................. 20
b) Formule : ........................................................................................................................................................................... 21
c) Cas particulier du rectangle : ............................................................................................................................................. 22
d) Exemple : ........................................................................................................................................................................... 22
5.4) Sous effort tranchant Vz : ...............................................................................................................................23
5.5) Sous moment de torsion – notions : ................................................................................................................23
a) Généralités : ....................................................................................................................................................................... 23
b) Loi de Hooke : ................................................................................................................................................................... 23
c) cas des profils pleins circulaires : ...................................................................................................................................... 23
d) cas des profils minces - tubes : .......................................................................................................................................... 24
VI) Résumé : .................................................................................................................................... 25
6.1) Formules : .......................................................................................................................................................25
a) Formules de base : ............................................................................................................................................................. 25
b) Formules générales : .......................................................................................................................................................... 25
6.2) Démarche de résolution : ................................................................................................................................26
Page n°27/27

Cours Contraintes - Bienvenue au département Génie Civil de l`IUT

Transcription

Documents pareils

Samedi 18 juin 2016 - Escapade " Chansons a regarder"

Université du Temps Libre - Espace

la licence Réseaux et Télécommunications, option Réseaux sans fil

Les premières images du futur centre régional d

RDM : FLEXION des POUTRES

Profil des étudiants - IUT de Rambouillet

Maximiser

grille éval soutenance stage

Témoignages TC - IUT de Rambouillet