dynamique du point en référentiel galiléen

dynamique du point en référentiel galiléen
Table des matières
1 lois de Newton
1.1 première loi de Newton : principe de l’inertie . . . . . . . . . . .
1.1.1 définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 principe d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 référentiel galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 deuxième loi de Newton : relation fondamentale de la dynamique
1.2.1 notion de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 troisième loi de Newton : principe des actions réciproques . . . .
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2
2
2
2
2
3
3
4
4
2 équation du mouvement
2.1 forces macroscopiques usuelles . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 forces de contact . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 forces à distance . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 mouvement dans le champ de pesanteur . . . . . . .
2.2.1 sans frottement . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 avec frottement dans un fluide très visqueux .
2.2.3 avec frottement en v2 . . . . . . . . . . . . .
2.3 mouvement d’une masse accrochée à un ressort . . .
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4
5
5
6
6
6
7
8
8
3 étude énergétique d’un point matériel
3.1 puissance et travail d’une force dans un référentiel
3.1.1 travail d’une force . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 puissance d’une force . . . . . . . . . . . . .
3.2 énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 théorème de l’énergie cinétique . . . . . . .
3.2.3 théorème de la puissance cinétique . . . . .
3.3 énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 exemple du poids . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 exemple de la tension d’un ressort . . . . .
3.3.3 force conservative et énergie potentielle . .
3.4 énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 conservation de l’énergie mécanique . . . .
3.4.3 non conservation de l’énergie mécanique . .
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9
9
9
9
10
10
10
10
10
10
11
11
11
11
12
12
1
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La dynamique est la branche de la mécanique qui relie le mouvement à ses causes. Elle a été développée à partir des postulats de Galilée et de Newton. Sa mise en oeuvre nécessite la connaissance
des vecteurs de base en cinématique mais aussi de la notion de masse et de force.
1
1.1
1.1.1
lois de Newton
première loi de Newton : principe de l’inertie
définitions
Dans un référentiel R , on attribue à tout point matériel M de masse m, et de vitesse vM,R un
vecteur quantité de mouvement (ou impulsion), défini par :
pM,R = m vM,R
Dans cette équation, m est la masse inertielle du point matériel, exprimée en kg. La masse inertielle
est une mesure de la résistance qu’oppose le point matériel à la modification de son mouvement.
On peut la mesurer avec une balance, par comparaison avec un étalon.
La masse est une grandeur additive, constante, qui ne dépend pas du référentiel choisi
ni du temps.
La notion de masse n’est pas encore définie clairement. La relativité générale postule que la masse
inertielle et la masse gravitationnelle sont égales.
La quantité de mouvement est exprimée en kg.m.s−1 .
1.1.2
principe d’inertie
Un système est isolé s’il n’est soumis à aucune action mécanique de la part de l’extérieur. C’est
évidemment un modèle irréalisable.
Un système est dit pseudo-isolé lorsque les actions exercées sur lui par le milieu extérieur se
compensent.
Il existe des référentiels particuliers, appelés référentiels galiléens, par rapport auxquels un point matériel isolé ou pseudo-isolé est en mouvement rectiligne uniforme.
Le principe d’inertie postule l’existence de référentiels galiléens. la définition de ces référentiels
en découle.
1.1.3
référentiel galiléen
Pour qu’un référentiel soit galiléen, il faut qu’à la précision avec laquelle sont menées les
expériences, tout système pseudo-isolé ait un mouvement rectiligne uniforme dans ce référentiel.
a. référentiel de Copernic RC :
A l’échelle des expériences humaines, le référentiel de Copernic est considéré comme la meilleure
approximation de référentiel galiléen.
définition : G, barycentre du système solaire, est l’origine du repère associé au référentiel de Copernic, les trois axes pointant vers des étoiles « fixes » (très éloignées du système solaire).
Remarque 1 : La masse du système solaire étant presque concentrée dans le Soleil lui-même, G est
quasiment confondu avec S, barycentre du Soleil.
Remarque 2 : Lorsque le barycentre du Soleil est l’origine du répère utilisant les même directions
que le référentiel de Copernic, on définit le référentiel « héliocentrique ». Très souvent, à notre
échelle, on confond ces deux référentiels.
Remarque 3 : Il existe une infinité de référentiels galiléens, tous animés par rapport au référentiel
de Copernic d’un mouvement de translation rectiligne uniforme.
2
Ce référentiel est considéré comme galiléen si la durée de l’expérience est courte par rapport à
la période de révolution du système solaire autour du centre de masse de la galaxie (210 millions
d’années ! ! !).
b. référentiel géocentrique RO :
définition : Un repère spatial lié au référentiel géocentrique R O a son origine au centre d’inertie O
de la Terre et ses axes (Ox), (Oy) et (Oz) sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic.
Remarque : Sur une année (365,25 jours), RO a un mouvement de translation quasi circulaire
(elliptique) par rapport à RC . Ce n’est pas un référentiel galiléen ! Mais, sur une durée de quelques
jours, le mouvement de RO par rapport RC est pratiquement rectiligne uniforme.
Sauf indications contraires, on considèrera le référentiel géocentrique comme galiléen pour des
expériences dont la durée est courte par rapport à 365 jpurs.
c. référentiel terrestre RT :
La grande majorité des expériences humaines se font sur Terre sur des durées très inférieures à 1
jour. On définit donc le référentiel terrestre comme tout référentiel lié au sol terrestre. On parle
également de « référentiel du laboratoire ».
Remarque : Comme la Terre tourne autour de l’axe des pôles (rotation de la Terre autour de
son axe) , son centre ayant un mouvement de translation elliptique dans RC (révolution de la
Terre autour du Soleil), le référentiel terrestre n’est pas galiléen mais , pour des expériences :
- de durée de l’ordre de quelques minutes
- « proches » de la Terre et effectuées sur de « faibles »distances,
- ou bien pour des expériences ne demandant pas une très grande précision, le référentiel terrestre
peut être considéré comme galiléen.
1.2
1.2.1
deuxième loi de Newton : relation fondamentale de la dynamique
notion de force
Lorsqu’un système n’est pas isolé, il est soumis à des forces. Une force au sens de la mécanique
est ce qui modifie le mouvement. Elle est représentée dans le référentiel d’étude par un vecteur lié,
c’est-à-dire un vecteur associé à un point d’application.
Toutes les forces peuvent actuellement être séparées en quatre catégories suivant le type d’interaction fondamentale qui les sous-tend au niveau microscopique :
1. l’interaction forte : elle est responsable de la cohésion des noyaux. Elle s’exerce entre hadrons.
Elle est très intense (100 à 1000 fois plus que l’interaction électromagnétique) mais de très
courte portée (10−15 m)
2. l’interaction faible : elle intervient dans de nombreux processus de désintégration (elle modifie
donc aussi la matière !). Son intensité (100000 fois) et sa portée (100 fois) sont inférieures à
celles de l’interaction forte.
3. l’interaction électromagnétique : elle est responsable de la majorité des phénomènes à l’échelle
humaine. Elle est décrite par les équations de Maxwell. Elle s’exerce entre deux corps chargés
électriquement, peut être attractive ou répulsive, et de portée infinie.
3
4. l’interaction gravitationnelle : elle concerne tous les corps qui ont une masse (gravitationnelle) et est responsable du mouvement des corps célestes. Elle est attractive, de portée infinie
mais d’intensité beaucoup plus faible (1040 fois) que l’interaction électromagnétique.
La mécanique classique postule que les forces dérivant de ces quatre interactions fondamentales ne
dépendent pas du référentiel d’étude.
1.2.2
énoncé
Dans un référentiel galiléen, l’accélération d’un point matériel M de masse m vérifie
ma/Rg =
X
Fext/M
Cette relation peut aussi s’écrire sous la forme
théorème de la quantité de mouvement :
X
Fext/M = (
dp/Rg
) Rg
dt
Remarque 1 : la première loi de Newton est incluse dans cette deuxième loi.
Remarque 2 : [F ] = M.L.T −2 donc 1N = 1kg.m.s−2
Remarque 3 : si 2 grandeurs sur les trois de la relation sont connues, on peut alors retrouver la
troisième. par exemple, en spectroscopie de masse, on connaît les forces extérieures et la vitesse
des particules, ce qui permet d’accéder à leurs masses.
1.3
troisième loi de Newton : principe des actions réciproques
énoncé : Les forces d’interaction réciproques qui s’exercent entre deux points matériels M1 et
M2 sont opposées et ont pour support la droite passant par ces points :
F1→2 = −F2→1 et F1→2 ∧ M1 M2 = ~0
Remarque 1 : ce principe n’est pas vrai dans le cadre de la mécanique relativiste. Il est indispensable en mécanique classique pour étudier des systèmes de plusieurs points matériels.
Remarque 2 : il n’est vérifié que pour des points matériels.
Remarque 3 : il suppose que les interactions se propagent instantanément.
2
équation du mouvement
Pour un problème à un degré de liberté x, la 2e loi de Newton donne
d2 x
dx
m 2 = F x, , t
dt
dt
équation différentielle du 2e ordre équivalente à


 dx = v
dt
dv

 m
= F (x, v, t)
dt
système de deux équations différentielles d’ordre un.
Ce système admet une solution unique si x(0) et v(0) sont données.
Les systèmes mécaniques ont une évolution unique pour des conditions initiales déterminées (principe du déterminisme mécanique). Si on sait modéliser les forces exercées sur un système, on peut,
en résolvant l’équation donnée par la relation fondamentale de la dynamique, prévoir l’évolution
d’un système à partir de conditions initiales données.
4
2.1
2.1.1
forces macroscopiques usuelles
forces de contact
Lorsqu’un point matériel est en contact avec un solide ou un fluide, il existe des actions de contact,
qui sont la conséquence macroscopique des interactions microscopiques électromagnétiques entre
les particules/atomes/molécules qui constituent le point matériel et le solide ou le fluide avec lequel
il y a contact à notre échelle. Ces forces de contact suivent des lois phénoménologiques, c’est-à-dire
déduites de l’expérience et seulement valables dans un certain contexte expérimental : on ne peut
pas, actuellement, calculer les actions de contact à partir des interactions microscopiques dont elles
découlent.
Ces actions de contact comprennent les forces de liaisons et les forces de frottement, directement
appliquées au point matériel.
1. forces de contact sur un solide :
Si on impose au point matériel M de se déplacer en restant au contact d’un solide, ceci a pour effet
de diminuer le nombre de degrés de liberté de ce point matériel (2 pour une surface et 1 seul pour
une courbe). Exemples : bille guidé par un rail, skieur plissant sur une piste, anneau coulissant sur
une tige.
Pour imposer cette restriction au point M, le support exerce une force répulsive, de nature électro~
magnétique, appelée réaction du support R.
→
−
→
−
→
−
R = RT + RN
→
−
R N est la réaction normale du support.
→
−
R T est la réaction tangentielle ou force de frottement solide.
→
−
Remarque 1 : Si R T = ~0, la réaction est dite sans frottement.
Remarque 2 : la liaison est dite unilatérale si le support repousse M , mais ne peut l’attirer.
Si on fait intervenir la normale unitaire au support en M dirigé du support vers l’extérieur :
→
− →
R .−
n ext = RN ≥ 0.
→
−
→
−
Remarque 3 : M perd le contact avec S dès que R N = 0 .
Tant que le solide modélisé par le point matériel M ne glisse pas par rapport au support :
→
−
→
−
R T ≤ f R N où f est le cœfficient de frottement statique pour le contact solide/support étudié
(donc qui dépend des deux matériaux).
→
−
→
−
Lorsque le solide M glisse par rapport au support : R T = f R N
2. forces de contact dans un fluide :
On peut considérer deux types d’actions que peut exercer un fluide sur un corps solide :
- l’action des forces de pression (poussée d’Archimède) Elle s’applique au centre d’inertie du fluide
déplacé, est dirigée selon la verticale ascendante, et est égale en norme au poids du (des) fluide(s)
déplacé(s) :
→
−
→
−
Π = −m
g
A
f luide deplace
Si la masse volumique du corps est grande devant celle du fluide, la poussée d’Archimède est négligeable devant le poids du corps. Sauf indication contraire, on la négligera.
5
- l’action des forces de frottement d’un fluide : Pour les « faibles » vitesses, elle est proportionnelle
à la vitesse du système :
f = −k v
On parle alors de frottement visqueux. Pour les « grandes » vitesses, elle est proportionnelle au
carré de la vitesse du système :
f = −k 0 vkvk
3. tension d’un fil
Un fil est idéal si sa masse m est négligeable et s’il est parfaitement souple (ni rigide, ni élastique).
Le fil exerce sur un solide auquel il est accroché une action de contact, modélisée par le vecteur
tension T~ . La tension du fil n’existe que lorsque celui-ci est tendu et est alors colinéaire au fil et
dirigée du point matériel attaché au fil vers le point d’ancrage de celui-ci.
La tesnion le long d’un fil idéal est uniforme.
4. tension d’un ressort
Un ressort a tendance à reprendre sa forme initiale après une déformation. Dans le cas où sa déformation est peu importante, il exerce sur un système accroché à une de ses extrémités une force
→
−
de rappel F , appelée tension du ressort.
→
−
−
F = −k (l − l0 )→
ex
- k s’appelle la constante de raideur du ressort.
- (l − l0 ) est l’allongement algébrique du ressort
−
-→
e x est le vecteur unitaire qui allonge réellement le ressort au point considéré.
Un ressort idéal est un ressort linéaire et de masse négligeable. La tesnion est alors uniforme le
long du ressort.
2.1.2
forces à distance
force de Lorentz Une particule chargée électriquement, de charge q et de vitesse v, subit une
force dans un champ électromagnétique :
f = q(E + v ∧ B)
forces de pesanteur
soumis à son poids :
Au voisinage de la surface de la Terre, un point matériel de masse m est
P = mg
g est le champ de pesanteur créé par la Terre au lieu où se trouve le point matériel. Il résulte à
la fois de l’interaction gravitationnelle et de forces d’inertie liées au mouvement de la Terre. On
prendra en générale g= p,81 m.s−2 .
2.2
2.2.1
mouvement dans le champ de pesanteur
sans frottement
Soit un projectile de masse m lancé avec une vitesse initiale v0 et soumis uniquement à son poids.
Système étudié : projectile de masse m assimilable un point.
Référentiel : référentiel d’observation (terrestre) de repère (O,ex ,ey ,ez ) supposé galiléen.
Bilan des forces : le poids P = mg
PFD : ma = mg
6

 ax = 0
ay = 0

az = −g

 vx = v0 cos α
vy = 0

vz = −gt + v0 sin α


 x = v0 cos α t
y=0

 z = − 1 gt2 + v0 sin α t
2
Pour trouver l’équation de la trajectoire, il suffit d’éliminer t :
t=
x
v0 cos α
z=−
g
x2 + tan α x
2v02 cos2 α
La portée est la solution de z = 0 :

 x=0
v 2 sin 2α
π
 x= 0
maximum pour α =
g
4
La flèche est la solution de vz = 0 :
t=
2.2.2
v0 sin α
g

v 2 sin 2α


 x= 0
2g
2
2
v
sin
α


 z= 0
2g
avec frottement dans un fluide très visqueux
Dans ce cas le principe fondamental de la dynamique s’écrit, en négligeant la poussée d’Archimède
de l’air :
ma = mg − kv
Le plan (xOz) est défini par la verticale et le vecteur vitesse initiale. La trajectoire est contenue
dans ce plan.


 ax = − k vx = dvx
m
dt
k
dv

 az = −g − vz = z
m
dt
k
Soit λ = . On intègre l’équation du mouvement entre l’instant 0 et l’instant t :
m
dvx
= −λdt
vx
vx
ln
= −λ(t − 0)
v0 cos α
vx = (v0 cos α) exp(−λt)
et
dvz
+ λvz = −g
dt
7
la solution est la somme de la solution générale de l’équation homogène sans second membre +
solution particulière de l’équation avec second membre :
vz = C exp(−λt) −
vz = (
g
λ
g
g
+ v0 sin α) exp(−λt) −
λ
λ
On intègre une deuxième fois pour obtenir x et z

v0 cos α

exp(−λt) + A

 x=− λ
g
( + v0 sin α)

g

 z=− λ
exp(−λt) − t + B
λ
λ
Avec les conditions initiales x = 0 et z = 0, on a finalement

v0 cos α

(1 − exp(−λt))

 x=
gλ
( + v0 sin α)

g

 z= λ
(1 − exp(−λt)) − t
λ
λ
Lorsque t → ∞
(
v0 cos α
x→
λ
z → −∞
(asymptote verticale)
(
et
vx → 0
mg
g
= vlim
vz → − = −
λ
k
Pour que la vitesse limite soit atteinte, il ne faut pas que le projectile atteigne trop vite le sol.
2.2.3
avec frottement en v2
En général, dans l’air les vitesses atteintes sont trop importantes pour que le modèle précédent
soit valable. On peut alors écrire la relation fondamentale de la dynamique sous la forme :
ma = mg − kvv

p

 m dvx = −k vx2 + vz2 vx
dt
p
dv

 m z = −mg − k vx2 + vz2 vz
dt
Ce système d’équations différentielles couples n’admet pas de solution analytique (résolution numérique) sauf dans le cas particulier du mouvement vertical :
p
dvz
= −mg − k vz2 vz
dt
r
mg
=
k
m
La vitesse limite devient alors vlim
2.3
mouvement d’une masse accrochée à un ressort
On s’intéresse à un point matériel M de masse m, accroché à l’extrémité d’un ressort de raideur
k et de longueur à vide l0 , l’autre extrémité (A) du ressort étant fixe. Le point est astreint à se
déplacer sur un axe horizontal (Ox), O étant choisi de telle manière que OA =l0 . A l’instant initial,
le point matériel est lâché sans vitesse initaile d’un point d’abscisse x0 .
Système étudié : point matériel de masse m
Référentiel : référentiel d’observation (terrestre) de repère (O,ex ,ey ,ez ) supposé galiléen.
Bilan des forces : Le point matériel M de masse m est soumis, dans le référentiel terrestre supposé galiléen,
- à l’action du champ de pesanteur g,
- à la force de rappel du ressort T = −k(l − l0 )ex
- et à la réaction du support R = Rn ey + RT ex = Rn ey en l’absence de frottements.
8
PFD : ma = mg + Rn ey − kxex
max = −kx
mẍ = −kx
r
k
t + ϕ)
x = A cos(
m
Avec les conditions initiales, x = x0 cos ωt
3
étude énergétique d’un point matériel
Les principes fondamentaux de la dynamique ou lois de Newton permettent d’établir les équations
différentielles du mouvement, leur résolution fournit l’expression des variables en fonction du temps
et ainsi une connaissance complète des mouvements futurs. Toutefois, l’intégration des équations
n’est pas toujours possible et dans ce cas, les raisonnements énergétiques permettront l’étude plus
ou moins complète du système grâce à une mise en forme différente de ce qui a déjà été postulé.
3.1
3.1.1
puissance et travail d’une force dans un référentiel
travail d’une force
Soit un référentiel R et M un point matériel qui décrit une trajectoire C dans R entre t1 et t2 , en
étant soumis à la force F.
−−−→
Cette trajectoire peut être décomposée en une succession de déplacements élémentaires M M 0 =
−−→ −
dOM = →
v M/R dt.
définition : le travail élémentaire fourni par la force F lors du déplacement élémentaire du point
−−−→
matériel M M 0 entre t et t + dt est :
−−→
−
δW = F . dOM = F . →
v M/R dt
Remarque 1 : Si δW > 0, le travail élémentaire est moteur. Sinon, il est résistant.
→
− −−−→
Remarque 2 : Lorsque F ⊥ dOM , la force F ne travaille pas entre t et t + dt.
Remarque 3 : Dimension d’un travail (élémentaire) : [δW ] = [F ][dr] = [m][a][dr] = M.L.T −2 .L =
M.L2 .T −2
1J = 1 kg.m2 .s−2
définition : le travail d’une force pour un déplacement fini du point M se déplaçant, dans le
référentiel R, entre M1 et M2 le long d’une trajectoire C est
Z
M2
WM1 M2 (F) =
Z
t2
F . dr =
M1
F . vM/R dt
t1
Remarque : A priori, W dépend du référentiel d’étude et du chemin C suivi par M pour aller de
M1 à M2 . Par contre, pour une force constante, WM1 M2 (F) = M1 M2 .F
3.1.2
puissance d’une force
définition : la puissance intantanée de la force F appliquée sur le point M dans le référentiel R
est :
PF (t) = F . v(t)
δW = Pdt
2
Remarque 1 : [P] = M.L .T
1 Watt (W)= 1 kg.m2 .s−3
−3
Remarque 2 : la puissance PF dépend du référentiel R dans lequel on l’exprime.
9
3.2
3.2.1
énergie cinétique
définition
On appelle énergie cinétique d’un point matériel M de masse m animé de la vitesse vM/R dans
le référentiel R la grandeur :
1
Ec = mvM/R 2
2
3.2.2
théorème de l’énergie cinétique
Soit un point matériel soumis dans un référentiel galiléen R à un ensemble de forces extérieures
dont la résultante est F. D’après la deuxième loi de Newton,
ma = F.v
Multiplions scalairement la 2e loi de Newton par v :
ma.v = F.v
a.v =
dv
. v donc
dt
d
dt
1
mv 2
2
= F.v
dEc = δW dt
En intégrant entre deux instants t1 et t2
Z
M2
∆Ec = Ec (t2 ) − Ec (t1 ) = WM1 M2 (F) =
F.dOM
M1
Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un point matériel M
entre deux instants t1 et t2 est égale au travail de la résultante des forces qui s’exercent
sur M entre ces deux instants.
3.2.3
théorème de la puissance cinétique
De la même façon, dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle de l’énergie cinétique d’un point matériel M à un instant t est égale à la puissance de la résultante
des forces qui s’exercent sur M à cet instant.
PF (t) =
3.3
dEc
dt
énergie potentielle
On se limitera pour la suite à des problèmes unidimensionnels.
3.3.1
exemple du poids
Soit un point matériel M de masse m soumis à un champ de pesanteur uniforme, g = - gez dans
le référentiel terrestre, supposé galiléen. Le repère choisi est (O,ex ,ey ,ez ).
δW (P) = m g.dOM
δW (P) = −mgdz
WM1 M2 (P) = mg(z1 − z2 )
Le travail du poids ne dépend que de l’état initial et de l’état final. Il est indépendant du chemin
suivi et a entraîné la variation de la grandeur mgz, qui a la dimension d’une énergie.
10
on appelle énergie potentielle de pesanteur la fonction Epp = mgz + constante , où z
désigne l’altitude.
Remarque 1 : Cette constante n’a pas de valeur physique : on ne sait mesurer que des variations d’énergie et non des énergies "absolues".
Remarque 2 : l’énergie potentielle de pesanteur augmente avec l’altitude (attention au sens de l’axe
(Oz)).
3.3.2
exemple de la tension d’un ressort
Considérons un ressort rectiligne de raideur k et idéal, fixé par l’une de ses extrémités à un point
fixe A dans le référentiel R. Un point matériel M est attaché à l’autre extrémité. La direction
d’étirement du ressort est caractérisée par le vecteur unitaire ex .
F = −k(l − l0 )ex
δW (F) = −k(l − l0 )dl
1
k((l1 − l0 )2 − (l2 − l0 )2 )
2
Le travail de la tension du ressort est donc associé à la variation de l’énergie potentielle élastique :
WM1 M2 (F) =
EP,el =
3.3.3
1
k(l − l0 )2 + constante
2
force conservative et énergie potentielle
Une force F est dite conservative si elle dérive d’une énergie potentielle c’est-à-dire si on peut écrire
quel que soit le chemin élémentaire choisi, dans le cadre d’un problème unidimensionnel :
δW (F) = −dEP
Une énergie potentielle représente une énergie accumulée grâce au travail d’une force et qui pourra
être restituée lors du retour à l’état initial.
propriétés :
- Le travail d’une force conservative ne dépend pas du chemin C suivi par M entre les deux positions
extrêmes considérées. Il est égal à la diminution de l’énergie potentielle entre ces deux positions.
- Pour une trajectoire fermée, WAA (Fcons ) = 0 - Une énergie potentielle est définie à une constante
additive près. la notation "d" indique que dEP est une différentielle exacte, donc intégrable à la
différence de δW . La valeur de W dépend pour une force quelconque du chemin suivi.
3.4
3.4.1
énergie mécanique
Définition
Soit un point matériel M de masse m soumis dans le référentiel d’étude supposé galiléen à des
forces telles que Fc + Fnc = Rext
dEc = (Fc + Fnc ).dOM
dEc = δW c + δW nc = −dEp + δW nc
d(Ec + Ep ) = δW nc
Ec + Ep = Em est appelée énergie mécanique
Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie mécanique est égale au travail
des forces non conservatives :
∆Em = Wnc
ou encore
dEm
= Pnc
dt
11
3.4.2
conservation de l’énergie mécanique
Si la puissance dissipée par les forces non conservatives est nulle à tout instant alors Em = cte
(équation appelée intégrale première du mouvement car sa dérivée est nulle et qu’elle ne fait
intervenir que des dérivées premières par rapport au temps, à la différence du P.F.D, qui fait intervenir des dérivées seconde.
Dans ce cas, toute l’énergie cinétique perdue est convertie en énergie potentielle et inversement par
le travail des forces conservatives.
Exemple du ressort :
Em =
1
1
mẋ2 + kx2 = cte
2
2
dEm
= 0 ⇒ mẋẍ + kxẋ = 0
dt
Exemple du pendule sans frottement :
Soit un pendule simple sans frottement étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le
mouvement étant circulaire, on choisit comme repère (O, er , eθ ), O étant le point fixe du fil idéal.
La tesnion du fil est une force conservative dans ce mouvement. En choisissant l’énergie potentielle
de pesanteur du point M nulle à la position d’équilibre (θ = 0), on a :
Em =
1
m(lθ̇)2 + mg l(1 − cos θ) = cte
2
dEm
= 0 ⇒ ml2 θ̇θ̈ + mg l sin θθ̇ = 0
dt
3.4.3
non conservation de l’énergie mécanique
Si WM1 M2 (Fnc ) > 0, alors Em augmente ce qui signifie que l’extérieur apporte de l’énergie mécanique au système M .
Si WM1 M2 (Fnc ) < 0, alors Em diminue , à cause de frottements par exemple : une partie de Em
est convertie dans ce cas en énergie cinétique microscopique par transfert thermique. C’est le cas
du pendule lorsqu’on considère les frottements de l’air : au cours du temps il y a amortissement
du mouvement du pendule car son énergie mécanique diminuant, l’amplitude de ses oscillations
diminue également.
12