Mécanique I - Mécanique galiléenne

X Séquence 8
Mécanique I - Mécanique galiléenne
Plan du cours : au verso
Documents complémentaires
• Fiche introductive au cours de mécanique : historique et définitions ;
• Fiche sur les systèmes de coordonnées ;
• TD cinématique et systèmes de coordonnées ;
• TD dynamique et énergétique ;
• TD sur les oscillateurs mécaniques non forcés ;
• TD sur le moment cinétique ;
• DMs numéros 1 et 2 à rendre respectivement pour les jeudi 28 mars et 4 avril ;
• L’essentiel à retenir en mécanique I ;
• Fiche de colle.
Chapitre I - Systèmes de coordonnées
1 - Rappels sur le produit scalaire
2 - Coordonnées cartésiennes
3 - Coordonnées polaires
4 - Coordonnées cylindropolaires
5 - Coordonnées sphériques et géographiques
6 - Vitesse et accélération
7 - Cas particuliers et mouvements simples
Chapitre II - Principe fondamental de la dynamique
1 - Le référentiel
2 - Le principe fondamental
3 - Relativité galiléenne
4 - Principe de l’action et de la réaction
5 - Stabilité d’un équilibre
6 - Exercices de base
7 - Frottement solide
8 - Frottement fluide
Chapitre III - Travail et énergie
1 - Travail, puissance
2 - Théorème de l’énergie cinétique
3 - Énergie potentielle
4 - Théorème de l’énergie mécanique
5 - Exercices d’illustration
Chapitre IV - Équilibre et stabilité
1 - Hypothèses
2 - Rappels sur l’oscillateur harmonique
3 - Lien avec l’énergie potentielle
4 - Retour à l’équilibre
5 - Oscillateur amorti
6 - Portrait de phase
Chapitre V - Moment cinétique
1 - Définitions
2 - Théorème du moment cinétique
3 - Exercices d’illustration
4 - Hors programme : Résultante et moment
La mécanique est l'étude des mouvements (voire de l'équilibre, on parle alors de statique)
des systèmes matériels (machine se dit μηχανή en grec). On distingue la cinématique (étude du
mouvement, sa géométrie, c'est-à-dire sa trajectoire, étant connue, du grec κιείνησις : mouvement)
et la dynamique (étude de la relation entre le mouvement et ses causes, du grec δύναμις : force).
La mécanique s'aborde de façons très diverses : point, solide, milieux continus, fluides ...
Un peu d'Histoire
On distingue aujourd'hui trois grands types de mécaniques : classique (newtonienne), relativiste
(Einstein, Planck) et quantique.
•
•
•
Antiquité
•
Archimède (287-212 av J.C.) : principe des leviers, du centre de gravité
XVIème siècle
•
Copernic (1473-1543) : système solaire, la Terre n'est pas au centre de celui-ci (cf.
Ptolémée)
•
Kepler (travaux de 1605 à 1618)
•
Galilée (1564-1642) : méthodes expérimentales, chute libre, pendule, accélération,
référentiels en translation rectiligne uniforme.
XVIIème siècle
•
Pascal (1623-1662) : hydrostatique (cf. thermodynamique)
•
Huyghens (1629-1695) : mécanique des rotations, force centrifuge, énergie cinétique
•
Newton (1642-1727) : Principes d'inertie, fondamental de la dynamique et des actions
réciproques. Gravitation, calculs différentiel et intégral.
•
Euler : mécanique des fluides
•
Lagrange : mécanique analytique
•
Laplace : théorie des perturbations
•
1841 : Le Verrier prévoit l'existence de Neptune
•
1859 : avance au périhélie de Mercure, qui contredit la théorie classique
•
1916 : Einstein parvient à expliquer cette anomalie grâce à sa théorie de la relativité
générale. Le temps dépend dans cette théorie du référentiel (via la transformation spéciale de
Lorentz). Espaces courbes.
•
1926 Mécanique quantique (Heisenberg, Schroedinger, De Broglie). Théorie quantique de la
gravitation (valable jusqu'en 1980 )
Nous nous limiterons au cas de la mécanique newtonienne, qui est valable tant que les
vitesses considérées ne sont pas trop élevées (jusqu'à, en général, 10% de la vitesse de la
lumière). Sinon, on dit qu'on se place dans le cadre des vitesses relativistes, et il faut modifier
les équations de la dynamique.
Quelques définitions
L'espace physique
L'espace physique est assimilable avec une grande précision à un espace euclidien (c'est-à-dire à un
espace vectoriel doté d'un produit scalaire) à trois dimensions. On définit un repère par la donnée
d'une origine de l'espace et de trois vecteurs formant une base de l'espace total. Ce repère est
orthonormé si de plus la base est orthonormée, c'est-à-dire si les vecteurs sont de norme unitaire et
orthogonaux deux-à-deux entre eux, et direct si la base est orientée de façon directe.
Le temps
Le temps est une grandeur scalaire mesuré par une horloge, elle-même fondée sur un phénomène
périodique (voir le premier cours de l'année sur la définition de la seconde, par exemple). Le temps
s'écoule toujours dans le même sens, et on peut assimiler le temps à un espace affine à une
dimension dont les points sont des instants, les coordonnées des dates et les intervalles des durées.
Le référentiel
C'est la donnée d'un repère et d'un espace temps, lié à un observateur. Le mouvement dépend du
référentiel, il faut donc toujours le préciser, avant de commencer une étude. On parle de temps
absolu en relativité newtonienne, car on suppose que le temps ne dépend pas du repère; c'est la
principale différence avec la mécanique relativiste, qui relie espace physique et espace temps. Tant
que les vitesses sont assez faibles (i.e. petites devant la vitesse de la lumière dans le vide), un
référentiel sera donc déterminé par la donnée d'un repère.
Le Point Matériel
C'est un objet purement théorique : on considère qu'un solide est assimilable à un point
complètement défini par ses trois coordonnées et sa masse (qui est une grandeur positive). C'est
l'objet physique le plus simple, mais il n'est que théorique. Cependant, il permet d'obtenir
d'excellentes approximations des phénomènes étudiées, tant quantitativement que qualitativement.
On décompose d'ailleurs les systèmes plus compliqués en une infinité de points matériels auxquels
on applique les résultats du simple point.
Trajectoire et mouvement
La trajectoire est l'ensemble des positions occupées par un point matériel au cours du temps, elle
dépend du référentiel. Le mouvement est la façon qu'à le point d'évoluer sur cette trajectoire. Par
exemple, si on va en ligne droite au fond de la cour, la trajectoire est la ligne droite. En revanche, le
mouvement permettra de savoir si on y va en courant, en trottinant, en changeant de rythme, etc.
Différents systèmes de coordonnées
Coordonnées cartésiennes (CC)
Coordonnées polaires (CP)
Coordonnées cylindro-polaires (CCP)
Coordonnées sphériques (CS)
Coordonnées géographiques (CG)
TD Physique - Cinématique et systèmes de coordonnées - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
Cinématique et systèmes de coordonnées
I - Chute libre ⋆
→
−
→
→
On considère une masse m soumise à son poids, c’est-à-dire à une force F = m−
g , où −
g est un vecteur supposé
constant appelé accélération de la pesanteur, dirigé selon la verticale et orienté vers le bas. On lâche la masse avec
une vitesse initiale nulle d’une hauteur h.
1. Donner les lois de l’altitude z(t) et de la vitesse v(t).
2. Que vaut la vitesse lorsque la masse touche le sol ?
3. Application : vous voyez passer un pot de fleur par la fenêtre. Vous estimez alors que celui-ci a mis un dixième
de seconde pour parcourir la hauteur de la fenêtre, d’environ 1m40. De quel étage est tombé le pot ?
II - Un peu de balistique ⋆
Un tireur au fusil envoie un projectile dont la vitesse initiale v0 forme un angle α avec l’horizontale. On note x la
distance au sol entre le tireur et le projectile et z son altitude, prise nulle à l’origine (on néglige donc la hauteur
du tireur). On suppose le projectile soumis seulement à son poids.
1. Faire un dessin du problème.
2. Donner la loi z(x). Quelle est la nature de la trajectoire ?
3. Premier cas particulier : quel angle faut-il choisir pour que le projectile aille le plus haut possible ? Au bout
de combien de temps le projectile atteint-il le sommet ? On note alors z max l’altitude maximale atteinte.
4. Second cas particulier : on veut envoyer le projectile le plus loin possible (on dit que l’on veut maximiser sa
portée). Quel angle choisir ? On note alors xmax la distance du point de chute. Y-a-t-il un lien entre z max
et xmax ? Quelle est la relation entre xmax et la valeur de x correspondant au sommet de cette trajectoire ?
Pouvait-on s’y attendre ?
5. On envoie un projectile avec une vitesse initiale v0 fixée. Quel est l’ensemble des points que le projectile ne
pourra pas atteindre ? Cette zone est limitée par une courbe appelée parabole de sûreté (ce nom donne donc
une idée de ce que l’on doit trouver !)
1
TD Physique - Cinématique et systèmes de coordonnées
III - Déviation dans un tube cathodique ⋆⋆
Éran
a
On place une particule de charge q et de masse m dans un champ
électrique E. On admet que la particule subit alors une force élec−
→
−
→
trique donnée par F e = q E , et que c’est la seule force à laquelle
elle est soumise (on néglige donc le poids). La particule traverse
le système suivant. Elle possède une vitesse v0 à l’entrée du tube
cathodique.
Z
ℓ
−
→
v0
−
→
E
D
→
−
1. Donner les lois de x(t), y(t) et z(t) à l’intérieur du tube. On prendra x(0) = y(0) = z(0) = 0 et −
v0 = v0 →
ey .
2. En déduire z(y) à l’intérieur du tube. Quelle est la nature de la trajectoire ? Établir celle-ci à la sortie du
tube, et donner les lois de x(t), y(t) et z(t).
3. Exprimer le rapport Z/D. On montre par ailleurs que le champ E vaut U/ℓ, où U est la différence de potentiel
entre les deux plaques du tube cathodique. Relier Z et U . Application ?
IV - Point mobile sur une sphère ⋆ ⋆ ⋆
On considère une bille ponctuelle placée au sommet d’une sphère de centre O et de rayon ℓ avec une vitesse initiale
nulle. Le système est supposé sans frottement.
1. Le système est-il stable, sans plus d’informations ?
2. Soit θ l’angle entre la verticale et le vecteur OB. On suppose que θ(0) est très petit mais non nul. Que va-t-il
se passer ? Montrer que le mouvement est plan.
−
→
3. Exprimer la réaction du support R en fonction de θ.
4. Déterminer l’angle de décollage de la bille, puis la vitesse de décollage de la bille.
5. Donner la loi θ(t) lorsque la bille est sur la sphère. On utilisera éventuellement la fonction ln | tan(x/2) |,
primitive de la fonction 1/ sin(x). En déduire le temps nécessaire au décollage de la bille.
6. Applications numériques pour ℓ = 40 cm.
7. Retrouver par une méthode énergétique l’expression de la vitesse angulaire en fonction de l’angle. Conclure
également sur la pertinence de telles méthodes pour trouver la loi de réaction du support.
V - Coordonnées sphériques ⋆ ⋆ ⋆⋆
On considère le système de coordonnées sphériques défini sur le
dessin suivant. Donner le domaine de définition des trois grandeurs
r, θ et φ permettant de décrire l’ensemble de l’espace. Exprimer
−
→
→
er , −
eθ et −
e→
φ dans la base cartésienne (il sera astucieux de regarder
→
→
→
le vecteur −
u = sin θ−
er + cos θ−
eθ ). En déduire vitesse et accélération dans ce système de coordonnées :
−
→
→
→
v = ṙ −
e + rθ̇ −
e + rφ̇ sin θ −
e→
r
θ
φ
]→
[
]→ [
−
→
eθ
er + 2ṙθ̇ + rθ̈ − rφ̇2 sin θ cos θ −
a = r̈ − rθ̇2 − rφ̇2 sin2 θ −
[
]→
eφ
+ 2ṙφ̇ sin θ + rφ̈ sin θ + 2rφ̇θ̇ cos θ −
2
TD Physique - Dynamique et énergétique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
Dynamique et énergétique
I - Frottement fluide simple ⋆
Une goutte d’eau supposée ponctuelle est soumise à son poids et à une force de résistance de l’air proportionnelle
à la vitesse. Le coefficient de proportionnalité est noté k. On suppose qu’elle a une vitesse initiale nulle.
1.
2.
3.
4.
Écrire les equations différentielles portant sur les composantes de la vitesse.
Résoudre les équations et montrer que le mouvement de fait selon un axe que l’on précisera.
Donner la loi v(t).
Montrer l’existence d’une vitesse limite ; que peut-on alors dire de l’ensemble des forces appliquées ?
II - Jonglage ⋆⋆
Un jongleur lance ses balles de jonglage à une vitesse v0 , et à une hauteur h. Lorsqu’une balle atteint cette hauteur,
il lance la suivante. À quelle hauteur deux balles consécutives se croisent-elles ?
III - Freinage d’un bateau ⋆⋆
Un bateau (ponctuel ...) de masse M = 12.103 t flotte sur une mer calme et se déplace le long d’un axe [Ox) en
−
→
→
étant soumis à une force de frottement F = −kv 3 −
ex . On prendra k = 6, 4.103 SI. La vitesse initiale du bateau est
de 16km/h. Sous l’effet de la seule force de frottement :
1. Déterminer au bout de combien de temps la vitesse du bateau atteindra 13km/h.
2. Calculer alors la distance parcourue.
IV - Guide hélicoïdal ⋆⋆
Soit un guide rigide ayant la forme d’une hélice circulaire inscrite sur la surface cylindrique d’axe [Oz) et de rayon
a, d’équation en coordonnées cylindropolaires r = a et z = hθ, où h est une constante positive. Un petit anneau
de masse m et supposé ponctuel suit le guide de façon bilatérale, sans frottements. Il est lâché avec une vitesse
initiale nulle depuis une altitude z0 .
1. Donner les expressions de la vitesse et de l’accélération de l’anneau en fonction de a ; h, et de dérivées de θ.
2. Traduire l’absence de frottements par une relation utilisant a, h, θ̇ et certaines composantes de la réaction
−
→
R.
3. Établir les équations différentielles du mouvement.
4. Déterminer z(t) et θ(t).
5. À quel instant l’anneau touchera-t-il le sol ?
−
→
6. Déterminer les composantes de la réaction R .
V - Accélération de particules chargées ⋆
Un filament émet des électrons possédant une vitesse nulle sur une cathode. Les électrons sont alors attirés par
l’anode. La différence de potentiel entre anode et cathode est de V . Exprimer la vitesse des particules lorsqu’elles
atteignent l’anode.
1
TD Physique - Dynamique et énergétique
VI - Rebonds d’une balle ⋆⋆
Une balle est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur h = 1 m au dessus d’un plancher sur lequel elle rebondit
avec un coefficient de restitution e = 0, 8, c’est-à-dire que la vitesse de la balle après le choc au sol vaut à chaque
fois la vitesse avant le choc multipliée par ce coefficient. Calculer les hauteurs maximales atteintes entre chaque
rebond. Calculer la durée entre deux rebonds consécutifs. Calculer enfin la durée totale à partir du premier rebond
jusqu’à ce que la balle ne rebondisse plus que de façon imperceptible.
VII - Régimes de pendule ⋆ ⋆ ⋆
Un point matériel M de masse m est suspendu à un fil inextensible de longueur ℓ, de masse négligeable et sans
−
raideur. Initialement, le fil est vertical et on communique au point M une vitesse →
v0 horizontale.
1. En supposant que le fil reste tendu, donner l’expression de la norme de la vitesse acquise par le point matériel
lorsque le fil fait un angle θ avec la verticale.
2. Sous la même hypothèse, déterminer la tension du fil.
3. On fixe θ. Quelle condition doit vérifier v0 2 pour atteindre cette valeur de θ et que le fil reste tendu ?
4. Que peut-on dire du mouvement lorsque v0 2 6 2gℓ, 2gℓ < v0 2 6 5gℓ et 5gℓ < v0 2 ?
VIII - Allongements optimaux ⋆
On considère une masse m suspendue dans le vide par un ressort de longueur à vide ℓ0 et de raideur k. On
lâche la masse avec une vitesse initiale nulle, alors que le ressort est au repos, et on prend cette altitude comme
origine de l’axe. Déterminer la loi de l’allongement du ressort au cours du temps, et en déduire les allongements
minimaux et maximaux.
IX - Équivalences de ressorts ⋆ ⋆ ⋆
On considère deux ressorts de même longueur à vide ℓ0 mais de raideurs différentes k1 et k2 . Montrer que ces
deux ressorts sont équivalents à un seul ressort dont on donnera longueur à vide et raideur, dans les deux cas
suivants : les deux ressorts sont en parallèle (assez facile) ; les deux ressorts sont en série (beaucoup plus difficile).
À quel composant électronique cela vous fait-il penser ?
X - Oscillations avec frottements ⋆ ⋆ ⋆
Un point matériel M de masse m se déplace sur un axe horizontal (xOx′ ). Il est soumis à son propre poids, à
→
−
−−→
−
→
une force de rappel F = −k OM et à une réaction R de l’axe vérifiant les lois de Coulomb, c’est-à-dire que l’on a
au cours du mouvement RT = f RN . Á t = 0, M est en M0 d’abscisse x0 > 0 et sans vitesse initiale.
• Que doit valoir au minimum x0 pour que le mouvement puisse commencer ? On suppose cette condition
satisfaite.
• Etablir l’équation différentielle du mouvement, et la résoudre en utilisant ω 2 = k/m.
• On pose a = f mg/k. Jusqu’à quelle valeur de ωt cette solution est-elle valable ? Calculer l’abscisse x1 du
point atteint au terme de la première phase de ce mouvement.
• Quelle condition sur x1 est nécessaire pour que le mouvement reparte en sens inverse ? Quelle est alors la
condition sur x0 ?
• Etablir alors la nouvelle équation différentielle, la résoudre et donner l’abscisse x2 du point atteint à la fin de
la deuxième phase.
• On donne x0 = 4, 5 a. Tracer la représentation graphique de x(t). Comment varient les amplitudes à chaque
alternance ?
2
TD Physique - Oscillateurs mécaniques non forcés - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
Oscillateurs mécaniques non forcés
I - Oscillateur à deux ressorts ⋆⋆
Une masse m est attachée à deux ressorts de longueur
à vide ℓ1 et ℓ2 et de raideur k1 et k2 . Les deux ressorts
sont fixés en deux points espacés d’une distance ℓ >
ℓ1 + ℓ2 . On négligera les frottements. Quelle est la
position d’équilibre ? Établir la période des petites
oscillations de la masselotte. Mêmes questions pour
la deuxième configuration.
M(m)
M(m)
II - Anneau oscillant ⋆⋆
Un anneau de masse m suit un guide parabolique d’équation y = ax2 , le long duquel il glisse sans frottement.
On lâche cet anneau sans vitesse initiale d’une hauteur h. Evaluer l’énergie mécanique de l’anneau et montrer que
celui-ci va effectuer des oscillations sur le guide entre deux points symétriques. Donner l’expression de la période
de ces oscillations lorsque x demeure faible au cours du mouvement.
III - Équilibre sur un cerceau ⋆ ⋆ ⋆
On considère un cercle de centre O et de rayon a placé dans un plan vertical, sur lequel se déplace un point matériel
M de masse m. On considère également un point C, à la distance b de O, et situé sur l’axe horizontal du cercle. Le
point M est soumis à une liaison bilatérale sans frottement avec le cercle, à son poids, et à l’action d’une ressort
−−→ −−→
de raideur k, de longueur à vide nulle, et attaché au point C. On appelera θ l’angle (OC, OM ).
1. Faire un dessin du système.
2. Quelles sont les positions d’équilibres possibles ? On en trouvera deux.
3. Étudier leurs stabilités.
4. Déterminer la période des oscillations autour de la position d’équilibre stable.
IV - Pendule cycloïdal ⋆ ⋆ ⋆⋆
Un point matériel M se déplace dans un champ de pesanteur uniforme en suivant la trajectoire cycloïdale d’équation
paramétrique x(θ) = a (θ −sin θ) et y = −a (1−cos θ). On suppose que le mouvement se déroule sans frottements,et
que le point M est lâché à t = 0 sans vitesse initiale depuis l’angle 0 > θ0 < π.
1. Faire un dessin de la cycloïde, en précisant bien les positions θ = 0, θ = π et θ = 2π.
2. Quelle approche vous semble la meilleure ? PFD ou énergétique ?
3. Donner alors l’expression de θ̇ durant la phase descente. Calculer le temps mis pour aller jusqu’au point le
plus bas de la trajectoire.
4. En déduire la période du mouvement. Dépend-elle de θ0 ?
1
TD Physique - Oscillateurs mécaniques non forcés
V - Oscillateur à ressort et plan de phase ⋆⋆
On considère une masse m attaché à un ressort (ℓ0 , k) et reposant sur un plan horizontal. On repère le mouvement
grâce à un axe [Ox) dont l’origine O est le point d’équilibre du système. On écarte la masse à un point xm et on
le lâche sans vitesse initiale.
√
k
• On néglige tout d’abord les frottements, et on pose ω0 =
. Etablir la loi horaire x(t) et tracer l’allure du
m
portrait de phase.
−
→
→
• On se place maintenant dans le cas où l’oscillateur est soumis à un frottement fluide f = −λ−
v . On posera
λ/m = 2/τ . Quelle est la nouvelle équation différentielle du mouvement ? Étudier qualitativement les trois
cas ω0 τ ≫ 1, ω0 τ ≪ 1 et ω0 τ = 1, tracer l’allure des courbes x(t) ainsi que les portraits de phase associés.
VI - Portrait de phase ⋆⋆
On considère le portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti composé d’une masse m = 500 g soumise
→
→
à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une force de frottement fluide −λ−
v . On note −
v la
vitesse de la masse m et x est l’écart à la position d’équilibre. L’étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire,
supposé galiléen.
1. Quelle est la nature du régime de l’oscillateur ?
2. Déterminer par lecture graphique :
• la valeur initiale x0 de la position x ;
• la valeur finale xf de la position x ;
• la pseudo-période T ;
• le décrément logarithmique d.
3. En déduire la pulsation propre ω0 , le facteur de qualité Q
de l’oscillateur, la raideur k du ressort et le coefficient de
frottement fluide λ.
Rappel : Un résultat n’est valable qu’associé à une unité.
VII - Pendule simple et plan de phase ⋆ ⋆ ⋆
On considère un pendule simple constitué toutefois d’une tige rigide de
√ masse négligeable (assurant ainsi que
g
le « fil » est toujours tendu), avec les conditions initiales θ0 = 0 et θ̇0 = α
avec α > 0.
l
• On suppose le mouvement sans frottement. Exprimer θ̇2 en fonction de α, g, ℓ et θ, et tracer l’allure du
portrait de phase pour α < 2 et > 2.
• On se place dans le cas α > 2 et avec de petits frottements. Tracer l’allure du portrait de phase. Que se
passe-t-il si la tige est souple ?
2
TD Physique - Moment cinétique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
Moment cinétique
I - Théorème du moment cinétique scalaire ⋆
Démontrer, à partir de la notion de moment cinétique L∆ par rapport à un axe ∆ et du moment total des forces
selon ce même axe M∆ que
dL∆
= M∆
dt
II - Application directe du cours ⋆
−
→
→
Un point matériel M de masse m est soumis à une force élastique du type f = −k −
r . Á t = 0, M est en M0
−−−→
−
→
−
→
→
−
tel que OM0 = r0 ex avec une vitesse initiale v0 = v0 ey . Calculer le moment cinétique de M par rapport au point
→
O, ainsi que dans le cas où l’on tient compte de frottements faibles de type −α−
v avec α > 0.
III - Á savoir absolument sur le bout des doigts ! ⋆⋆
Établir l’équation du mouvement d’un pendule simple de masse m et de longueur ℓ par trois méthodes différentes : PFD, méthode énergétique, et théorème du moment cinétique.
IV - Un petit tour au jardin d’enfant ⋆⋆
Un enfant, assimilé à un point matériel E, de masse m = 40 kg glisse sur un toboggan formé par un quart de
cercle de rayon r = 2, 5m. On repère les angles par rapport au sommet du toboggan. L’enfant part de l’angle θ = 15◦
où il possède une vitesse nulle jusqu’à la position θ = 90◦ où il quitte le toboggan. On néglige tout frottement et
on suppose le référentiel terrestre galiléen. Établir l’équation différentielle du mouvement de l’enfant. En déduire
l’expression de sa vitesse v en fonction de θ, et calculer la vitesse maximale atteinte. Commenter cette valeur.
V - Bille sur sphère ⋆⋆
Reprendre l’exercice de la bille sur la sphère vue dans le TD cours de mécanique et retrouver la loi de θ̇2 (t).
Retrouver alors avec le PFD l’angle de décollage de la bille. On va peaufiner : on suppose que la bille part du
sommet avec une vitesse initiale non nulle v0 horizontale. Calculer en fonction de v0 , g et R le nouvel angle de
décollage de la sphère, et montrer que cet angle n’existe que si v0 est inférieure à une vitesse v lim que l’on exprimera
en fonction de g et R.
VI - Gravimètre à ressort ⋆ ⋆ ⋆⋆
Un gravimètre à ressort est constitué d’une tige OB de masse négligeable pouvant
tourner autour d’un axe horizontal (Ox) et supportant en B une masse ponctuelle m.
Sous l’action du ressort AB de raideur k et de longueur à vide ℓ0 , le dispositif est tel
que la tige est horizontale à l’équilibre. On pose alors OA = a, OB = b, AB = ℓ et
−−→
→
θ = (−
e , OB). Calculer la longueur ℓ du ressort à l’équilibre en fonction de k, m, a, g
y
et ℓ0 . À quelle condition cet équilibre existe-t-il ? Déterminer la période T0 des petites
oscillations de ce pendule. Que se passe-t-il lorsque ka est voisin de mg ?
1
Devoir Maison - Mécanique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
Devoir Maison - Mécanique
I - Mouvement d’une particule dans un champ magnétique uniforme
→
Une particule de charge q et de vitesse −
v mesurée dans un référentiel (R), dans lequel règnent un champ
−
→
−
→
électrique E et un champ magnétique B est soumise à la force de Lorentz
→
−
−
→ → −
→
F = q (E + −
v ∧ B)
Remarque : Nul besoin de savoir ce qu’est un champ pour résoudre le problème !
1 Montrer que la puissance de la force de Lorentz coïncide avec la puissance de la seule force électrique. On pourra
utiliser un produit mixte.
→
−
−
→ −
→
On se place dans le repère cartésien (O, −
u→
x , uy , uz ). On suppose qu’il existe un champ magnétique B , constant
(donc de norme constante) et uniforme (c’est-à-dire de même valeur en tout point de l’espace), et dirigé selon la
→. On néglige l’action du poids dans tout le problème et on considère qu’il n’y
verticale ascendante −
u
z
a pas de champ électrique. Á l’instant initial t = 0, une particule ponctuelle M de masse m et de charge q se
→, −
→
−
→
trouve en O avec une vitesse initiale de norme v0 , située dans le plan (−
u
y uz ) et faisant un angle α avec uy .
2 Faire un dessin du problème où apparaissent toutes les quantités définies, et donner les coordonnées du vecteur
−
→
v0 en fonction de v0 et α.
3 Exprimer à tout instant la force de Lorentz s’exerçant sur la particule en fonction de q, B et des dérivées ẋ, ẏ
et ż de la position de M (x, y, z).

 ẍ = ω ẏ
qB
4 On pose ω =
, et on appelle |ω| la « pulsation cyclotron ». Montrer que l’on a ÿ = −ω ẋ

m
z̈ = 0
−
→
−
5 Donner la loi z(t). En déduire que, dans le cas particulier où →
v0 et B sont orthogonaux, le mouvement est plan
et préciser ce plan.
Pour trouver x(t) et y(t), on va utiliser deux méthodes et on supposera ω positive.
6 Première méthode
Intégrer la première ligne du système, puis en déduire une équation différentielle portant uniquement sur y. Déterminer alors x(t) et y(t).
7 Deuxième méthode : méthode des complexes
On pose X(t) = x(t) + iy(t), où i est le nombre complexe tel que i2 = −1. Trouver une équation différentielle
d’ordre deux en X(t). La résoudre. En déduire X(t) et finalement x(t) et y(t).
8 Commenter les deux méthodes.


 x(t) = x0 + R(1 − cos(ωt))
−
→
Une hélice passant par le point (x0 , y0 , z0 ) et d’axe ez est caractérisée par y(t) = y0 + R sin(ωt)

 z(t) = z0 + p ωt
2π
où p est appelé pas réduit de l’hélice et R son rayon.
9 Montrer que la trajectoire de la particule est une hélice. Déterminer son rayon et son pas.
1
Devoir Maison - Mécanique
10 Montrer que la vitesse de la particule est constante en calculant sa norme.
11 Retrouver ce résultat avec le théorème de l’énergie cinétique.
12 Application numérique q = 3.10−19 C, m = 10−26 kg, B = 1 T, v0 = 2.106 m.s−1 , α = 45◦. Était-il légitime de négliger l’action du poids ? Quels sont le rayon et le pas de la trajectoire ? Peut-on espérer mesurer
expérimentalement ces grandeurs ?
II - Virage en formule 1
Un formule 1 aborde un virage, assimilé à un quart de cercle de rayon R = 30 m, à la vitesse v = 120 km.h−1 ,
et maintient cette vitesse sur tout le virage.
1 Quelle est l’expression du vecteur accélération sur ce virage ?
2 En déduire la norme de cette accélération, en unités SI puis exprimée en g (avec 1g = 10 SI, ce qui permet de
comparer cette valeur à l’accélération de la pesanteur). Commentez ce résultat.
III - Crash test
On étudie ici un test d’accident automobile, filmé par une caméra. Un véhicule de masse M roule à vitesse
constante V0 sur une route horizontale rectiligne. Elle rencontre un obstacle imprévu. Le but de ce problème est
de calculer la distance de freinage et le temps d’arrêt du véhicule. On néglige l’effet du frein moteur, et on suppose
que le freinage ABS s’effectue sans dérapage sous la seule force de frottement constante des roues Ff = −f M g, où
f est le coefficient moyen de frottement pneu-chaussée. On assimile enfin la voiture à un point matériel G repéré
par son abscisse x dans le sens du mouvement, avec x(0) = 0 au début du freinage.
1 Établir l’équation différentielle donnant x(t) durant le freinage.
2 En déduire l’expression littérale du temps d’arrêt ta , instant où la vitesse s’annule.
3 En déduire également la distance de freinage Da parcourue entre t = 0 et t = ta , en fonction de V0 , f et g.
4 Application numérique : V0 = 24 m.s−1 = 86, 4 km.h−1 , f = 0, 6, g = 10 m.s−2 . Calculer ta et Da
5 Le temps de réflexe moyen avec 0,5g d’alcool dans le sang est de tr = 0, 6 s. Un conducteur roule à la vitesse
V0 et ne commence à freiner qu’à t = tf après avoir vu l’obstacle situé à la distance de freinage Da calculée à la
question précédente. Exprimer la vitesse de choc Vc du véhicule contre l’obstacle en fonction de V0 , f , g, Da et tf .
Application numérique : Calculer Vc .
6 On fixe maintenant t = 0 et x = 0 au début du choc, la vitesse du véhicule étant alors Vc . On cherche à évaluer
la durée du choc et l’intensité de la décélération brutale que subit le conducteur. L’enregistrement vidéo montre
qu’entre le début et la fin du choc, G s’est déplacé d’une distance E. On suppose que l’accélération est constante
durant le choc et vaut (−a). Exprimer cette décélération en fonction de E et Vc . Exprimer alors la durée théorique
du choc τc , en fonction des mêmes variables.
7 Application numérique : Vc = 14 m.s−1 = 50, 4 km.h−1 et E = 1 m. Calculer a et τc .
8 En réalité, la décélération passe rapidement d’une
valeur nulle à une valeur maximale très élevée, avant
de s’annuler brutalement en fin de choc, ce qui entraîne des dégâts corporels très importants si la ceinture n’est pas bouclée. D’après la figure ci-dessous,
quelle est la valeur maximale, en Newton, de la force
supportée par la personne attachée, celle ayant une
masse de mp = 70 kg ? Quelle est la masse dont le
poids serait égal à la force totale ? Conclure.
2
Devoir Maison - Mécanique II - Énergétique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
Devoir Maison - Mécanique II - Énergétique
Un modèle simplifié de molécule d’ammoniac N H3 placent les trois atomes d’hydrogène dans un même plan,
formant la base d’un pyramide dont le sommet est l’atome d’azote. On suppose que les hydrogènes sont fixes dans
le référentiel du laboratoire supposé galiléen et définissent un plan (xOy), et que l’atome d’azote de masse m est
→
en mouvement selon l’axe −
ez . Il peut passer de part et d’autre du plan (xOy) et sa cote est notée z.
On néglige la force de pesanteur et on considère que l’ensemble des forces électromagnétiques s’exerçant sur
l’atome d’azote N supposé ponctuel, où α et a sont des constantes positives, est
−
→
→
F = −αz(z 2 − a2 ) −
ez
−
→
1 Montrer qu’effectivement la force F dérive d’un potentiel EP et donner l’expression de celui-ci. On prendra
une énergie potentielle EP (z) nulle pour z = 0.
2 Représenter graphiquement EP . En déduire, sur le graphique, les positions possibles d’équilibre ainsi que leurs
caractères stable ou instable, en justifiant pourquoi.
3 L’atome d’azote est placé à une position d’équilibre stable. Il reçoit alors une énergie E0 6 αa4 /4. Montrer
graphiquement que l’atome va osciller entre deux valeurs limites z1 et z2 .
4 Déterminer la fréquence des petites oscillations alors obtenues.
5 Que se passe-t-il si E0 est supérieure à αa4 /4 ?
1
L'essentiel ... en mécanique I
Avant tout, il faut savoir ...
Poser un problème de mécanique : définition du système avec le bilan des forces, référentiel d'étude
et justification de son caractère galiléen, systèmes de coordonnées, dessin du problème.
Il faut connaître les définitions ...
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de la quantité de mouvement d'un système, d'une interaction et d'une force ;
du coefficient de frottement, d'un frottement fluide ;
du travail et de la puissance d'une force, des énergies cinétique et mécanique d'un système ;
d'un équilibre, de la stabilité d'un équilibre, du gradient d'un champ scalaire ;
d'un l'oscillateur harmonique, d'un portrait de phase.
Il faut retenir ...
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les trois lois de Newton et le principe fondamental de la dynamique (principe d'inertie, et
principe de l'action et de la réaction) ;
que les référentiels galiléens sont tous en translation rectiligne uniforme entre eux, et qu'il en
existe au moins un !
dans quelles situations on est en mécanique galiléenne ou en mécanique relativiste ;
les lois de Coulomb sur le frottement ;
la notion d'énergie potentielle et de force conservative, et le lien avec le travail de la force ;
l'expression de l'énergie potentielle de quelques forces (ressort, pesanteur, électrique) ;
l'équivalence entre un ressort et un condensateur pour les lois d'associations, savoir démontrer
ces lois qui ne sont pas au programme mais très classiques.
Il faut connaître ...
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les systèmes de coordonnées : CC, CP et CCP, ainsi que les coordonnées d'un point dans un tel
système. Il faut savoir construire la base locale et les vecteurs de cette base locale ;
les relations de passage entre les système CC et CCP ;
le principe de dérivation vectorielle et celui de calcul d'une dérivée dans de tels systèmes
(notamment les exemples fondamentaux de la vitesse et de l'accélération) ;
la condition nécessaire d'un équilibre (la somme vectorielle des forces est nulle) qui n'est en
aucun cas une condition suffisante !
le théorème de l'énergie cinétique, et la notion d'intégrale première de l'énergie; le TEC
généralisé dans le cas de forces non conservatives ;
le théorème de l'énergie mécanique, le plus pratique ! Et le cas particulier disant que l'énergie
mécanique est une constante en l'absence de travaux de forces non conservatives (en particulier
de frottements) ;
la définition intrinsèque du gradient d'un champ scalaire ;
la méthode mathématique pour étudier l'équilibre d'un point matériel et sa stabilité ;
la méthode pour établir l'évolution des petites oscillations d'un système légèrement écarté d'une
position d'équilibre stable ;
quelques éléments sur les transferts d'énergie dans un système d'oscillations non forcées ;
quelques éléments de la construction du plan de phase et ses principales propriétés.
Feuilles de compte-rendu de colles N°10 et 11
Trinôme N°
Thème de chaque quinzaine : Mécanique galiléenne
Questions de cours (maximum 10mn)
1 – Donner les expressions de la vitesse et de l'accélération dans un système de coordonnées au choix du colleur (cartésiennes,
polaires, cylindropolaires). On définira proprement le système de coordonnées.
2 – Lois de Newton : énoncés.
3 – Chute libre : temps de chute et calcul de la vitesse finale après une chute d'une hauteur H.
4 – Pendule simple : calcul de la période par une méthode au choix du collé.
5 – Repère de Frénet : démonstration de la formule donnant l'accélération en fonction de v et R pour un mouvement circulaire.
6 – Référentiels : exemples de référentiels et qualité de leur « galilénité » (savoir si ce sont de bons référentiels galiléens).
7 – Lois de Coulomb : énoncés.
8 – Travail et puissance d'une force : définitions, intérêt. Théorème de l'énergie cinétique : énoncé et démonstration.
9 – Intérêt de la notion d'énergie potentielle (à une dimension) : définition, exemples de la pesanteur et de la force de rappel d'un
ressort. Démonstration pour l'une de ces deux forces de l'expression de l'énergie potentielle (au choix du COLLEUR).
10 – Oscillations autour d'une position d'équilibre stable : établissement de l'équation différentielle, pulsation propre.
11 – Plan de phase : définitions, intérêt, allure de la trajectoire d'un mouvement harmonique. Donner au moins 3 propriétés d'une telle
représentation.
12 – Théorème du moment cinétique : énoncé, démonstration.
Nom :
Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) :
Très
insuffisant
Insuffisant
Moyen
Bien
Très bien
Rigueur
scientifique
□
□
□
□
□
Connaissance
du cours
□
□
□
□
□
Outils
mathématiques
□
□
□
□
□
Réflexion
□
□
□
□
□
Rapidité
□
□
□
□
□
Nom :
Question de cours N°
Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) :
Très
insuffisant
Insuffisant
Moyen
Bien
Très bien
Rigueur
scientifique
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Connaissance
du cours
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Outils
mathématiques
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Réflexion
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Rapidité
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Nom :
Question de cours N°
Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) :
Très
insuffisant
Insuffisant
Moyen
Bien
Très bien
Rigueur
scientifique
□
□
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Connaissance
du cours
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□
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Outils
mathématiques
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Réflexion
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Rapidité
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Question de cours N°