Extrait sur la thermodynamique et Effet Doppler

E.N.S.2009
Paris [p091p1eJS|LI
1
Deux illustrations
1".1
Le facteur
119
des principes de Boltzmann
de Boltzmann
Ql. On considère un fluide soumis au dramp de pesanteur d'intensité constante notée g, dirigé dans le sens décroissant d'un a:<e vertical noté z. On note P(r) la prassion du fluide et
p(z) sa mas.sevolumique à I'altitude z.Déduire de l'équilibre mécanique du fluide une équation
différentielle reliant les fonctions P et p.
Q2. On suppose que le fluide est un gaz parfait de masse molaire M. En déduire une relation
supplémentaire entre P(r) et p(z), en notant T(z) la température du gaz à I'altitude z.
- T indépendamment de
Q3. On suppose par ailleurs le gaz isotherme, c'est-à-dire que T(r)
I'altitude. En déduire la valeur de P(z) pour tout z ; on notera Ps la pression en z - 0.
Q4. Exprimer la densité volumique de molécules du fluide n(z). Montrer que I'on peut la mettre
sous la forme n0exp[- Er(z)/(kef)],
où .Eo est l'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule
de fluide.
b
I
Q5. Définir une hauteur caractéristique pour ce phénomène. En donner la valeur numérique
pour I'air, que I'on assimilera à un gaz parfait de rnassemolairc 29 g.mol-l à la température de
20"c.
7
t.
I
Q6. [,e modèle étudié dans cet exercice vous sembl+t-il adapté à l'étude de I'atmosphère terrestre ?
7
t
7
Données
numériques
J
Constante des gaz parfaits : R: 8,314 J.mol-l.1ç-t
Accélération du dramp de pesanteur : g - 9, 81 m.s-2
Vitesse de la lumière : c:3 108 m.s-l
3
Mesure optique de ,R
La dernière partie du problème est conbacréeau principe d'une autre expérience de mesure
de -R, ba,seesur l'éIargissement des raies d'absorption moléculaire par effet Doppler à cause du
mouvement d.'agitation thermique des molécules d'un gaz.
3.1
Distribution
des vitesses dans un gaz parfait
On considère un gaz parfait monoatomique, constitué d'atomes de masse m, de densité volumique n, en équilibre thermodynamique à la température T. Les atomes ont donc un mouvement
d'agitation thermique, que I'on va caractériser dans les questions suivantes.
Dans un premier temps on considère un modèIe schématique du mouvement des particules
du gaz : leur vitesse est supposéene pouvoir prendre qu'une des valeurs suivantes, (*u0,0,0),
(0, *us,0), (0,0, *t,s), dans un systèmesde coordonnéescartésiennesdont les axes correspondent
aux orientations des faces du parallélépipède qui renferme Ie gaz. On fait I'hypothèse que les six
valeurs possibles de la vitesse sont également représentéesparmi les atomes du gaz.
portion de surface ô,S d'une des parois,
efg. Combien d.'atomes entrent en collision avec une
pendant un interva,lle de temps infinitesimal ôt ?
q64.Quel est le transfert de quantité de mouvement opéré lors du choc entre rrn uro*e et la
paroi, liatome étant supposé réfl.échidans la direction opposée à celle de son arrivée ?
r
paroi est
Q55. En déduire que la pression exercée par Ie gaz sur Ia
P - lr*rfi d'un gaz parfait si I'on prend
eb6. Montrer que ce résultat est compatible avec I'équation d'état
us-$æn
On reconsidère maintenant ce point à partir du principe général utilisé dans la première
partie : la probabilité qu'un atome soit trouvé à la position û à d3d, avec une vitesse u'à d3d
près e.st proportionnelle au faeteur de Boltzmann exp[- E(i,d)l@BT)Jd3dd3u-, où E(d, u-) est
I'énergie d'un atorne dans un tel état.
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Q57. Montrer que la probabilité pour qu'un atome ait une vitesse u-à d3u-près peut s'écrire
(7)
g(u,)du, g(u)duo g(u,)dr, ,
où I'on explicitera la fonction g à une constante multiplicative près.
Q58. En déduire que la vitesse quadratique moyenne vaut
-
on utilisera I'identité :
d'ae-go'
Ë;
valable pour toute constante B positive.
2P
'
Q59. Tlacer I'allure de Ia fonction g(u). Exprimer la mi-largeur àlf e, que I'on notera u1, définie
comme la valeur de u pour laquelle g(a) est divisee par e par rapport à sa valeur maximum,
en fonction de ka, T et m. En donner la valeur numérique à 0"C, en prenant pour rn La ma,sse
d'une molécule d'ammoniac NH3, de masse molaire LT g.mol-l. On rappelle que R : ke/r/4et
que la valeur de R est donnée dans le formulaire au début de I'énoncé.
Q6O. Dans quel régime de pression le comportement d'un gaz s'approche-t-il de celui d'un gaz
parfait ? Pourquoi ?
3.2
Elargissement
Doppler
des raies d'absorption
moléculaires
Q61. On considère une onde plane monochromatique progressive dans Ia direction donnée par
le vecteur unitaire d, de pulsation ar et de célérité c, décrite en notation complexe par le champ
s(i,t) -
"n-(*-')
.
Un récepteur se déplace à la vitesse t7 dans le champ de cette onde. Quelle est la pulsation uobs
qu'il observe ?
l-
Q62. Citer une manifestation de cet effet dans la vie courante.
Q63. On place un gaz moléculaire dans le champ de cette onde. On suppose que le mouvement
d'agitation thermique des molécules de masse rn e.stdécrit par la distribution de vitessqs obtenue
à l'équation (7). Ces molécule.s peuvent absorber le rayonnement de I'onde lorsque la pulsation
qu'elles observent au cours de leur déplacement est égale à r. (à ôa.'près, que I'on traitera comme
un infiniment petit). Le coefficient d'absorption o(t.r) est proportionnel à la densité volumique
de rnolécules susceptibles d'absorber I'onde incidente. Montrer que a(w) peut se mettre, à une
constante multiplicative près, sous la forme
(8)
Vous expliciterez u et ô en fonction des grandeurs de l'énoncé.
fonction de u. Préciser Ia vâleur de c..roù cette
Q64. Tbacer l'allure de exp l- ("+\'1en
L\/J
fonction atteint son maximum, ainsi que les deux pulsations @- I u+ où sa valeur est divisée
par e par rapport à son maximum.
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Q65. Donner I'ordre de grandeur de u,, et simplifier en conséquenceI'expression de la mi-largeur
à lf e, L,w - (r+ - u-)/2.Etait-il légitime de négliger le facteur lf u dans I'expression (8) pour
effectuer ce calcul de la mi-largeur de a(w) ?
Q66. Déduire des questions précédentes que Ia mesurede 4r.,,permet d'obtenir la valeur de la
constante dqs gaz parfaits selon
L,\'
/
R-M",
2T \ * /
où M est la masse molaire du gaa considéré.
'
Q67. Selon la loi de Beer-Lambert Ie facteur de transmission de I'intensité d'une onde après la
traversée d'une épaisseur ,L d'un milieu de coefficient d'absorption o(c^.')est :
T (r) - exp[- a(w)Ll .
La figure 2 pnisente les résultats d'une expérience de rnesure deT(u) à la traversée d'une vapeur
d'ammoniac à la température de 0"C. Les différentes courbes correspondent à différentes valeurs
de la pression. Dans quel sens la pression évolue-t-elle quand on passe de la courbe 1 à la courbe
5?
Q68. Déterminer Ia mi-Iargeur à L/e (en MHz) de I'absorption a(w) à partir des mesures de
T(r) représentéessur la courbe 3 de la figure 2 ; vous préciserez la valeur de T q:uevous mesurez
au maximum d'absorption et au bord de la mi-largeur.
Q69. Une exploitation plus précise des résultats de I'expérience conduit à une mi-largeur à L/e
de 49.9 l|[t[z. En déduire une estimation de la constante des gaz parfaits R.
Q7O. Connaissez-vous d'autres causqs d'élargissement des raies d'absorption d'un gM? Dépendent-elles des conditions (température, pression...) dn gaz, et si oui dans quel régime sont-elles
minimisées ?
t
0.8
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0.2
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0
?8953,569
28953,694
28953,8TI
Ftc. 2 - Profil d'absorption T en fonction de la fréquence de I'onde incidente en GHz.
Fin de l'épreuve
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