Optimisation : aire d`un triangle - Calculatrices-hp

Optimisation : aire d’un triangle
HP Prime
Niveaux : Seconde
Objectifs : introduction à la notion de fonction et ses représentations. Notion
de maximum. Etude d’une conjecture à l’aide de la géométrie dynamique.
Mots-clés : fonctions, tableau de valeurs, représentation graphique, maximum.
Enoncé : On considère un triangle ABC isocèle en A.
Le point C peut bouger sur le cercle de centre A et de rayon [AB].
Trouver l’emplacement du point C pour que l’aire de ABC soit maximale.
Solution pas à pas :
Captures d’écran :
On utilise la calculatrice HP Prime pour dessiner la
situation géométrique et profiter des possibilités
dynamiques de l’application « Géométrie » depuis la
touche I.
On accède au tracé avec la touche P.
Les différents menus de l’application Géométrie
permettent de construire le triangle et le cercle. On
placera le point C comme point actif.
Tutoriaux HP Prime
Par Mickaël Nicotera – 2013 – v2 – Photocopies autorisées
On valide l’emplacement de chaque objet
géométrique sur l’écran en appuyant sur la touche
E.
On accède aux différents éléments géométriques
tracés avec leurs noms depuis la touche Y.
On peut effectuer le calcul d’aire du triangle et celui
de la longueur de sa base en appuyant sur M.
On utilise la commande area.
On fait bouger le point C et on note l’aire obtenue
pour chaque emplacement.
On peut récolter ainsi une série de couples de
valeurs (base ; aire) qu’on peut stocker dans un
tableau.
Choisir l’application « Stats 2 Var » depuis la touche
I.
Tutoriaux HP Prime
Par Mickaël Nicotera – 2013 – v2 – Photocopies autorisées
On réunit tous les couples de valeurs (base ; aire)
dans le tableau (touche M).
On peut obtenir le nuage de poins correspondant et
de s’apercevoir que les points dessinent une courbe
admettant un maximum en appuyant sur P.
D’après le graphique, l’aire semble être maximale
pour une base de longueur ≈ 10,8.
Il est également possible de s’orienter vers une
résolution analytique pour trouver l’expression
algébrique
de la
fonction qui
exprime
l’aire du
triangle en
fonction de
la longueur
de sa base
BC = x.
Il faut exprimer la hauteur AH en fonction de x.
L’égalité de Pythagore dans le triangle AHC
rectangle den H donne la relation : AH =
.
L’aire de ABC est donc donné par la formule
.
On entre cette expression sur la HP Prime
Application : « Fonction » et touche Y.
On passe à l’écran graphique depuis la touche P.
Le menu
> Extremum nous place directement
sur le point culminant de la courbe.
Tutoriaux HP Prime
Par Mickaël Nicotera – 2013 – v2 – Photocopies autorisées
Tutoriaux HP Prime
Par Mickaël Nicotera – 2013 – v2 – Photocopies autorisées