Planche d`exercices no 4 Courbes paramétrées, courbes

Lycée Militaire d'Aix-en-Provence
Classe Préparatoire PCSI
Année 2009-2010
Informatique avec Maple
Planche d'exercices no 4 Courbes paramétrées, courbes en polaire, coniques
Exercice 1.
Exercice 2.
Tracer la courbe paramétrée, appelée folium de Descartes, dénie par :



x(t)


=
3t
1 + t3



 y(t)
=
3t2
1 + t3
Tracer la courbe paramétrée dénie par :
x(t) = t2
y(t) = t2 − t3
Exercice 3.
Tracer la courbe paramétrée, appelée courbe de Lissajous, dénie par :
Exercice 4.
Tracer la courbe paramétrée, appelée lemniscate de Bernouilli, dénie par :



x(t)


=
t
1 + t4



 y(t)
=
t3
1 + t4
(
x(t)
=
y(t)
=
x(t) = sin 2t
y(t) = sin 3t
2t + t2
1
2t − 2
t
Exercice 5.
Tracer la courbe paramétrée dénie par :
Exercice 6.
Tracer la courbe, appelée quadrifolium, dénie par l'équation polaire : ρ = cos 2θ.
Exercice 7.
Tracer la courbe dénie par l'équation polaire : ρ = tan
Exercice 8.
Tracer la courbe dénie par l'équation polaire : ρ = 6 cos θ − 4 sin θ.
Exercice 9.
Tracer la courbe dénie par l'équation polaire : ρ =
θ
− 1.
2
1
.
4 cos θ − 3 sin θ
cos 3θ
.
cos 2θ
Exercice 10.
Tracer la courbe dénie par l'équation polaire : ρ =
Exercice 11.
Tracer la courbe polaire : ρ =
2
.
1 + sin θ
Exercice 12.
Tracer la courbe polaire : ρ =
6
.
3 cos θ − 4 sin θ − 2
Exercice 13.
Tracer la courbe dénie par l'équation cartésienne : xy + 3x + 5y − 4 = 0.
Exercice 14.
Tracer la courbe dénie par l'équation cartésienne : x2 − 2xy + y 2 − 6x − 10y + 9 = 0.
Exercice 15.
Tracer la courbe dénie par l'équation cartésienne : x2 − 2x + 4y 2 + 4y + 1 = 0.
Exercice 16.
Tracer la courbe dénie par l'équation cartésienne : 5x2 − 6xy + 5y 2 + 10x − 6y + 5 = 0.
Exercices supplémentaires
Voir au dos.
Exercice 17.
degré 2 :
Les quadriques sont les surfaces de l'espace dénies par une équation cartésienne polynomiale de
ax2 + by 2 + cz 2 + dxy + eyz + f zx + gx + hy + iz + j = 0.
On démontre qu'il n'existe que 5 types de quadriques.
Tracer les quadriques suivantes, grâce à la commande implicitplot3d du package plots. Utiliser des axes
orthonormés. Choisir une fenêtre d'achage adaptée à l'objet tracé. Par exemple, pour le paraboloïde elliptique,
la fenêtre x ∈ [−3, 3], y ∈ [−2, 2] et z ∈ [−1, 4] semble convenir.
x2
+ y2 − z = 0
2
x2
Paraboloïde hyperbolique :
− y2 − z = 0
2
x2
y2
Ellipsoïde :
+
+ z2 = 1
3
2
x2
y2
z2
Hyperboloïde à une nappe :
+
−
=1
6
4
2
x2
y2
z2
Hyperboloïde à deux nappes :
+
−
= −1
6
4
2
1. Paraboloïde elliptique :
2.
3.
4.
5.