Développements limités

Développements limités
Mathématiques Appliquées aux Géosciences
Table des matières
1 Introduction
2
2 Développement en série de Taylor
3
2.1
Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Formule du développement en série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4
Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5
Opération sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.6
Développement limité (DL) en série de Taylor pour 2 variables . . . . . .
10
– 1– mise à jour le 4 avril 2008
Mathématiques Appliquées aux Géosciences
1
Introduction
– But : Résoudre des équations trop compliquées à résoudre de manière analytique sur
tout l’espace des valeurs réelles par exemple ⇒ Champ électrique crée au voisinage de
l’origine par des charges ponctuelles de part et d’autre de l’origine ;
– Moyens : approximer la fonction a calculer par un développement polynomial au
voisinnage d’un point d’intêret ;
– Difficulté : S’assurer que l’approximation est satisfaisante ;
– Avantages : polynomes → expressions faciles à utiliser.
– 2– mise à jour le 4 avril 2008
Mathématiques Appliquées aux Géosciences
2
2.1
Développement en série de Taylor
Démonstration
Soit a approximer la fonction f (x) dont les n dérivées sont continues dans l’intervalle
a≤x≤b:
Si on intègre n fois la nieme dérivée de f , on a :
Z x
Z x2
dx1 f n (x1 ) =
dxn ...
a
f (x) − f (a) − (x − a)f ′ (a) −
a
(x−a)2 ′′
f (a)
2!
− ... −
(x−a)(n−1) (n−1)
(a)
(n−1)! f
(1)
– 3– mise à jour le 4 avril 2008
Mathématiques Appliquées aux Géosciences
Que l’on transforme en :
(n−1)
2
(x
−
a)
(x
−
a)
f ′′ (a) + ... +
f (n−1) (a) + Rn
f (x) = f (a) + (x − a)f ′ (a) +
2!
(n − 1)!
Z x
Z x2
avec Rn =
dxn ...
dx1 f n (x1 )
a
(2)
a
Rn est il suffisament faible pour faire l’approximation que f (x) peut être
approximée par Eq.2 ?
– 4– mise à jour le 4 avril 2008
Mathématiques Appliquées aux Géosciences
2.2
Convergence
Théorème de la valeur moyenne
Z x
g(x)dx = (x − a)g(ξ)
(3)
a
avec a ≤ ξ ≤ x
Comportement du reste pour n grand Si on intègre n fois g(x), on obtient la
forme Lagrangienne de Rn :
(x − a)n (n)
f (ξ)
(4)
Rn =
n!
si f (n) (ξ) est fini alors lim Rn = 0
n→∞
– 5– mise à jour le 4 avril 2008
Mathématiques Appliquées aux Géosciences
lim Rn = 0 est assuré si par exemple lim (x − a)n = 0 ce qui est toujours vrai si
n→∞
n→∞
−1 ≤ x − a ≤ 1 (voir fig.6)
1e+20
x**1
x**10
x**100
1
1e-20
1e-40
1e-60
1e-80
1e-100
1e-120
1e-140
1e-160
1e-180
1e-200
-1
-0.5
0
0.5
1
Fig. 1 – lim (x − a)n = 0 si −1 ≤ x − a ≤ 1 et n grand.
n→∞
– 6– mise à jour le 4 avril 2008
Mathématiques Appliquées aux Géosciences
2.3
Formule du développement en série de Taylor
Dans ces conditions : f possède n dérivées continues en a, alors au voisinage de a, on
peut écrire :
f (x) = f (a) + (x − a)f ′ (a) +
(x − a) ′′
f (a) + ...
2!
(5)
∞
X
(x − a)n (n)
=
f (a)
n!
n=0
(6)
N
X
(x − a)n (n)
f (a) + 0(N + 1)
=
n!
n=0
(7)
= ...
(8)
(9)
2.4
Développements limités
Lorsque la série est tronqué à l’ordre n, on parle de D.L. à l’ordre n.
– 7– mise à jour le 4 avril 2008
Mathématiques Appliquées aux Géosciences
2.5
Opération sur les développements limités
Somme
Si f et g sont 2 fonctions qui possèdent des D.L. à l’ordre n :
f (x)
g(x)
=
=
n
X
i=0
n
X
i=0
xi
fi ×
i!
(10)
xi
gi ×
i!
(11)
(12)
alors
f (x) + g(x)
=
n
X
i=0
xi
(fi + gi ) ×
i!
(13)
(14)
– 8– mise à jour le 4 avril 2008
Mathématiques Appliquées aux Géosciences
Produit
f (x) =
g(x) =
n
X
i=0
n
X
j=0
xi
fi ×
i!
(15)
xj
gj ×
j!
(16)
(17)
alors
f (x) × g(x)
=
n
X
k=0
xk
ck ×
k!
(18)
(19)
avec ck =
X
fi × gj
i+j=k
– 9– mise à jour le 4 avril 2008
Mathématiques Appliquées aux Géosciences
2.6
Développement limité (DL) en série de Taylor pour 2
variables
Soit f(x,y), on donne le DL à l’ordre 2 de f pour x dans le voisinnage de la valeur réelle
a et y dans le voisinnage de b.
f (x, y) = f (a, b) + (x − a)∂f x + ∂f y
2
2
2
f
∂
∂
f
∂
f
1
+ (y − b)2 2
(x − a)2 2 + 2(x − a)(y − b)
+
2!
∂x
∂x∂y
∂y
(20)
– 10– mise à jour le 4 avril 2008