BARYCENTRES I) Barycentre de deux points

BARYCENTRES
I) Barycentre de deux points
Définition : Soit (A ; a) et (B ; b) deux points pondérés affectés des coefficients a et b tels que a + b ≠ 0.
uuur uuur r
On appelle barycentre de (A ; a) et (B ; b) l’unique point G défini par : aGA + bGB = 0 .
Conséquence : Si G est le barycentre de (A ; a), (B ; b) alors G est aussi le barycentre de (A ; ka), (B ; kb) où k est un
nombre réel non nul.
Vocabulaire : Lorsque a = b, le barycentre G appelé isobarycentre des points A et B est le milieu du segment [AB].
Théorème : Si A et B sont deux points distincts, le barycentre des points pondérés (A ; a) et (B ; b) appartient à la droite
(AB).
Remarques :
• Le barycentre deux points est sur le segment [AB] lorsque les coefficients sont de même signe.
‚ Le barycentre de deux points est plus près du point dont le coefficient en valeur absolue est le plus grand.
Propriété fondamentale – Réduction :
Soit G le barycentre des points pondérés (A ; a) et (B ; b) avec a + b ' 0.
uuur uuur
uuuur
On a :
pour tout point M, aMA + bMB = ( a + b ) MG .
r r r
Théorème : L’espace est rapporté à un repère ( O, i , j , k ) . Soit A et B deux points de coordonnées respectives
(xA ; yA ; zA ) et (xB ; yB ; zB).
Les coordonnées du barycentre G des points pondérés (A ;a) et (B ;b) sont :
ax + bxB
ay + byB
az + bz B
xG = A
; yG = A
; zG = A
.
a +b
a+b
a+b
Construction du barycentre de deux points :
• Principe des bras de leviers.
• Méthode vectorielle utilisant la propriété fondamentale en prenant M égal à A ou B.
Exemple : Construire le barycentre G des points (A ; 3) et (B ; 1).
Barycentres 1/2
II) Barycentre de trois points
Définition : Soit (A ; a), (B ; b) et (C ; c) trois points pondérés affectés des coefficients a, b et c tels que a + b + c ≠ 0.
uuur uuur uuur r
On appelle barycentre de (A ; a), (B ; b) et (C ; c) l’unique point G défini par : aGA + bGB + cGC = 0 .
Conséquence : Si G est le barycentre de (A ; a), (b ; b) et (C ; c) alors G est aussi le barycentre de (A ; ka), (B ; kb) et
(C ; kc) où k est un nomb re réel non nul.
Vocabulaire : Lorsque a = b = c, le barycentre G appelé isobarycentre des points A, B et C est le centre de gravité du
triangle ABC.
Remarque : Lorsque les trois points A, B et C ne sont pas alignés, le barycentre est à l'intérieur du triangle ABC si les
coefficients sont de même signe.
Théorème : Soit dans l’espace trois points non alignés A, B et C. Le barycentre des points pondérés (A ; a), (B ; b) et
(C ; c) appartient au plan (ABC).
Propriété fondamentale – Réduction :
Soit G le barycentre des points pondérés (A ; a), (B ; b) et (C ; c) avec a + b +c ' 0.
uuur uuur uuuur
uuuur
On a :
pour tout point M, aMA + bMB + cMC = ( a + b + c ) MG .
r r r
Théorème : L’espace est rapporté à un repère ( O, i , j , k ) . Soit A, B et C trois points de coordonnées respectives
(xA ; yA ; zA ), (xB ; yB ; zB ) et (xC ; yC ; zC ). Les coordonnées du barycentre G des points pondérés (A ; a), (B ; b) et (C ; c)
sont :
ax + bxB + cxC
ay + byB + cyC
az + bz B + cz C
xG = A
; yG = A
; zG = A
a + b +c
a +b +c
a +b + c
Théorème : Associativité du barycentre.
Le barycentre de trois points (ou plus) reste inchangé si on remplace certains de ses points par leur barycentre , dit
partiel, affecté de la somme non nulle de leurs coefficients.
Construction du barycentre de trois points :
• 1ère méthode : On se ramène à la construction du barycentre de 2 points :
uuur uuur
* en utilisant la réduction de bGB + cGC (par exemple) qui fait intervenir le barycentre partiel I de (B ; b), (C ; c) ;
* ou en utilisant le théorème d’associativité qui fait intervenir le barycentre partiel I de (B ; b), (C ; c) affecté du
coefficient b + c.
• 2ème méthode vectorielle utilisant la propriété fondamentale en prenant M égal à A, B ou C.
Exemple : Construire le barycentre G des points (A ; 3), (B ; 1) et (C ; 1).
Barycentres 2/2